平面波の伝播
音波
空気中で場所によって圧力差があると、圧力の大きいところから小さいところへ向かう力が働いて空気 が動きだす。空気が移動すると、それによって密度が変化して圧力が変わる。このような作用が空気中を 伝わっていくのが音波の伝播である。x方向に伝播する音波を考えよう。位置
x,
時刻t
での空気の圧力(平均圧力からのずれ)
をu,
空気の流速(粒子速度)
をv
とする。微少な幅dx
の領域に注目する。圧力勾 配∂u/∂x
があると、この領域の左端と右端の圧力差(∂u/∂x)dx
によってここにある空気層が力を受ける が、向きは反対である。空気の平均密度をρ
とすると、この空気層の単位面積当たりの質量はρdx.
力を 質量で割れば空気の加速度が得られ、α= 1/ρ
とすると、∂v
∂t = − α ∂u
∂x (1)
一方、流速の勾配
∂v/∂x
があると、この領域の左端と右端の速度差(∂v/∂x)dx
によって空気量が変化し、圧力変化が起こる。これは、正の比例定数
β
を使って次のようにあらわせる。∂u
∂t = − β ∂v
∂x (2)
上の２式から
v
を消去すると、次の２階の偏微分方程式が得られる(
波動方程式)。
∂
2∂t
2u = αβ ∂
2∂x
2u
しかし、ここでは、上の方の１階の連立偏微分方程式を使って波の伝播を導いてみる。
γ
を定数として、u+ γv
の時間変化率を式(1), (2)
から計算してみよう。∂
∂t (u + γv) = − αγ ∂
∂x (u + β
αγ v) (3)
ここで、γ
= √
β/α,
もしくはγ = − √
β/α
とすれば、左辺と右辺の被微分関数が同じになる。そこで、U = 1
2 [u + ( √
β/α)v], V = 1
2 [u − ( √
β/α)v] (4)
として
(係数 1/2
は任意)、それらに式(3)
をあてはめると、次のように、UとV
は独立になる。( ∂
∂t + √ αβ ∂
∂x )
U = 0,
( ∂
∂t − √ αβ ∂
∂x )
V = 0 (5)
独立変数
t, x
を次のように変換してX ,Y
で置き換えるとさらに簡単になる。t = 1
2 (X + Y ), x =
√ αβ
2 (X − Y ) (6)
たとえば、Y を固定して
X
をdX
だけ変化させると、tとx
はそれぞれdt =
12dX , dx =
√αβ
2
dX
だけ 変化し、それらによるU
の変化はdU =
∂ U∂tdt +
∂ U∂xdx =
12(
∂ U∂t
+ √ αβ
∂ U∂x)
dX
となるが、(5)によって これはゼロになる。Y によるV
の変化についても同様である。よって、∂U
∂X = 0, ∂V
∂Y = 0
この式より、U は
Y
だけの関数であり、V はX
だけの関数であることになる。U = U ( Y )
, V = V ( X )
(7)
1
式
(4)
および式(6)
を解くと、u = U ( t − x
√ αβ ) + V (
t + x
√ αβ
) (8a)
v =
√ α β U (
t − x
√ αβ ) −
√ α β V (
t + x
√ αβ
) (8b)
ここで、U,
V
は1
変数の任意関数である。uとv
をまとめると(
u v )
= (
√ 1 α/β
) U (
t − x
√ αβ ) +
( 1
− √ α/β
) V (
t + x
√ αβ
) (9)
となって、２つの項があることがわかる。第
1
項はx
の正の向きに速さv
p= √
αβ =
√ β
ρ (10)
で進む波であり、第
2
項は同じ速さでx
の負の向きに進む波である。それぞれの向きの進行波では、v成 分とu
成分の比は決まっていて、±√
α/β
である。進行波の| v |
に対する| u |
の比Z = √
β/α = v
pρ (11)
は特性音響インピーダンスという。
x
の正の向きの進行波だけがあるとしよう。流速が右向き(v > 0)
のところでは、圧力と密度が大きい ために右向きの大きい運動量密度があり、流速が左向き(v < 0)
のところでは、圧力と密度が小さいため に左向きの小さい運動量密度があるので、全体としては右向きの運動量があることになる。そのため、音 波が壁にぶつかると壁を進行方向に押す力がはたらく。また、流体が音波を吸収する場合は、音響流とい う流れが生じ、おまけに、ドップラー効果で音波の周波数が下がる。ただし、これらの効果は、圧力変化と粒子速度の積に比例する２次の効果であって、弱い音波では起こ りにくい。
平面波電磁波
真空中の電磁波でも、電場
E
と磁場H
が座標x
と時間t
のみに依存すると考えると、上の空気中の音 波の場合と同様の扱い方が適用できる。音波での圧力と粒子速度の関係が、電磁波では、電場と磁場の関 係に変わり、Faradayの電磁誘導の法則とAmp` ere-Maxwell
の法則から出発する。X
∆z
∆y
dx dx Y
Z
図のように、X-Y平面上の四角形ループを考える。X方向の幅
dx
は小さいが、Y方向の幅∆y
は大きく てもよい。このループを+Z方向に貫く磁束は、µ0H
Zdx ∆y
であるから、HZ が時間変化すると、ループ 中に誘導起電力− µ
0∂ HZ∂t
dx ∆y
が生じる。これはループを１周するときの電位低下に等しい。座標x
での2
電場の
Y
成分をE
Yとすると、x+ dx
での電場のY
成分はE
Y+
∂ E∂xYdx
となるから、ループの左辺の電位 低下が− E
Y∆y
であるのに対して、ループの右辺の電位低下は(E
Y+
∂ E∂xYdx)∆y
となる。電場はY
には依 存しないとしたから、ループの上辺と下辺の電位低下はちょうど打ち消しあう。したがって、ループ１周 では∂ E∂xYdx ∆y
となる。よって、∂H
Z∂t = − 1 µ
0∂E
Y∂x (12)
Z-X
平面にもX
方向の幅dx
とZ
方向の高さ∆z
を持つループを考え、このループを貫く変移電流が作 る磁場の計算をしてみる。変移電流密度のY
成分はε
0∂ E∂tY だから、ループを+Y方向に貫く変移電流はε
0∂ EY
∂t
dx∆z.
これは磁場をループに沿って足しあわせたものに等しい。ただし、経路の向きを左辺では+Z方向、右辺では-Z方向になるようにとる。上と同様に考えると、
∂E
Y∂t = − 1 ε
0∂H
Y∂x (13)
音波での計算結果を式
(12), (13)
に適用すると、電磁波の速度はc =
√ 1
ε
0µ
0(14)
右向き進行波の
E
YとH
Zの比は、Z = E
yH
z=
√ µ
0ε
0= cµ
0(15)
電磁波の場合は、これを真空のインピーダンスと呼ぶ。単位は電気抵抗の単位と同じ
Ω (オーム)
である。このように、EYは
H
Zとのみ関係している。X軸のまわりに座標軸を９０度回転して同じ関係を適用す れば、− E
ZとH
Yの関係が得られ、右向き進行波では、Z = − E
ZH
Y(16)
となる。EXとH
Xは電磁波に関与しないから無視する。EもH
も波の進行方向に垂直である。また、式(15), (16)
より、EとH
の内積はE · H = E
YH
Y+ E
ZH
Z= (Z H
Z)H
Y+ ( − Z H
Y)H
Z= 0
となるから、Eと
H
も直交している。向きに関しては、右向き進行波では、電場の向き、磁場の向き、お よび+X方向が右手系をなしている。導体の壁に電磁波が入射すると、電場
E
の向きに電流が流れる。この電流は磁場H
と垂直だから、導 体に磁気力がはたらく。この力の向きは常に同じで、電磁波が進む向きと同じであることがすぐにわかる。したがって、電磁波も運動量を持っていて、音波のように壁に力をおよぼす。これは輻射圧と呼んでいる。
