∫ ∫ ∫∫ 表面応力と表面弾性定数を考慮した異方性弾性体の接触・凝着解析

Contact and Adheison analysis for anisotropic materials considering surface stresses and elasticity

正　古口　日出男（長岡技科大）

○　西　尚城（長岡技科大院）

Naoki NISHI, Graduate School of Nagaoka University of Technology, 1603-1 Kamitomiokamachi, Nagaoka, Niigata Hideo KOGUCHI, Nagaoka University of Technology, 1603-1 Kamitomiokamachi, Nagaoka, Niigata Key Words : Contact Mechanics, Anisotropy, Surface Green Function, Surface Stress, Surface Elasticity

　　

u A

B F

x x x i e

i

ip px

1

, ,

2 3

4

2

1

^* 3

( ) ⁼

× ( + )

−

−∞

∞

−∞

∞

∫

π ∫ ρ

ρ

⁻⁻¹

fe

^{−1(η1 1x+η2 2x)}

d d η η

_{1 2}

···(4)

と表される．このとき

　　

こ こ で

Q

ik

=C

ijks

n

j

n

s，

R

ik

=C

ijks

n

j

m

s，

T

ik

=C

ijks

m

j

m

s，

m=[0,0,1]

^T，

n=[n

1

,n

2

,0]=[cos q ,sin q ,0]

^Tまた，

f:

集中荷重ベクトル，

C

ijkl

:

弾 性定数，

t

mb

:

表面応力，

d

mbgl

:

表面弾性定数である．

3. 凝着解析

　3.1　凝着解析への表面グリーン関数の応用　一般に，単 位集中荷重に対する表面の応答を

K(x

1

,x

2

)

で表すと，圧力

p(x

1

,x

2

)

に対する応答変位

w(x

1

,x

2

)

は次式で求めることができ る．

　　

w x x (

1

,

2

) ⁼ ∫

_−∞^∞∞

∫

_−∞^∞

p ( ^{ξ ξ}

1

,

2

) K x (

1

^{− ξ}

1

, x

2

^{− ξ}

2

) d d ^{ξ ξ}

1 2

^····(5)

この式を

Fourier

変換すると，畳み込み積分はそれぞれの関

数を

Fourier

変換した関数の積で表される．すなわち，

　　

w ˆ , ( η η

_{1 2}

) ⁼ p ˆ , ( η η

_{1 2}

) ( K ˆ η η

₁

,

₂

) ···(6)

と書くことができる．ここでは，

K(x

1

,x

2

)=u

3

(x

1

,x

2

,h)

を用い ている．

表面応力と表面弾性定数を考慮した異方性弾性体の接触・凝着解析

Spherical

x z

R

h

_ij

Deformation surface

g

_ij

Fig.1 Model for adheison analysis

　1. 緒　　　　　言

　近年，マイクロマシン，ナノマシンなどのナノテクノロ ジーの研究が多く行われている．マクロサイズの構造物で は無視できても，マイクロ・ナノのサイズになると無視で きなくなる力がある．その代表的な力がファンデルワール ス力などの分子間力である．接触していなくても物体が接 近することで二面間に発生する引力により凝着が起こる．

微小マシンでは容易に凝着が発生し，マシンの動作に影響 することから，凝着を防止するための工夫が必要となって いる．分子間力は物体の二面間の距離の非線形関数で与え られ，吸着力と反発力からなる分子間力は 2 物体間の距離 が原子間隔に近くなると大きく変化する．物体の表面近傍 では表面応力や表面弾性定数が表面の力学的応答に影響を 与え，荷重負荷点近傍では結晶異方性の影響も表れると考 えられる．そこで筆者の一人⁽¹⁾は表面応力および表面弾性定 数を考慮した異方性表面グリーン関数を導出し，接触解析 における押し込み深さに対する表面応力および表面弾性定 数と圧子形状の影響を調べた⁽²⁾．

　本研究では，表面応力および表面弾性定数を考慮した異 方性弾性体の凝着解析を行い，表面応力および表面弾性定 数の影響と材料異方性の影響について調べた．

2. 　異方性表面グリーン関数

　2.1　表面応力を考慮した半無限体の境界条件　表面応力 を考慮した境界条件を次式に示す．

　　

σ

_iα

v

_i

− τ

_{αβ β,}

= t

_α

···(1a)

　　

σ ν τ κ ν

i3 i

−

µβ µβ 3

= t

3

···(1b)

式

(1a)

は表面に対する接平面上，式

(1b)

は法線方向の境界 条件である．ここで，

t

ab

:

表面応力 ,

s

ij

:

バルク応力，

k

ab

:

表 面の曲率テンソル，

v

i

:

表面の法線ベクトルである．また，

a

，

b

，

m

のギリシャ文字は

1

，

2

( 表面内に対応 )，

i

，

j

のアルファ

ベットは

1

，

2

，

3

の値をとる．

　2.2　異方性表面グリーン関数　異方性弾性体の平衡方程 式を変位

u

iで表すと次式となる．

　　

C u

ijkl k lj,

= 0 ···(2) x

3

=0

の点に集中荷重

f

が作用しているとき，以下のように 示される．ここで

(x

1

, x

2

, x

3

) = (x,y,z)

である．

　　

t ( x x

1

, ,

2

0 ) ⁼ f ^δ ( ) ( ) x

1

^δ x

2

···(3)

境界条件を考慮して平衡方程式を解いて変位

u

^{を表すと，}

本研究では，物体表面間の相互作用力として分子間力を考 え，

Greenwood

^{(3)と同様に}

Lennard-Jones

^{型ポテンシャル} を用いて凝着現象の解析を行う．この型のポテンシャルを 用いた場合，任意の

2

^{点間の距離}

g

ijにおける圧力

p(x

₁

,x

₂

)

は次式で与えられる．

　　p x x

gij gij

( , )1 2

8 3

= 3∆ 









−



γ 

ε

ε ε





















9

···

(7)

ここで，

e

は平衡原子間距離である．

　3.2　凝着解析の離散化解法　

2L

0

× 2L

0の領域を微小領域 に分け，中心座標を

( x

i

,y

j

)

とする．二面間の間隔

g

ijは，微 小領域の変位

w

ijを用いて次式から求めることができる．

　　

g

ij

= h

ij

− − δ w

ij

···(8)

ここで，

h

ijは初期二面間の間隔で，

d

は押し込み深さである．

4. 　解析条件及び結果

　4.1　解析条件　本研究では異方性弾性体に対して，球状 突起を有する表面との凝着解析を行う．解析モデルは，突 起部の半径は

R=50nm

^{，平衡原子間距離}

0.2nm

^{，初期二面} 間距離

1.9nm

とした．解析対象は異方性弾性体の

Au[110]

で あ る．

Au[110]

の 弾 性 定 数 は

C

11

=219.9

^，

^C

¹²

=136.9

^，

C

13

=163.8

^，

^C

³³

=192.9

^，

^C

⁴⁴

=41.5

^，

^C

⁶⁶

=14.6[GPa]

^{で あ る．}

表面応力および表面弾性定数は分子動力学法（

FS

ポテン シャル）を用いて算出した．表面応力は

σ

xx

=1.057[N/m] ^, σ

yy

=1.125[N/m]

表 面 弾 性 定 数 は

d

11

=7.4421

^，

^d

¹²

=-3.3238 ^, d

66

=2.3067[N/m]

である．また，表面グリーン関数を用い た影響係数の計算では，分割数

1024×1024

^{，格子点間隔}

0.1nm

^{，集中荷重}

⁽ f

¹

^, f

²

^, f

³

⁾ =(0,0,1.0)[nN]

^，

^z

^{方向深さを}

z=- 0.14418[nm]

^{( 格子定数の}

1/2

^{) としている．}

　なお，材料異方性の比較対象として，等方性弾性体の 表 面

Green

^{関 数 (}

Boussinesq

の 解 ) を 用 い た 解 析 も 併 せ て 行 う． 解 析 に 用 い る 材 料 特 性 は，

Au

( 横 弾 性 係 数

G =27.89[GPa]

^{，ポアソン比}

^ν =0.4237

^{）である．}

　4.2 解析結果および考察　等方性弾性体に対する凝着解 析の結果と異方性弾性体に対する凝着解析の結果を図

2

に 示す．表面力は式

(7)

を数値積分した次式で求めた．

　　

p x x p x x dA

g

ij

( , )

1 2

( , )

1 2

8

∑ ⁼ ∫

Ω

⁼ 3 ^{∆ } _ ^ _ ^ _ ^

γ ε

ε  − 

 





 







 







 

 ∫

3 9

ε

g dA

ij Ω

···(9)

ここで，

W

^{は解析領域を示し，}

A

は解析領域の面積とする．

これより，表面力が最大となる表面間距離は，等方性，異 方性ともに平衡原子間距離付近であり，突起部が表面に近 づくにともない突起先端が反発力を受ける．この時点にお ける突起先端の圧力

p(x

₁

,x

₂

)|

x1=0,x2=0が最大凝着力であると考 えられる．また，表面応力および表面弾性定数が凝着力に 与える影響は，ほとんど無いようである．次に，等方性弾 性体における平衡原子間距離付近の圧力分布を図

3

^に示す．

この結果より，圧力が

4.89nN/nm

^{2に達すると反発力が強} くなり図のように表面に近い部分から凝着部が拡がると考 えられる．

5.　結　　　　言

　本研究では，ナノマシンなどの微小構造物において発生 する構造物同士の凝着現象を解明するために，球－平面間 の凝着を解析対象として，二物体間に分子間力を導入し凝 着解析を行った．その結果，

Au[110]

^{面では，表面応力お} よび表面弾性定数は，最大凝着力に対して影響が小さいこ とがわかった . また，表面力は等方性，異方性とも同じよ うな値を示すことが確認できた．

文　　　献

(1) Koguchi,H.,Surface green function with surface stresses and surface elasticity using Stroh's formalism,Journal of Applied Mech anics,Vol.75,No.6(2008),pp.104-115.

(2) Koguchi,H.,Hyashi,T.,Contact analysis for Anisotropic material considering surface stresses and surface elasticity,Transactions of the Japan Society of Mechanical Engineers,Ser.A,Vol.75,No.756(2 009),pp.1029-1036.

(3) Greenwood, J.A.,Adhesion of elastic spheres,Procedings of the Royal Society London A,Vol.453(1997), pp.1277-1297.

Fig.2 Relationship between surface force and distance 300

250 200 150 100 50 0 Surface force p ( x

1

, x

2

) , nN

2.0 1.5

1.0 0.5

0.0

Distance h

_ij

,nm

Consider surface stress and elasticity Neither surface stress nor elasticity Isotropic (Boussinesq)

6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 Pressure p ( x

1

, x

2

) , nN/nm

2

-8 -4 0 4 8

x

₂

-coordinate , nm

Distance h

_ij

[nm]

0.26 0.24 0.22 0.20 0.18 0.16 0.14

Fig.3 Relationship between pressure and distance in isotropic

material (x

₁

-coordinate : fixed)