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代数学 II 中間テスト

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Academic year: 2021

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全文

(1)

代数学

II

中間テスト

試験時間

80

分

,

持ち込みなし

.

満点

120

点

.

質問には一切答えない

.

各自で判断して解答せよ

.

（疑問点を答案にかいてもよい

.

）

1.

ユークリッドの互除法を用いて

, 221

と

391

の最大公約数

d

を求めよ

.

また

, 221a + 391b = d

となるよ うな整数

a, b

の組をひとつ求めよ

.

また

,

このような

a, b

の組は無限に多くあることを示せ

. (

計算の経 過も省略することなく書き答案として提出すること

.

計算経過が読み取れないときは減点または０点と なる

. ) (20

点

)

2.

ユークリッドの互除法を用いて

, (x

3

− x − 1)f (x) + (2x

2

+ 2x − 1)g(x) = 1

となるような実数係数の

多項式

f (x), g(x)

の組をひとつ求めよ

.

式の整理はしなくてよい

. (

計算の経過も省略することなく書き

答案として提出すること

.

計算経過が読み取れないときは減点または０点となる

. ) (15

点

)

3.

環の定義を述べよ

.

（乗法は可換とする

.)

環のうち

,

どのような条件を満たすものを

,

体というかをか け

.

同様に

,

整域についてもかけ

.

（この問題については細かい条件が抜けていても要点が理解できて いれば正解とする

.

後半については「環」と「体」

,

「環」と「整域」の違いのみをかけばよい

.

）

(10

点

) 4.

整域

R

の元

r

が可逆元（または正則元、単元ともいう）であるとは

, rs = 1

となる

s ∈ R

が存在する ことである

. R

の可逆元の全体を

R

×とかく

. Z

を整数環とするとき

, Z

×は何か？また

, K[x]

を体

K

上の

1

変数多項式環とするとき

, K[x]

×は何か？（この問題については

,

証明はいらない

.

答えだけで よい

. ) (5

点

)

5.

整域

R

の可逆元でなく

, 0

でもない元

a

が既約元であるとは

, a

がどのような条件を満たすことか

.

同 様に

, a

が素元であるとはどのようなことか

.

それぞれの条件

(

定義）をかけ

. (10

点

)

6.

整域

Z [ √

− 5] = { s + t √

− 5 | s, t ∈ Z}

において

, 2

が既約元であることを示せ

.

また

, 2

が素元ではな いことを示せ

. (10

点

)

7.

任意の整域

R

の可逆元でなく

0

でもない元

a

について

, a

が素元なら既約元でもあることを示せ

. (15

点

)

8.

体

K

上の多項式環

K[x]

の可逆元でなく

0

でもない元

f

について

, f

が既約元なら素元でもあることを 示せ

. (15

点

)

9.

問

7,

問

8

の結果を用いて

,

体

K

上の多項式環

K[x]

の可逆元でなく

0

でもない元

f

は既約元の積とし て

, (

積の順序と定数倍を除いて）ただ一通りにかけることを示せ

.

（証明の詳細までは書かなくてよい

.

どこまで書くかは自分で判断すること

. ) (20

点

)

1

参照

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