定常電流の磁気的相互作用と作用反作用の法則

愛知工業大学研究報告

第2 7号 平 成4年

論文

l

定常電流の磁気的相互作用と作用反作用の法則

乱

1agneticI

n

t

e

r

a

c

t

i

o

n

s

of Stationary E

l

e

c

t

r

i

c

Currents

and the Law of Action and Reaction

鵜飼正和・岡田静雄・

H

陪

E

忠一朗

1

I

1

as乱kazuUKAI

，

Shizuo OKADA

，

Chuichiro HATTORI

We

c

1

i

scuss the charaderistic features of the magnetic interactiou of a statiouary electric current with the other elements

，

regarcling it as叩 interadiou-at-a-

c

I

i

st叩ce.

Using Stokes' theorem

，

we derive formulas to represent forces and moments of force interading between closed stationary currents by means of surface integrals. These formulas lead to the generalized law of action阻 dreaction and the wellknown equivalence

between a colsed stationary current and a system of in五nitesimalmagnetic

c

1

i

poles. The e

:

f

f

ect of the self-aεtion of a stationary current is also

c

1

i

scussed. 1.はじめに Newton力学の基礎部分は粒子の力学であり， それは，粒子が行う相互作用が遠隔作用であると の立場で理論構成されている.その相互作用の一 般的特性を表現するのが，第3法JlIJである作用反 作用の法則である.作用反作用の法則は

i2

つの 粒子の間に働きあう力は，大きさは等しく，逆向 きであり，ふたつの粒子を結ぶ直線上にある

.

J

と 定式化される.この法則は，遠隔作用論において 閉じた粒子系の運動量保存の法則と角運動量保存 の法則を保証する役割を持つ. 一方， Maxwell電磁気学は電磁気的相互作用 が近接作用であり，荷電粒子とともに，作用を媒 介する電磁場が本質的な役割を果たすものとして 構成されている.しかし，電磁場が時間的に不変 な静電磁場であるときは，近接作用と遠隔作用と の違いは現れないから，相互作用を媒介する電磁 場を消去して，粒子聞の電磁気的相互作用を遠隔 作用の立場で定式化することができる.静止した 電荷聞の電気的相互作用と，静止した磁荷間の磁 気 的 相 互 作 用 を そ れ ぞ れ 記 述 す る Coulombの法 則 は そ の 例 で あ り ， こ れ ら Coulombの法則にし たがうカは作用反作用の法則を満たす. この事実は，閉じた系の運動量保存の法則と 角運動量保存の法則を基本的な物理法則とみなす 立場からすれば当然のことといえる.なぜなら， 場を消去して電磁気的相

E

作用を遠隔作用として 扱うことは電磁場の持ち運ぶ運動量，角運動量を 無視する近似を取ることであるから，残った閉じ た粒子系での運動量，角運動量保存の法則が成り 立ち，これを保証するものとして，粒子聞の相互 作用は作用反作用の法則を満たすことになると考 えられるからである.(もちろん，たとえば荷電位 子が運動すれば，変動電磁場が形成され，遠隔作 用論的な取扱いは正しくなくなる.ここでは，そ れを無視する近似の上での荷電粒子系の運動量， 角運動量保存の法則を論じていることになる.) しかし，静磁場と相互作用するもう一つの要 素である定常電流を含めて考えたとき，作用反作 用の法則について立ち入って考慮することなく， これを単純に適用することはできない事情が生ま れ る . 真 空 中 で 定 常 電 流 が つ く る 静 磁 場 は Biot -Savartの法則

2 _{愛知工業大学研究報告，第27号A，平成 4年， Vo.l27-A， Mar.1992} T

一

× 一 3 d

一

T r i

一

f φ E C 内 一 釘

B

t

)

E A

(

で記述される.ここで，

l'

ま電流量，

C

は回路を 表 す 閉 曲 線，

d

l

は回路

C

の微小線要素， l'は線 要 素 dlからの位置ベクトルであり，Bはその位 置につくられる磁束密度である.また， μo，ま真空 の透磁率である.Biot-Savartの法則は電流回路全 体 の 周 囲 積 分 で は じ め て 明 確 な 意 味 を 持 つ も の で あ る が ， そ の 形 式 上 ， 微 小 電 流 要 素

I

d

l

が位置 T に 微 小 磁 束 密 度 dB=

(

μ

0

/

4π)

(

I

d

l

x

r

/

r

3

)

をつ く り ， そ の 重 ね 合 わ せ で 磁 東 密 度 B が 形 成 さ れ るというように「読む

J

ことができる.このため， 少 な く な い 物 理 学 の 教 科 書 に お い て ， 微 小 電 流 要 素 を 磁 気 的 相 互 作 用 の 要 素 と し て ， 磁 荷 や ， 他 の 微 小 電 流 要 素 と の 間 の 磁 気 的 相 互 作 用 に 作 用 反 作 用 の 法 則 を 適 用 し て 論 ぜ ら れ て い る . 図1 図1の よ う に 磁 荷 m と 微 小 電 流 要 素

I

d

l

とが及 ぼ し あ う 力 が 大 き さ が 等 し く 逆 向 き で あ る こ と を 根 拠 に ， 微 小 電 流 要 素

I

d

l

が 磁 束 密 度 Bの磁場 か ら 受 け る カ

df

は

df

=

IdlxB

(

2

)

で 与 え ら れ る こ と を 導 く 議 論 が そ の 例 で あ る . 作 用 反 作 用 の 法 則 が そ の 根 拠 と し て 取 り 上 げ ら れ て い る が ， 働 き あ う 力 が ， 作 用 し あ う 要 素 を 結 ぶ 直 線 上 に な く ， 粒 子 鴎 の 相 互 作 用 に つ い て の 作 用 反 作用の法員IJを逸脱していることが無視されている. もちろん，他のいくつかの教科書は，1"Biot-Savart の 法 則 は 積 分 形 で は じ め て 明 確 な 意 味 を 持 つ 」 点 を 指 摘 し つ つ ， 作 用 反 作 用 の 法 則 の 「 正 し い 」 適 用 に つ い て 論 じ て い る が ， し か し ， そ の 場 合 で も 十 分 問 題 が 掘 り 下 げ ら れ ず ， 定 常 電 流 を 含 む 系 の 相 互 作 用 に お い て ， 作 用 反 作 用 の 法 則 が い か な る 意 味 を 持 つ か は 必 ず し も 明 確 と は い え な い . こ の 小 論 の 目 的 は ， こ の 点 を 明 確 に し ， 大 学 に お け る 物 理 学 教 育 に 資 す る こ と に あ る . 2.作用反作用の法目1Iについて 作 用 反 作 用 の 法 則 に つ い て よ く 知 ら れ て い る ことではあるがp そ の 意 味 を 確 認 す る た め に 整 理 をおこなう固まず， 2つ の 粒 子 間 の 相 互 作 用 を 考 える.粒子lが位置1'1にあり，粒子2が位霞1'2 にあるとし，粒子1が粒子2から力 112を，粒子 2が粒子1からカ

f

2

1

を受けるとする.このとき， 作 用 反 作 用 の 法 則 は f12+I21

=0

，

(1'l-r2)x!12 = 0

(

3

)

(

4

)

な る 式 で 表 現 で き る . ま た ， 粒 子1が粒子2から 受 け る 力 の 原 点 に 関 す る モ ー メ ン ト を n12とし， 粒 子2が 粒 子1か ら 受 け る 力 の 原 点 に 関 す る そ ー メントを n21とすると， n12= 1'1 X f12

，

n21= 1'2 X f21

(

5

)

である.定義から明らかに η12(n21)はf

u

<

f21) に 直 交 す る . そ し て ， 式

(

3

)

，

(

4

)

から n12十η21

=

0

(

6

)

が 導 か れ る . も ち ろ ん ， 原 点 の 取 り 方 は 任 意 で あ り，上式は任意の点に関するモーメントについて 成立する.このように作用反作用の法則は，式

(

3

)

と式

(

6

)

が成立すること，つまり1"2粒子に働く 2つの力の和と，それらのカの任意の点に関する モーメントの和がいずれも Oである」ことを主張 する. さで，次に粒子系1と粒子系2の閣の相互作用 に つ い て 考 え る . 粒 子 系

1

が粒子系

2

から受ける 力の総和，力のモーメントの総和をそれぞれ F12，

N

12とし，粒子系

2

が粒子系

1

から受ける力の総 和 ， 力 の モ ー メ ン ト の 総 和 を そ れ ぞ れ F21，

N

21 と す る 圏 構 成 粒 子 関 の 相 互 作 用 が 作 用 反 作 用 の 法 則 を 満 足 し て い る と す れ ば ， 明 ら か に F12

+

F21= 0

，

N12

+ N

21 = 0

(

7

)

(

8

)

が成立する.これらは， 2粒 子 の 相 互 作 用 に お け る関係式

(

3

)

，

(

6

)

と形式的には全く悶ーであり， い ず れ も 全 系 が 閉 じ て い る 場 合 に 運 動 量 保 存 の 法 則 と 角 運 動 量 保 存 の 法 則 が 成 立 す る 根 拠 を 与 え て

定常電流の磁気的相互作用と作用反作用の法則 3 いる.しかし， 2粒子聞の相互作用の場合と違っ てこの場合は

N12(N21)

は必ずしも

F

1

2

(F

2

1

)

と直交せず，力と平行な成分を持つ.力のモーメ ントを力と平行な成分と垂直な成分に分解すると， それぞれが式

(

8

)

を満たすから

N1

2

1

1

+

N2

11

1

=

0

，

N

1

2

ょ

+ N

2

1

ム

=0

(

9

)

(

1

0

)

である.垂直成分

N

121.(

N

2

1

.J..)に対しては，適 当な位置ベクトル

r

1

(r

2

)

を選んで

N1

2

ょ

=r1xF12

，

N21

.J..

=r2XF21

(

1

1

)

とすることができる.明らかに，位置ベクトルr1

(

r

2

)

は力

F

1

2

(F

2

1

)

の方向成分の任意性を除い て決定され，式

(

9

)

から式

(

4

)

に対応する

(

r

1

-r

2

)

x

F

1

2

=

0

(

1

2

)

が得られる.このように，この場合には式

(

8

)

では なく，式

(

1

0

)

が

2

粒子の場合の式

(

6

)

の役割を果 たす.この意味で，カとは独立に力のモーメント の平行成分

N

1

2

I

1

'

N

2

1

1

1

が存在し，それが式

(

9

)

を 満 た す こ と が ， 粒 子 系 の 聞 の 相 互 作 用 の (2粒 子の間の相互作用とは違う〉特徴である.

S

N

N

S

図2 具体例をあげよう.図2のように， 2つの棒 磁石がそれらの中心を結ぶ線分

PQ

とそれぞれ直 交し，かつ，ねじれの位置にある場合の棒磁石間 の相互作用を考える.明らかに

E

いの間に通常の 作 用 反 作 用 の 法 制 に し た が う 引 力 ( ま た は 斥 力 ) が働くとともに線分

PQ

を軸とする大きさが等し く逆向きの(偶力の)モーメントを及ぼしあう. 以上の粒子系に関する事柄はよく知られてい ることである.それにも関わらず，以上の整理を 行ったのは次のことを改めて確認するためである. つまり，一般に， 2つの系は力を及ぼしあうとと もにそれと独立に〈偶力の〉モーメントを及ぼし あう.そして，及ぼしあう力の総和と力のモーメ ントの総和は式

(

7

)

と式

(

8

)

をそれぞれ満足する. このことは，広がりを持つ粒子系に限らず，後述 するように，微小磁気双極子のように無限小の要 素の行う棺

E

作用をも特徴づけるものである.粒 子閣の相互作用について定式化された作用反作用 の法則は，及ぼしあうモーメントが， 1つの力に よるモーメントのみを，つまり力に垂直な成分の みを持つという制限された場合についてであると いえる.この意味で， 2つの系の閣の相互作用が 式

(

7

)

と式

(

8

)

を満たすことを，一般化された作 用反作用の法則と呼ぶことができる.逆に，任意 の系の間の栢

E

作用が作用反作用の法則を満たす ことを示すためには，式

(

7

)

と式

(

8

)

のいずれも が成立することを確認することが必要である.こ のことは，言わずもがなのあまりにも当然のこと であるが，いくつかの教科書で定常電流を含む系 の相互作用についての作用反作用の法則を論ずる とき十分考慮が払われていないと思われる. 3.iF常電漏のつ〈る磁東密庭 次に定常電流のつくる磁束密度に関する

B

i

o

t

-S

v

a

r

t

の法員IJ(式

(

1

)

)を分析する.この法則の形 式から「電流要素

I

d

l

のつくるく静磁場の〉微小 磁東密度

dBJ

という表現が慣用的に用いられる. しかし，静磁場をつくるのは定常電流回路全体で あり，決して寄流要素が文字どおり静磁場をつく るのではない.物理的にみると，電流要素は運動 荷電粒子からなり，そのつくる場は時間的に変化 する変動(電)磁場である.定常電流の場合は， そのような変動磁場の重ね合わせの結果静磁場が 実現するのである.つまり，

B

i

o

t

-

S

a

v

a

r

t

の法則で の「電流要素のつくる微小磁束密度」は微小電流 要素のつくる変動磁場の重ね合わせの結果残る静 磁場への寄与部分を意味しているに過ぎないので ある.したがって，つくられているのが静磁場で あるからといって，これを消去し，単純に電流要 素を(遠隔作用としての〉磁気的相互作用をする 基本要素と見なすことは，概念上の混乱を引き起 こす可能性をもっ. 以上のように，定常電流のつくる静磁場を媒 介として起こる磁気的相互作用を遠隔作用の立場 でその性質を論ずるときは，相互作用の基本要素

4 愛 知 工 業 大 学 研 究 報 告 ， 第27号A，平成4年.Vo.l27-A， Mar.1992 としては，定常電流回路全体を取り上げることが 必要である.そして，定常電流回路は当然のこと ながら有限の広がりを持つ系であり，定常電流回 路の行う磁気的相互作用は粒子間の作用反作用の 法則ではなく，前節で述べたように一般化された 作用反作用の法則にしたがうと予想される. しかし，式

(

7

)

と式

(

8

)

が 定 常 電 流 を 含 む 系 の場合に成立することを直接証明しようとすると き，それは必ずしも自明とは言い難い.また，式

(

7

)

の証明を行っている教科書は多いが，式

(

8

)

に 明確に言及している教科書は見あたらない.さら に，作用反作用の法則の適用に関して，一定の混 乱も存在する.したがって，教育的観点からしで も，初等的な議論によって式

(

7

)

，

(

8

)

を直接証明 することの意義は大きい.以下，定常電流の行う 磁気的相互作用において，一般化された意味での 作用反作用の法員IJが成立することの直接証明を試 みる. 4.iF常霞流と磁荷との相可作用 定常電流回路のつくる磁束密度はBiot-Savart の法則(式

(

1

)

)で記述される.一方，微小電流要 素 が 磁 場 か ら 受 け る 力 は 式

(

2

)

で与えられる.こ れは，一般の磁場から運動する荷電粒子の受ける 力を記述する Lorentz力から導かれるもので，こ の場合は， Biot-Savartの法則と違って，回路にわ たって積分することなく，微小電流要素のままで 正しい物理法則である. 1 m?R = ー 」

γ ( 1 3 )

4

τ Ra

で あ る . 回 路 C1の微小線要素を d1'1で表すと， 上式と式

(

2

)

から，定常電流回路全体が磁荷から受 ける力の総和と力のモーメントの総和はそれぞれ F1

ロ

2

=

t

か

1

y

h

削拘d酢ω T

h

例2

f

冒

R

一 一 … 一 一

4宵

J

c

，

~. 1 "

R

3

'

N

12

=ゆ

1'1x

(h

d1'1 x

B

12) J C

，

=干上

1X(dT14)

(

1

4

)

(

1

5

)

である.一方，定常電流回路が磁荷の位置につく る磁束密度は， Biot-Savartの法則 (1)から B ? 1

=

μ

2

_

J

I

l

d

1'

l

X

(-R)

21=

4

宵

凡

，

R3

(

1

6

)

である.したがって，磁荷が定常電流回路から受 ける力と力のモーメントはそれぞれ F21

=

m2{

よ

B

叶

μo

=

子

A1dTIX(

よ

)

，

N n

=

1'2x F21

(

1

7

)

1

I T 1 ..1 R¥¥l (18)

=ヰ竿

{1'2X

ゆ

(hdrlx

(一古))}

引 J C

，

品 である.式

(

1

4

)

の

F

12と 式

(

1

7

)

の

F

2

1

が関係 式

(

7

)

を満たすことは自明である.次に，式

(

1

5

)

の

N

12と式

(

1

8

)

の

N

n

が式

(

8

)

を満たすこと を示そう.付録で述べるように， Stokesの定理を 利 用 す る と ， 任 意 の テ ン ソ ル 場 の 閉 曲 線

C

に関 する周回線積分を，

C

を周とする任意の曲面上

S

m2 の面積分に変換する式が得られる.付録で示した

。

図 3 さて，図3のように，定常電流回路

A

と磁荷 m2が 磁 気 的 相 互 作 用 を 行 っ て い る 場 合 を 考 え て み よ う . 定 常 電 流 回 路 を 表 す 閉 曲 線 を

C

し そ の 電流要素の位置を 1'1で表し，磁荷の位置を 1'2で 表 し ， 棺 対 位 置 を

R

=

1'1一 円 で 表 す も の と す る.磁荷 m2が位置 1'1につくる磁束密度 B12は 関 係 式

(

A

-

3

)

，

(

A

-4)で

，

it=

R/R

3と置くと， 次の変換式が得られる.

t

l

d

m

長

口

_，

_s

_I

向

x

¥

7

I

)

x

芸

=

L

(尚

v

町

刊

1

)

_芸

_芸

3

t

え

ア

1

プ

yT

m

町

州

1

刊

川

×

刈

d

(

附

=

I

1'1 X

{

(

担

lX

マが芸}+

r

杭

x

喜

(

1

9

)

づ

1 n - P日 2 同 一

(

2

0

)

=

I

1'1 X {(dS1

町 長}

+

I

dS1 X

去

を

JS

，

n，- JS

，

n，

定常電流の磁気的相互作用と作用反作用の法JlJI ₅

=

ゴ

叫

1

，同

マ

町

町

d

以

引

仰

附

)

(

T

什

川

ここで， V'

1

は変数

r

1

に 関 す る ナ プ ラ 演 算 子 で ある.また，

dS

1 =

n1d5

1

は曲面

5

1

上の微小面 要素であり

，

n1は 曲 面 の 正 の 向 き の 法 線 ベ ク ト ルである(付録参照).これらの式を導出する際， 被 積 分 関 数 が

R/R

3

=

_-V'

_l

₍

_l

_/

_R

₎

_であり

_，

_l/R

は

L

a

p

l

a

ε

e

方程式の解であるから

マ

1

'

(

芸

)

=

-V'

1

'

V'

1

(

占

)

=

0

(

2

1

)

が成り立つこと，これとベクトルの2重量外積の公 式

(AxB)xC

=

(A.C)B

ー

(B.C)A

を用いると

同

x

V'

1

)

x

芸

= V'

1

(

d

S1

会)

-

d

S

1

(

マ

1

主

)

z-V1(dSlvd+umvd

問

=一 (

d

S

1.V'

1

)

マ

1

(

占

)

= 同 V '

1

)

芸

となることを用いた.また，式

(

2

0

)

の最後の等式 を導くときには，関係

(

d

S1

・V'

1

)

r

1

=

d

S

1

と関数 の積の微分の公式を用いている.式

(

1

9

)

，

(

2

0

)

を 用いると，式

(

1

5

)

，

(

1

8

)

の力のモーメントはそれ ぞれ

N

1

2

=

年

三

r

(

杭 V '

1

)

(

r

1x

芸

，

)

7 7 1 J f I A n ( 2 3 )

N

n

=

ヰ

n

2I

(

d

S1

.

V'1)

(

r

2

x(

一会))

生7r Js

，

.tt -と表される .

R

=

r

1

一 円 で あ る か ら

r

1xR

=

r

2

x

R

=

-

r

1

x

r

2

となり，明らかに式

(

8

)

が成 立する.なお，この場合は磁荷の受けるモーメン トは

N21 =r2

xFn

(

2

4

)

であるから，モーメント

N n

と

N12

は力と垂直 であり，力と平行な成分を持たない.また，後の 議論のため，式

(

1

4

)

，

(

1

7

)

の力についても式

(

1

9

)

を用いて変形すると

F12

=

半!

r

(

dS

1'V'1)

，

芸

生宵 Js

，

n， F21

=

宅!

f

(

必

l

'

V'

l

)

(

一

芸

)

(

2

5

)

古 川 JS. ..u. . である. 5.'lF常雷涜閣の相苛作用 次 に 図4のような2つ の 定 常 電 流 回 路 聞 の 相 互作用を取り上げる.

h

C1

図4

B

i

o

t

-

S

a

v

a

r

t

の法則

(

1

)

と式

(

2

)

を用いると，定常 電流回路

h

が定常電流回路 12から受ける力の総 和と定常電流回路

h

が定常電流回路

l

t

から受け る力の総和はそれぞれ

F12zipdT1XB12

u

n

I

，

I

2

r

r

=口士二世ゆ

d

r

1x

(

d

r

2

x

古

)

，

P引 JC

，

JC. n，-

(

2

6

)

F

21

=φ I

2

d

r

2

xBn

JC. Un 九九

r

r

=口士ニやゆ

d

r

2x

(

d

r

1

x

(ー古))

四 JC

，

JC. n，-で与えられる.これらが式

(

8

)

を満たすことは，前 と同様，

S

t

o

k

e

s

の定理を使って周囲線積分を面積 分に変換することによって示すことができる.変 換 式

(

1

9

)

を

2

度 用 い る こ と に よ っ て

ゆや

d

r

1x

(

d

r

2

x

芸

)

JC

，

JC. n，

=(L

阿 川

)x{

同

x

V'が芸}

(

2

JS

，

JS2

=

I I

(

付

dS

町

1

マ

帆

町

刈

1

引

)

)

(

仰

担

杭

2

パ

マ

町

刊

2)

芸

JS

，

JS. n，-が 得 ら れ ， こ れ か ら 式

(

2

6

)

は

U

n

I

，

九

rr

F1

2

=

円ー

II

(

d

S

1・V'

1

)

(

d

S2

・V'

2

)

百

(

2

8

)

宮 司 JS

，

JS. n，-となる.同様にして

F

21

=

丘学

r

r

(dS

1 • V'

1

)

(

崎町)(一芸)(

2

9

)

を 列 JS

，

JS. n，-となり，

2

つ の 力 が 式

(

7

)

を 満 足 す る こ と は 明 か である.この結果そのものは，議論のスタイルは 異なるが多くの教科書が論じており，新しいこと

6 愛 知 工 業 大 学 研 究 報 告 ， 第

2

7

号

A

，平成

4

年.

V

o

l.

2

7

-

A

，

M

a

r

.

1

9

9

2

で は な い 。 し か し ， さ ら に 定 常 篭 流 回 路 が 受 け る 力 の モ ー メ ン ト の 総 和 に つ い て 式

(

8

)

が成立する こ と を 示 し て は じ め て ， 定 常 電 流 回 路 系 の 相 互 作 用 が ( 一 般 化 さ れ た ) 作 用 反 作 用 の 法 則 を 満 た す ことを確認することができるが2 この点にふれた 教 科 書 は 見 あ た ら な い . 式

(

7

)

を 示 す の み で 作 用 反 作 用 の 法 則 が 成 立 し て い る こ と が 確 認 さ れ て い ると結論づけている.これは，今までの議論から 明らかなように，正しいとは言えない。我々は，こ こで式

(

8

)

， つ ま り 「 力 の モ ー メ ン ト の 総 和

=0

」 が 成 立 す る こ と を 確 か め よ う . 定 常 電 流 回 路l と定常電流回路2が 相 手 か ら 受 け る 力 の モ ー メ ン トの総和はそれぞれ

N

12

=

争7'1X

(

h

d

7'1

xB

叫

JC

，

Un 九九

r r

= 己 チ ニ ゆ や 7 '1X

(

d

T'l X

(

d

T'2 X τ ) ，) 吐11" Jc

，

J C

，

.n~ r "，'-""

，

'

-

'

(

3

0

)

N

21

=

骨7'2X

(

I

2

d

7'2 x

B

21) J C

，

Un 九九

rr

.

R = 弓 士 二 千 千 円X

(

d

T'2 X

(

d

T'l X

(一言)))

"".1/1 J C₁J C₂ .J.ι で 与 え ら れ る . さ て ， こ の 場 合 の 式

(

8

)

の成立を 示すには，次のようにやはり

S

t

o

k

e

s

の定理を用い て 周 回 線 積 分 を 面 積 分 に 変 換 し て ， 忠 実 に 計 算 を 行うことが必要である.変換式

(

1

9

)

，

(

2

0

)

を適用 し，式

(

2

2

)

を

2

度用いると

φφ

T'1 X

{

d

'T'l X

(

d

1'2 X

喜

)

}

J C

，

JC2 ~ι

→

十

?

町吋吋

T

刊叶

1X

刈吋{引(釦マ町叩川

)

'1

似

)

川×刈(附

糾

x

d JS釘

，

J C

，

十

/

φ

制

1

×

(dT2xjE)

JS

，

JC2 H =寸:

I

I

7'1 X

{

(

凶

臼

杭

lX

叩

川

川

マ

町

町

1

け州)

J 崎S仇1い‘JS/S2P _{p n A ( 3 1 )}

+

I I

dS1x{(dS2x

'V

2

)

X

去

を

)

}

J S

，

J S

，

'

ι

=

t

J

Q

ド

い

T町1

バ

刈

X

刈{同

町

V

町

引

叩

1

)

刈

州

)

(

d

削

(

付

同

J S

，

J S2

+

I I

担 1X

{(柄引芸}

JSjJS

，

1ι

寸

j

附

マ

町

刊

町

附

け

刈

州

)

d

(

付

附

J S

，

J S2 が 得 ら れ る . こ れ か ら

N

12

=

需

主

l

l

(

d

S

1

マ

1

)

(

柄 引 ( 市 喜 )

…

" U

，

(

3

2

)

が 得 ら れ ， 同 様 に し て N n =

中

L

IR(

dS

l' ，¥

l

t

)

(

阿 川 一 塁 )

)

unI

，

I

，

r

r

せπJS

，

JS

，

(

3

3

)

と な る . こ れ ら が 式

(

8

)

を 満 足 し て い る こ と は 明 か で あ る . 以 上 か ら ， 定 常 電 流 聞 の 磁 気 的 椙 互 作 用 に お い て ， 一 般 化 さ れ た 作 用 反 作 用 の 法 則 が 成 立 す る こ と が 直 接 に 示 さ れ た . 6.iF常霞流阿路と磁気双梅平 これまでの議論で，電流要素は静磁場をつく る 基 本 要 素 で は な い こ と を 強 調 し て き た . 回 路 全 体を考える必要があることから，相互作用を行う 系 が 広 が り を 持 つ 系 で あ り ， こ の 結 果 と し て ， 一 般化された作用反作用の法見IJを定式化しなければ ならなかった訳である. この事情を別の観点から論じてみよう，よく知 られているように，有限の定常電流回路は電流回 路 を 周 と す る 面 上 の 無 限 小 の 定 常 電 流 回 路 の 集 団 と 等 価 で あ る . そ し て ， 無 限 小 定 常 電 流 回 路 は 無 限 小 磁 気 双 極 子 と 等 価 で あ る . こ の 等 価 性 は ， 静 磁 場 の 源 と し て ， ま た ， 静 磁 場 か ら 作 用 を 受 け る 対象として等価であることを意味する。 したがっ て，無限小定常電流回路=無限小磁気双極子は，電 流 要 素 と 違 っ て ， 静 磁 場 で の 磁 気 的 相 互 作 用 を 遠 隔 相 互 作 用 論 的 に 構 成 す る 場 合 の ， 相 互 作 用 の 無 限小要素として物理的に正しい選択となる。 位置1'2に あ る 微 小 磁 気 双 極 子 〈 双 極 子 モ ー メント

dP2

)が位置T'1につくる磁東密度は

dB1

2

=

告

{

(

d

p

2

町長}

(

日

)

である.(ここで，磁気双極子モーメントは

E-B

対応で定義してあり，E-H対 応 で 定 義 さ れ る 双 極 子 モ ー メ ン ト の

1

/

μ

o

倍に相当する.)また，任 意の磁場中で，位置1'1にある微小磁気双極子(双 極子モーメント

d

p

l

)

が 磁 束 密 度

B

12から受け る力

dF1

2

は

dF1

2

=

(

d

p

l

・'V1)B12

，

(

3

5

)

である固また，微小磁気双極子のモーメント

dN12

は受ける力

dF1

2

のモーメントT'

lxdF1

2

と偶力 のモーメント

d

P

1

X

B

1

2

の 和 で 与 え ら れ

定常電流の磁気的相互作用と作用反作用の法則 7

dN

1

2

=

r

1

x

dF12

+

d

P

1

X

B12

=

r

1

x

((dP1.'~1)B12)

+

dp1

X

B1

2

(

3

6

)

=

(dp1 ・~t) (r1

xB

u

)

である. 第4節と第 5節で得た結果は，磁気双極子に 関 す る 式

(

3

4

)

. (

3

5

)

.

(

3

6

)

と比較すると，いず れも電流回路

C

を周とする

S

面上に並んだ磁気 双極子モーメント

IdS

をもっ磁気双極子の集団 と磁荷の聞に，または磁気双極子の集団の間に働 く力の総和と，力のモーメントの総和を求める積 分であることがわかる.例えば，磁気双極子

dP1

が磁気双極子

d

P

2

か ら 受 け る 力 は ， 式

(

3

4

)

と式

(

3

5

)

から

dF12

=

(dP1'~1){告(dP2'~2)芸}

=告{(命l'~1)(dP2'~2)芸}

(

3

7

)

となるが，磁気双極子モーメントを

d

P

1

=

I

t

dS

1.

d

P

2

=

1

2

dS

2と 置 い て ， 総 和 を 求 め る 面 積 分 を 実行したものが，定常電流回路に働く力

F

1

2(

式

(

2

8

)

)と一致する.つまり，これまでの計算は逮 隠作用的に定式化されたときの定常電流回路と磁 気双極子の集団との等価性を

S

t

o

k

e

s

の定理を用い て直接確かめたものになっているわけである. したがって，その結果は個々の磁気双極子の 行う相互作用の持つ特性を反映している.上記の ように，磁気双極子聞の相互作用には，電荷や磁 荷のような単極子聞の相互作用にはない(偶力の) モーメント

dpxB

が含まれ，したがって，粒子 聞の通常の作用反作用の法則を逸脱し，一般化さ れた作用反作用の法則にしたがう.磁荷に分離す ることができないと言う意味で本質的に双極子で ある微小定常電流回路(の集団)の行う相互作用 は，通常の作用反作用の法則の枠にはまらず，作 用反作用の法則が一般化されなければならないこ とは当然といえよう. 7.W常 雷 涜 岡 路 の 白 円 作 用 実はこれまでは定常電流回路の自己作用を無 視して議論を進めてきた.定常電流回路は有限の 大きさを持つため，回路のある部分がつくる磁場 が他の部分に作用するという自己作用が存在する. 閉じた系の運動量，角運動量保存の法則を基礎法 買JIとする立場からは定常電流回路の構成部分間に 働きあう力の総和および力のモーメントの総和は Oであることは自明である.しかし，これが初等的 な議論によって導かれることは自明ではなく，し たがって，直接にこれを確かめ議論を自己完結的 にすることが必要である. 一つの電流回路において形式的にこれまでと 同様

B

i

o

t

-

S

a

v

a

r

t

の法則

(

1

)

を用いて自己回路に働 く力の総和を求める式をつくると積分が同一曲線 上の積分になるので

R

→

O

で発散が生ずる.こ れは，用いた

B

i

o

t

-

S

a

v

a

r

t

の法則

(

1

)

が線電流とい う近似に基づいている場合のものであるからであ り，定常電流が1次元的ではなく空間的な広がり を持っている場合の

B

i

o

t

-

S

a

v

a

r

t

の法則を用いて 同様な計算を行えば，見かけの発散は除去され求 める結果が得られるはずである. しかし，以下では，これまでのような直接計 算を行わず，回路にわずかな太さを持たせたとき の回路のつくる磁場とそれから受ける力の総和と 力のモーメントの総和を評価することによって結 論を導くこととする. 回路の自己インダクタンスを求める場合に用 いられる手法にならって，太さを持たせた回路に 流れる電流を流管に分けて考える.この場合電流 要 素 は 電 流 密 度

4

と体積要素

dv

の積

i

d

v

とな るが，これを流管の中心付近を通る 1つの流線に そった線要素

dr

と流管の垂直断面積

d

σ

を使っ て

i

d

v

=

idσdr

と表せば，異なった流管の聞に 働く力の総和と力のモーメントの総和はそれぞれ の中心を通る流線にそった線積分として表される. そして，有限の小さな距離を εとして，相隣りあ う流管の中心を通る流線閣の距離が 2Eより小さ くならないように流管への分割を有限にとどめて おけば，これらの積分はすべて有限となる .i番 目の流管が

j

(

手

i

)

番 目 の 流 管 か ら 受 け る 力 の 総 和，力のモーメントの総和を Fij. N りとすれば， 第5節の結果から Fij

+

Fji

=

0

，

Nij +Nji = 0

(

3

8

)

が成り立つ.また.

i

番目の流管のつくる磁場が 自身の流管に及ぼす力の総和と力のモーメントの 総和を Fii. N “とすると，この回路に働くカの

I

F

i

i

l

三

/

ω

l

i

(

r

)

1

1

酌

1，

)

I

N

i

i

l

三

ρ

/

介

μ

b

州り外

ψ

刷州州州T叶￨叶

1

什巾

1

附山附附￨桝ド附阿

i

叫(什州仰T吋寸)

1

の関係がある.さて，

I

B

(

r

)

1

は流管を流れる電流 量 が 一 定 で あ る と す る と ， 一 様 な 定 常 電 流 が 流 れ て い る 円 形 断 面 を 持 つ 細 い 導 線 内 の 磁 東 密 度 と 同 じく l/tのε依 存 性 を 持 つ が9 電流量は一定では なく E2に比例するので，結局 E1なる E依存性を 持つ .

l

i

(

r

)

1

ゃ

1

1'

1

はE依 存 性 は な い か ら ， 積 分 要 素 dり=dσdr中の dσ による

J

の 依 存 性 が 加 わって，

I

F

i

;l，

I

N

i

i

l

は

J

の 依 存 性 を 持 つa 一 方，分割の数 ηは 1/ξ2に比例するから.

I

:

I

F

i

i

l

，

I

:

I

N

i

i

l

はEに比例することになる。したがって， 細分化を進めると，

I

F

I

と

I

N

I

はOとなり

(

4

5

)

愛 知 工 業 大 学 研 究 報 告 ， 第27号A，平成4年， Vol.27-A， Mar.1992

(

3

9

)

8 総和 Fと 力 の モ ー メ ン ト の 総 和 N は

F =

:

E

EFij+

ε

F

i

i

，

N

=

LENij+

:

ン

2

V

i

i

となる.ここで，nは流管数であり， iとjにつ い て 同 時 に 和 を と る と き は i

=

jの場合は除外す る も の と す る . こ の 第

1

項 は 式

(

3

8

)

により

(

4

6

)

!!ZF=lzZFti=o，

!

出

N=!222:JVM=0

玄

ZF2j=j

工工

(

F

;

j

+

F

j

;

)

=

0

，

4 1 1 7 ( 4 0 )

ZZNzj=iZ

玉

川

+

N

j

i

)

=

。

が い え る の で

F

=

LFii

，

N

(

4

1

)

n ヤ ム 出

N

が言えたことになる.なお，

E

I

:

F

i

j

，

I

:

I

:

N

i

j

について同じような議論をすると，

I

F

i

j

l

，

I

N

i

j

l

は

e

に 比 例 す る が 加 え る 項 の 数

jn(η-

1

)

が

1

/

けに比例するので，

E

E

I

F

i

j

l

，

I

:

E

I

N

j

i

l

は EOのE依 存 性 を 持 つ こ と に な り ， こ の よ う な 議 論 の み に よ っ て は Oと な る こ と は 示 さ れ な い . し たがって，第5節 の よ う に 確 か め る こ と が 必 要 で あった訳である. ということになる。

F

i

i

， Nj;については，これが Oとなることを 直 接 示 す の で は な く ， こ れ ら か ら の 寄 与 の 大 き さ n

I

F

I

=

1

2

二

F

i

i

l，

n

I

N

I

=

I

玄

N

i

i

l

が細分割の度合いを示す尺度である εに対してど の よ う な 依 存 性 を 持 っ か を 調 べ ， こ れ ら が E→O で Oになることを示す伺ベクトル量の大きさにつ

(

4

2

)

L

主主主主 定 常 電 流 を 含 む 系 の 磁 気 的 相 互 作 用 を ， 静 磁 場 を 消 去 し て 遠 隔 作 用 論 的 に 定 式 化 す る と き は ， 相 互 作 用 の 要 素 と し て 電 流 要 素 を 取 る こ と は ， 混 乱 を 引 き 起 こ す . そ う で は な く ， 無 限 小 定 常 電 流 回 路 = 無 限 小 磁 気 双 極 子 を 相 互 作 用 の 要 素 と し て 選 ぶ 必 要 が あ る . そ し て ， こ の と き 作 用 反 作 用 の 法則は一般化されなくてはならない.したがって， 作 用 反 作 用 の 法 則 に つ い て 述 べ る と き は 及 ぼ し あ う力の総和がOで あ る こ と を 確 認 す る だ け で は な く，及ぼしあう力のモーメントの総和も Oである こ と を 調 べ な け れ ば な ら な い . 我 々 は ， こ の 小 論 で以上のような問題の定式化を行うと同時に式

(

7

)

とともに式

(

8

)

が 成 り 立 つ こ と を 直 接 計 算 で 示 し た . つ づ い て ， 一 つ の 定 常 電 流 回 路 の 自 己 作 用 を 分 析 し ， こ の 場 合 も ， 力 の 総 和 と カ の モ ー メ ン ト の総和がOとなることを示した.もちろん， 電 磁 いては

￨

ε F

民恥

叶

叫

t

“

i

1

;壬::

2

玄

:

=

1

凹

同

F

民

t

叶

l

i

1

玄

2

:

N

恥州

叶

i

“

l

i

三

2

ε

二

I

附州

N

叶￨

“

の関係がある.また

F

i

i

.N

i

i

は

i

番目の流管内の 位置 Tでの体積要素を

d

v

，電流密度を

i

(

r

)

とし， i番 目 の 流 管 が つ く る 磁 東 密 度 を

B(r)

とすると， i番 目 の 流 管 内 を 積 分 領 域 と す る 積 分 に よ っ て

F

戸

f

μ

例

附

(

T

吋

什

)

例

州

N

机

ル

“

戸

=

J

r

吋

×

刈

{

附

と表されるから

(

4

3

)

(

4

4

)

定常電流の磁気的相互作用と作用反作用の法則 9 気 学 を 専 門 基 礎 と す る 学 生 は 別 に し て ， 大 学 の 初 学 年 の 学 生 に 以 上 の よ う な 煩 雑 な 計 算 を 実 行 し て 式

(

7

)

，

(

8

)

が 成 立 す る こ と の 確 認 を 行 う こ と が 適 切 で あ る と は 言 え な い だ ろ う . し か し ， 定 常 電 流 が 無 限 小 磁 気 双 極 子 の 集 団 で あ り ， し た が っ て そ の 行 う 作 用 に つ い て は ， 力 以 外 に ( 偶 力 の ) モ ー メ ン ト が 存 在 し ， こ の た め 作 用 反 作 用 の 法 則 が 一 般 化 さ れ な け れ ば な ら な い こ と ， こ れ ら の こ と を 理 解 さ せ る こ と は ョ 電 磁 気 学 の 基 本 を 理 解 さ せ る う え で 重 要 で あ る と 確 信 す る . 位 盆 任 意 の 向 き 付 き の 閉 曲 線 を

C

， こ れ を 周 と す る 任 意 の 曲 面 を

S

と す る . ま た ， 図5の よ う に 右 ね じ を 曲 面 Sに主義直に置き， こ れ を 閉 曲 線 Cの 向 き に 合 わ せ て 回 転 さ せ た と き 右 ね じ の 進 む 向 き を 曲 面 の 正 の 向 き と しB そ の 向 き の 単 位 法 線 ベ ク トルを nとする.

C

S

f 図5 ベ ク ト ル 解 析 で 用 い ら れ る 形 で の Stokesの 定 理 は，iJ!を任意のベクトル場， drをC上の線要素， dS

=

ndS

を S上 の 面 要 素 と し て 次 の よ う に 表 される.

t

か

dr

=

争

drk 争k

=

I

匂

匂

EijkdSiVj

φ

k

(

A

-

l

)

J C JS

=

I

dS.(Vx

壷)

=

I

(dS x

マ

)

・

蛋

JS JS こ こ で ， マ は ナ ブ ラ 演 算 子

(

o

/

o

x

，

o

/

o

y

，

o

/

δ

z

)

で あり，Eijkは 完 全 反 対 称 テ ン ソ ル で あ る 。 ま た 同 ー の 添 字 に つ い て は 和 を と る 規 約 を 用 い て い る . こ の よ う に Stokesの 定 理 は 周 回 線 穣 分 を 面 積 分 に 変 換 す る 定 理 で あ る が ， 被 積 分 量 は 上 記 の よ う な ベ ク ト ル 場 で あ る 必 要 は な く ， 任 意 の テ ン ソ ル 場

φ

khl

，

・1.に つ い て 次 式 が 成 立 す る .

i

drkcI>kltl

，

...ln

=

s

!

わ

f白E句2

り 凶

J

=

叫

!

S

(

仙 山

ltlら2...ln 本 論 で 必 要 な タ イ プ の 線 積 分 に こ のStokesの 定 理 を 適 用 す る 。 ま ず

か

rx

到

i

=

i

Ei

内 向

次に

=

!

s

か

か

わ

E匂矧

か

ii

俳

jj

川山山

μ

州

k以

川

伴山

仰

仇E匂旬(

山

ヤl加杓悶同j

仰 叫

=

h{(dSX

マ)

x

i

J

!

}

i

i

drxii!

=

!

s

(

仙 マ )

x iJ!

か

x

(

日

)

)

i

=

i

EijkEklmdrl

仇 )

=

L

匂

句

j片

μ

附 附

叩

k拘向向μ

山

f匂知仙k肋l1

，

η

附斗帆刊マ町叩

ω

q)附(の7

=

f

s

トか

E

匂

u

枇似ωkμ

切

叩

肉 山E匂k

=

s

ト

f

か

匂

匂

E

切

併似ijj川μkμμf

= ト ( ( 仙 マ

)

x

多

)+d

日 } i

i

rx

伸×多)

=

s

f

rx

仰 × 日 }

+

s

l

dSx安 こ こ で ， 完 全 反 対 称 テ ン ソ ル の 縮 約 公 式

(

A

-

3

)

(

A

-

4

)

EijkEklm

=

8il8jm - 8im8jl

(

A

-

5

)

を 用 い て の 式 変 形 EijkEklmElpqdSp争mdqj =bqj(8'ldjm - dimdjl)句qdSpφm =(bildqm - d;mdql)ElpqdSp

φ

m

(

A

-

6

)

=EipqdSpcI>q =(dS x it)i を用いた。 ( 受 理 平 成4年3月 20日)