解説編

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推論基礎リテラシー

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解説編

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解説授業でも説明した通り, 出題した問題のうち多くは与えられた主張 (命題) の否定につい て考えるものであった. P という何らかの主張に対して, 「P でない」という主張を P の否定 と呼び, 論理学ではこれを¬P と書く. P の否定の否定 (つまり ¬¬P ) は P と同じ意味の主張で あると一般的には考えられている. 1 _{これを P の二重否定と呼ぶ.} 問題 1. 週末のある日, お父さんは「明日晴れたら遊園地に連れて行く」と子供達に約束した。次に挙げる翌日の状況のうち, お父さんが約束を破ったと言えるものには×を , 約束を破っているわけではないものには○をつけよ. (仮定が偽の命題と結果が真の命題) (3) 翌日の天気が雨であり, 遊園地に連れて行った. ○ 解説お父さんが言った約束は晴れだった場合のみに関するものであり, 雨の場合については何も約束していないのだから, 雨の日に何を行おうと文句を言われる筋合いはない. したがって約束を破ったことにはならない. 似たような状況として, 「試験で 59 点以下の者は不合格とする」という約束を先生がしたとしよう. その後, 試験の点数が 60 点だった者を不合格にしても先生は約束を破ったことにはならない. このような想定外の悲劇を避けるためにも, 60 点以上を取れば合格となることも含めて約束を交わすべきである.2 注意「A ならば B」という事実を認めた時に, 直ちに「(A でない) ならば (B でない)3_」という事実まで認めたことにはならない. これは誤解しがちな点の一つである. 例えば「8 の倍数ならば 2 の倍数である」という主張は正しいものの, これを認めたからといって「8 の倍数でなければ 2 の倍数ではない」という主張まで認められるわけではない (反例として, 6 は 8 の倍数ではないが 2 の倍数である). (5) 翌日, 遊園地だけでなく水族館にも連れて行った. ○ 解説「○○だったら遊園地に行く」という約束においては, ○○にどんな文章が入っていようが遊園地に行きさえすれば約束は守られたことになる. これと同様の理由で, 「A ならば B」というタイプの主張において, 仮定 A がどんな内容の文であろうと結論 B が正しいならば, 「A ならば B」は正しいことが分かる. 一方で, 今度は仮定が間違っている命題「X ならば Y」を考えよう (仮定である X が間違っているとする). この命題とその対偶「(Y でない) ならば (X でない)」は同じ意味になる (元の命題とその対偶が同じ意味になる理由は問題 4.(2) の解説を見よ). さて, いま X は正しくないとしていたから, 「X でない」は正しい. ゆえに先の議論から, 結論の正しい命題「(Y でない) ならば (X でない)」は正しい. したがって, これと同じ意味の命題である「X ならば Y」も正しい. 以上のことから, 仮定が間違っている命題は, 結論がいかなる文であろうと正しいことが分かる.4 問題 2. 道路交通法では, 交差点の側端または道路の曲がり角から 5 メートル以内の部分に車両を駐停車することを禁じている (第四十四条). 次に挙げる思考が論理的に正しければ○を, 間違っていれば×をつけよ . (否定論理和) 1_{排中律や背理法を認めない立場もあり (直観論理), この立場では, 主張 P と}_{¬¬P の同値性は認められない.} 2_{もちろん, 約束を迫るのは生徒であって, 先生ではない. 約束を増やしたことろで先生は何も得しないのだから.} 3_{一般に, 「A ならば B」という主張 P に対して「(A でない) ならば (B でない)」という主張を P の裏と言う} のであった. 4_{このことは当日の天気が雨だった場合, 「明日晴れたなら△△する」という約束において, △△がどのような} 文であろうと約束破りにならないということに対応している. 1

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(4) 半径 5 メートル以内に交差点または道路の曲がり角がなければ駐車してもよい. (半径 5 メートル以内に交差点がないか, または半径 5 メートル以内に道路の曲がり角がなければ駐車してもよい. ) × 解説「(A でない) または (B でない)」という文を, しばしば口語では「(A でない) かつ (B でない)」という意味に誤解して解釈することがある点に注意したい. おそらく上の問題を間違った人の大半の理由は, この誤解によるものではなかろうか. 5 さて, 上の文章は交差点と曲がり角のうち, どちらか一方が無ければ駐車しても良いと主張している. つまり, 付近に交差点さえなければ, 曲がり角に駐車しても問題ないというわけである. さらに注意して文章を読むと, 交差点と曲がり角にだけさえ注意すれば, 別の駐車禁止理由 (例えばそもそも駐車禁止区域に指定されていたなど) は無視して駐車できるとも解釈できる. いずれにせよ, このような暴挙に出れば警察の厄介になるのは明白であろう.6 問題 3. 次に予想される A 君のハトの飼育状況のうち, 必ず成立しているものには○を, 絶対にありえないものには×を , どちらともいえないものには△をつけよ. (鳩の巣の原理) 解説答えを△とする場合は, 肯定的な可能性と否定的な可能性のいずれも具体例を挙げて説明できる必要がある. 「具体例がありえそうだ」といった曖昧な言い訳では誰もが納得するとは限らない. ソクラテス以外の人間が存在する理由や (問題 4.(4)), このクラスの受講者に男性がいること (問題 5.(4)) を授業中にしつこく尋ねたのも, こうした理由によるのである. 問題 4. 次の 3 つの主張を認めた場合, これらの論理的帰結として肯定されるものには○を, 否定されるものには×を , いずれとも言えないものには△を記せ. (三段論法と対偶) ソクラテスは人間である. 人間はみな死ぬ. 人間の親は人間である. (1) ソクラテスは死ぬ. ○ 解説「A ならば B」および「B ならば C」を認めると, 「A ならば C」も認めざるを得ない. この推論規則を三段論法という. 三段論法が論理的に正しい思考かどうかを問うのは哲学の領域であり, 論理学がこの疑問に答えてくれるわけではない. 論理学が答えられるのは, いくつかの論理法則をルール化したときに, どのようなことが言えるかということだけである. 何をもって正しいと思うかという根本原理は他人から与えられるものではなく, 君たち自身が生涯をかけて追求せねばならない. (2) 死なない者は, ソクラテスではない. ○ 解説上の文章は正しい. 何故なら, もし死なない者 X がソクラテスであるとすると, 前問 (1) よりソクラテスは死ぬのであるから, つまり X は死ぬ. これは X が死なない者であったことに矛盾する. 一般に「A ならば B」という命題 P に対して, 「(B でない) ならば (A でない)」という命題を P の対偶と呼ぶ. P の対偶の対偶は「(¬¬A) ならば (¬¬B)」のことであるから, これ は P 自身と同じ意味の命題になる. 命題 P を認めると, その対偶も認めたことになる. その理由は上の例文の正しさの考察と全く同じであるが念のために再度やってみよう. 5_{より分かりやすい具体例を挙げると, 「この中で鉛筆を忘れた人, またはシャープペンを忘れた人は挙手をし} なさい」と試験監督が言ったとき, 彼が意図したのは鉛筆とシャープペンの両方を忘れた人に挙手してもらうことであったと考えるのは自然である. よって, 彼の意図を正確に述べる文言は「鉛筆を忘れ, かつシャーペンも忘れた者は挙手をせよ」である. 個人的な意思疎通の範囲では相手の意図さえ掴めれば問題は生じないものの, 公共の場におけるこうした発言は誤解を生む恐れがあるので注意すること. なお, 英語には “nor” という便利な単語がある. 6_{実は屁理屈を言うと, 駐車禁止区域が全くない世界 (もちろん交差点も曲がり角も存在しない) における話であ} れば, 問題 2.(4) の主張は一概にも間違っているとは言えなくなる. 2

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P を認めるとその対偶も認められることを確かめるために, まず「B でない」を仮定する. この仮定の下で「A でない」を導きたいわけであるが, これを背理法で示そう. もし「A でない」ということが言えないとすれば, A が言えることになる. いま命題 P, すなわち「A ならば B」を認めていたから, これに先ほどの A が言えたことを合わせると, B が得られる. これは, 冒頭で「B でない」と仮定していたことに反する. 以上より, 「A でない」ということが言えないと仮定すると矛盾が生じることから, 「A でない」という結論が得られなければならない. こうして P の対偶も認められることが分かった. 逆に, P の対偶を認めてみよう. すると, 上の議論で示したように, その対偶 (つまり P) が認められることになる. このことは, P とその対偶が同じ意味を表していることを示唆している. P を認めればその対偶も認めねばならないし, 逆に P の対偶を認めれば P も認めねばならないということである. (5) 人間の親がみな死ぬとは限らない. 何故なら, イエスの父なる神は不滅だからだ. × (6) アダムとイブの親が神であるとすれば, 神も死ぬ. ○ 解説三段論法により, 親は死ぬことになる. (5) のように, 何故なら∼以降の文でどれだけ美辞麗句を並びたてたところで, 論理的結論がくつがえることはない. なお, 神に死んで欲しくないと思う者は, 今回の議論において前提としていた主張に問題があることを指摘することで反論すればよい. 例えば「いかなる人間の親も人間である」という主張は進化論の観点から見ると間違っているのでは?と反論するか, あるいは「神は人間を創造はしたが, 親ではない」というように「親」の定義の問題にすり替えればよいだろう. 問題 5. 次に挙げる主張が正しいかどうか考えよ. 正しければ○をつけるのみでよい. 間違っている場合は×を記し , さらにその理由も答えよ. (命題の否定) (1) 高経大経済学部の１年生が２年生になるためには, 「経済・経営のための数学」を履修するか, または「論文の読み方・書き方」を履修しなければならない. × 理由. 上の二つの授業を履修していない語学履修者も 2 年生になれるから. (2) 葡萄 (ぶどう) は果物であり, かつ皮の色が紫である. × 理由. 皮が紫でない葡萄もある。水菓子のマスカット7_{や白ワイン用のシャルドネなど。} (3) 4 の倍数かつ 6 の倍数ならば 24 の倍数である. × 理由. 4 の倍数かつ 6 の倍数だからといって 24 の倍数とは限らない. 例として 12 や 36 が 挙げられる. (4) 「経済・経営のための数学」を受講している学生はすべて女性である. × 理由. 男性の受講者もいる. (5) アルコールの入っていない酒がある. × 理由. アルコールが入っていない飲み物は酒とは呼べないから. ○ 理由. 甘酒やノンアルコール・ビールなどアルコールの入っていないお酒もある. 解説 (5) を見れば分かるように, 言葉の定義次第で結論は異なってしまう (ここでは「酒」の定義によるのであった). このことは, 論理のすり替えや詭弁などでもたびたび目にすることである. こうした状況を踏まえ, 論理の基礎を学ぶ際は, 一つ一つの言葉の指す意味に誤解が少ない数学の話題を用いることが多い. 7_{マスカットの皮の色は品種により様々で, 紫色のものもある. マスカットと言えば, 日本ではマスカット・オ} ブ・アレキサンドリアのことを指すことが多く, この品種の皮はご存じの通り白である. 3

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最後に, これまでの例題を参考に, 命題の否定について総復習しておこう. 以下では「意味が同じ文である」ということを同値と呼んでいる. また, 論理記号を用いた書き方も括弧内に併記 した (これは覚える必要はない). 省略のため, 「P でない」を¬P と書いた. • P ならば Q (P ⇒ Q) 「P ⇒ Q」という主張を退けるためには, P であるにもかかわらず Q でないということ を示せばよい. したがって, 「P かつ¬Q」が「P ⇒ Q」の否定と同値な命題になる. 例問題 1. で約束を破ったことになるのは, 晴れであるにもかかわらず遊園地に行かなかった場合のみである. また問題 5.(3) では 24 の倍数でない反例を探したのであった. • P かつ Q (P ∧ Q) P と Q のどちらも成立していると主張しているのであるから, これを退けるためには, P か Q の少なくともいずれか一方が間違っていることを示せばよい. よって, 「¬P または ¬Q)」が「P かつ Q」の否定と同値である. 例問題 4.(2) では, 「紫かつ果物」という主張を否定するために, 紫でないものを挙げたのであった. 果物でないことまで示す必要はないことに注意せよ. • P または Q (P ∨ Q) P と Q のうち, 少なくともどちらかは成立しているという主張である (一方が成立し, も う一方が成立しないという意味ではない). この主張を退けるためにはどちらも不成立であることを示せばよいので, 「¬P かつ ¬Q」が「P または Q」の否定と同値である. 例問題 2. において駐車違反にならないためには, 交差点と曲がり角の両方とも付近にないことが必要であった. また, 問題 5.(1) の文に反論するために, 「数学を履修した人または論文の授業を履修した人」という条件を満たさない人を探す必要があった. これは数学も論文の授業もいずれも履修していない人を探すことに相当した. • すべてのx ∈ X についてP (x)である (「∀x ∈ X, P (x)」あるいは「∀x, (x ∈ X ⇒ P (x))」) 上の主張を否定するには, P (x) が成立しないような x ∈ X の例を探してくればよい. つ まり, 「P (x) を満たさない x∈ X が存在する」が上の否定文に相当する. 例 X を受講者全体の集合, P (x) を「x は女性である」という文にすれば問題 5.(4) と同じ 意味の文になる. これに反論するために, 女性でない X の元 x の存在を示したのであった. • P (x)となるようなx ∈ X が存在する (「∃x ∈ X, P (x)」あるいは「∃x, ((x ∈ X)∧P (x))」) 上の主張を否定するには, P (x) を満たすような x_{∈ X が存在しないことを言えばよい. す} なわち, 「いかなる x∈ X についても, P (x) が成立しない」が上の否定文になる. 例問題 5.(5) は X を酒全体の集合, P (x) を「x にアルコールが入っていない」とした文. 以上をまとめると次のようになる. これらは暗記するのではなく, 相手の主張に反論するにはどうすればよいかを考えることで自然と導き出せるようになろう. 同値であることの記号として, ⇐⇒ を用いた. 否定命題の同値変形 ¬(P ⇒ Q) ⇐⇒ P かつ¬Q ¬(P かつ Q) ⇐⇒ ¬P または¬Q ¬(P または Q) ⇐⇒ ¬P かつ¬Q ¬(すべての x ∈ X について P (x)) ⇐⇒ P (x) を満たさない x ∈ X が存在する ¬(P (x) を満たす x ∈ X が存在する) ⇐⇒ すべての x ∈ X について ¬P (x) ¬(¬P ) ⇐⇒ P 4