複数の借手と最適貸付契約 : タイプ間の相関を巡 って

複数の借手と最適貸付契約 : タイプ間の相関を巡 って

その他のタイトル Optimal Banking Contracts with Multiple Borrowers

著者 宇惠 勝也

雑誌名 關西大學商學論集

巻 53

号 1

ページ 21‑33

発行年 2008‑04‑25

URL http://hdl.handle.net/10112/3451

関西大学商学論集 第

5 3

1

( 2 0 0 8

4

複数の借手と最適貸付契約 ータイプ間の相関を巡って―

宇 恵 勝 也

概要

本稿では，伊藤 (2003)第3章の分析に依拠しながら，私的清報を保有する複数の企業 に対する最適貸付契約設計について検討した．重要な論点は，借手である企業が複数存在 する場合，各企業を他の企業から独立に扱い，銀行がまるで

1

2

キーワード：貸付，アドバース・セレクション，複数の借手，タイプ間の相関，最適契約 設計

1 

:i:1 

本 稿 で は ， 私 的 情 報 を 保 有 す る 複 数 の 企 業 に 対 す る 最 適 貸 付 契 約 設 計 の 問 題 を 考 察 す る

1 .

借 手 で あ る 企 業 が 複 数 存 在 し て も ， 企 業 間 を 関 係 付 け る 要 素 が な く ， 各 企 業 を 他 の 企 菓 か ら 独 立 に ， 銀 行 が ま る で

1

2

2

1

Demskiand Sappington  ( 1 9 8 4 )

Demski and Sappington  ( 1 9 8 4 )

2

22 

3

1

( 2 0 0 8

4

本稿の構成は，以下の通りである．まず第

2

表明原理を用いて，銀行の直面する問題を制約付き最大化問題として定式化して最適解を導出 し，その含意を検討する．その際，前節で考察した対称情報のケースでの結果をベンチマーク として用いると共に，宇恵

( 2 0 0 6 )

5

2 

宇恵

( 2 0 0 6 )

2

n = 1 , 2

籾

EL=[ O , l ]

n

n

C ( l 1 ,l

で表す． さらに本稿では，タイプ間の相関に焦点を合せるために，銀行の費用関数は加法分離 型で表されると仮定する乞すなわち，

C ( l 1 ,  

= C

+ C 2 ( Z 2 )  

とする．ここで，

C

2

Cn(O)= 0 ,   0 

z n

> 0 ,  

( 0 )= 0 ,  

>0

銀行の利子収入は区n(戸—籾）である．そこで，銀行の効用は，利子収入から貸付に伴う費用 を控除した額

V ( l , r )  = L(rn ‑C n ( l n ) )   ( 1 )  

n 

で与えられるものとする．ここで，

l= ( l 1 ,  

T'=( r 1 ,  

e n (

+Cn(

企業

n

u ( z n ,

E { 0

n

n

1 <  0

0=

n

T ' n

l

T ' n

2

複数の借手と最適貸付契約（宇恵）

2 ; 1  

の と き の タ イ プ 初 の 企 業

n

U(l

u ( z n , e

r n

e n

‑r

n 

1 , 2   ( 2 )  

で与えられるとする．

企業

1

2

0 jである同時確率を P i J

( p i j 2 : :   0かつ

P i J   = 1 ) ・  

(poi= P 1 0 ) .  

n

P= P o o  

Pm = P o o  

P 1 0 ,  

1‑P  = Pm 

Pn = P 1 0  

Pnとなる．対称性により，こ

1と 2

<  p  < 

p

PooPn ‑P 0 1 P 1 0   p =  

p(l ‑p )   ( 3 )  

2 : :   p  2 : :  

p > 

P o o= P

Pn= ( 1  ‑p )

P 0 1  = P 1 0  = p(1 ‑p )より p= 0 

宇 恵 (2006) の モ デ ル と 同 様 ， 銀 行 は 最 初 に 各 企 業 に 対 し て 契 約 を 提 示 す る ． 企 業

n

{ ( l

r

r I ' . J )は，企巽 1

0 i ,

2

n

仇 ：

{ 0 o ,  0

{ 0 o , 0

n

( 0 i )= 0

( 0 J )= e j  f o r   i , j   = 0 ,  1 ) .  

e 7 = ( e 7 1 ,

2 )は，以下の条件を

冒伯

^o

^r

^:,.~

^o

^r

~t:p 伯lし— rし） ^:,. 

L t ' !   p

J 

こ巴伯ol贔— r嘉） 2L 巴 (0。尽—名）

i  p 

i  p 

~lP~1p

^{2 :   ~1P~1p ( 0}

^r

、~、\l、\j‘ーーノ

4 5 6 7  

︵

︵

︵

︵  

( 4 )

( 5 )

1

( 6 )

( 7 )

2

Po}/P

1

2

Pl} / ( 1  ‑

1

2 4  

真のタイプが仇であるときに企業

2

( j =  0 ,  1 ) .  

P i o / P

P i l / ( 1‑p )

( i =  0 ,  1 ) .  

表明原理により，銀行が（企業の期待利得のみに依存する適当な基準に関して）最適なメカ ニズムを設計しようとする場合，各企業が自分のタイプを正直に報告するベイジアン・ナッ シュ均衡が存在するような直接表明メカニズムに設計対象を限定しても，最適性は何ら失われ ない

3 ̲

銀行の契約はさらに，参加制約を満たさなければならない．本稿では，次のような企業

1

似贔ー T6。 ~o

( 8 )  

o

r

0  ( 9 )  

仇 li。―吋。 ~o

^{( 1 0 )}  

0 1 l i 1  ‑Ti1~0 ( 1 1 )  

企業

2

( e xp o s t )

4̲

3  ベンチマーク：対称情報のケース

前節のモデルを分析するのに先立って，企業のタイプが私的情報ではなく銀行にも観察可 能であるような仮想のケースを考察する．このケースの解をファーストベスト

( f i r s t ‑ b e s t )

と呼ぶことにしよう．タイプが

( 0 1 ,

=  ( 0 i ,  0 j )

1

²

^{r ; j}

r ; j

C 1  ( l ; j )  

r ; j

C 2  ( l ; j )   =  0 i l i j

C 1  ( l ; j )  

0 j l ; j

C 2  ( l ; j )  

を最大にする

( l

0 i  

c~(l;1b), i 

0 ,  I 

^j  =  0 ,  I 

で与えられる．このように，ファーストベストにおいては，各企業への契約は他の企業のタイ プには依存しないことがわかる．この結果が得られたのは，銀行の費用関数が加法分離型であ ることによる．

3

4

( i n t e r i m )

B

複数の借手と最適貸付契約（宇恵）

:~5

4 非対称情報のケース

企業のタイプが企業の私的情報であるケースを考察しよう．このケースの解をセカンドベス ト

( s e c o n d ‑ b e s t )

1

2

1

2

問題 (p)

max 

{  ( 1 1

LPij(

C 1

ij'ij)}  i j  

s u b j e c t  t o   ( 8 ) ,   ( 9 ) ,   and 

LP1J(0心—出） ~LP1J(01lぶ―喝）

( 1 2 )  

( 1 3 )  

J  J 

( 1 3 )

( 5 )

1

( 1 0 )

( 1 1 )

この問題の解が，無視された制約式を満たすことを，後に確認することができる．

タイプ o。の参加制約 (8)および (9)に対するラグランジュ乗数をそれぞれ入

o ,

タイプが

0 1

( 1 3 )

1

{ ( Z U , r

Pooc~(l畠）

+ 

+ 

P10C~Uio) ‑r P l O

=0 P11C~(lir) ‑r P I

=0 P o o  + 

P 0 1  

P i o  ‑, P 1 0  = 

Pn

Pn=0 

( 1 4 )   ( 1 5 )   ( 1 6 )   ( 1 7 )   ( 1 8 )   ( 1 9 )   ( 2 0 )   ( 2 1 )  

明らかに，~=

1 ,  

o=p>O

1=1‑p>O

制約式 (8), (9)および

( 1 3 )

( 1 4 )

( 1 5 )

c~(l益）

=0 。 ^{--—• P 1 0}   0

P o o   ( 2 : 2 )  

5

26  関西大学廂学論集 第

5 3

1

( 2 0 0 8

4

c~(l闊）

=  0 o

0

( 1 6 )

( 1 7 )

0 1  

c~Uii)

c~(Zin

(23) 

( 2 4 )  

セカンドベストの元利合計額

r g

^{( 8 )}

^{( 9 )}

から，

* 0

* 1   1 0 1 0  

l l  

0 0  

0 0  

* ＝＝ 

0

* 1   1 0 1 0  

r r  

( 2 5 )   ( 2 6 )  

となる．これらを等号で成立するもう一つの制約式

( 1 3 )

P l O   ( 0 1 z t o  ‑do)+ Pu  (01zt~- r t n   ^{=  P l O}

^{0 l 5 0  +}  Pu~0l1*

l‑p  l‑p  l‑p  l‑p  ⁰¹  ( 2 7 )  

( 2 7 )

喝 =

0 1 l

^{0 l}

0 1 z t ;   —• 0 l

( 2 8 )   ( 2 9 )  

以上の解が，無視された残りの制約式

( 4 ) , ( 1 0 )

( 1 1 )

( 2 7 ) , ( 4 ) ,   ( 1 0 )

( 1 1 )

( r f

i )

< , 

^{( 2 8 )}

^{( 2 9 )}

以上の分析より，銀行が指示するセカンドベストの借入額について次のことがわかる．ま ず，企業の投資プロジェクトの収益性が高い場合には，他の企業の収益性にかかわらずファー ストベストと同じ借入額を要求する (l闊=

z t   i  =  Z i 1 b ) .  

z t f b ) .  

この結果は，宇恵

( 2 0 0 6 )

きのセカンドベストの借入額

z 5

c ' (

p

0  ( 3 0 )  

企業が効率的なタイプのときにば情報レントを与えなければならないので，その情報レントを できる限り節約するために，銀行は非効率的なタイプo。に指示する借入額をファーストベス トより過少にすることを選好する．企業が

2

1

2

複数の借手と最適貸付契約（宇恵）

2 7  

企業が

1

2

( 2 2 )

( 2 3 )

2

( 2 2 )  

0

2

¹

0 1

( p 1 0 / p )

1

( p o o / p )

P 1 0 / P o o=  ( 1  ‑ P )  / p

( 2 2 )

( 3 0 )

( 2 2 ; )  

さらに重要な相違点は，企業のタイプが o。である場合のセカンドベストの借入額は，他の 企業のタイプに依存するということである. (3)より，がと炉が正の相関関係 (p

> 

P 1 0 / P o o <  P 1 1 / P o 1

( 2 2 )

( 2 3 )

l

>l

この結果は次のように理解できる．企業

2

0 1

1

( 0 1 ,

= ( 0 o , 0 o )

( 0 1 ,

= ( 0 o ,  0

( 0 1 ' 0

( 0 o ,  0

かくして，企業

1

z i o   =  z i r   >  z 6 o   >  z 5 r  

これより，セカンドベストの借入額は，炉を所与としたときにがの増加関数になっているこ とがわかる．つまり，

尉＞閤

j =  0 ,  1 

が成立している．この単調性は，宇恵

( 2 0 0 6 )

'ゞ ゞ‑'‑で，

嬬 =

0 i

r U , i , j   =  o ,   1 

と定義すると，企業

1

( 2 5 ) , ( 2 6 ) ,   ( 2 8 )

( 2 9 )

U

=0

となり，次の大小関係が成立する．

U

=0 U

0 l 畠

U

0 l

u t ;   ^>  u t ;   ^>  u J ;   ⁼  u J

=0

28  関西大学商学論集 第53巻第 1号 (2008年4月）

他方，企業

2

心

( l

=0 。 --—•

0 P a o  

心

l (

⁰

P 1 0  

0 1  

c ; ( l 5 r )  

c ; u r r )  

となり，企業

2

l5~=

l

3 >  l i 3  

これより，企業

2

虐 ＞ 靡

i =  0 ,  1 

巧 =

e j

i , j   =  0 ,  1 

と定義すると，企業

2

U

=0 U

=0 U

0 l

U

0 l

となり，次の大小関係が成立する．

u J ;   >  u 『 ; >  u g ;  

u f ;  

o 

(31)および (32)より，次のことが明らかとなる．すなわち，効率的なタイプ仇である企業の 事後利得は，他の企業のタイプが仏よりも o。であるときに高くなる．

ム冊

︱ ︱ ︱ ー ロ 士口

糸5 

本 稿 で は ， 伊 藤 (2003)第 3章の分析に依拠しながら，私的情報を保有する複数の企業に 対する最適貸付契約設計について検討した．重要な論点は，借手である企業が複数存在する場 合，各企業を他の企業から独立に，銀行がまるで

1

ことの妥当性である．実際，企業のタイプの間に相関がある場合には，最適な契約はそれらの 企業を独立に扱う契約とは異なるものとなる．本稿では，宇恵 (2006)の貸付契約のモデルを

複数の借手と最適貸付契約（宇恵）

2 9  

2

2

トの解）を評価した．以下に，本稿の分析を通して得られた主要な結果を要約する．

1.  企業の投資プロジェクトの収益性が高い（すなわち，企業が効率的なタイプである）場 合には，他の企業の収益性にかかわらずファーストベストと同じ借入額を要求する．一 方，その収益性が低い（すなわち，企業が非効率的なタイプである）場合には，借入額 はファーストベストに比して相対的に過少となる．この結果は，企業が

1

2

2 .  

1

2

1

2

1

2

3 .  

補論でも検討しているように，本稿で分析したようなモデルにおいては複数均衡の存在が間 題となり，それに対する解決策として二つのアプローチが提唱されている．こうしたアプロー チに即して本稿の分析をいっそう発展させることは今後の研究課題である．また，本稿の分析 では借入額の間に技術的外部性がないと仮定したが， しかし，現実の融資業務においては当該 の外部性が作用する可能性が高い．この点に関する分析もまた今後の課題としたい．

30 

5 3

1

( 2 0 0 8

4

補 論

以下では，伊藤 (2003) 第 3 章に依拠しながら，本稿のモデルにかかわる二つの問題—複 数均衡の問題と中間時点での参加制約の問題＿について若干の検討を行う．

A .  

本稿で分析したようなモデル，すなわち，複数の企業（エージェント）に対する貸付契約を 銀行（プリンシパル）が設計する場合に間題となるのが，複数均衡の存在である．具体的に は，誘因両立的なメカニズムには，すべての企業が正直に自分のタイプを報告する均衡（これ を「事実申告均衡」と呼ぼう）以外に他の均衡が存在する可能性がある．

本稿の第4節に示されているセカンドベストのメカニズムの下では，各企業が正直に自分の タイプを報告することが均衡になっている．いま，各企業が一貫してタイプ o。であると報告 する戦略，すなわち，

8 ‑ 1 ( 0 i )  = 8 ‑ 2 ( 0 J )  = 0 o ,  

= 0 ,   1 

を考えてみよう．結論から言えば，この戦略プロファイル

‑ a = 

ナッシュ均衡になっているのである．これを企業

1

2についても

2

0 1

1

叩訊—喝＝△

0 l

となり，他方，正直に報告する戦略を選ぶならば，その期待利得は，

伍慮—喝＝邸l訊

となる．明らかに，二つの選択は無差別であるから，この場合，戦略プロファイルけもまた均 衡の条件を満たすことがわかる．同様に，タイプ

o

1

o

1

1

o。 l畠—喝 =0 となり，他方，仇であると報告する場合の期待利得は，

o。 zt~

— d~=~0(l5~- zt~) ^<  o 

となる． したがって，企業

1

2についても同様である）．以上

複数の借手と最適貸付契約（宇恵） 31 

本稿のモデルではさらに，いずれの企業も虚偽申告均衡を事実申告均衡よりも選好すること を示すことができる．これを企業

1

2

1

る．すなわち，

事実申告均衡：

虚偽申告均衡：

巴 (0。zio-rM)+ 巴 (0。zir — rM)

= 

p  p 

o。 l盆—喝 =0

となり，二つの均衡は無差別となる．他方，企業

1

事実申告均衡：

虚偽申告均衡：

IP~op

1P~1p

= 

^1P~1p • ^{0 l}

＜△ 

0 l

仇 l益—喝＝頌l闊

したがって，企業

1

このような複数均衡の問題は早くから指摘されており，それが生じる理由と共に，その間題 に対する解決策も示されている

6 ̲

（プリンシパル）のメカニズムの設計において課されている条件「各企業（エージェント）が正 直に自分のタイプを報告する戦略プロファイルがベイジアン・ナッシュ均衡となる」は，その ような戦略プロファイルが均衡のうちの一つであれば満たされるからである．また，この間題 に対する解決策としては，支配戦略によるメカニズム・デザインとメカニズムのメッセージ空 間の拡張という二つのアプローチが提唱されている．

B.  中間時点での参加制約の問題

本稿では，事後の参加制約の下で

2

>  0 )  

り，また効率的なタイプの企業にレントを与えなければならないことが明らかとなった． しか しながら，事後の参加制約を緩めて中間時点における参加制約に変更すると分析結果は大きく 変ってしまう．中間時点

( i n t e r i m )

タイプは知らないという時点を指す．中間時点での参加制約に変更すると，「ある仮定の下で，

6

( 2 0 0 3 )

3

Moore ( 1 9 9 2 )

P a l f r e y ( 1 9 9 2 )

3 2  

5 3

1

( 2 0 0 8

4

企業にレントを与えることなくファーストベストの借入額を実現することができる」という結 果が得られる．すなわち，わずかでもタイプ間に相関があれば，銀行（プリンシパル）は企業

（エージェント）の私的情報を何ら追加的なコストなしに引き出すことができるという結果で ある．以下では，上記の主張を企業

1

7 ̲

まず，銀行の契約が満たさなければならない参加制約として中間時点での参加制約を課す．

この場合，各企業は契約に参加するかどうかを決定する時点で他の企業のタイプを知らないた め，参加制約は次のように定義される．

こ麟o。見― rぶ） ~o

_. p 

L  ^PlJ 

. 1‑p （いし― rし） ~o

ここで，ファーストベストの借入額の下で企業

1

P o o ( 0 。 ^{l 6 6 b‑r 5} ) 。 ^{+  P 0 1 ( 0} 。 ^{z M b‑r 5 1 )  =} 

P 1 0 ( 0 1 l i [ b  ‑T i

+  P 1 1 ( 0 1 l i { b  ‑r f 1 )  =  0 

が成り立たなければならない．これらを書き直すと次のようになる．

P o o r 5

P 0 1 T 6 1  =  D1 =  0 o ( P o o z U b  +  P 0 1 z M b )   P 1 0 T i

P 1 1  T i  1  =  D2 =  0 1  ( p 1 0 l i 6 b  +  P 1 1  l i {  b )  

一方，誘因両立制約は，

( 4 )

( 5 )

P o o ( 0 。 l 6 6 b‑7 ' 6 ) 。 +  P o i  ( 0 。 l 6 t‑7 ' 6 1 ) ミ P o o ( 0 。 l i 6 b‑T i ) 。 +  P 0 1 ( 0 。 z i [ b‑T i 1 )   P 1 0 ( 0 1 l i 6 b  ‑T i

+  P 1 1 ( 0 1 l i i b  ‑ Ti1)~P10(01l66b ‑7 ' 6

+  P 1 1 ( 0 1 l 6 i b  ‑T 6 1 )  

これらを

( 3 3 )

( 3 4 )

Pood 。 ^{+ P 0 1 I ' i 1 ： ミ D3 =0} 。 ^{( P o o l i 6 b+  P 0 1 z U b )}  

P 1 0 r 6

=  0 1  ( p 1 0 Z 6 6 b  +  P 1 1 z M b )  

( 3 3 )   ( 3 4 )  

( 3 5 )   ( 3 6 )  

となる．以上より，

( 3 3 ) , ( 3 4 ) ,   ( 3 5 )

( 3 6 )

( r

i , j = 0 , 1

( 3 3 )

( 3 6 )

( P o o P 1 1  ‑P o 1 P 1 0 )

P 1 1 D 1‑P o 1 D 4   ( 3 7 )  

7

( 2 0 0 3 )

3

Cremerand McLean 

( 1 9 8 5 ,  1 9 8 8 ) ,   McAfee and Reny ( 1 9 9 2 )

Neeman ( 2 0 0 4 )

複数の借手と最適貸付契約（宇恵）

3 3  

となる． したがって，仮定

p>O

PooPn‑P o 1 P 1 0   #  0

( 3 3 )

( 3 6 )

( r

r

( 3 4 )

( 3 5 )

( P o o P 1 1  ‑P 0 1 P 1 0 ) r

: S PooD2 ‑p10D3  ( 3 8 )  

p>O

( 3 4 )

( 3 5 )

T i 1 )

参考文献

[ 1 ]   Cremer,  J .   and McLean, R .  P .   ( 1 9 8 5 )  ,  "Optimal S e l l i n g  S t r a t e g i e s  under U n c e r t a i n t y   f o r  a  D i s c r i m i n a t i n g  Mo no po li st  When Demands a r e  I n t e r d e p e n d e n t , "  E c o n o m e t r i c a .   5 3 :   345 ‑3 6 1 .  

[ 2 ]   Cremer,  J .   and McLean, R .  P .   ( 1 9 8 8 )   、 ' , F u l lE x t r a c t i o n  o f  t h e  S u r p l u s  i n  B a y e s i a n   and Dominant S t r a t e g y  A u c t i o n s , "  E c o n o m e t r i c a .  5 6 :   1247 ‑1 2 5 7 .  

[ 3 ]   Demski,  J .   S .  and S a p p i n g t o n ,  D. ( 1 9 8 4 )  ,  "Optimal I n c e n t i v e  C o n t r a c t s  with M u l t i p l e   A g e n t s , "  J o u r n a l  o f  Economic T h e o r y .  3 3 :   1 5 2  ‑1 7 1 .  

[ 4 ]   McAfee, R .  P .   and R e n y ,  P .   J .   ( 1 9 9 2 )   ,  " C o r r e l a t e d  I n f o r m a t i o n  and Mechanism  D e s i g n , "  E c o n o m e t r i c a .  6 0 :   395 ‑4 2 1 .  

[ 5 ]   Moore,  J .   ( 1 9 9 2 )   ,  " I m p l e m e n t a t i o n ,  C o n t r a c t s ,  and R e n e g o t i a t i o n  i n  Environments  with Complete I n f o r m a t i o n , "  I n  J  . ‑ J .   L a f f o n t  ( e d . ) ,   Advances i n  Economic T h e o r y :   S i x t h   World C o n g r e s s ,   Volume 

Cambridge, UK: Cambridge U n i v e r s i t y  P r e s s .  c h .   5 ,   1 8 2  ‑2 8 2 .  

[ 6 ]   Neeman, Z .   ( 2 0 0 4 )   ,  "The R e l e v a n c e  o f  P r i v a t e  I n f o r m a t i o n  i n  Mechanism D e s i g n , "  

J o u r n a l  o f  Economic T h e o r y .  1 1 7 :   5 5  ‑7 7 .  

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52

1. 

2

1 5‑28

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( 1 9 9 6 ) ,