日本機械学会［No.187-1］北陸信越支部 第 55 期総会・講演会 講演論文集 [2018.3.3 福井県福井市]
［No.187-1］日本機械学会北陸信越支部 第 55 期総会・講演会 講演論文集 [2018.3.3 福井県福井市]
G99999
磁気記録装置内における磁気ポテンシャルの有限要素解析
（３次元静磁場解析のための辺要素有限要素法基礎研究）
鋤柄 あかね*1，倉橋 貴彦*2
Investigation on distribution of the magnetic flux density around magnetic recording device based on the finite element method
(The edge element formulation for three-dimensional magnetic field analysis) Akane SUKIGARA*1, Takahiko KURAHASHI*2
*1*2 Nagaoka University of Technology, Deptment of Mechanical Engineering Kamitomioka 1603-1, Nagaoka-shi, Niigata, 160-0016 Japan
Magnetic recording system require to increase capacity of memory, record at high speed and reduce power consumption. In recent years, a microscopic magnet is used on magnetic disc and accurate position control of magnetic head is performed in magnetic recording system, which make it possible to increase capacity of memory and record at high speed. Power consumption is changed by electric current. In fact, control of electric current is related to control of magnetic flux, which affect capability of recording. However, researches on magnetic flux focused on control of electric current have not been carried out sufficiently. In the analysis of magnetic field based on the finite element method, it is necessary to consider continuity of the magnetic flux density of normal direction on the interface among element. The node element does not satisfy this condition, however the edge element contain it. In this paper, the edge element is introduced based on mathematical theory, and basic example is carried out.
Key Words : Magnetic flux density, Magnetic vector potential, Edge element, Shape function vector, Finite element method
1. 緒 言
近年，磁気記録装置の記録容量増加，記録再生の高速化，消費電力の低減が要求される．特定の領域に対し少 ない電流で磁化反転可能な磁束密度を発生させるための磁場解析および制御が重要である．磁気ベクトルポテン シャルによる有限要素法を用いた磁場解析が有効であるが，要素の節点に磁気ベクトルポテンシャルを設定する 有限要素法では電磁気の特性を十分に表現できないという問題がある．これは，透磁率の異なる材料界面におい て，節点要素ではベクトルポテンシャルの法線方向成分の不連続性が満たされないためである．この問題を解決 する手法として，辺要素を用いた有限要素法がある．本研究では，辺要素有限要素法の定式化と簡易モデルの静 磁場解析結果を示し，辺要素適用の妥当性を検証する．
2. 辺要素有限要素法に基づく定式化(1)
2・1 支配方程式
マクスウェル方程式を式（1）～（4）に示す．
*1 学生員，長岡技術科学大学（〒940-2188 新潟県長岡市上富岡町1603-1）
*2 正員，長岡技術科学大学
E-mail: [email protected]
t
D
J
H （1）
t
B
E （2）
0
B （3）
ρ
D （4）
ここで，B：磁束密度[T]，E：電界の強さ[V/m]，H：磁界の強さ[A/m]，J：電流密度[A/m2]，D：電束密度[C/m2]，
ρ：電荷密度[C/m3]である．構成方程式を式（5）～（7）に示す．
H
Bμ （5）
E
Dε （6）
E
Jσ （7）
ここで，μ：透磁率[H/m]，ε：誘電率[F/m]，σ：導電率[s/m]である．静磁界解析においてはマクスウェル方程式（1）
の時間微分項を無視する．
J H
（8）
式（9）で定義される磁気ベクトルポテンシャルA [Wb/m]を導入する．
A
B （9）
式（5）に式（9）を適用する．
A B
B
H
1 （10）
ここで，ν：磁気抵抗率[m/H]（透磁率の逆数）である．領域に流入する外部電流を強制電流と呼び，J0とおく．
式（8）に適用すると，静磁場の支配方程式が得られる．
) J0
A H
（ （11）
両辺重み関数ベクトルwとの内積をとり，要素領域Ωeで積分する．
e
ew （ A)d w J0d （12）
ここで，ベクトル公式（13）を用いる．
) ( ) ( )
( a a b a b
b （13）
左辺に式（13）とガウスの発散定理を適用すると，式（14）が得られる．Γeは要素境界，nは要素境界の外向き 単位法線ベクトルである．
e e
e( A) ( w)d [( A) w] nd w J0d （14）
2・2 辺要素の導入
本研究では四面体一次要素を用いる．節点要素における要素内の値は，体積座標ηを形状関数として節点ごと の値を次のように補間する．Nは全節点数である．
N n
n nA
A （15）
式（15）の勾配をとる．
N n
n nA
A （16）
∇ηnについて考える．体積座標の性質を用いて 式（17）のように変形する．
N m
m n n m n
N m
m n
N m
m
n ( ) ( ) ( )
（17）
ここで，節点mからnに向かう辺e={m,n}についての形状関数ベクトルNeとして式（18）のように定義する．
m n n m
e
N （18）
ベクトルポテンシャルAを，式（18）の形状関数ベクトルNeを基底として張られるベクトル空間として定義し 直す．
E e
e eA N
A （19）
ここで，Eは全辺数，AeはベクトルポテンシャルAの辺ごとの値である．これを辺要素有限要素法で用いるベ クトルポテンシャルAの近似式とする．Fig. 1に形状関数ベクトルNeの分布を示す．形状関数自身が成分を持 つ．四面体一次要素の6辺の内，x, y, z軸に沿った3辺について示す．添え字は辺番号および方向を示す．
2・4 支配方程式の離散化
ガラーキン法を適用し離散化を行う．重み関数として，式（19）を用いる．Ae*は任意である．
E e
e eA* N
w （20）
式（19），（20）を支配方程式（17）に代入する．
e
e e e e
e
e e e
e
e A A d A 0d
6
1
* 6
1 6
1
*) ( ( ) ) ( )
) (
( N N N J
（21）
重み関数の任意性より{A*e}を消去し，辺要素有限要素方程式（22）が得られる．要素体積をVeとする．
0 0 0
6 2 1
6 6
2 6
1 6
6 2
2 2
1 2
6 1
2 1
1 1
) (
) (
) (
4 )
( ) (
) (
) (
) ( ) (
) (
) (
) ( ) (
) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
J J J
N N
N N
N N
N N
N N
N N
N N
N N
N N
m n
m n
m n e e
V
A A A V
（22）
（a） N1x （b） N1y （c） N1z
（a） N3x （b） N3y （c） N3z
（a） N4x （b） N4y （c） N4z
Fig. 1 Distribution of shape function vector component.
3. 数値解析例
辺要素適用方法の確認として，文献(2)の簡易モデルに対し解析を行った．四角柱の下面から上面へ 1[T]の磁束 密度が発生しているとする．電流を与えないため電流密度J0 = 0とする．Table 1に計算条件を示す．また，Fig. 2 に解析モデルおよび境界条件を示す．矢印は辺の向きを示しており，未知辺には？を表記した．Fig. 3 に解析結 果を示す．文献(2)の例題と解が一致しており，辺要素適用の妥当性を確認することができた．
Table 1 Computational conditions.
Number of nodes 8
Number of elements 6
Number of edges 19
Magnetic permeability ratio μ 1
Fig. 2 Finite element mesh and boundary condition Fig. 3 Computational result.
for magnetic vector potential. (Distribution of magnetic flux density.)
4. 結 語
本研究では辺要素を導入した静磁界解析を行った．形状関数ベクトルの分布を示し，辺要素における要素内補 間方法を明らかにした．また，辺要素有限要素法の定式化を示し，文献(2)の簡易モデルに対し解析を行った．辺 要素適用方法の妥当性を確認した．今後，外部電流を与えた場合の磁界解析を行うことを予定している．
謝 辞
数値実験を行うにあたり，九州大学情報基盤研究開発センターの高性能演算サーバーシステムを利用させて頂 いた．ここに謝意を表す．
文 献 (1) 本間利久，五十嵐一，川口秀樹，数値電磁気学，森北出版（2002）． (2) 河瀬順洋，伊藤昭吉，電気・電子機器の実用解析，森北出版（1997）．
