退化放物型方程式に対する有限要素法と有限体積法

退化放物型方程式に対する有限要素法と有限体積法

齊藤 宣一

(

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ΩをR^d (d= 2,3)の有界領域，f をR^{で定義された}f(0) = 0を満たす非減少関数とする．

そして，退化放物型方程式





u_t−∆f(u) = 0 in Ω×(0, T),

u= 0 on ∂Ω×(0, T), u|t=0=u₀(x) on Ω

(1)

の(弱)解を数値的に計算するための離散化手法を考えたい．

この方程式は，f(u) = u^m (m > 1)のとき多孔性媒質を通過する流体の問題，f(u) = u^m (0 < m <1) のときfast diffusion 問題，f(u) = max{u−1,0} −max{0,−u}^のとき2 相 Stefan問題の記述に現れる．

方程式(1)を解析的にあつかうための一つの便利な枠組みに，V =L¹(Ω)における非線形半 群理論([2])がある．議論の要点は，非線形作用素−Av =−Lf(v)，D(A) ={v ∈V |f(v)∈ D(L)}^が，m-dissipativeであること，すなわち，

R(I+λA) =V, kv−vˆk₁≤ kv−vˆ+λAv−λAˆvk₁ (v,vˆ∈D(A); λ >0), (2) を満たすことを示すことにある([1])．ただし，k · kp=k · kL^p(Ω)，また，Lは，−∆のL¹にお ける表現Lv=−∆v，D(L) ={v∈W₀^1,1(Ω)|Lv∈V}^{を表している．}

講演者は，以前，鈴木貴先生，水谷明先生との共同研究で，この解析的性質を再現するような 集中質量型の有限要素法(空間変数のみ離散化)の提案と，その安定性解析と収束解析を行った

([5])．しかし，特に，収束解析の際に，f の狭義単調増加性を仮定したり，さらに，Ωの形状に

関してもかなりの制限する必要があった．

一方で，有限体積法で方程式(1)を離散化すると，非線形半群理論の立場からも自然であり，

また，収束解析の際にも，不自然な仮定が不要となる．本講演では，この非線形半群理論の立場 から，有限要素法と有限体積法の比較を行いたい．

なお，有限体積法は，様々な時間離散化手法とも相性が良い．特に，赤木剛朗氏(神戸大学)の アイデアに基づき解析的な成果を計算手法に取り入れることで，fast diffusion問題の解の消滅 現象をうまく再現できることがわかったので，数値計算結果とともに報告したい．

以下では，参照の便宜を考えて，有限体積法を導入しておく．簡単のため，Ω⊂R^{2を多角形} 領域とする．Λを添字集合(有限個の自然数)として，Dh ={Di}i∈Λを次を満たす凸多角形の 集合とする：

(A1) Ω =∪{D_i|i∈Λ}.

(A2) i6=jなら，任意のD_iとD_jは，辺全体σ_ijを共有するか，頂点を共有するか，共有点を 持たないかのいずれかのみが起こる．

1

(A3) 各Diには点Pi∈Diが付随しており，次を満たす：j6=iに対して，Pi6∈Dj，また，Di

とD_jが辺全体σ_ij を共有するとき，P_iとP_jを結ぶ線分はσ_ijを含む直線と直交する．

(A4) 境界に隣接するDiに対しては，Pi∈∂Ω.

各 Di を control volume，Dh を admissible meshe と 呼 ぶ ([3], [4])．た だ し ，h = max{diam (Di) | i ∈ Λ} は 離 散 化 の パ ラ メ ー タ で あ る ．さ ら に ，Λi = {j ∈ Λ | D_i とD_j が辺σ_ij を共有}^，∂Λ ={i∈Λ|∂D_i の一辺が∂Ω上にある}^，Λ = Λ\∂Λとおく．

ψiをDiの特性関数として，区分的定数関数の空間

Xh= span{ψi}i∈Λ={vh∈L²(Ω)|vh|D_i ≡Const. (i∈Λ)}, Vh={vh∈Xh|vh(Pi) = 0 (i∈∂Λ)}.

を考える．以下では，vh∈Xhとi∈Λに対して，vi=vh(Pi)と書く．

このとき，方程式(1)に対する半離散有限体積近似は次のようになる:

















uh∈C¹([0, T];Vh), m_id

dtu_i(t) = ∑

j∈Λ_i

γ_ij[f(u_j(t))−f(u_i(t))] (i∈Λ, t∈(0, T)),

u_i(0) =u_0,i≡ 1 mi

∫

D_i

u₀(x)dx (i∈∂Λ),

(3)

ただし，

mi= the area ofDi; γij= the transmissibility =mij/dij; m_ij= the length of σ_ij; d_ij= the distance fromP_i toP_j. さらに，非線形作用素Ah:Vh→Vhを

(Ahvh)(Pi) =− 1 mi

∑

j∈Λi

γij[f(vj)−f(vi)] (i∈Λ)

と定義すると，(3)は次のように書ける：

d

dtuh(t) +Ahuh(t) = 0 (0< t < T), uh(0) =u0,h. (4)

参考文献

[1] H. Brezis and W. Strauss,J. Math. Soc. Japan 25565–590 (1973).

[2] M. G. Crandall and T. Liggett,Amer. J. Math.93265–293 (1971).

[3] R. Eymard, T. Gallou¨et and R. Herbin, “Finite Volume Methods,” inHandbook Numer.

Anal.VII, Elsevier, 2000, 713–1020.

[4] P. Knabner and L. Angermann, “Numerical Methods for Elliptic and Parabolic Partial Differential Equations,” Springer, 2003.

[5] A. Mizutani, N. Saito and T. Suzuki,ESAIM: Math. Modell. Numer. Anal.39755–780 (2005).

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