Blue circle & gradation

数学１

に関連した統計教材

Takakazu Sugiyama

これは

2013年に東京都教育委員会の要請による

講演のパワーポイントです．

データの要約をしよう！

1.1 データの性格

回答選択肢に順序関係がないデータは

名義尺度

という

.

回答選択肢に順序関係があるデータは

順序尺度

という．

このような質的データに名目上数値を割り当ててデータが

処理される場合があるが、その際の数値自身には意味が

ないことに注意しなければならない．

表

1.1 平成20年度の各疾患による死亡数

疾患に順序関係 がないので

名義尺度の データ

表

1.2 平成13年児童環境調査（厚生労働省）

毎日 4日以上 2～3日 1日だけ ほとんどない 合計

553

300

546

190

128

1717

32.2% 17.5%

31.8%

11.1%

7.5%

100.0%

5つの頻度（毎日・4日以上・2～3日・

1日だけ・ほとんどない）には、頻度に

よって順序関係が存在しており、

順序尺度

のデータである。

質的データではなく、数値によって記録されるデータを

量的データ

という．量的データはデータ間の差に意味を持つ．

具体的に身長データや気温データを考えてみる．中学

1年時

に

155cmであった身長が中学3年時には168cmに伸びて

いたとき中学校で

13cm身長が伸びたことになる。

また、前日の最高気温が

31℃で今日の最高気温が27℃で

あるとき、今日は

4℃ほど前日よりも最高気温が低いというこ

とになる．

最高気温・最低気温に関しては日々の天気予報でも同じよう

なことが報道されている．

量的データは、割合を考えることによって

2種類のタイプに分

けることができる．

中学

1年時に155cmであった身長が高校卒業時に181cm

になっていたとすると、この人は中学

1年時よりも約1．17倍

身長が高くなっている．ところが、最高気温

31℃の日は最高

気温

20℃の日よりも1．55倍暑いということにはならない．

これらの違いは“

0”の意味に違いがあることから生じる．身長

や長さの場合

0cmとは「長さがない」ということになるが、温

度

0℃は「温度がない」ということにはならない．

0の意味が絶対的でデータ間での割合が意味を持つデータで

あるとき

比尺度

のデータといい、

0の意味が相対的でデータ

間での割合が意味を持たないデータであるとき

間隔尺度

の

データという．

また、年間の渡航回数や出生数など離散的な値しかとらな

いタイプを

計数データ

、気温や為替相場など連続的な値を

1.2 データのグラフ化

データをグラフ化する際によく用いられるものに棒グラフがある． 図1.1-1は棒グラフで表したものである．名義尺度のデータであ る

．

図1.2 年齢別日本人人口（平成19年1月1日現在、厚生労働省）

年齢別日本人人口を表したグラフが図

1.2である．この場

合は年齢別に日本人人口が集計されており

順序尺度の

また、図

1.3のように年度ごとに

棒グラフ

を描くことによって、

各年齢の人口推移を知ることもできる．

時間とともに変化する計測値の特徴を捉えやすいグラフが折れ線 グラフである．図1.4は人工透析者の変化を表したものである．

表1.5 平成16年 母親の年齢別出生数 （厚生労働省） 表1.5は母親の年齢別出生数を調べたものである．これらを円グラフに表 したものが図1.5である．円グラフは構成比率を表現するのに適している． 図1.5 母親の年齢別出生数

母親の年齢 ～14歳 15～19 20～24 25～29 30～34 35～39 40～44 45～49 50歳以上

出生数

45

18549 136505 370245 415948 150242 18701 483

16

構成比率を比較する場合には、複数のデータ系列を同心円状に ドーナツのように表した ドーナツグラフや帯グラフが便利である． 図1.6は平成16年の母親の年齢別出生数と昭和50年の母親の 年齢別出生数を合わせたドーナツグラフである．昭和50年の方が 若い年齢で 出生する割合が多いことが分かる． 図1.6 母親の年齢別出生数

図1.7は2000年度と1980年度の総人口を世代別にまとめた帯グ ラフである．昨今言われている高齢化になりつつあることが伺える．

図

1.8は104人の日本人頭蓋骨の頭周長を計測した結果を

幹葉図

にしたものである．左端の数値

(50～58)は各計測値

の整数部分を表し、右側の数値は１つずつが計測値の小数

点以下第

1位の値を表している．

幹葉図の右側の数値を棒状に塗りつぶしたものがヒストグラムである． 区分幅を5mmにしたヒストグラムが図1.9である．幹葉図と同じような 傾向になっている．

データの様子を表す箱ひげ図はデータを縮約した中央値・第1四 分位点・第3四分位点・最大値・最小値などを用いて作成される． 下図は先ほどの頭蓋骨の頭囲長を男性71人，女性33人それぞ れについての箱ひげ図である．

20

・四分位数（四分位値，四分位点）

四分位数と四分位偏差

21

・四分位範囲と四分位偏差

四分位数と四分位偏差

22

１）データを大きさの順に並べ、中央値を求め、

第２四分位数とする。

２）中央値を含まない中央値以下のデータのみで

中央値を求め、第１四分位数とする。

３）中央値を含まない中央値以上のデータのみで

中央値を求め、第３四分位数とする。

データの個数が偶数の場合は、中央値のときと

同様に中央に並ぶ値の平均値を用いる。

四分位数の求め方

23

例１．次のような１５個のデータの場合

四分位数の求め方

１）第２四分位数（中央値）を求める

８番目が中央（前からも後ろからも８番目）

なので、その値１８が第２四分位数。

24

例１．次のような１５個のデータの場合

四分位数の求め方

２）第１四分位数を求める

第２四分位数として使った８番目を除いた

１～７番目の中央である４番目の値１６が

第１四分位数。

25

例１．次のような１５個のデータの場合

四分位数の求め方

３）第３四分位数を求める

第２四分位数として使った８番目を除いた

９～１５番目の中央である１２番目の値１８が

第３四分位数。

26

例１．次のような１５個のデータの場合

四分位数の求め方

５数要約

27

例２．次のような８個のデータの場合

四分位数の求め方

１）第２四分位数（中央値）を求める

４番目と５番目が中央の値なので、

その値平均値１３．５が第２四分位数。

28

例２．次のような８個のデータの場合

四分位数の求め方

２）第１四分位数を求める

第２四分位数

より前にある中央値

１１が第１四分位数。

29

例２．次のような８個のデータの場合

四分位数の求め方

３）第３四分位数を求める

第２四分位数

より後ろにある中央値

１９が第１四分位数。

30

例２．次のような８個のデータの場合

四分位数の求め方

５数要約

31

Excelを使うと５数要約を簡単に求めることが可能

関数：

QUARTILE（配列,戻り値）

配列の中から戻り値に対応した

５数要約の値を求める。

０：最小値 １：第１四分位数

２：第２四分位数 ３：第３四分位数

５：最大値

四分位数の求め方

32

ただし、

Excelでの四分位数の定義式が異なるため、

例２の第３四分位数は１８．５と異なる値を得る。

これは推定の基準が異なるためにおこり、どの基準

を使うかによって、値が変わってくる。

四分位数の求め方

33

「箱ひげ図」は「四分位数」と「最大値・最小値」（つまり

５数要約）を使って、分布の散らばり具合をグラフ化し

視覚的にわかりやすくしたものである。

見た目は株価のローソク足のようになっており、箱から

２本のひげが生えているようなグラフとなる。

新しい内容

箱ひげ図について

34

例１．次のような１５個のデータの場合

箱ひげ図のかき方

５数要約

35

箱ひげ図のかき方

１）第１四分位数と第３四分位数を両端とした

箱（長方形）をかく。

36

箱ひげ図のかき方

37

箱ひげ図のかき方

38

箱ひげ図のかき方

39

箱ひげ図のかき方

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例２．次のような８個のデータの場合

箱ひげ図のかき方

５数要約

41

箱ひげ図のかき方

42

箱ひげ図のかき方

43

箱ひげ図のかき方

44

箱ひげ図のかき方

５数要約

45

箱ひげ図のかき方

５数要約

箱ひげ図を見てわかること

これまでは1つの計測値に対するグラフであった．この他にもいくつか の計測値を同時に表現するグラフがあるので，紹介する． 下の図は2007年6月の最高気温・湿度をグラフに表したものである． このような図を相関図または散布図という．横軸に最高気温，縦軸に 湿度をとり，1日の(最高気温，湿度)のデータを1点として表したもの である．2つの観測値を平面上で表現することにより，2つの観測値の 関係が分かり易くなる

．

栄養バランスを表現するグラフとして下の図なども使われている． これはレーダーチャートと呼ばれ，中央にできる図形の形から全体 のバランスをみたりするためのグラフである．

2 データの縮約値

2.1 モードとメディアン

順序尺度のデータや間隔尺度のデータを大きさの順に整列

させたとき，ちょうど中央に位置する測定値を

メディアン

また

は

中央値

という．名義尺度のデータに対しては，メディアンが

定義できないことに注意されたい．

表

1.3の

1月のメディアン

は，

10日の4.3℃が小さい方から

16番目のデータ

であるので

4.3℃がメディアンとなる．

2月

の

メディアンは，小さい方から

14番目の7℃

と

15番目の6.5℃

の値が中央になる．このように計測値が偶数個ある場合に

は，中央になる

2つの値の平均をメディアンとする．つまり，

が

2月のメディアン

ということである．

℃

75

.

6

)

5

.

6

7

(

2

1





52 一般的には、平均値になる確率が一番高くなることを 保証しているわけでもなく、平均値を境に出現確率が ５０％になっていることを保証しているわけでもない。 つまり、データに偏りが存在した場合、平均値は 真ん中の値と呼べない場合もある。

平均値について

53 そこで、数値的な意味以外で真ん中となるような値を 次のように定義している。

中央値と最頻値

54 例． ２０人の年収が次のようなとき、平均値・中央値 最頻値はそれぞれいくらになるか。

平均値・中央値・最頻値

55

平均値・中央値・最頻値

56 左右対称でないデータに対して、平均は「真ん中」を 表す数字として適当でないことが多い。 特に平均は、 他のデータに比べてあまりにも大きい（もしくは小さい） 値があると、その値に引きずられてしまう。 そのため、 所得の例ように一部の人間が大きな収入がある場合、 平均値は感覚よりも大きな値となってしまう。この場合 は中央値・最頻値の方が感覚と一致している。

平均値・中央値について

57

58

母集団と標本：

標本調査の例

日本人の

18才の女性の身長

を調査

• 調査方法１

• 調査方法２

59

• 標本 : 観測値の集まり

• 標本の例

– 18才の女性の中から100人を抽出し，

身長を測定したところ次のようであったとする

– この100人について測定した数値から，

母集団である

18才の女性の身長の特徴を推測

する

60

標本抽出の仕方

日本人の

18才女性の身長の平均値を調べる

• 標本 : 日本全国から100人を抽出

– 偶然,

関東地域と近畿地域の人が多く抽出された

とする

– 問題点

: これらの地域の身長の平均が全国平均

より大きいならば，結果として本当の値よりやや大

きめの値を全国平均としてしまうおそれがある

61

標本抽出の仕方

日本人の

18才女性の身長の平均値を調べる

62

偶然生じる偏りの回避

偶然に生じる偏りを少なくするための方法

63

相関係数：

関連性の尺度

• 問題

64

変量間に関連性が見られるデータ

• 変量間に関連性が見られるデータ

– 喫煙と肺がんの関係

– 植物の栄養状態と子実生産量

– 姉の身長と妹の身長

– 入学時の成績と卒業時の成績

– 耕地面積と農業所得 等々

• 関連性の強さの表現法について考える

65

相関係数

• 記号

• 相関係数

66

正の相関と負の相関

67

相関の強さ

• 相関係数の取り得る値 :

• 相関の強さ

–

–

–

– 相関係数は

曲線的な関連性を表現することがで

きない

68

相関の強さ

69

例

: 相関係数の求め方

• 20歳の女性の「安静時の最高血圧」と

「排尿直後の最高血圧」との相関係数を求め

る

• 相関係数の定義

各変数の平均値

:

70

相関係数の計算

• 相関係数の分母の計算

71

相関係数と散布図

• 相関係数の分子の計算

• 相関係数

72

相関係数の大きさと散布図

相関係数 0.6 相関係数 0.7 _{相関係数 0.8}

講演資料の作成では、神奈川工科大学准教授

の竹田

裕一先生の資料を、一部使わせていた

だきました。ご了解いただいた竹田先生に感謝

いたします。