数学
1・数学演習
1 No.6 2005. 6. 23.1 行列の演算 担当：市原
¶
行列の和
³二つの行列の和は
,対応する成分の和を成分にする行列．つまり
,A=
a11 · · · a1m ... ...
an1 · · · anm
, B =
b11 · · · b1m ... ...
bn1 · · · bnm
とすると
A+B =
a11+b11 · · · a1m+b1m
... ...
an1+bn1 · · · anm+bnm
である．
行列の和は
,行の数同士
,列の数同士がそれぞれ等しい場合のみに定義できる．
µ ´
行列のスカラー倍
¶ ³
行列のスカラー倍は
,各成分をスカラー倍した行列．つまり
, cをスカラーとし
A =
a11 · · · a1m ... ...
an1 · · · anm
としたとき
, cA=
ca11 · · · ca1m
... ...
can1 · · · canm
である．
µ ´
¶
行列の積
³`
行
m列の行列
Aと
m行
n列の行列
BA=
a11 a12 · · · a1m a21 a22 · · · a2m
· · ·
a`1 a`2 · · · a`m
B =
b11 b12 · · · b1n b21 b22 · · · b2n
· · ·
bm1 bm2 · · · bmn
に対し
,xij =ai1b1k+ai2b2k+· · ·+aimbmk
としたとき
,
x11 x12 · · · x1n x21 x22 · · · x2n
· · ·
x`1 x`2 · · · x`n
で定まる行列を
,行列
Aと行列
Bの積
ABと定義する
.µ ´
11
行列の積の例
Ãa b c d
! Ãx y
!
=
Ãax+by cx+dy
!
à a b c d
! Ã x y z w
!
=
à ax+bz ay+bw cx+dz cy+dw
!
(a b c)
x y z
=ax+by+cz
a b c
(x y z) =
ax ay az bx by bz cx cy cz
a b c d e f g h i
x y z
=
ax+by+cz dx+ey+f z gx+hy+iz
例題
10次の空欄を埋めなさい
.•
積
ABが定義できるのは, 行列
Aの の数と行列
Bの の数が一 致している場合のみ
.• `
行
m列の行列と
m行
n列の行列の積は
,行 列の行列になる．
定理
10 (分配法則・結合法則
) A, B, C, P, Q, R, X, Y, Zはそれぞれ行列
, cはス カラーとする
.このとき
,次が成り立つ
.ただし
,積や和は定義できているとする
.c(A+B) = cA+cB, c(AB) = (cA)B =A(cB)
A(B+C) =AB+AC, (P +Q)R =P R+QR, (XY)Z =X(Y Z)
例題
11(−3 2) Ã
2
à 1 4
−1 0
!
−
à 0 −1 1 0
!! Ã 4 0
!
を計算しなさい
.12
数学
1・数学演習
1 No.6 2005. 6. 23.1 行列の演算 担当：市原
問題 18 行列A=
1 −1 0
0 5 0
0 3 1
,B =
1 −1 0
1 0 0
0 0 2
,E =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
に対し,次の値を計算しなさい.
(1)A(3B−5E) +EB
(2)BAB−E3
(3) (2A−2E)(A−5E)
(4)B7
問題 19
(1)和A+Bは計算できるが積ABは計算できない行列A,Bの例を挙げなさい. またその和 A+Bを計算しなさい.
(2)積ABは計算できるが和A+Bは計算できない行列A,Bの例を挙げなさい. またその積 ABを計算しなさい.
(3) 積ABは計算できるが積BAは計算できない行列A,Bの例を挙げなさい. またそのとき のABを計算しなさい.
(4)積AB,BAは共に計算できるがAB6=BAとなる行列A,Bの例を挙げなさい. またその ときのAB,BAを計算しなさい.
