設計生産工学科野田尚昭設計生産工学科松尾忠利

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九州工業大学研究報告（工学）No．68 1996年3．月 19

二次元と三次元の介在物の応力集中の解析とその干渉効果

（平成7年11月27日原稿受付）

設計生産工学科野田尚昭設計生産工学科松尾忠利設計生産工学科金子 ^尊

Stress Analysis and Interaction Effect of Elliptical and Ellipsoidal Inclusions by Nao−Aki NODA Tadatoshi MATSUO Takashi KANEKO

Abstmct

This paper deals with stress analysis of elliptical and ellipsoidal inclusions using singular in−

tegral equations of the body force method． The stress and displacement fields due to a point force in an infinite plate and a ring force in an infinite body are used as fundamental solutions． On the idea of the body force method， the problems are formulated as a system of singular integral equa．

tions with Cauchy−type or logarithmic−type sigulaities， where unknown functions are densities of body forces distributed in the x−and y−directions of infinite plates or in the r−and z−directions of infinite bodies having the same elastic constants of the matrix and inclusions． In order to satisfy the boundary conditions along the inclusions， eight kinds of fundamental density functions prop．

osed in our previous paper are used． Then the body force densities are approximated by a linear combination of the fundamental density functions and polynomials． The present method is found to give rapidly converging numerical results for the problems． The calculations are carried out systematically for various．shape， distance and elastic constant of inclusions and the stress distribu。

ご

tions along the boundaries of both the marix and inclusions are shown in figures． Then the in−

teraction effects are discussed through the comparison between the elliptical inclusions and ellip．

so三dal inclusions．

＿結果と完全に一致している。しかし，妹沢の近似式を用

1．緒盲

いた解析結果（破線）は，本解析結果との間に誤差を生構造物中に存在する空か，介在物，切欠きなどの欠陥じており妹沢の式には誤りがあることが確認される。こによる応力集中現象を明らかにすることは強度設計上重のように最も単純な介在物問題である1個の円形介在物要であるために，多くの研究者らにより解析されている。の結果にも，誤った結果が示されている場合がある。

無限板中に円形介在物が1個存在する場合の解析とし一方，2次元の介在物が複数個存在する場合の干渉問て，西田の応力集中ハンドブック1）には無限板中にあ題には以下のような解析例がある。

る1個の円形介在物をもつ無限板が引張力を受ける場合塩谷5）は1軸あるいは2軸方向の一様引張りを受けについての，妹沢2），Goodier 3）による弾性計算結果がる無限薄板に2個の等大円形介在物が完全に接着された引用されている。また，石田ら4）は，無限板中に円形介問題を双極座標とAiry応力関数を用いて解析している。

在物が1個存在する場合の閉じた形の厳密解を導いていまた，石田4）は図2のように，円形介在物が，千鳥る。図1に，G ／G＝2．0のときの円形介在物境界上の状に分布するときの問題を解析している。この解析では母材境界のθ方向の垂直応力σθの分布を示す。図中の問題の対称性を考慮した円形介在物をもつ適当な単位領実線は本研究の解析結果であり，石田の厳密解は本解析域を考え，x， y両軸に関する対称条件と介在物接合部

(2)

σ

θ

0．6

0．5

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0．3

一一一?￨一一present analysis

0．2 一ロ＜一

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0．1

σxΨ →）

積力法による八田らおよび内山らの解析以外は見当たらないようである。

3次元問題の回転だ円体状介在物の問題は，実用上一般的に重要であるにも関わらず2次元問題と比べると解析が困難なため解析例は少ない。また回転だ円体状介在物が，複数個存在する場合の解析例は見当たらない。

耳shelby 8）は，無限体中に1つの回転だ円体状介在物が存在する問題を等価介在物法を用いて解析している。

等価介在物法は不均質問題を均質問題に置換し，Green 関数を用いた積分方程式による定式化を可能とする解析方法であり，現在，熱，機械的特性や応力解析の手法と

して広く用いられている。

土田は，球かを有する無限体の応力集中問題9）や，

0 10 20 30 40 50 60 70 80 gO 球状介在物を有する半無限体の応力集中問題10），球か ψIdeg】を有する厚板の応力集中問題11）を解析している。

図1 1円形介在物の応力分布介在物や複合材料の解析では，弾性係数の評価およぴ母材と介在物境界における応力集中あるいは，界面の応力解析が主として問題となる。また，介在物が複数個存

1 在する場合にはその干渉効果により，介在物が単独に存

一一 ^gー

一一

l xl

C

一して提案されている式のなかにも，誤差を含んでいるものも多い。そこで本研究では，野田らが提案している体図2 千鳥に分布する円形介在物群、

積力法の特異積分方程式を，厳密に解析する数値解析法を用い，無限板中の二つのだ円形介在物，および無限体の境界条件を厳密に満たす複素応力関数のローラン展開中の2つの回転だ円体介在物の干渉問題を解析する。介表示を導いて，単位領域外周の合力と変位の境界条件を在物間の距離および母材と介在物の弾性比を系統的に変満足させることによって，未知係数を定める方法を用い化させて，母材と介在物境界上の正確な応力分布を求めている。利用に便利な形式で図表に整理する。さらに得られた応八田ら6）は大きさが異なる2個のだ円形介在物が種々力分布を，2次元と3次元の問題について比較検討し応の配置をなす場合の干渉問題を体積力法を用いて解析を力集中の干渉効果を明らかにすることを目的とする。

1㌶遠鴎繍㌫巖↑㌶賢 2．数値解析方法

て，重ね合わせの原理を用いて境界条件を満足させるご本解析方法を回転だ円体状介在物の干渉問題（3次元とによって解析される。問題）を例にとって説明する。また，だ円形介在物（2 この八田らの解析方法を発展させることによって内山次元問題）では，3次元の場合と同様に2次元問題の集

ら7）は，だ円形介在物が周期的に配列されている場合中力の基本解を用いて解くことができる。

の解析を行い，弾性係数の変化を系統的に求めている。本解析方法を図3に示すような，遠方で一様なz方向このように2個以上の円形介在物の干渉問題は，いくつの引張応力σ7が作用している無限体中の大きさおよびかの解析例があるが，複数のだ円形介在物の問題は，体弾性率の等しい2つの回転だ円体状介在物の干渉問題を

1φ一Lblc

一在する場合とは異なる値の応力集中を生じる。従って高

1 瀧に締を行うには，母材と介在物境界上のなめらか

な応力分布を求める必要がある。

一一

上記のように，2次元と3次元の介在物の問題に対し 1 て様々な数値解析がなされており，境界上の応力分布が 1 求められている。しかし，それらは実際の設計に利用する上で，便利な形で与えられていない。さらに厳密解と

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二次元と三次元の介在物の応力集中の解析とその干渉効果・ 21

↑↑↑↑（穿ぴ；・（φ，θ）ρ㌔（φ）d・＋慌・（φθ）ρ㍍（φ）d・

z，ξ

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θ，φ 一dρ＝αsinφdφ， dζ＝bcosφdφ，

ds＝ a2 sln2φ十b2cos2φdφ

・・・…@（3）

r P（三d．舗：㌫㌫㌶；こ㌶における介在物の外向

（；二d＋鶴式（1），（2）は無限体M中の回転だ円体状空かとなるべき境界に生じる応力と変位をそれぞれ，σ。M，τ。，M， U，M，

［ U、M，無限体1中の回転だ円体状介在物となるべき境界 ↓↓↓↓（夢に生じる応力と変位をそれぞれ一・1，UI， UIと

すると式（3×4）は母材と介在物の接合境界上における境界図3 無限体中の2つの回転だ円状介在物条件σ。一σ。Mニ0，τ。、一τ。、M＝0， U，M−U，1ニ0， U、M−

U，1＝0に相当している。式（3）の第一項と第二項は，体例にとって説明する。この問題は，重ね合わせの原理に積力を無限小近傍からなる境界上12）に作用させたとき基づく体積力法の考え方により無限体中の半径ρ，高さ境界条件を満たすべき仮想境界上に生じる応力の項であ ζの円周上に半径方向および軸方向の集中力の輪が作用る。式（1）はコーシー形15），式（2）は対数形の特異性を有するときの任意の点（r，z）の応力場の解（K：；， K：；，する項を含んでいる。そのためθ＝φの場合には，式（1）

KR， K：i）と変位場の解（K：1， K：…， K：；， K：…）を用いは積分のコーシーの主値をとるものとする。

て解くことができる12）15）。ここで，着力点の円筒座標解析しようとする問題を解くことは未知関数である仮を（ρ，φ，ζ）として注目点の円筒座標（r，θ，z）想境界面上の体積力密度ρ乱（φ），ρ塩（φ），ρζ（φ），

と区別して用いるものとすれば，ρ＝αCOSφ，ζ＝± ρ款φ）を求めることに帰着される。従来の体積力法を

（d＋bsinφ），γ＝αcosθ， z＝d＋bsinθである。用いた解析では，未知関数を，対称型の基本密度関数とこのとき問題は，母材（EM，レM）および介在物（EI，り1）階段関数の積で近似している。この方法ではあらかじめと同じ弾性定数をもつ無限体（これらを無限体Mと無限設定しておいた点でしか境界条件が，満足されていない体1とする）中の仮想境界上に分布させたr，Z方向のために，境界上の任意の点での境界条件の満足度は保証体積力密度ρ㌔（φ），ρ塩（φ）およびρζ（φ），碕（φ）されていない・そのため，正確な最大応力とその発生位を未知関数とする特異積分方程式（1），（2）で表現される。置を得ることはできない。そこで本研究では，体積力法の特異積分方程式を厳密に解析するために，未知関数を一（1／2）｛ρ㌔（θ）…θ・＋協（θ）・inθ・｝野田らが鑓した基糖度関数16）と多項式の積で近似

聡㌶㌶鍔㌶（φθ）ρ為（φ）㌦㌶麗こ二鶏1寸称性を考慮して・未知

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一一ﾏ，m・θ。 ρ乱（φ）＝ρ・3M（φ）W・3（φ）＋ρ・4M（φ）W・4（φ）

一（1／2）｛ρζ。（θ）、。，θ。＋ρ㍍（θ）・i・θ。｝ ° 《1）ρ為（φ）一ρ…（φ）呪・（φ）＋在・M（φ）既・（φ）．…．G）

＋（・／2）｛ρζ（θ）、。、θ。＋ρ差（θ），inθ。｝ ρ蓋（φ）＝ρ・31（φ）w・3（φ）＋ρ・41（φ）w・4（φ）

＋￡2πK：｛。（φ，θ）ρζ。（φ）d・＋￡2πK：…。（仇θ）ρ為（φ）d・ ρ』（φ）＝ρ・・1（φ）w・・（φ）＋ρ・21（φ）w・2（φ）

一￡2πK：｛1（φ，θ）ρ‡（φ）d・一 2π臨（φθ）ρ芸（φ）d・ここで，基本密度関数w，1（φ），w，2（φ），．．…，w、4（φ）など

＝一げsinθ。 cosθ・は次式で定義される。

￡2πK：1。（φ，θ）ρ㌔（φ）d・＋五2πK：…・（庇θ）ρ為（φ）d・

一五2πK：II（φ，θ）ρζ（φ）d・一￡2πK：：1（φθ）ρエ（φ）d・

；一^{撃lσ；r／EM}

……（2）

W，、〈φ）＝n，（φ）／COSφ Wr2（φ）＝nr（φ）tanφ

W，3（φ）＝n，（φ）

Wr4（φ）＝n，（φ）sinφ

・・・…@（5）

(4)

W、1（φ）＝n、（φ）／sinφ N／2

呪、（φ）一。、（φ）三（a・MM・M＋b・MN・M＋・・M°・M＋d・Mp・M 既、（φ）一恥（φ）、。tφ °° 《6）＋a・IM・1＋b・IN・1＋・・1°・1＋d・lp・1）

＝一σ2°z／EM

W、4（φ）＝n、（φ）COSφ

こコ

@ ㌻㍑霊蒜㍉6∂一（12）

叫（φ）＝

．．…株C意の点嚇ま係数＿と＿に相当す

賜（φ）＝潤@ ㌘霊㍍灘；嶽；：：㌶蟹鷲藍

さらに，未知関数を連続関数として近似するために重み形状比および弾性比を系統的に変化させて解析する。

関数を多項式を用いて次式のように表現する。

3．解析結果および考察

N／2 N／2 ρ，3M（φ）＝Σa。Mt。（φ）

㌫

ρ，4M（φ）＝Σb。Mt。（φ）

n＝1 ノ ρ，31（φ）＝Σa。lt、（φ）

言

ρ，41（φ）＝Σb。lt，（φ）

エコ

t。（φ）一、。、｛2（n−1）φ｝．．．……．………＿．……．．《9）統的に変化させたときの最大応力σmaxの値とその発生位置を表1に示す。

以上の離散化の方法により式（1），（2）は，次式で示される表1に示した円形介在物の最大応力の値は石田らの1 連立方程式に還元される。個の円形介在物の解と完全に一致している。また最大応蟹（、。MA。M＋b。MB、M＋、。MC。M＋d。MD。M 力値と弾性比の関係をだ円形介在物の場合を図5｝こ・回

n＝1 {、。IA。1＋b。IB。1＋、、IC。1＋d。ID、1）転だ円体状介在物を図6で同一形状比・／bを比較する＝＿σごsin2θ。と，介在物の弾性係数EIが母材の弾性係数EMより大嵩。E。M＋b。MF，M＋、。MGIこエ∋∴ （1°）きい場合・すなわち弾性比EI／E・＞1とされるとき回転

n＝1 {、。IE。1＋b。IF。1＋、、IG。1＋d。1H。1）だ円体状介在物の最大応力の値がだ円形介在物の最大応一一σご、i。θ。c。、θ。力の値より・形状比・／bの全ての範囲で大きくなっていることがわかる。逆に介在物の弾性係数が母材の弾性

ノ Σ（a。MI。M＋b。MJ。M＋c。MK。M＋d、ML。M 係数より小さい場合，すなわち弾性比がEI／EM＜1の場 n＝1 ＋a，II、1＋bnIJnI＋c，IK、1＋d．IL．1）合回転だ円体状介在物の最大応力の値がだ円形介在物の＝レMσごr／EM 最大応力の値よりも小さくなっていることがわかる。

・………・…・（11）

ρ、1M（φ）＝ΣC、Mt，（φ）＿

・−1 3・1 だ円形介在物と回転だ円体状介在物の応力集中

ノ

ρ、2M（φ）＝Σd。Mt，（φ）図4（a）のように遠方で一様なy方向の引張応力σ『を

エ

ρ，II（φ）一臨（φ）㈲受1ナる無限板中の個のだ円形介在物と図4（b）のように・−1 遠方で一様なz方向の引張応力げを受ける無限体中の

ノ

ρ、21（φ）＝Σd，lt，（φ）回転だ円体状介在物の形状比a／bと弾性比EI／EMを系

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（a） 1個のだ円形介在物（2次元）（b） 1個の回転だ円体状介在物（3次元）

図4 1個の介在物の問題

(5)

二次元と三次元の介在物の応力集中の解析とその干渉効果 23

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図5 弾性係数の比と最大応力（2次元）図6 弾性係数の比と最大応力（3次元）

（σ）ご＝0，σご＝1，りM＝レ1＝0・3）（・ご一〇，・ごニ1…一・1−0・3）

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（a） 2個の円孔の干渉（2次元）（b） 2個の球かの干渉（3次元）

図7 2個の介在物の干渉問題

またEI／EM＞1のときの応力集中は，2次元3次元の 3・2 二個の球かと円孔の干渉効果の比較

両者ともa／b＜1で顕著に表れ，a／b＞1ならば最大で図7（a）は遠方で一様なy方向の引張応力σ『を受けるも応力集中係数は1．5程度（3次元では2程度）にすぎ無限板中の2個の円孔の干渉問題を示し，図7（b）は遠方ない，逆にEI／EM〈1のときの応力集中は2次元3次元で一様なz方向の引張応力げを受ける無限体中の2個の両者ともa／b＞1で顕著に表れ，a／b＜1ならば最大の球かの干渉問題を示している。

でも応力集中係数は3程度（3次元では2．5程度）であ無限板中の2つの円孔の干渉問題において，a／d＝

る。 0．9の場合の円孔縁に沿った応力σtの分布を図8に示す。

また，無限体中の2つの球かの干渉問題においてa／dニ

(6)

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0．9の場合の球か境界に沿った応力σ、，σθの分布を図9 に示す。図8，9中の破線は，それぞれ，無限板中に1 つの円孔が存在する場合，および無限体中に1つの球かが存在する場合の応力分布である。この2次元の干渉問題と3次元の干渉問題の応力分布を比較すると，応力集中の数値はいくぶん異なるものの，似たような応力分布になっていて最大応力が図7でのA点（ψ＝90°）近傍で発生していることがわかる。また，2次元の干渉問題お

よび3次元の干渉問題ともに，2つの円孔あるいは球かが近付く（a／dが大きくなる）と，干渉効果により発生する最大応力は，減少している。干渉効果を比較すると，2次元の問題では，2個の円孔の干渉効果による最大応力値σm、、の変化率は，12．5％であり，3次元の問題では，2個の球かの干渉効果による最大応力値σm、x の変化率は，7．3％である，このことから，2次元の問題のほうが干渉効果による最大応力値σm、．の変化率が大きいことがわかる。しかしながら，図7（a）のB点（2円孔が接近する点）における干渉効果による応力値の変化率は50％であり，図7（b）のB点における干渉効果による応力値の変化率は58．8％となり，逆に3次元

・90 −60 −30 0 30 60 90 の問題の方が，干渉効果による応力値の変化率が大きく Ψ【deg】なっていることがわかる（a／d＝0．9のとき）。

図8 境界上の応力分布

（α／4＝0．9，ピ＝0，σ三＝1，E、／EM＝0・0，りM＝レ1＝0・3） 3・3二個の剛体介在物の干渉効果の比較

図10（a）は遠方で一様なy方向の引張応力げを受ける無限板中の2個の剛体円形介在物の干渉問題を示し，

図10（b）は遠方で一様なz方向の引張応力σ『を受ける

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無限体中の2個の剛体球状介在物の干渉問題を示す。

無限体中の1個の剛体円形介在物の応力分布を図11に示し，2個の剛体円形介在物の干渉問題においてa／d

＝0．5の場合の応力分布を図12に示す。また無限体中の 1個の剛体球状介在物の応力分布を図13に示し，2個の剛体球状介在物の干渉問題においてa／d＝0．5の応力分布を図14に示す。図中の実線は，母材境界上の応力分布であり，破線は介在物境界上の分布である。最大応力の発生位置は前節の円孔や球かの場合と異なり，介在物が 2個存在する問題では図10のB点（ψ＝−90°）の近傍で発生し，また介在物が1個存在する問題でもB（ψ

＝−X0°），B （ψ＝90°）の点の近傍で発生している。

さらに2つの介在物が近付く（a／dが大きくなる）と，

干渉効果により，最大応力の値は増加している。また2 一go −60 ．30 0 30 60 go 次元の問題では，2個の剛体円形介在物の干渉効果によ Ψ【degl る最大応力値σm、、の変化率は38．3％で，同様に3次元図9 境界上の応力分布（3次元）において，2個の剛体球状介在物の干渉効果による最大

（α／4＝0・9，σ⊆0，げニ1，EI／EM＝0・0，りM＝レ1＝0・3）応力値σm、、の変化率は10．8％となり，2次元のほうが

(8)

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（a） 2個の円形介在物の干渉（2次元）（b） 2個の球状介在物の干渉（3次元）

図10 2個の介在物の干渉問題

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図11境界上の応力分布（2次元）図12 境界上の応力分布（2次元）

（ごz／4＝0，σ，㌘＝0，σご＝1，EI／EM＝oo，りM＝レ1＝0．3）（α／4＝0．5，σ，r＝0，σご＝1， EI／EM＝oo，レM＝り1＝0．3）

干渉効果による最大応力値σの変化率が大きい。この最大応力値の変化率は，剛体介在物の方が大きいが，B ことは前節の円孔や球かの場合と同様の傾向である。し点における変化率では円孔や球かの方が大きくなっていかし，最大応力の発生位置が図10のB点（介在物が接近る（a／d＝0．5のとき）。

する点）の近傍であるために，B点での最大応力の変化また弾性比EI／EM＝∞で介在物の半径a＝0．9，中率は，2次元の問題の方が大きくなっており，円孔や球心間距離d＝2，として，介在物を近づけたと考えたと

かの場合とは異なっている。以上の結果をまとめると，きとする図を図15，16に示す。これによると干渉効果に

(9)

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図13境界上の応力分布（3次元）ψldeg】図14境界上の励分布（3次元）ψ【degI

（α／4＝0，σご＝0，σごニ1，EI／EM＝oo，レM＝り1＝0．3）（α／4＝0．5，σご＝0，σご＝1，EI／EM＝oo，りM＝り1＝0・3）

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ψ【degl 図16 境界上の応力分布（3次元）

⑰／4−。．9熈鷺恕三鷲一＿α3）白／4−・・9，オー・・ピー1・EI／輪一…淘一…α3）

(10)

よる変化率がB点の近傍で急激に大きくなっている。中の1個の球状介在物の応力分布を図19に，2個の球状介在物の干渉問題において，a／d＝0．9の場合の応力分 3・4 その他の弾性比による干渉効果の比較布を図20に示す。同様にしてE、／EM＝2．0の場合，円母材と介在物の弾性比EI／EMが3・2，3・3節の遷移領形介在物の干渉問題の応力分布を図21，22に，球状介在域の例として，EI／EM＝0．5と2．0の場合を考察する。物の干渉問題の応力分布を図23，24に示す。

EI／EM＝0．5の場合，無限板の1個の円形介在物の応力 El／EM＝0．5の場合，最大応力は円孔や球かの干渉問の分布を図17に，2個の円形介在物の干渉問題において題と同様にA点（ψ＝0°）近傍で発生している。また a／d＝0．9の場合の応力分布を図18に示す。また無限体 a／dが大きくなると干渉効果により最大応力の値は減少

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図17 境界上の応力分布（2次元）図19境界上の応力分布（3次元）

（α／4＝0，σ，『＝0，σご＝1，EI／EM＝0．5，りM＝り1ニ0．3）（α／4＝0，σご＝0，σご＝1，EI／EM＝0．5，レM＝り1・＝0，3）

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図18境界上の応力分布（2次元）図20境界上の応力分布（3次元）

（α／4＝0・9，σ）『＝0，σご＝1，EI／EM＝0・5，レM＝り1＝0・3）（α／4＝0．9，σご＝0，σご＝1， EI／EM＝0．5，りM＝レ1＝0．3）

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