ファジィ理論とファジィ微分方程式

ファジィ理論とファジィ微分方程式

Fuzzy Logic and Fuzzy Differential Equations

非線形解析研究室 BV12073 林 愛彩香 指導教員 : 竹内慎吾 准教授

1 ^はじめに

数学において, 「だいたい 2」などと言ったあいまいな表 現は許されない. ところが, そのあいまいさを認めたファジィ 理論というものが存在する . 1965 年にカリフォルニア大学の

Zadeh 教授によって発表された論文 [1] がファジィ理論の始

まりである . ファジィ制御など , その応用例は多岐にわたる . 本研究では, ファジィ微分方程式について論じる.

第 2 節は [1], [2], [3] を, 第 3 節は [2], [4], [5] を参考にした.

2 ファジィ理論

ファジィ集合 U は, 各 ξ ∈ R ⁿ に対し 0 から 1 までの値 をとるメンバーシップ関数 u : R ⁿ → [0, 1] で特徴づけられ る. メンバーシップ関数はファジィ集合を可視化するために 用いられる. メンバーシップ関数の値 u(ξ) は ξ ∈ R ⁿ が U に属する “ 度合い ” を表現し , その値 u(ξ) が 1 に近ければ近 いほど ξ が U のメンバーである可能性が高い. このことか ら , ファジィ集合 U とメンバーシップ関数 u を同一視する . メンバーシップ関数のうち, ある種の単調性と凸性がある ものの集合を E ⁿ とする.

定義 2.1 ( メンバーシップ関数の集合 E ⁿ ) 関数 u が以下 の 4 条件をみたすとき, u は集合 E ⁿ の元であるという.

1. u は R ⁿ から [0, 1] への関数である.

2. u の台 [u] ⁰ := { x ∈ R ⁿ | u(x) > 0 } はコンパクトである.

3. 任意の α ∈ (0, 1] に対して, u の α –カット集合 [u] ^α :=

{ x ∈ R ⁿ | u(x) ≥ α } はコンパクトである .

4. 0 < λ < 1, x, y ∈ R ⁿ に対して, 狭義ファジィ凸である：

u(λx + (1 − λ)y) > min [u(x), u(y)] .

 特に u ∈ E ¹ をファジィ数という .

定義 2.2 (ファジィ集合の二項演算) u, v ∈ E ⁿ に対して (u ± v)(ξ) := sup

ξ

± ξ

=ξ

min [u(ξ ₁ ), v(ξ ₂ )] , (uv)(ξ) := sup

ξ

ξ

=ξ

min [u(ξ ₁ ), v(ξ ₂ )] , (u/v)(ξ) := sup

ξ

/ξ

=ξ

min [u(ξ ₁ ), v(ξ ₂ )] .

定義 2.3 A, B ⊂ R ⁿ について, d ^∗ _H (A, B) := sup

a ∈ A

b inf ∈ B | a − b | ,

d H (A, B) := max { d ^∗ _H (A, B), d ^∗ _H (B, A) } とする. u, v ∈ E ⁿ に対し, 距離を次のように定義する.

d(u, v) := sup { d H ([u] ^α , [v] ^α ) : α ∈ [0, 1] } . 定理 2.1 (E ⁿ , d) は完備距離空間である.

3 ^{ファジィ微分方程式}

3.1 ファジィ関数の微分積分

T ⊂ R を有界閉区間とする.

定義 3.1 F : T → E ⁿ をファジィ関数という .

定義 3.2 (selection) X, Y を任意の集合とし, R(Y ) を Y の閉部分集合族とする. 実数値関数 f : X → Y と 集合値関 数 F : X → R(Y ) \ {∅} について, 任意の x ∈ X に対して f (x) ∈ F (x) のとき, f を F に対する selection という.

定義 3.3 ( ファジィ積分 ) F : T → E ⁿ , F α (t) := [F (t)] ^α と する. F の T における積分 ∫

T F (t) dt ∈ E ⁿ は 各 α で次 のように定義される . 任意の α ∈ (0, 1] に対して ,

[∫

T

F (t) dt ] α

:=

∫

T

F _α (t) dt :=

{∫

T

f(t) dt | f : T → R

Lebesgue

F

selection }

.

図 1: 条件を満たす f : T → R ⁿ のイメージ

定義 3.4 (Hukuhara 微分可能) F : T → E ⁿ が t ₀ ∈ T

で Hukuhara 微分可能であるとは ,

h→0 lim

F (t 0 + h) − F(t 0 )

h = lim

h→0

F (t 0 ) − F (t 0 − h)

h = F ^′ (t 0 ) となる F ^′ (t 0 ) ∈ E ⁿ が存在することである .

定理 3.1 F : T → E ⁿ が連続とする. 任意の t ∈ T で G(t) = ∫ t

a F (s) ds は Hukuhara 微分可能で G ^′ (t) = F (t).

3.2 ファジィ微分方程式の初期値問題

ファジィ関数の Hukuhara 微分に関する方程式, すなわち ファジィ微分方程式の初期値問題

 



F ^′ (t) = G(t, F (t)) (t > t ₀ ), F(t ₀ ) = F ₀

(1)

を考える. ただし, t 0 ≥ 0 とする. ファジィ微分方程式も, 常 微分方程式と同様に解の存在と一意性が示される.

定理 3.2 (解の存在と一意性) G ∈ C [J × E ⁿ , E ⁿ ] , J = [t _o , t ₀ + a], a > 0 とし, G は Lipschitz 条件を満たすと する . すなわち , ある k > 0 が存在して

d(G(t, u), G(t, v)) ≤ kd(u, v) (t ∈ J, u, v ∈ E ⁿ ) とする . このとき , (1) は唯一の解 F をもつ .

 以下, n = 1 のときに限定して話を進める. メンバーシッ プ関数 u ∈ E ¹ の α –カット集合における左端点を u ⁻ _α , 右 端点を u ⁺ _α と書くことにする: [u] ^α = [u ⁻ _α , u ⁺ _α ].

定理 3.3 F ₀ ∈ E ¹ , q > 0, B(F ¯ ₀ , q) = { a ∈ E ¹ : d(F ₀ , a) ≤ q } , R 0 = [0, T ] × B(F ¯ 0 , q) とする . G : R 0 → E ¹ は

[G(t, u)] ^α = [G ⁻ _α (t, u ⁻ _α , u ⁺ _α ), G ⁺ _α (t, u ⁻ _α , u ⁺ _α )], α ∈ [0, 1]

と表せる連続関数とする . G ^± _α (t, x ⁻ _α , x ⁺ _α ) が同等連続で , 第二 変数と第三変数に関して Lipschitz 連続であるとき, すなわ ち, 任意の (t, x), (t, y) ∈ R 0 , α ∈ [0, 1] に対して

| G ^± _α (t, x ⁻ _α , x ⁺ _α ) − G ^± _α (t, y _α ⁻ , y ⁺ _α ) | ≤ L( | x ⁻ _α − y ⁻ _α | + | x ⁺ _α − y ⁺ _α | ) を満たす L > 0 が存在するとき, (1) は次で特徴づけられる：

 



(F _α ⁻ (t)) ^′ = G ⁻ _α (t, F _α ⁻ , F _α ⁺ ), F _α ⁻ (0) = F _0α ⁻ , (F _α ⁺ (t)) ^′ = G ⁺ _α (t, F _α ⁻ , F _α ⁺ ), F _α ⁺ (0) = F _0α ⁺ . 例 3.1 (減衰モデル) λ > 0 とし, ファジィ微分方程式

 



F ^′ (t) = − λF (t), F (0) = F 0

(2)

を考える . 任意の α ∈ [0, 1] に対して ,

 



[F _α ^′− (t), F _α ^{′ +} (t)] = [ − λF _α ⁺ (t), − λF _α ⁻ (t)], [F _α ⁻ (0), F _α ⁺ (0)] = [F _0α ⁻ , F _0α ⁺ ]

となる. したがって, (2) は連立常微分方程式

 



(F _α ⁻ (t)) ^′ = − λF _α ⁺ (t), F _α ⁻ (0) = F _0α ⁻ , (F _α ⁺ (t)) ^′ = − λF _α ⁻ (t), F _α ⁺ (0) = F _0α ⁺ となる. これを解くと,

 



F _α ⁻ (t) = C _α ¹ exp(λt) + C _α ² exp( − λt), F _α ⁺ (t) = − C _α ¹ exp(λt) + C _α ² exp( − λt), (

C _α ¹ = F _0α ⁻ − F _0α ⁺

2 , C _α ² = F _0α ⁻ + F _0α ⁺ 2

) .

を得る. 例えば λ = 0.02 とし, 初期値 F 0 ∈ E ¹ を, F ₀ ⁻ (0) = 0.35, F ₀ ⁺ (0) = 0.55, F ₁ ^± (0) = 0.45 のファジィ数とする. こ のとき , F ₀ ⁻ , F ₀ ⁺ , F ₁ ^± はそれぞれ図 2 のようになる .

図 2: 黄：F ₀ ⁻ , 青：F ₀ ⁺ , 緑：F ₁ ^±

4 ^おわりに

ファジィ微分方程式の利点は, 初期値や係数に確率的要素 を取り入れられる点にある. 例えば, ある現象を数理モデル を用いて予測しようとする . ファジィ微分方程式を用いれば , 50 % の確率で起こりうる現象をとらえることができる. あ いまいさに端を発したファジィ理論は, より現実に忠実なモ デルの構築に寄与するだろう.

参考文献

[1] L.A. Zadeh, Fuzzy Sets, Information and Control 8 (1965), 338–353.

[2] V. Lakshmikantham, R.N. Mohapatra, Theory of Fuzzy Differential Equations and Inclusions, Taylor & Fran- cis, 2003.

[3]

,

,

, 2004.

[4] L.T. Gomes, L.C. Barros, B. Bede, Fuzzy Differential Equa- tions in Various Approaches, Springer, 2015.

[5] B. Bede, Mathematics of Fuzzy Sets and Fuzzy Logic,

Springer Berlin, 2013.