九州大学学術情報リポジトリ

九州大学学術情報リポジトリ

Kyushu University Institutional Repository

薄板および偏平シェルの幾何学的・材料的非線形問 題の離散的近似解析に関する研究

森田, 千尋

https://doi.org/10.11501/3119167

出版情報：Kyushu University, 1996, 博士（工学）, 論文博士 バージョン：

権利関係：

4. 1 偏平シェルの弾性曲げ解析 ( 1 ) 序

前章においては， 矩形板の一般的な非線形問題の一解析法を提示したが， 本章に おいては， 偏平シェル構造に拡張適用する。 本節では， その中でも， 最も基礎とな

る偏平シェルの弾性曲げ解析について論じる。

シェル構造は， ライズ辺長比の大きいものについて理論的に発展し， また， ライ ズ辺長比が 大きい方が力学的にも有利であるが， 構造形によっ てはライズ高さの制 約があり， ライズ辺長比を小さ くしなければならない場合もある。 ライ ズ辺長比が 小さいと周 辺の推力も大きくなり， 支持構造を強くする必要があるが， 等分布満載 荷重の荷重条件に限定すれば， 平面板にわずかのライズを持たせて偏平 シェル構造 にすることは力学的に非常に有 利な構造となり， 板に作用する応力は大部分が圧縮 応力状態に なり， 周辺の比較的小さな曲げ応力を処理すればよく， したがって， 平

面板に比べて経済的で， 大スパン構造に適するものと考えられる。

シェル構造は， 主に建築分野 の大スパン構造で多く使われている。 設計例を二，

三， 挙げると愛媛県民体育館のドームを対象とした偏平RCドーム， 大日本イン キ志村工場のE.P.シェル， あるいは， 静岡県駿府会館のH.P.シェルの設計例など がある問。 偏平 RCドームは， 殻の直径50m， 殻厚0.12m， コンクリートの弾性係 数2.1 x 106tflm 2 ， ポアソン比を0とし， 曲率半径を50m，80mの2種類， 境界条件は，

ローラー支持， ピン支持， 固定支持の3種類 で， 自重0.5tflm2の等分布荷重による 解析が行われているo E�P.シェルは， 27mx 22.5mの平面上に， 曲率半径35mの球 殻が架け られたRC構造で， 周辺にアーチを設け， 各隅点聞にタイを設ける4隅点 支持であり， シェル厚は天頂で0.1 2m， 次第に厚さを増して隅点で0.2mとなる変厚 E.P.シェルである。 H.P.シェルは， 1辺の 長さ54m， 中央のライズ6.48m， 殻厚 O.18mとし， 周辺ローラー支持であり， 自重O.5tflm2の等分布荷重による解析が行 われている。

一方， 船舶の分野においては， 船体外板などに偏平シェル構造が広く用いられて いる。 実船にお ける外 板の形 状， 曲 率等の概要 を把握す るために， タンカー (210， OOOton)， ばら積船 (120，OOOton)， 貨物船(12，700ton) の外板352枚の形状， 縦横曲

'-- '--に，

F 10111 = F 10212 = F 10301 = F J0403 = F 105倒=FI0706 = F10807 =FJHXl8 = F)]209 = F11310 = F20ω7=F却908

=F30907

⁼

1， F20Jl3 = F20211 = F20302 =F加405=F加503= F20関6= F21110 =F21309 = F31∞6二μ，

F30102=北x， F30201 = -ky ， F30311 = 2kxy ， F30312 = ky ， F30313二kx，

F30402二F30501=-μ， F30船4=、![) ， F30ω5 = -D， F30704=ーμÐ， F30705 = V，μD，

F30朗3= -1 ， F 30902 =てK， F31∞1 =-μt]( ， F31J08 =寸kx， F31J12 = vLl，

F31113 = -Ll， F31208 =北y， F31212 = -Ll， F312I3 = vLl， F31308 =ー及xy，

F31311 = -L2， [01 =示， 102 =

qy

， [03 =長 other Fkts = [t =

0

率， 数量を調査している報告がある

100)。

その報告によると， 船体外板は極めて、浅い 曲がり形状をしており， 板長さ店向の曲率は極めて小さく， その95%がO.02m-1以 下で， 板幅方向の曲率は95%がO.2m・1以下である。 また， 2重曲率を持つ外板の内，

約75%がE.P.シェルの曲げ形状であり， 約25%がH.P.シェルの形状である。

本節においては， 種々の境界条件， 任意の荷重条件， 曲率および変断面性を有す る偏平シェルの曲げ解法として， 基礎微分方程式の離散解を求め， その離散解に基 づく， 直接的， かっ， 半解析的な一離散解法を提示する。 さらに， 離散的近似解法 の実用性を検証するために， 偏平シェルの弾性曲げ解析を行い， 既往の近似解法に よる数値解 との比較を行うとともに， 任意の曲率および変断面性を持つ偏平シェル の力学的特性を明らかにする。

些 _dX ⁼ _D(1・vL) ^{__j A (Mx} _- ^{- vMv) ， ，}

à8v

₁

1ナ= 且 司 (

My-vMx)

oy

D(1・VL; ) ー

。oX 4aOy

ー

ユ

__

'AÆ

ày

，

àx - D(1・

¹

う

^u.l

xy àw + (Jv

= � ..

批 �

KGh �

àw

"" 1 _

17+ 円 =詰 戸

支 -kxw = が:N x-vNy )

生-

_k v w

⁼

--:!-:iNv - vN r) ày

^{. -J ..} Eh ^，-. J 品/

空竺i竺 今L 山 一 2(1

+

V) ，\r

ày

^，

àx - �、 x

Y"" -

E h

^H

x y

2. 6節と同様に無次元化後， 整理すると次のようにまとめられる。

ぷ(� _{). {F1ts一} ^{à X.ç}

_二

+ F2ts二子+ F3tsX s �

^�

^àXç

^{_ _ _}

^， + ft _{= 0}

;;'1 l à� d η !

( ^t =

l

，2， ^--- ・・・・・・・ ^{，13 )}

( 2 ) 基礎微分方程式とその離散解

向面の x，y方向の曲 率をkx ， ky ， ねじれ 率をkxyとし， 投影形状が矩形であり， 2.

2節で定義されているような偏平な曲面板を 考える。 板厚中央面に対して接線方向の面内 y

変位成分をu ，ν，および垂直方向の変位成分 をwとし， 面内力をNxy ， Ny および Nx， せ ん断力をQy，仏 ， ねじりモーメントをMxy'

x

Fïg.4-1 Shallow Shell and Co-ordinate System.

曲げモーメントをMy ，Mx， たわみ角を(Jy ， (Jxとすれば， Fig.4・1に示すような変 厚偏平シェルを含む一般的な偏平シェルの曲げに関する基礎微分方程式 は， せん断 変形の影響を考慮、した Mindlin理論に基づいて， 次の連立偏微分方程式となる。

àNr àNx

v

て三+で'-_L^- k必+

qx

= 0

(4-1-a)

dX

dy

àNv àNrv

で

:2:.. +

で

2 .kvQ y +qy= 0(4 ・ l-b)

dy

dX _ . a仏 川

71+ぜ+ ^{kxNx +} kyNy + 2kx戸xy+ qz = 0 (叫c)

並 _dX

⁺

弘 _dy

^{之ー仏= 0 (山)}

òMv òMrv

ず

+

云

^よ-Qy=O (山)

(4・1・0 (4-1-g)

(4・1・h) (4・1-i) (4・1-j) (4-1・k) (4-1-1) (4-1-m)

(4・2)

基礎微分方程式(4・2)の偏平シェルの矩形Baseの縦横の等分割線の交点に関する離 散解は， 次式となる。

為iりP剖j戸=

ここに， _{αpijfd ，} bpijgd ，qpij ^: APPENDIX II -(BF参照

(4-3)

( 3 ) 数値解析結果

本解析法による偏平シェルの数値解の収束性および精度を検討するために， 既往 の近似解法による解析結果および解析解との比較を行う。 なお， 数値解析に用いた

-90-

^{ny 咽i}

シェルは， せん断変形の影響を無視できる偏平シェル(h/a = 0.01)であり， 境界条件 はいす"れ も四辺単純支持(ローラー)とし， 曲面に対して垂直な等分布荷重q

(qx = qyニ0 ， qz = q)を満載するものとしている。

はじめに， ライズ高さが極めて低い， 等厚な偏平E.P. (EU伊ltic Paraboloidal)シェル

(a = b

， Y

= 0.3)に関して， 本解析法による数値解の収束性および精度を明らかにす るために， 曲率ピ=0-10 (K.

_\--

_{= kx . -�h �}

_{- -}

_，

_-

_{・y2)= ky}

_J

_{. J � 勾 12(1 ・ y2) ) および横縦方向}

h

^{--，- JI}

の分割数m= n=4，8，12 をパラメータにとり， 断面力および変形の解析を行った。 こ

れらの解析結果をVlasov 39)の解析結果およびBuccoら虫)の有限要素法による解とと もにTable 4・1に示す。 表中， [4-8]はRichardsonの補外公式叫による4分割と8分割 の推定収束値である。 本解析法に基づく断面力および変形の数値解は， 分割数の増

加とともに一様に収束すること， また， 8 - 12程度の比較的粗い分割による解析に おいても十分に実用性のある解が得られている。

(1+α)ho

次に， Fig.4・2に示す ようなシェル厚が変化す

る変厚偏平シェル

I

y=0.3 ，ど=kx

F匂

12(1・y2)=

\ no

ky; 佐 シ _{即_ y2ρ作2}

に示すo ここで取り扱ったシェル厚 は次式で表わさ

Fig.4-2 Shallow Shell with Varying

れ， α=

0.0， 0.2， 0.4 とした。

^Thickness.

仰

yけ) = [ 吋

+

5ι- _0. 5オ)い+川1巾 (ゆO

^s…χ戸s

O勾仇川，Os幻y戸g刊0.5訪均b的)

^μ

本解析手法によれば. 荷重の分布状態やシエル厚， シェル剛度の場所的変化が不 規則で関数表示できない場合でも離散点におけるこれらの諸量が与えら れれば， 諸 量が規則的な場合とまったく同様に解析することができる。

さらに， 比較的ライズ高さが高い場合 (y=0.25 ，ピ= t4Ji 石 ^- y2) = 335) の数値

n 仏

0.4邑 qa

0.2 Tabl e 4-1 Conve r gency of Num e r ical Solutions of Shall ow Shell

with Four S i mply Supported Edges under Uniform Lo ad.

や=b=1， h=001 4 V =03， K. =K 3

h 2V 12(1-vろ=ka ' h ZV12(1-v� )

K .

m

=n = ⁴

^m

=n ^{= 8}

^m

=n = ¹² [4-8]

同asov39) ^BUCC051)

wD 。

0.413 0.408 0.407 0.406 0.406 0.405

qa4 2 0.409 0.404 0.403 0.402 0.402 0.401

。10・ろ

4 0.399 0.392 0.391 0.390 0.390 0.389

6 0.384 0.374 0.373 0.371 0.371 0.370

(

x

=a(2) 8 0.364 0.352 0.352 0.348 0.348 0.347

。I = b(2) 10 0.341 0.326 0.324 0.321 0.321 0.321

Mx 。

0.542 0.492 0.484 0.475 0.479 0.478

qa2 2 0.537 0.486 0.479 0.469 0.473 0.473

(xl0・1) 4 0.532 0.471 0.464 0.454 0.458 0.457

6 0.501 0.448 0.440 0.430 0.434 0.434

か

= a(2) 8 0.472 0.418 0.410 0.400 0.404 0.404

(y = ^{b(2) 10 0.440 0.385 0.377 0.367} 0.371 0.371

Nx 。

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

qa

2 0.135 0.133 0.133 0.132 0.133 0.132

(xl0) 4 0.264 0.259 0.258 0.257 0.258 0.255

6 0.380 0.371 0.369 0.368 0.369 0.365

(

x

= ^a/2) 8 0.481 0.465 0.462 0.460 0.460 0.457

(y = b(2) 10 0.564 0.539 0.535 0.531 0.532 0.529

0.0

-0.2

-0.4

0.06ト

生

_{qa // V\ 、、}^{，一一一一} _ー

〆 - ーー 、、 、、

O帥

ペ /シー一一一ベ\l、、

1. ' . /"� --... 、、、、、 、1

0ω

j / _，、、

^ふ

O.∞ x=a

nu nu nu ζU 凋叫 qL

x=a

一一一一一一一 ^{α=0.0 α}

--

hu 今b

nu tn

(along y=0.5b)

0.03

0.01

-0.01

x=a 0.0∞

0.001

O.∞3

x=a 0.0

-4.0

N.

-6.0

L示

一一ー ^{一一一α=0.4}

Fig.4-3 She aring Force ， Twis ting Moment， Bending Moment， Deßection and Me mbrane Forces of ShaUow She U wi th Varying Thickness.

(a=b=l， ho=0.01a，ν=0.3，

_J(

=10)

x=O.5a まとめると， 次のようになる。

(1)本解析法に基づく解析結果と， 既往の研究結果との比較により， 本解法による 数値解は一様の収束性を持つこと， また分割数m

=

n = 8 -12程度の比較的粗い 分割による解析においても実用性のある解が得られていることなどが確認された。

(2)本解析法によれば， シェル厚やシェル剛度の場所的変化が不規則で、関数表ぷで、

きない場合でも， 偏平シェルの矩形板Bぉcの縦横の等分割線の交点におけるこれ らの諸量 が与えられれば， 諸量が規則的な場合とまったく同様に解析することが できる。

(3) 比較的ライズの高い任意の形状を持つ偏平、ンェルの弾性曲げ解析を行い， 平面 板と比較 を行った結果， ある程度のライズをつけることにより， 曲げモーメント およびたわみが大幅に減少し， 力学的性状に優れていることが確認された。 しか しながら ， 偏平シェルに作用 する応力は大部分が圧縮膜応力状態となるため， 座

屈安定性などの非線形 解析が必要である。

ー0.01

O.∞

0.01

\

\

-0..50

久 AU t A品川『E AU

O.∞

、

0.02

0.04

\冶、

'---'0 '-...

-1.∞

0.03

0.05 。_

_

^{『て〉Plale ー 一一。} _{-1.50 L qa} ^{N" c.品ell}

0側

k

_ム ^E.P.Shdl _i

、 c.品dl

0.001ト

\

。

\

0.002ト ^、ù

\

O.∞3ト

^{\ 。}_'--- O飢)4ト ^wD _qa‘

x=O.5a

て入 _Plate

、、0__ーーo

一一一一一一

^.->- l'ourle ^{- .} ')t:Tlt!S ^{... ・} .)OlurlOn ^{� . 唱n.}

._，

一一一

^一

n

、1〉『J h u m nM u

・ ω

AQ ・

。

町g.4-4 Bending Moment， Membrane Force and De目ection of E.P.SheU，

C.Shell a^nd刊a^tι

(a

=b=

l

，

h==O.Ola， ν=0.25) (E.P.Shell:R，，=Ry=l， C.Shell:R，，==l)

4.

2 偏平シェルの幾何学的非線形解析

( 1

) 序

偏平シェル構造物の座屈安定性に関する問題では， その挙動が初期の安定なつり 合い状態から不安定な経過を経て安定なつり合い状態に移行する， いわゆる飛び移 り現象など を起こす場合があり， このような非線形挙動の解明には， 有限変形に基 づく非線形理論による非線形解析が必要となる。 薄肉シェルの設計では， 座屈問題 の検討が重要であるため， 外圧を受ける球形シェルの場合には， 多くの実験的およ び解析的研 究が行われおり， 簡易算定式も提案されているが， 投影形状が矩形の偏 平シェルの座屈安定性に関しては， 周辺の拘束条件の影響が大きいにも拘わらず，

限られた周辺条件のみの研究が多く， 統一的な研究はなされていない。

本節では， 前節において提示した偏平シェルの弾 性曲げ問題を非線形問題に拡張 適用し， 増分形基礎微分方程式の積分方程式への変換と積分方程式の近似解法の応 用とにより求められる離散解の誘導を行い， それに基づく一離散解法を提示する。

解の精度を明らかにするために， 任意の形状を持つ等厚偏平シェルの断面力および 変形の解析結果を， フーリエ級数解明とともにFig.4-4に示すρ 同図には， E.P.シェ ルI C. (Cylindrical)シェルお よび平板の場合の解析結果も併記している 。 これらの

図より， 曲率kx

_{x - a} =

^{� ，} _' ^ky _"'Y

= _-

_b ^�

⁽

_\...

^{K .} =

_-3お)のE.P 、ンェルおよび曲率kx=

j

^{のC シェル}

に対する数値解の精度は， 本法による解析でも十分である。 また， 平面板と比較す ると， 曲げモーメントおよびたわみが大幅に減少し， この程度のライズ をつけるこ

とにより， 力学的性状に優れていることがわかる。

(4 )

結語

本節においては， 偏平シェル構造の力学的性状を調べるために， 第2章で提示し た離散的近似解法を用いて， 偏平シェルの弾性曲げ解析を行った。 得られた結果を

-

⁹⁴

- ベJny

(w/ho) を0.05とした微小変位増分により計算を進めた。 この 変位増分量は十分収束 した解が得られることを確認している。 また各荷重ステップにおいては収束計算を 行い， 収束判定は断面力および変形の相対誤差を 10-3としている。 なお， 解析結果 に用いた荷重ノfラメータ qおよび変位パラメータWavは， それぞれ次式で表わされ る量である。

q =q

^J

_64EhõH し _L.

[ 2 ] 偏平シェルの対称座屈問題

対称座屈に関しては， χ= 0.5αおよびy = 0.5b の2軸対称性を考慮、して1/4部分を さらに， 離散的近似解法の収束性および精度を明らかにするために， 既往の近似解

法による数値解との比較を行い， 任意の曲率および変断面性を持つ偏平シェルの非 線形挙動特性を明らかにする。 また， 偏平シェルの場合には， 周辺の推力も大きく なり， 周辺の支持条件 の差異により， その力学的特性も大きく 変化してくるものと 考えられる ため， 周辺を弾性拘束支持された偏平シェルの非線形挙動特性も明らか にする。

( 2 ) 数値解析結果

[ 1 ]

偏平シェルの諸元

数値解析例として本論文で用いた偏平シェルは， 弾性係数E = 2.1x106kgf/cm2 • ポアソン比v=0.3 ， 偏平シェルの矩形Baseの辺長α=b = 100cm，ライズ高H=2.5cm とし， 曲面に対して垂直な等分布荷重q(qx = qy = 0 ， qz = q)を満載するものとする。

偏平シェルの曲面形状は， E.P. (Ell伊ticParaholoidal)シェル. C. (のlindrical)シェル およびH.P. (肋perbolicParaboloidal)シェルの3種類とし， また， シェル厚はTable

4-2に示すように ho = 4.0， 3.2， 2.8， 2.4， 2.0， 1.6， 1.2， 1.0cmの8種類としている。 さ らに， E. P.シェル. C.シェルおよびH.P.シェルの場合の記号を， それぞれEl，

Cl， およびH1， と略称することとする。 なお， 境界条件は全て四辺単純支持(ピ ン支持)である。

本数値解析 において， 例えばE.P.シェルの場合には， 曲率.kx = ky = 0.2m-1 ， 曲率 半径Rx=Ry=5.0mであり， (az/ax)250.01，oz/ay)2g0.01，oz/む)(ðz/ðy

)

^s 0.01 とな り1に対して卜分小さい値となる。 また他の論文においても. RX/1叫ん/bが1以上の 場合を偏平シェルとして取り扱っている場合が多く司同， 本解析 例では， RX/1α=Ry!b

= 5.0であるので. 2. 2節で述べた十分に偏平なシェルの適用範囲と考えられる。

数値解析では， 幾何学的非線形挙動を追跡するために， 中央点の無次元たわみ

(4・5)

_w

4吋 brtlth p ，d vJ

(4・6)

対象とした場合の解析を行った。

まず， 本解析法 による数値解の収束性を検討するために. 114部分の横縦方向の分 割数 m= n ⁼ 2，3，4，5 をノfラメータにとり， E5の場合の中央点に関する荷重一たわみ 曲線をFig.4・5に示す。 同図より. 4--5分割で十分収束した解が得られているため，

以後， 解析においては1/4部分の横縦方向の分割数を m=n = 5 とする。

次に， 本解析法による数値解の 精度を明らかにするために， 本法により得られた 等厚偏平 E.P.シェルの荷重ーたわみ曲線を， 既往の解析結果判仰とともにFig.4-6

に示す。 同図の実線は， Leicester による級数 解58)およびRammによる有限要素法に よる解明を示すが， 本法による等厚な偏平シェルの幾何学的非線形解析結果は， 文 献58)，62)の結果とよく一致しているこ

とがわかる。 Fig.4・7には， 典型的 な飛び移り現象を起こ すE5の場合の 代表的な荷重段階(Fig.4・6の点①

~⑦)での， y = 0.5b上の曲げモーメ ント， 面内力およびたわみの分布を示 す。 同図より， 曲げモーメントは， 変 形の増加とともに増大している。 しか しながら， 面内力 Nx，Nyは圧縮力と して増大していくが(点①~④)， そ の後• Nx は全体的に減少していきや

Table 4-2 Description o f Shallow Shell.

El，Cl，Hl E2，C2，H2 E3 E4 E5，C5，H5 E6 E7 E8，C8，H8

H/ho

1

^0.6250 0.7813 ho

(cm)1

^{4.0 3.2}

1.0417 1.2500 1.5625

2.4 2.0 1.6

0.8929 2.8

2.0833 2.5000

1.2 1.0

11::3'‘

』� u E

g

1.0 民、3

ミ也

0.5

E5

ーー一一一-

^m=n=2

一一一一一-

^m=n=3

一一一一一-

^m=n=4 m=n=5

0.0 1.0 2.0 3.0

wc/h Fig.4-5 Convergency of Load-DeOection Curves

for E.P.SheU.

がては引張力が生じ， Nyは中央部分が 減少していくような分布となる。

つづいて， 等厚な偏平C. シェルおよ

び偏平H.P. シェル の荷重ーたわみ曲線 を， Leicesterによる級数解別とともにそ れぞれ Fig.4-8およびFig.4・9に示す。

この場合にも本法による等厚な偏平シェ ルの 幾何学的非線形解 析結果は， 文献 58)の結果とよく一致している。

さらに， シェル厚が変化 する変厚偏平E.P.シェルについての幾何学的非線形解析 を行った。 ここで取り扱ったシェルは， 前節で取り扱ったもの と同様であり， シェ ル厚は式(4・4)で表わされる。

Fig.4-10 およびFig.4・11は， 変厚偏平E.P.シェルに関して， αを・0.2""'0.2ま で変化さ せた場合の荷重ーたわみ曲線である。 なお， ここではLeicester58)の表現と 同様に， 荷重 の極大値をSnap-Through荷重， 極小値をSnap-Back荷重と称すること とするo Fig.4・10は， E5の場合の解析結果であり， αを変化させる と， 飛び移り 前までおよび飛び移り以降の挙動にはほとんど変化はないが， αを大きくするにし

I�・

ど_匂ι

E

�

^1.0

民、

ミ也

d:f ，. J

0.5

Leic白ter5句andRomm叫

。 企 ロ Present Method

nu nu

0.5

Deflection Parameter Wav Fïg.4-6 Load-Deflection Curv回 for E.P.Shell.

t。‘

匂廷

�

^1.0

0:;

、

3

内司1.5

s S

t:s

弘世

3

310

。 4‘

H2 ロH5

Hl 4‘

。 ロ

4‘ ロ

。 島 ロ

o .. 。

。 ‘ _ロロ

。 ‘

。 ..

a‘

0.5

0.5

。 _'‘ ロ

a A a-a・

G

A G

A-

ロ ロ

C8

-80

0.6

Leicester 58) Leic白ter宮町

。 企 D x 丹esent Method 0. 8 0.0

0.0 0.2 0.4

Deflection Parameter Waν Deflect臼n Parameter Wav

Fig.4-8 Load-Deßection Curves for C.SheU. 日g.4-9 Load-Deßection Curves for H.P.SheU.

x/a

たがって ， Snap-Through荷重， Snap-Back荷重も大きくなる。 シェル厚がE5

^(ho

⁼ 2.0cm) より厚い場合には， 同様な挙動を示す。 しかしながら， Fig.4・11に示すよ うに シェル厚が薄いE7

(ho

:;: l.2cm) の場合には， αを大きくするにしたがって，

Snap-Through荷重は大きくなり， 逆にSnap-Back荷重は小さくなる。

さら に， シ ェル厚およびαを変化させた場合の変厚偏平E.P.シェルに関して，

Snap-Through荷重， およびSnap-Back荷重をTable 4・3に示す。 括弧内の数値は，

3

I�司1.0

、sL cu s

t:s k

弘也

、3t:s

』司0

l守1.0

』、a 匂s

q

K m

13 3

Fig.4-7 Bending Moment， Membrane Forces and DeOection of E.P.Shell.

H/ho=1.25 (E5) H/ho=2 .083 (E7)

1.0 1.5

0.5 0.5

0.0 0.5

AU AU

Deflect臼n Parameter wav Fig.4-10 Load-De目ection Curves for E.P.Shell

with Varying Thickness (E5).

Deflect臼n Parameter WaV Fig.4-1l Load-Deßection Curves for E.P.Shell

with Varying Thickn回s(Eη.

-98- -99-

y

= 0.5bの1軸対称性を考慮、して1;2部分を対象とした場合の解析を行った。 非対称 初期不整として，X = 0.5αに関して逆対称な微小荷重を 座屈挙動を追跡するために，

解析においては1;2部分の横縦方向の分割数は，

十

初期の段階で与えている。 なお，

分に収束した解が得られる分割数m = 10， n = 5とした。

シェル(E8)の荷重ーたわみ曲線であ

点①において破線の非対称座 途中，

非対称座屈を起こす偏平E.P.

る。 同図の実線は対称座屈挙動の場合であり，

Fig.4・12は，

Load Parameter q

Snap-Through Snap-Back

α=0.2 α=0.1 α=0.0 α=-0.1 α=-0.2 α=0.2 α=0.1 α=0.0 α=-0.1 α=-0.2

El . - ( - ) . . ( - ) .

E2 0.603(0.600) 0.581 0.558 . 0.602(0.594) 0.578 0.555

E4 0.608 0.590 0.571(0.570) 0.550 0.527 0.461 0.436 0.414(0.4∞) 0.397 0.383

E5

_{0.631 0.613} 0.593(0.594) 0.570 0.544 0.332 0.313 0.299(0.289) 0.290 0.286 E7 0.849 0.812 0.765(0.772) 0.711 0.651 0.087 0.094 0.104(0.114) 0.116 0.131

Buckli ng Lo ad of E.P.Shell.

Table 4-3

Leicester

58)による荷重 代表的な荷重段階(

屈挙動に移行 して いる。 分岐座屈荷重値は語= 0.816であり，

Fig.4・13 ，こは，

値証= 0.801との差は2%以内である。 また，

本解法に よ

Leicester

58)による等厚 な 偏平シェル(α= 0.0)の場合の座屈荷重であり，

y = 0.5b

Fig.4・12の点①~⑥ )での，

面内力およびたわ 上の曲げモーメント，

同図より曲げモーメン みの分布を示す。

対称な分 20

たわみの分布は，

ト， 面内力，

、 -hT-Jrdd二ラダ7._、 0

~ヘペ- 〆x/a

、己_f' 12a2 ••

Eho4 ..一 100

る結果はこれらの値とほぼ一致している。

偏平

シェル

_{の非対称座屈問題}

[3 ]

50

シェル

_厚が

薄 偏平シェルに関しては，

対称、座屈荷重値よりも小さ

。

い場合には，

布(点①)から非対称な分布に移り(点 やがてまた文摘、な分布(点⑥)

。

②~⑤)

I

Nxの分布は， はじめ圧 となっていく。

引張力も生じ やがてまた圧縮力と 縮力であり(点①~③)

，

るが(点④，⑤) ，

非対称座屈を起こ -50

い座屈荷重値を示す，

非対称座屈挙 ここでは，

す場合がある。

。

シェル厚が薄

動を明らかにするために，

-100

L、場合についての幾何学的非線形解析を 行っ た。 非対 称座屈問 題に おいては，

Symmetrical 白nfigurati

o勺タ

_⑥

〆〆も

∞

)

r

‘ イど

②③

_{� V}

，，��安z

\也即企�

一

Cω0".拘Un叫s勾SJn抑3ア抑P榊明mme俳削か肘i凶. Cωω al l H/ho=2.50 (C81 11::r0.6

s

ミ可

弘也

、

3

^{0 4}

的配可。nu

。

-100

t』.1 『

Eデ

1 0.2

， /ゾ， _/ I

今② がよ、J "

\③ 。

、、、 ④ J

、。

、、 f戸、

Unsymmetrical 、、三U

Configuration.s U 、 品 J

、 lö) ^，

、0"

H/ho=2.50 (E8) Symmetrical

Configuration.s

/

①

、、屯 'u 』

2 �

_1.0

K "=' I::S

3

0.5

Fig.4-15 Unsymmetrical Bending Moment，

Membrane Forc回and DeOection ofC.SheU.

0.5 1.0

Def1ect肌Parameter^Waν Fig.4-14 Symmetrical and UnsymmetricaJ

Defor皿ations of C.SheU.

nu nU

Fig.4-13 Unsymmetrical Bending Moment，

Membrane Forc白and DeOection of E.P.Shell.

2.0 Def1ection Parameter ^W.即 日g.4-12 Symmetrical and Unsymmetrical

Deformations of E.P.Shell.

0.0 1.0

1.5

K L= _Do(l・y2) a 3 kh (4・ 7) Kr= 」 - Kr (44)

向(1 - y2)

はじめに， 回転剛度ノfラメータ瓦を瓦=0とし(単純支持)， 水千変位剛度ノぐラ メータKhを種々変化させた場合の， 偏平E.P.シェルについての幾何学的非線形解 析を行った。 Fig.4-18は， E5の場合の荷重一たわみ曲線であり， そのときのSnap­

Through， Snap-Back荷重曲線をFig.4-19に示すo Kh = 0の場合はちょうど飛び 移り座屈が生じる剛度であり， 水平変位剛度を増加させるにしたがって， 典型的な 飛び移り現象を生じ てし、く。 またI Fig.4・19より，ι=103�105にかけて座屈街重 は大きく変化している。 Fig.4・20およびFig.4-21は， それぞれE3およびE7の場 なっている(点⑥)。

さらに. Fig.4・14には， 非対称座屈を起こす偏平C.シェル(C8)の荷重ーたわみ 曲線を示している。 分岐座屈荷重値は福=0.284であり， ^Leicester 58)による荷重値 雇=0.280との差は， これも2%以内である。 またI Fig.4・15には， 代表的な荷重 段階(Fig.4・14の点①~ ⑥)での， y = 0.5b上の曲げモーメント， 面内力および たわみの分布を示す。 偏平C.シェルの場合には， 分岐後は， 非対称変形 から対称変 形に戻ることはなく(点⑥)I 非対称変形が進行してし、く。 また， 曲げモーメント，

面内力Nyおよびたわみの分布は， 各荷重段階において大きく変化しているがI Nx の分布はさほど変化は見られない。 Nyの分布は， はじめ圧縮力であったのが(点

①，②) ， 引張力へと大きく変化している(点③~⑥)。

[ 4 ]

周辺を弾性拘束支持された偏平シェルの幾何学的非線形問題

偏平シェルの場合には， 周辺の推力も大きくなり， 周辺の支持条件の差異により，

その力学的特性も大きく変化してくるものと考えられるため， Fig.4・16に示すよ うな， 周辺を水平変位剛度Khと回転剛度Krにより， 水平方向変位と回転の両方に 対して弾性拘束支持された偏干シェルの非線形挙動特牲を明らかにする 。 ここで用 いられる， x = 0.5αおよびy = 0.5bの2軸対称性を持つ偏平シェルのI 1/4部分を対 象とした積分定数および境界条件をFig.4・17に示す。

数値解析では， ν4部分の横縦方向の分割数をm =n = 5 として解4斤を行った。 なお，

解析結果に用いた水平変位剛度パラメータ品および回転剛度パラメータ瓦は， そ れぞれ次式で表わされる量である。

I�宮崎

b U

�

1.0

K E

A "tS

品百

K，=O

ーーーー. Ã\ =1<P 一一 Ã\=lO‘

一一- KA=lOS

0.5

0.5 1.0

Deflection Paramaa 凡 Fig.4-18 Load-DeOectioo Curves for E.P.SheU但司.

'1;)­

A

、a

�

1.0 丸S

、包

ミ

K，=O H/h=O.893 (E3)

-ーーー. KA =1<P

一一 KA=lぴ

- - - KA=lOS

ハぴ 物 品 一 一 品 v一 904 一 040 4 一 Mm必一 心広同一 併協仏凶ル

一 仏 一件一

作一 一 偽物

'vd一

一 M 吻41昨

J4u出

ト

q 品川町向 ハ山一一-

tJf 叶」

園

。晶一 一 MA4 VN一

。 Qx

zιθ

Nxy Nx=[(J，u

Fig.4-16 Shallow Shell with Elastically Supported.

Fig.4-17 IntegraJ Constants and Boundary Conditions.

0.0 0.5 1.0

Deflection Paramder 凡 Fig.4-20 Load-DeOectioo Curves for E.P.SheU低3).

-102- -103-

11;)­

b u

s h

忍0.6

、司

3

102 10" 1()6 108

HorizontaJ Stiffness Paramder ^KA

Fig.4-19 Buckliog Load with Horizootal Constraiot

bhUMUSKNHKE3 1.0

K，=O H/h=2.083 (E7)

ーーーー KA=lcP 一一・ KA=lcr - - - KA=lOS

0.5

0.0 0.5

Deflection Paramde:r ^w酎

Fig.4-21 Load-DeOection Curves for E.P.SheU (Eη.

K，，=∞

K，=l00

旦言 _、

、 \ 、 ....](，=1∞

、、 ー、、 。

。、 、、

、、、 o 10 o 5 5

1 � 史

. じ

、εA ザ

、、

q、 、、 。\^、

，� _...曹^、_、 Q ‘、 、、

i.

^{、。、 、、 ­}

、、 o 1.

←→均一Throug

h

^{....0.... _ 、o 1}

0---0 Snap-Back 、、、 、

• Lt!Ïcιrter 58) 司、、 e 0

bbHUShSE3

飛び移り現象を生 シェル厚が 比較的厚い場合 には，

合の荷重ーたわみ曲線 である。

K，，=∞

K，=O

bbHUSh也九ES

鋭い飛び移り現象を生じている。

薄い場合には，

じにくし1が，

105

104

Q37工二士二二二 ;03

恒也 、 ーさ ^ー

眠、工、、o、1h_ト生.'-、、� � "，^、J泊、 、、さ き‘

車、ミ、_、、‘O\

;

^hh 。

、、、 h‘Q

101

か一一。品ap-Throug

h

^..: 8^{ミ、\ 司 、。1ゲ}

0-- -0 Snap-Back 、、こ^こ?、 、A 咽"s

• Lauster ^{58)司 、 、)11 J.V}

回転剛度ノfラメー 水平変位剛度パラメータ品をKh=∞とし(ピン支持) ^I

次に，

偏平E.P.シェル についての幾何学的非線形 解析を タ瓦 ^を種々 変化させた場^合の

^，

そのときの シェル厚E5の場合の荷重ーたわみ曲線であり，

Fig.4・22は，

行った。

回転剛度を増 Snap-Back荷重曲線をFig.4・23に示す。 同図より，

Snap-

_Through ^I

Fig.4-24および それぞれE3およびE7の場合の荷重ーたわみ曲線である。

飛び移り現象を生じなくなっ てし、く。

加させるにした が って，

Fig.4・25は，

2.0

Thic/cness Parameter H/h Fig.4-27 Buclding Load of E.P品ell (Kh=∞).

0.0 1.0 2.0

Thic/cness Parameter H/h Fig.4-26 Buckling Load of E.P.Shell (K， =0).

0.0

1.0

シェル厚を変化させた場合の偏平E.P.

Fig.4・26およびFig.4-27は，

最後に，

シェルの 座屈荷重曲線である。 図中の・印はLeicester58)による座屈荷重であり， 本 Leicesterの値とほぼ等しい値が得られて 解析法による解析結果(瓦= 0，ι=∞) は，

Fig.4-26より， 水平変位剛度を増加させるとSnap-Thr_ough 荷重は増加し， し、る。

回転剛度を増加させる Fig.4・27より

，

逆^にSnap-

Back

荷重

^は

減少している。 また

，

Snap-

シ ェル厚が薄く(H/hが2.0以上)なると，

と座屈荷重 は概ね増加しているが，

T

hr

ougb 荷重は

減少

^し

て

^いる。

5

Rotational Stiffness Parameter K，

Fig.4-23 Buckling Load with Rotational Constraint H/h=1.25 (E5)

1(，，=∞

l。‘b U

� 0.8 弘h

、可 3

0.2

0

Deflection Parameter

1.0

w酢 Fig.4-22 Load-Deflection Curves for E.P.Shell (E5).

1\)'0

b

� 1.0

h 百

九.羽

3 田

K，=O

0.5

0.0

全土三五

( 3 )

小ロロロ

飛び移り現象などの力 偏平シェル構造の座屈安定性に関して，

本節においては，

有限変形理論に基づき偏平シェルの幾何学的非線 学的挙動を明らかにするために，

次のようになる。

形解析を行-った。 得られた結果をまとめると，

既往の研究結果との比較により， 本解法による (1)本解析法に基づく解析結果と，

比較的粗い分割による解析においても 様の収束性を持つこと， また，

数値解は

実用性のある解が得られていることなどが確認された。

シェル厚やシェル剛度の場所的変化が不規則で関数表示で (2)本解析法によれば，

1(，，=∞

偏平シェルの矩形Baseの縦横の等分割線の交点におけるこれら 諸量が規則的な場合とまったく同様に解析することがで

Itf噌b _M

� 1.0

h u k .可也 ミ

きない場合でも，

の諸量が与えられれば，

1.0 1.5

Deflection Parameter ^{w ..}

Fig.4-25 Load-Deftection Curves for E.P.SheU (E7).

0

^.5

日unu

0.5

Deflection Parameter ^w酎 Fig.4-24 Load-Deftection Curves for E.P.SheU但3).

Itf・

b U � 1.0 且h 司

、q s

Hlh=O.893 (E3) K，，=∞

きる。

(3)対称、座屈挙 動に関しての， 等厚な偏平シェルの断面力およびたわみ の分布は，

変形の増加とともに曲げモーメントは増大するが， 面内力はあまり増大せずNxは 圧縮))から引張力へと移行し， Nyは中央部分の正縮力が減少してし、く。 また， 変 厚偏平シェル においては， シェル厚が厚い場合には， αを大きくするに したがっ て， Snap- Through 荷重， Snap-Back 荷重も大きくなる。 しかしながら， シェル厚 が薄い場合には， αを大きくするにしたがって， Snap-Through荷重は大きくなり，

逆にSnap-Back荷重は小さくなる。

(4)対称座屈荷 重値よりも小さい座屈荷重値を示す非対称座屈挙動に関しての， 断 面力およびたわみの 分布は， E.P.シェルの場合には，対 称な分布から非対称な分 布に移り， やがてまた対称な分布となってし、く。 C. シェルの場合には， 曲げモー メント， 面内力Nyおよびたわみの分布は， 各荷重段階において大きく変化してい るが， Nxの分布はさほど変化は見られない 。

(5)周辺を弾性拘束支持された偏平シェルの幾何学的非線形挙動は， 水平変位の拘 束を強くすると， 典型的な飛び移り現象を生じやすくなり， Snap- Through荷重は 増加し， Snap-Back荷重は減少してし、く。 回転の拘束を強くすると， Snap- Through 荷重もSnap-Back荷重も概ね増加し， 逆に飛び移り現象は生じにくくなる。

4. 3

偏平シェルの複合非線形解析

( 1 ) 序

前節では， 有限変形理論による幾何学的非線形問題に関して解析を行ったが， 本 節においては， 偏平シェルの弾塑性有限変形曲げ問題に対する一離散解法を提示し，

本解法の複合非線形問題への応用性を検討する。

本節では， 弾塑性状態における増分形で表わされた応力一ひずみ関係は， 弾性域 ではHookeの法則に， 塑性域ではPrandtl - Reuss式に従うものとし ， 降伏判定には

V01t

-

Misesの降伏条件式を用いて， 偏平シェルの複合非線形解析のための離散解を

求め， これ に基つeき， 種々の境界条件および任意の曲率を持つ偏平シェ ルの複合非

-106-

線形挙動特性 を明らかにする。

( 2 )

増分形基礎微分方程式とその離散解

多軸応力状態にある偏平シェルの弾塑性状態における応力とひずみの関係式に基 づいて， 弾塑性有限変形挙動を支配する基礎微分方程式は， 次の増分形の連立偏微 分方程式となる。

aL1u.

^{1 ，一一一}

E -μw = ;h (XllL1払 +叫んωMxy)

+

が

いん+面12L1Ny+面13L1Nxy)_J' ー

生血_ L1Wxc aX aX

aL1v.

^{1 ー}

7 7 -Mw= mx21d仏+凶My+凶仏 y)

+

防

lL1Nx+弘2L1Ny+弘州xy)・坐坐- L1 恥C

J'

ay ay ^..

^J aL1u aL1v 血. . ^{1 ，}

v + 372X w= 訪� X31L1仏+X32Ll叫+X33L1Mxy)

(4-9・k)

(4-9-l)

十

両

1叫+両州+弘3L1Nxy)・色白色白A恥yc

(4-9-m)

ノ

ax ay ay aX ^{- ..}

^--J

なお， 式(4-9-a)，_，(4・9・e)および式(4・9-i)， (4-9-j)は， 式(2-13-a)--(2・13ーのおよび式(2・13- i)， (2-13オ)と， 式(4・9-f)--(4・9・h)は， 式(3-17・f)--(3・17-h)と同様である。

2.

6節 と同様に無次元化後， 整理すると次のようにまとめられる。

ぷf

^r."

^{aLlX s .}

^�

^{a4X s}

^{. ...，}

"TT'

>�

_{{Flt臼s一一王}+F乃2t臼s一「一+F乃3t臼sL1X.斗 +β=0

�l I _{aと oワl}

(t = 1，2，・・・・・・・・・・，13)

(4・10)

F 10111 = F 10212 = F 10301 = F 104D3 = F 105ω= F 10706 = F 10朗7=Fn∞s=Fl1却9= Fl13lO = FW908 = F30907 = ¹ F却113=F却211= F7JJ302 = FW4D5 = FW503 = F7JJ曲7= F7JJ806 = F21110 = F21309 = F31∞6=μ，

F30102=も， F却却1=

-k)'，

F犯303= -b(仇Mn+仇M_{12 + ØJMn)}

，

F泊304= -f3(ØrM 13

+ ØnX

₁₂

+仇M

₁₁₎

，

^{F 30305 =} -f3(仇IXI3十仇IX12 + ØJIX n)，

F30311 =

2kx)' +

2めy

-

_{11(XIM 13}

+

XZ3X 12十X3Mn)

，

F30312 = ky

+

_{w .y)'}

- h(X1'2X

₁₃

+

_{XZ2X 12}

+

_{X3M 11)，}

F30313 =

kx + W ，xx

-lt(X1IX 13

+

_{X2IX 12}

+

_{X3IX 11)，} F304D2 = F3OS01 =-1μ， F30ω3二-13仇J，

F30ω4 = -/3th2，

F30703 = -/3Ø2J

，

F30713 = -/IX21・

F30812 = -/IX32

，

F30曲5= -13thl

，

F30704 = -/3伽，

F30関3=占rtm

，

F 30813 = -/1X31

，

F 30611 = -hXI3

，

F30705 =必仇1

，

F 30804 = -hØJ2

，

F30902 = ^-K

，

-107-

F30612 = -hX12

，

^{F30613 = -/1X11}

，

F30711 = -IIXぉ， ^{F30712 =}

^-/IX:n

，

F30805 = -/3ØJl

，

F30811 = -I1X33

，

F31叩1=-μtK， F31102 =μiK(KX2-X 7)

，

初期降伏点を・印で示しである。 また，

性も考慮、した複合非線形解析結果であり，

Ramm臼)らが用いている有限要素法プログラム(NISA80)による解析結果(E5 )もO印 で示してお り， 本解析結果は有限要素法による解析結果と良く一致している。 偏平 E.P.シェルの弾塑性有限変形挙動は， 初期降伏後， 塑性変形が進行し， 剛性の低下 によりすぐに飛ぴ移り現象を起こす。 また， 幾何学的非線形解析結果において飛び 移り現象を起こさないE1の場合でも， 塑性変形によりか なり低い荷重で飛び移り現

象を起こしている。

F31103 = -IIX13 ， F311似=-/lX12 ， F31105 = -ltXu ， F31107 =ーμ(KX2-X7)，

F31108 =も， F31111 =-h軌3， F31112=-hψ12， F311l3 = -h似1

，

F31201 =μ'.}((KXI・X6)， F31203 = -/lX23 ， F31204 = -ltX22 ， F31205;;: -hX21 ，

F31206 =刈'!<XI-X6)， F31208=-k.y， F3121l=-h悦3

，

F31212 = -h似2，

F31213 =-h仰い F31301 =μ']((/0( 2 -X 7) ， F31302 =μ']((KXl・X6) ， F31303 = -/1)(33 ，

F313ω= -IIX32 ， F31305;;: -/lX31 ， F31306 =刊KX2-X7)， F31307== -/J{KXI-X 6)，

F31308 == -2kcy， F31311;;:占拘3， F31312;;:-h仰2， F31313 ==

^-h拘1

， 101 = t1qx ， [02;;: t1qy

，

103 = t1Nc +，1長 /11;;:μA陥c， f12 =μt1Wyc， /13 =μ.1Wxyc

other Flcts

= ft =

0

シェル厚の違いによる偏平 E.P.シェルの弾塑性有限変形挙動を明らかにするため 基礎微分方程式(4・10)の偏平シェルの矩形Baseの縦横の等分割線の交点に関する離

全断面降伏点を に， 荷重qを縦軸に用いた荷重一たわみ曲線をFig.4・29に示し，

日とEの場合には，

×印で示す。 初期降伏荷重はシェル厚が薄い方か ら順に現われ，

(4・11)

シェル厚 がE1の あまりたわみが生じることなく初期降伏し， 飛び移り現象を示す。

散解は， 次式 となる。

.1Xpij =

_{d= 1}

� { む _\1=0 ^ijld.c1X抑+ _{g =u} 土 ^{、 bpijgd仏Og}

_I

} ^{+ .c1φij}

α!pijfd ， bpijgd， .1qpij 必PENDIXII -(C惨照

、， 、- I司，

、ー、一町、ー，

比較的大きくたわんだ後に初期降伏し， 飛び移り現象を示しな 半分のE5の場合は，

がらたわみが大きくなる。 その後は塑性膜状態とな り耐力は保有するが， この状態 数値解析結果

( 3 )

は， 周辺が完全に拘束され. 面内力を支えることができなければ実現し ないため，

降伏応力句=

2800kgf/cm 2

， 弾性 数値解析例として本節で用いた偏平シェルは，

ポアソン比v= 0.3 ， 偏平シェノレの矩形Baseの辺長α=b 係数E=

2.1x106kgf!cm2

，

曲面に対して垂直な等分布荷重q(qx = qy = 0，

c.シェjレ E.P.シェjレ.

ライズ高H= 2.5 cm とし，

qz =q )を満載するものとする。 偏平シェルの曲面形状は，

= 100cm，

C、40 5

t品名

匂司

� <::s

3

一一一一一El^astic

ー一一一一一- Elasto -Plastic

。 FEM伺

. |FUrial

YIeMing

o 1.5

wclh Fig.4-28 Load-Deflection Curves for E.P.Shell.

- x

、

，，

、

d，‘，，

ノ

、， 、. nj\ 、E

E

-- -『 -、

--d' r

4F/

'' JJ '' /，，

''

-A，，，， J，，

，，

釘しE，v，，，，，'''r d

'

，，， drJ，，

，，

，，

，，

，，

，，

I ， I ' i!， J ''''，， ，，

It::r喝 ι 匂 U E

:: 0.6

九回 蜘恐喝

ミ h

= 4.0 ，

3.2， 2.0cmの3種類

E5，C5，H5と略称することと シェル厚は，

E 2 ，

^C2

^{，H 2 ，}

また，

それぞれE1，C1，H1.

およびH.P.シェルの3種類とし，

前節と同様に，

であり，

する。 なお， 境界条件は全て四辺単純支持(ピン支持)である。

横縦方向の分 偏平シヱルは対称性を考慮、して1/4部分を対象 とし，

数値解析では，

シェル厚方向の分割数 nz=20として解析を行った 。 複合非線形挙 割数m=n=5 ，

中央点の無次元たわみ(w/h)を 0.005とした微小変位増分によ 動を追跡するために，

この変位増分量は十分収束した解が得られることを確認している。

また各荷重ステップにおいては収束計算を行い， 収束判定は断面力および変形の相 り計算を進めた。

対誤差を 10・4としている。

1.5

wclh Fig.4-29 Load-DeOection Curv回for E.P.Shell.

1.0 0.5

1.0 。

nu nu 0.5

はじめに， 偏平E.P.シェルの中央点に関する荷重ーたわみ曲線をFig.4・28に示 す。 点線は幾何学的非線形性のみを考慮、した 場合の解析結果で， 実線は材料非線形

Upper Surface

(a)

(b)

正竺二ヰ 正一竺初 グ関空よ

tρwerSur:向ce

(c)

q=26.187 q=32.039 q=34.556 (Unit : kgf/cmう

Fig.4-30 Progression of Yield Regions for E.P.SheU (El).

実際の設計における適用範囲は， 飛び移り荷重程度までと考えるべきである。

Fig.4・30には， Elの代表的な荷重段階での塑性域の進行図を示す。(の図はシェ ル上面， (の図はシェル下面， (b)図はFig.4-28のA-A断面における塑性 域の分布を 不している。 塑性域は， シェル上面の中央部から放射状に拡大していき ， 上面はほ ぼ全域において塑性化する。 シェル下面で は隅角部よ り中央部に向かつて塑性域が 進行し， 街重の増加にともなって中央部に塑性域 が現われる。

次に， 偏平C. シェルの複合非線形解析結果をFig.4・31に示す。点線は幾何学的 非線形解析結果で， 実線は複合非線形解析結果であ り， 初期降伏点を・印で示しで ある。 また， 有限要素法による解析結果的(C5)もO印で示しており， 本解析結果は 有限要素法による解析結果と良く一致している。 C.シェルの場合は， 初期降伏後，

何重の増加とともにたわみは急激に増加する。

Fig.4・32には， 縦軸に荷重qをとった場合の荷重一たわみ曲線を示す。 C5に比 べて， シェル厚が2倍のC1は4倍程度の耐荷力を有することがわかる。 全断面降伏 後， 急激にたわみが増加するため， 実際の設計における適用範囲は， 全断面降伏荷

-110-

1守0.4

k Cl，'

.匂相喝

定 ^J

J

q ，

、、 s

民也 F s

33

^{03 ， ， I}

， I

， f

， I

， I

0.2

0.1

0.0

'C2

，

， ，

0.5

，

，

，，"C5

，

ー一ーー- E/astic

一一一一一一一

Elasto -P/astic

。 FEM62)

・ /nitial Yìelding

1.0 1.5

w(jh

点、国^{藍、U 40}

• /nitial Yie/ding

x Fu/ly Plastic

。司

官』。斗

C5

Fig.4-31 Load-Deftection Curves for C.SheU.

1.0 wclh Fig.4-32 Load-DeOection Curves for C.SheU.

Upper Surface

(a)

(b) 正竺斗 平竺え 広明九

Lower Surface

(c)

q=21.545 q=26.406 q=29.965 (Unit : kgf/cmう

Fig.4-33 Progression of Yield Regions for C.Shell (Cl).

-111-

(ザニ

斗 J誌とよ ぶ _斗

重程度までであろう。

Fig.4・33には， Fig.4-30と同線にClの代表的な街重段階での塑性域の進行図 を示す。 C.シェルの場合も， シェル上面の中央部から降伏し始め， 上面はほぼ全域 にわたり塑性化してしまう。 シェル下面では隅角部より中央部に向かつて塑性域が 進行し， 荷 重の増加に ともなって中央部に塑性域が現わ れ， やがてシェル上面と同 様な塑性域の進行となる。

つづいて， 偏平H.P. シェルの複合非線形解析結果をFig.4・34に示す。 点線は幾 何学的非線形解析結果で， 実線は複合非線形解析結果であり， 初期降伏 点を・印で 不しである。 また， 有限要素法による解析結果的(H5)もO印で示しており， 本解析 結果は有限要素法による解析結果と良く一致している。 H.P. シェルにおいては， 初 期降伏後， 荷重の増加とともにたわみは急激に増加するが， 飛び移り現 象は生じな

Upper Surface

(a)

SectionA-A

Lower Surfacε

(c)

Fig.4・35には， 縦軸に荷重qをとった場合の荷重一たわみ曲線を示す。 H.P.シェ ルの場合はC. シェルとほぼ同じよう な挙動を示すが， C. シェルより も大きな耐力

q=28.021 q=31.986 q=38.897 (Unit : kgf/cmう

Fig.4-36 ProgressioD of Yield RegiODS for H.P.Shell (H1).

を示すこと がわ かる。 全断面降伏後， 急激 にたわみ が増加するため， 実際の設計に おける適用範囲は， C.シェルと同じよう に， 全断面降伏荷重程度までであろう。

Fig.4・36には， Fig.4・30と同様にH1の代表的な 荷重段階での塑性域の進行図 を示 すo H.P. シェルの場合はE.P. シェルおよびC. シェルの場合とは異なり， シェ ル上下面は， ほぼ同時に塑性域が進行していくが， シェル上面では正の曲率(x)方向 に， 下面では負の曲率(y)方向に塑性域は進行してし、く。 また， 初期降伏後， 早い段 階で中央点付近では全断面塑性化してしまう。

以上， 2曲率面を持 つE.P.シェル， H.P.シェルおよび1曲率面 を持つC. シェル についての数値解析を行った。 それらの荷重ーたわみ曲線の結果をE1，C1，H1の場合 についてまとめたものがFig.4-37である。 Fig.4-37には， 支持条件をローラー支

持とした場合の解析結果も点線で図示している。 ピン支持の場合の解析結果は， 偏 平シェルの形状によりその弾塑性有限変形挙動が大きく異なり， E.P.シェルの場合 には， 圧縮力が卓越するためシェル上面の塑性域が進行していき， 飛び移り現象を 起こすがI C.シェルおよびH.P.シェルの場合ではさほど面内力は卓越しておらず，

正U EJ A『

nu nU 内U

ゆbhu霊 HU--nh 、qhu叫

nu ro 宝uK吋叫) / i f Jf f .，， ，， ，I 広 J

IF I ，， ， ， I

，F

， ，

14 .

I r

，，. E

， ，

，，

'

』υ

，， ，， i a ，

，p f ー ' '

，，

，，

J '

，， ，， ，， ，， ，，

• Initial Yìelding

x FuUy Plastic

ーーーー-

^Ela亙tic

一一一一一-

Elas如-Plastic

。 FEM向

・ Initial Yielding

0.8 wclh Fig.4-34 Load-Deßection Curv回for H.P.SheU.

0.8 wclh Fig.4-35 Load-DeßectioD Curv白for H.P.SheU.

飛び移り現象を起こさない。 ま た，

H.P シェルの場合には， さ

面内力Nx，Nyがそれぞれ圧縮 15 力と引張力となるため， 初期降 伏後， 塑性化が進んでもある程 度の耐力を保有している。 ロー ラー支持の場合には， 偏平シェ ルの形状による弾塑性有限変形 挙動はあまり違いはみられず，

面内方向の拘束がないため， さ

60

。

pin Roller

1.0 wc/h

らに憶を増加させると断面の

mgA-372出iErneumhr口.She山刷

ほとんどが塑性化し， たわみが急激に増加してし、く。

(4) 結語

本節において は， 応力-ひずみ関係は， 弾性域ではHookeの法則に， 塑性域では Prandtl ^• Reuss式に従うものとし， 降伏判定にはvon ^• Misesの降伏条件式を用いて，

偏平シェルの弾塑性有限変形解析のための一離散化数値解析法を提示した。 得られ た結果をまとめると， 次のように要約される。

(1)増分形基礎微分方程式の離散解に基づく解析法により， 種々の境界条件， 任意 の曲率などを持つ偏平シェルの弾塑性有限変形挙動を直接的に解析す ることがで きる。

(2)偏平シェルの挙動は， その形状により大きく異なりI E.P.シェルの場合には，

圧縮力が卓越するため塑性域が進行していき， 飛び移り現象を起こすが， c.シェ ルおよびH.P.シェルの場合ではさほど面内力は卓越しておらず飛び移り現象を起 こさない。 またI H.P. シェルの場合には， 面内力Nx，Nyがそれぞれ圧縮力と引 張力となるため， 初期降伏後， 塑性化が進んでもある程度の耐力を保有している。

その後はどのシェル形状にお いても塑性膜状態となり耐力は保有する が， 実際の 設計における適用範囲は， 飛び移り荷重程度， あるいは全断面降伏荷重程度まで

-114-

であろう。

(3)塑性域の進行図はI E.P.シェルお よびc.シェルの場合は， シェル上面の中央 部から放射状に拡大していき， 上面はほぼ全域において塑性化する。 シェル下面 では隅角部より中央部に向かつて塑性域が進行し， 荷重の増加にともなって中央 部に塑性域が現われる。 一方I H.P.シェルの場合は， シェル上下面は， ほぼ同時 に塑性域が進行していき， 早い段階で中央点付近では全断面塑性化してしまう。

(4) H.P.シェルといえども， 支持条件をピン支持 にすることにより高い剛性を有す

る。 した がって実構造物との対応で考え るとき， 支持条件の差異， すなわち極く 小さな支承の変位によって力学的特性が大きく変化するため， これに着目した計 算， あるいは， これに着目した構造処理をする必要がある。

-115-

第 5 章

積層偏平シェルの線形問題および

幾何学的非線形問題への応用