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物理学序論２ （電磁気学入門）
第１4講 160122
3 波数ベクトル k ： 波の進行方向を向き、|k|=2p/l 電場ベクトル E ： 媒体の振動方向を示し、最大振幅が|E| = E0 横波であれば、振幅方向と波数ベクトル k は直交するので k・E=0 電磁波の3次元空間における平面波は E = E0 sin(w t - k・r) = (E0x , E0y , E0z ) sin (w t- k・ｒ） k・ｒ = kx x + ky y + kz z 真空中のガウスの法則： ∇・E = 0 k・E=0 証明： すなわち、ガウスの法則は電磁波が横波であることを示す。 r ¢ E = 0 ! @E@xx + @Ey @y + @Ez @z = 0 ! (kxE0x + kyE0y + kzE0z) cos(! t ¡ k ¢ r) = 0 ! k ¢ E0 = 0
３次元空間で、点源から発せられる波は球面状に広がる。 波源が考えるサイズに比べて十分小さければ点源となる。 エネルギー密度が距離の2乗に反比例して減少するので、振幅は
~1/r
に比例する。 波動関数は球面波 (spherical wave)
Ã(r; t) =
1
r
u(!t
¡ kr + Á)
5 付録
3D 平面波を絵として表現
平面波 ： １次元表現 ２次元表現 ３次元表現 波形を描けない 位相を色で示すk
u = u0sin(!t ¡ k ¢ r) = u0sin(!t ¡ kxx ¡ kyy ¡ kzz)u = u
0sin(!t
¡ kx)
x
yx
方向進行波u
0sin(!t
¡ k
xx
¡ k
yy)
x
yx-y
方向進行波 k ３次元平面波の振幅を絵で表現するには4次元空間が必要。 そこで、3次元空間における波面と波面での振幅を 分けて表現することとする。 上右図： 3次元空間において、平面波の振幅 と位相が 一定の波面を表す。 右図では、波面上の電場の振幅と方向を矢印で表現し、7
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電磁波発生の基本は電気双極子振動。 静的な電気双極子の電場 電気双極子が振動すると 11 ダイポールアンテナは振動する電気双極子と同等
電磁波の発信と電場の向く方向
電磁波は横方向に偏極しているという 放送業界では偏波 光では偏光という言葉を使う。VHF UHF 日本の放送では水平偏波が基本。 田園地方などでは混信を防ぐため垂直偏波の中継局あり （五月山にあるテレビ大阪池田中継局は垂直偏波）
水平偏波と垂直偏波
受信アンテナを放送局の偏波に合わせる 八木・宇田アンテナ VHF超短波 30-300 MHz UHF極超短波 300-3000 MHz(b) スイッチオン。電流増加。磁場と電場発生 (c) t =T/4. 完全帯電。電場最大。電流と磁場ゼロ 13 ⦿ 電波の進行方向 アンテナの向き 垂直アンテナからの電磁波を P 点で見た時の時間変化 ダイポールアンテナ発信器 電場の時間変化。 電磁場の変化を下流 P 点から見る ½ l E = ³0; E0sin(!t¡ kx); 0´ B = ³0; 0; B0 sin(!t ¡ kx) ´ y z ここを t=0 にとる P点を x=0 と設定 Ey = E0sin µ 2¼ T t¡ 2¼ ¸ x ¶
偏光： 電場の振動面が特定の方向を向いている光 電磁波の電場はアンテナ軸に平行。 偏極は進行方向に垂直な平面内にあり、 ベクトルで表せる。重ね合わせの原理により 互いに垂直な２つの偏極のベクトル和として表せる。 自然光はあらゆる方向の偏極を一様に含む(非偏光) 偏光板を通すと特定の振動方向のみ通過する。 偏光板の原理： 電磁波が金属格子を通過すると、導体中の 電子は電場力を受けて振動し、オームの法則に よりエネルギーを消費する。 電子は格子に沿って振動できるが、 格子をまたいでの振動はできない。 光は、偏光軸が互いに 垂直な２枚の偏光板を 通過できない。 直線偏光
[やってみよう] 電波の性質を調べよう
実験２ 実験1の板の所に金網（すだれ状）を置いたらどうなるか。 また，面の向きはそのままでゆっくり回転させたらどうなるか。
金網を立てた様子 金網を９０度回転させた様子
ヘルツの実験②
発信器 ﾊﾞﾁﾊﾞﾁ Ｅ ループ受信器（電場Ｅ 磁場Ｂとも受信可能） (c) (d) E Ｅ B B 平行 垂直電磁波のエネルギーは振幅の２乗に比例する。 非偏光の光が偏光板を通過すると、２成分のうち １成分が失われるので強度は１/２。 しかし、偏光している光が偏光板を通過する場合 偏光軸が q だけ傾いていると、通過振幅は cosq に比例するので、強度は I = I0 cos2q となる。 (教科書p281 例題34-3) 非偏光の光 (b) をまず鉛直偏光板 (c) を通して、 水平成分を除去する 。次に (e) に水平偏極板を置けば 鉛直成分を遮断するので、光は完全に除去できる。 光は (a) に到達しない。 ところが、間に角度 q だけ傾いた偏光板 (d) を置くと 水平方向の偏光が復活する (e)。 垂直偏光の光は図のベクトル1で表されるが、 60°偏光板を通るときはベクトル 2 と 3 の合成として 表され、 60°偏光板はベクトル2を通す。 ベクトル 2 は水平成分 4 を含み、その振幅は元の垂直 ベクトルの cos60°cos30°=1/2×√3/2=√3/4 となる。 元のベクトル1はすでに非偏光強度 I0 の1/2に なっているので、最終的な強度は I3 = ½ ×(√3/4)2I 0 = 0.094 I0 である。 17 遮断した偏光の再生 (a) 偏光板通過後の電磁波が持つエネルギー
電磁波のスペクトル
19 大気の窓 生物は、地球の環境に合わせて進化してきた。生物は当初水の中で進化した。 大気の窓は光とマイクロ波以上の電波に開いている。しかし、水は電波を吸収する。 またエネルギー（∝ hn ）は圧倒的に周波数の高い領域に集中している。 故に使える電磁波は光のみ ヒトはなぜ光だけを感知できて他の周波数帯に不感なのか？ 大気は電磁波を吸収する。しかし開いている窓もある。 ヒトは3色のみ：ほ乳類は通常2色 魚類、両生類、は虫類、鳥類は4色を持つ ものが多い。 各種動物は生態に合わせ感覚を進化させた 初期のほ乳類は夜行性で赤青の2色のみ 霊長類が緑を獲得。果実発見に有利。 太陽の恩恵は計り知れない。生物は太陽にはぐくまれた。
猫は赤が見えない。ヒトの赤緑色盲に近い感覚。また遠くの景色はぼける。 猫の網膜は桿体細胞が多く、楕円形の瞳孔と大きな角膜を持つので、 暗いところではヒトの～8倍よく見える。 桿体細胞は切り替え速度が速くネズミの素早い動きに対応できる （高速撮影低速映写）。 逆に人間の目は、亀の遅い動きを検知できる （低速撮影高速映写）。 人の目 猫の目 人の目 猫の目 http://buzzap.jp/news/20131017-cats-eye-view/ 4色が見える画家 Concetta Antico サンディエゴ在住
電磁場の異なる物質面における境界条件 物質中のマクスウェル方程式は、形式的には e0e, m0m として得られるが、 D (= e E), H (=B/m) と E, B の使い分けに注意する必要がある。 また、物質中の光速度は、 v = w/k = 1/√em である。 境界条件１： E の接線成分が連続 証明： ファラデーの法則 の積分型 を使う。 線積分の経路 C を両境界にまたがり、境界に平行な四角な微小ループに設定する。 長辺の長さを l 短辺の長さを Dh とし、短辺が境界を横切るものとする。 長辺に沿った電場の接線成分を、長辺 に沿って Et1, Et2, 短辺に沿っての成分をそれぞれ Et2
,
Et4 とする。 ファラデーの法則を微小ループに適用すると ここで Dh 0 とすれば、短辺からの寄与と面積分は共に消える。 したがって、 Et1 = Et2, (同様にして, アンペールの法則を使えば、 Ht1 = Ht2 Bt1/m1 = Bt2/m2 ) 21l(E
t1¡ E
t3) + ¢h(E
t2¡ E
t4) =
¡
@B
@t
l¢h
反射と屈折の法則
I C Etds = ¡ @ @t Z A BndA境界条件２： D (=eE) の法線成分が連続。 証明： ガウスの法則 (∇・D = 0 )の積分型を使う。 ガウス面を境界を横切って垂直に立てた円柱とし, 円柱上下端の面積を A, 面に垂直な電束密度成分を Dn1 , Dn2 , 円柱の側面積を A’, 側面の電束密度の法線成分を D’n とする。 真電荷は存在しないからガウス積分は、
∫
ADndA = A(Dn1 - Dn2 )+ A’D’n = 0 となる。ここで円柱の高さを0とする極限をとれば、側面積 A’ 0 となるので Dn1 -Dn2=0 を得る。境界面の電束密度の境界条件は Dn1 = Dn2 e1En1= e2En2, （同様にして、磁場に関するガウスの法則より Bn1 = Bn2 ) 境界条件まとめ： 電場の接線成分 E , 電束密度の法線成分 D が境界の両側で等しい。23
光の反射と屈折の法則
25 屈折のより直観的な説明：
光速度の異なる媒質の境界では屈折が生じる
屈折率が変化すると 光は屈折率の大きい方に曲がる。 暖かい空気： 屈折率小 上にあると下に曲がり（上位蜃気楼） 実像の上に虚像ができる 下にあると上に曲がる（下位気楼） 実像の下に虚像ができる。 浮島現象、アスファルトの逃げ水現象 砂漠のオアシス幻覚 上の実像
蜃気楼： 屈折率が起こす自然現象
http://www.city.uozu.toyama.jp/nekkolnd/mirageex/倒立像を正常に戻し光経路を長くする 27 全反射の使用例 一眼レフファインダー 光学的に密から疎の物質へ 入るとき臨界角以上は全反射 光ファイバーは全反射を 使い損失～0で伝達する 全反射
色分散
図７ 図８
29
反射による偏光：
P偏光 ● S偏光 反射や屈折を起こす際、媒質の振動方向は変わらないが 光の進行方向が変わる。偏光ベクトルのうち進行方向に垂直な成分 のみが生き残るので偏光度が変わる。 このため反射光は偏光するので、 偏光めがねで反射光を遮ることができる。S 波は反射屈折により 垂直性を失わないので反射強度 R は反射角と共に単調増大する。 P 波には反射強度が 0 になる角度がある（ブリュースター角) ブリュースター角がある理由 ブリュースター角は入射角と屈折角の和が90°になるところで。 簡単のため媒質1は真空とする。偏光ベクトルの互いに垂直な2成分が同位相であれば、 分解しても合成して振動面が変わるだけで直線偏光である ことに変わりはない。 2成分の振幅が同じで位相が90°ずれると円偏光になる。 中間はだ円偏光。枠内の波動関数 は x = 0 でそれぞれ右(左)回りの円運動 を表す。 (RH/LH はright/left-handed） 31 左巻き円偏光 右巻き円偏光 図参照：https://en.wikipedia.org/wiki/Circular_polarization RH=LH circular polarizatiom Ey = E0cos(kx ¡ !t) Ez = §E0 sin(kx ¡ !t) 右円偏光 左円偏光 フィルター フィルター 円偏光 右巻きの定義１：上流から見て、定点で右回り or 時計まわりに回転する。 時刻を固定し、空間の波形を見るときは左ねじの形 (電気工学、理学・天文学) 定義2：下流から見る (光学)
円偏光を作るには： 直線偏光板と1/4波長板 を通す。逆に円偏光を 1/4波長板に通すと 線偏光になる。 複屈折結晶では、屈折率が直線偏光の振動方向によって異なるため、互いに直交する直線 偏光成分で屈折角が異なり、光線が二つに分離する。一本の線が複屈折により二本に見える。 それぞれで伝播速度が異なるので、結晶を透過した後に直交する直線偏光成分の間には位 相差が生じる。 直線偏光を楕円偏光や円偏光に、また逆に楕円偏光や円偏光を直線偏光に変える偏光素 子がλ/４板（quarter wave plate）である。
