∫ 振幅変調波の雑音解析

振幅変調波の雑音解析

振幅変調の受信機入力時のＳＮ比と受信機出力ＳＮ比について考察する。被変調信号 f

( ) t ^は

H

H

W

W

−

の周波数帯域に帯域制限されているものとする。以下では各種振幅変調波について考 察する。

1. 同期検波

1.1.

DSB 信号

DSB

変調信号 f

( ) t = f

( ) t cos ω

t が与えられているものとする。ここで、

+ BPF X LPF

( ) ^{t f} ( ) ^{t t}

f

=

cos ω

S

N

S

N

t

ω cos

2 N0

雑音、ＰＳＤ

ω

入力信号電力

入力雑音電力

出力雑音電力 出力信号電力 受信機

ω ω

ω

−

W

2

W 2

１

図１ ＤＳＢ信号伝送系

まず、入力信号電力 S

^{と入力雑音電力} N

を求める。

( ) t f ( ) t t f ( ) t f

S

2 cos = 1

=

= ω

π ω π

π

ω ω

0 0

0

2

2 1 2

2

2 1 W N

N W N d

N

i W

H c

H c

=

=

= ∫

ＬＰＦ通過後の情報信号は、 f ( ) t ω t f ( ) t ω t 1 f ( ) t 1 f ( ) t cos 2 ω t cos

cos =

= + より 1 f ( ) t

ω ω

ω

−

W

2

W 2

2 N0

c

ω

c

ω ω

c

− ω

− 2 2 ω

2 4 1 N₀ 2

4 1 N₀

2 2 1N₀

π

π 2 4

2 2 1 2

1

H

W W N

N =

LPFでカット LPFでカット

ＰＳＤは１／４

図２ ダウンコンバート後のベースバンド雑音のＰＳＤについて

すなわち、 S

f

( ) t 4

= 1 、

π 4

N

N

= W

となる。

以上より、出力ＳＮ比と入力ＳＮ比の比は次式となる。

( )

( ) ²

2 1

4 4

1 /

/

0 2

0 2

=

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

N t W f

N t W f N

S N S

H s

H s

i DSB i

o

o

π

π

1.2.

SSB 信号

つぎに、ＳＳＢ変調信号 ^f

( ) ^{t f}

( ) ^t

ω

^{t f}

( ) ^t

ω

^t

+ ^

=

が与えられた場合に、受信機への入力

ＳＮ比と同期検波後の出力ＳＮ比を求める。ここで、 ^f

( ) ^t

^

は被変調信号 ^f

( ) ^t のヒルベルト変換

を表す。

+ BPF X LPF

( ) ^{t f} ( ) ^{t t f} ( ) ^{t t}

f

=

^cos ω

+

^sin ω

S

N

S

N

t

ω cos

2

N

雑音、ＰＳＤ

ω

入力信号電力

入力雑音電力

出力雑音電力 出力信号電力 受信機

ω ω

ω

−

W

W

１

図３ ＳＳＢ信号伝送系

まず、入力信号電力 S

^{と入力雑音電力} N

を求める。

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) t f ( ) t f

t t

f t t t

f t f t t

f

t t

f t t

f t f S

s s

c s

c c s

s c s

c s

c s

c i

2 2

2

^ 2 2 ^

2

^ 2 2

2 2 1

sin sin

cos 2

cos

sin cos

=

=

+ +

=

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

=

ω ω

ω ω

ω ω

π ω π

π

ω

ω

2 2

1 2

2

2 1

W N

N W N d

N

c

=

=

= ∫

ＬＰＦ通過後の情報信号は、

1

f

( ) t

^

は ^f

( ) ^t にヒルベルト変換を施したものである。すなわち、 f

( ) t

^

は ^f

( ) ^t にエネルギー伝 達関数が１のフィルタを通した信号であるため、 f

( ) t

^ 2

は f

( ) t と等しい。

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( t t ) f ( ) t t

f

t t

f t t

f

t t

f t

f t t

f

c s

c s

c c s

c s

c c

s c s

c c

ω ω

ω ω ω

ω ω

ω ω

2 2 sin

2 1 cos 2 1

1

sin cos cos

cos sin

cos cos

^ 2 ^

^

+ +

=

+

=

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

より f

( ) t 2

1 となる。一方、復調・ＬＰＦ通過後の雑音のＰＳＤは、下図のように求められる。

ω ω

ω

− W

2

N

c

ω

c

ω ω

c

− ω

− 2 2 ω

2 4 1

N

4 1

N

2 4 1

N

π

π 2 8

2 4 1 2

1 _{0 0 H}

H

W W N

N =

LPFでカット LPFでカット

W

ＰＳＤは１／４

図４ ＳＳＢ信号をダウンコンバートした後のベースバンド雑音のＰＳＤ

すなわち、 S

f

( ) t 4

= 1 、

π 8

N

N

= W

となる。

以上より、出力ＳＮ比と入力ＳＮ比の比は次式となる。

( )

( ) ^{2 1}

8 4

1 /

/

0 2

0 2

=

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

N t W f

N t W f N

S N S

H s

H s

i SSB i

o

o

π

π

1.3.

同期検波の入力ＳＮ比と出力ＳＮ比の比に関する考察

i DSB i

o o

N S

N

S ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ /

/ が２であるということは、入力のＳＮ比を１とすれば、出力のＳＮ比はその２倍が

得られることを意味する。一方、

i SSB i

o o

N S

N

S ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ /

/ が１であるということは、入力のＳＮ比と出力の

ＳＮ比とは等しいことを意味する。すなわち、雑音に対する耐性という観点からはＤＳＢが優れ

る。これは、ＤＳＢでは同一の情報を２倍の帯域で伝送しているためである。

2. 包絡線検波

つぎに搬送波成分をもつＡＭ波の包絡線検波の場合について同様の考察を進める。包絡線検波の 受信機入力時のＳＮ比と受信機出力ＳＮ比について考察する。被変調信号 f

( ) t ^は

W

W

^の 周波数帯域に帯域制限されているものとする。

2.1.

準備

AM

変調信号 f

( ) t = [ A

+ f

( ) t ] cos ω

t が与えられているものとする。

+ BPF

S

N

S

N

2

N

雑音、ＰＳＤ

ω

入力信号電力

帯域制限雑音の時間軸表現

出力雑音電力 出力信号電力 受信機

ω ω

ω

−

W

2

W 2

１

( ) ^t [ ^{A f} ( ) ^t ] ^t

f

=

+

cos ω

包絡線検波

( ) t n ( ) t t n ( ) t t n

=

cos ω

+

sin ω

図５ 搬送波成分を持つＡＭ波の雑音解析

まず、入力信号電力 S

^{と入力雑音電力} N

を求める。

( ) ^t ( ^{A t f} ( ) ^{t t} ) ^{A f} ( ) ^t

f

S

2 1 2

cos 1

cos + = +

=

= ω ω ・・・(1)

π ω π

π

ω ω

0 0

0

2

2 1 2

2

2 1 W N

N W N d

N

i W

H c

H c

=

=

= ∫

・・・(2)

つぎに包絡線検波器へ入力される信号について考える。帯域制限された雑音は、一般に

( ) t n ( ) t t n ( ) t t

n

=

cos ω

+

sin ω

・・・(3) で与えられる。したがって、包絡線検波器に入力される信号は、

( ) t n ( ) t [ A f ( ) t ] t n ( ) t t n ( ) t t f

+

=

+

cos ω

+

cos ω

+

sin ω

( ) ( )

[ A

+ f

t + n

t ] cos ω

t + n

( ) t sin ω

t

= ・・・(4)

となる。このような信号が包絡線検波器に入力されたときにその出力はどうなるのか考えてみよ う。

2.2.

包絡線（ Envelope ）とは

包絡線検波器の出力信号について導く前に、包絡線(Envelop)を改めて定義しておく。

通信方式 Ｈ１７－＃６ 13

包絡線

( )

[

( )

]

図６ 包絡線の定義

上 図 の

波 の 包 絡 線 は ^A

^f

( ) ^t と す べ き で あ る こ と は 容 易 に 理 解 さ れ よ う 。 同 様 に

( ) t t

X cos ω

の包絡線は ^X ( ) ^t と定義される。では、

( ) t t X ( ) t t

X

cos ω

+

sin ω

・・・(5)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) _⎪⎭

⎪ ⎬

⎫

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧

+ + + +

=

+

t t

X t X

t t X

t X t X

t t X

X t X

t t

X t t

X

c s

c s c

s c

c s

c

c s

c c

ω ω

ω ω

sin cos

sin cos

2 2

2 2

2

2

・・・(6)

ここで、以下の θ ( ) t を定義すると、

( )

( )

( )

( )

( )

図７ 変調信号位相角の定義

( ) ( )

( ) t X ( ) t { ( ) t t ( ) t t }

X

t t

X t t

X

c c

s c

c s

c c

ω θ

ω θ

ω ω

sin sin

cos cos

sin cos

2

2

+ +

=

+

( ) t X ( ) t ( t ( ) t )

X

+

ω

− θ

=

cos

・・・(7)

となる。位相 ω

t は位相 θ ( ) t にくらべて急激に増大し、位相 θ ( ) t は位相 ω

t にくらべてほぼ一定と みなせる。したがって、 X

( ) t cos ω

t + X

( ) t sin ω

t の包絡線 e ( ) t は、

( ) t X ( ) t X ( ) t

e =

+

・・・(8) と定義することが妥当であろう。

2.3.

AM 変調波の包絡線検波出力信号

(4)式ならびに(8)式よりAM

波の包絡線 ^e ( ) ^{t は、下図の} θ ( ) ^t を用いると、

( ) t f A

( ) t

( ) t e θ

( ) t n

( ) t n

図８ 帯域制限雑音位相角の定義

( ) ( ) ( )

( ) t t n t f t A

e

θ cos

+

= +

・・・(9)

で与えられる。ここで、 ( ) ( )

( ) ( )

⎜⎜⎝

⎛

+

= ⁻ +

t n t f A

t t n

c s c 1 s

θ

^である。 A

+ f

( ) t + n

( ) t >> n

( ) t ^のと

き θ ( ) t

^{となり、さらに} θ ( ) t

^のとき、

θ ( ) t

なので、結局、(9)式は、

( ) t A f ( ) t n ( ) t

e ≈

+

+

・・・(10)

とみなせる。包絡線検波器では、直流成分をカットするので、結局、包絡線検波器の出力信号は、

( ) t f ( ) t n ( ) t

e ≈

+

・・・(11) で与えられる。

2.4.

包絡線検波出力 SN 比

(11)式より、包絡線検波器の出力点における信号電力ならびに雑音電力は、

( ) π

2

W N

t n

N

=

=

・・・(13) となる。

以上より、出力ＳＮ比と入力ＳＮ比の比は次式となる。

( ) ( )

( ) ( ) ²

2 2

1 2

/ 1 /

2 2

2

0 2

2

0 2

_

+ ≤

=

⎭ ⎬

⎫

⎩ ⎨

⎧ +

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

t f A

t f N

t W f A

N t W f N

S N S

s c

s

H s

c

H s

OD EnvelopDEM i AM

i o

o

π

π

・・・(14)

搬送波の電力を大きくすればするほど復調器入力

比に対する出力

比は低くなる。