Math-Aquarium 例題 図形と計量 図形と計量 1 直角三角形と三角比 P 木の先端を P, 根元を Q とする A 地点の目の位置 A' から 木の先端への仰角が 30,A から 7m 離れた AQB=90 と なる B 地点の目の位置 B' から木の先端への仰角が 45 であ るとき,

図形と計量

１

直角三角形と三角比 木の先端を P，根元を Q とする。A 地点の目の位置 A' から 木の先端への仰角が 30° ，A から 7m 離れた∠AQB＝90° と なる B 地点の目の位置 B' から木の先端への仰角が 45° であ るとき，木の高さを求めよ。ただし，目の高さを 1.5m とし， Q' を右の図のように定める。 ・PQ' ＝x とおき，A' Q'，B' Q' を x を用いて表し， Q A Q P    ＝tan30°＝ 3 1 ， Q B Q P    ＝tan45°＝1 を利用します。 ・△A' Q' B' において，三平方の定理を用いて x を求めます。

解答

PQ' ＝x とおく。∠PA' Q' ＝30°より Q A Q P    ＝tan30°，tan30°＝ 3 1 であるので A' Q' ＝ 3 x ∠PB' Q' ＝45°より Q B Q P    ＝tan45°，tan45°＝1 であるので B' Q' ＝x △A' Q' B' は直角三角形なので，三平方の定理により ( 3 x)2_＋x2_＝72 _x2_＝ 4 49 x＞0 より x＝ 2 7 ＝3.5 したがって，木の高さは 3.5＋1.5＝5m

２

90° －θ，180° －θの三角比 (1) 次の三角比を 45°より小さい角の三角比で表せ。

① sin70° ② cos165° ③ tan130°

(2) 0° ＜θ＜90° のとき，sin(90° ＋θ)，cos(90° ＋θ)，tan(90° ＋θ)を，θの三角比で表せ。

要 点

Point

A A' B B' Q' Q P 7m 1.5m 30° 45° 7 x 3x

          θ ＝ －θ θ ＝ －θ θ ＝ －θ 　 tan 1 ) 90 tan( sin ) 90 cos( cos ) 90 sin(         θ ＝－ －θ θ ＝－ －θ θ ＝ －θ 　 tan ) 180 tan( cos ) 180 cos( sin ) 180 sin(

解答

(1) ① 90°－20°＝70° であるから sin70°＝sin(90°－20°)＝cos20° ② 165°＝180°－15° であるから cos165°＝cos(180°－15°)＝－cos15° ③ 130°＝180°－50° であり，50°＝90°－40° であるから tan130°＝tan(180°－50°)＝－tan50°＝－tan(90°－40°)＝  40 tan 1 － (2) 0° ＜θ＜90° のとき，90°＋θは鈍角になるから 180°－(90°＋θ)を考える。 180°－(90°＋θ)＝90°－θであるから sin(90°＋θ)＝sin{180°－(90°＋θ)}＝sin(90°－θ)＝cosθ cos(90°＋θ)＝－cos{180°－(90°＋θ)}＝－cos(90°－θ)＝－sinθ tan(90°＋θ)＝－tan{180°－(90°＋θ)}＝－tan(90°－θ)＝ θ － tan 1

３

三角比の相互関係 (1) 0° ≦θ≦90° とする。cosθ＝ 7 2 のとき，sinθと tanθの値を求めよ。 (2) 0° ≦θ≦180° とする。sinθ＝ 3 1 のとき，cosθと tanθの値を求めよ。 (3) 0° ≦θ≦180° とする。tanθ＝－2 のとき，sinθと cosθの値を求めよ。

次の三角比の相互関係を用います。

0° ≦θ≦180° とする。ただし，tanθではθ≠90° とする。 sin2θ＋cos2θ＝1 tanθ＝

θ θ cos sin 1＋tan2_θ＝ θ 2 cos 1

要 点

Point

要 点

Point

x y r θ 90°−θ y 90°−θ θ x r y 1 θ 1 x －x －1 180°−θ

解答

(1) sin2θ＋cos2θ＝1 から sin2θ＝1－cos2θ＝1－

2 7 2       ＝ 49 45 sinθ＞0 であるから sinθ＝ 7 5 3 また tanθ＝ θ θ cos sin ＝ 7 5 3 ÷ 7 2 ＝ 2 5 3

(2) sin2θ＋cos2θ＝1 から cos2θ＝1－sin2θ＝1－

2 3 1       ＝ 9 8 (ⅰ) cosθ＞0 のとき cosθ＝ 9 8 ＝ 3 2 2 また tanθ＝ θ θ cos sin ＝ 3 1 ÷ 3 2 2 ＝ 2 2 1 ＝ 4 2 (ⅱ) cosθ＜0 のとき cosθ＝－ 9 8 ＝－ 3 2 2 また tanθ＝ θ θ cos sin ＝ 3 1 ÷ _      3 2 2 － ＝－ 2 2 1 ＝－ 4 2 (ⅰ)，(ⅱ)から (cosθ，tanθ)＝ _       4 2 3 2 2 ， ， _       4 2 3 2 2 － ， － (3) 1＋tan2θ＝ θ 2 cos 1 から θ 2 cos 1 ＝1＋(－2)2_{＝5 cos}2_θ＝ 5 1 0° ≦θ≦180° ，tanθ＝－2＜0 であるから 90° ＜θ＜180° よって cosθ＜0 したがって cosθ＝ 5 1 － ＝ 5 5 － また sinθ＝tanθ∙cosθ＝(－2)∙ _     5 5 － ＝ 5 5 2

４

三角方程式・三角不等式 0° ≦θ≦180° のとき，次の問いに答えよ。 (1) 等式 2sinθ＝ 3 を満たすθを求めよ。 (2) 不等式 2sinθ＞ 3 を満たすθの範囲を求めよ。 角θの三角比の値から，角θ(0° ≦θ≦180°)を求めることができます。

① sinθ＝s を満たすθ ② cosθ＝c を満たすθ ③ tanθ＝t を満たすθ

0≦s＜1 なら θ，180° －θ －1≦c≦1 t≠0 のとき，θはただ 1 つ s＝1 なら θ＝90° θはただ 1 つ t＝0 なら θ＝0° ，180°

要 点

Point

s 1 1 －1 θ y＝s 180° －θ 1 －1 1 θ c _{－1 1} 1 θ t

解答

(1) 2sinθ＝ 3 から sinθ＝ ₂3 半径 1 の円周上で，y 座標が 23 となる 点は，右の図の 2 点 P，Q である。 求めるθは，∠AOP と∠AOQ である から θ＝60°，120° (2) 2sinθ＞ 3 から sinθ＞ ₂3 (1)より，sinθ＝ 23 を満たすθは θ＝60°，120° よって，右の図から sinθ＞ 23 を 満たすθの範囲は 60° ＜θ＜120°

５

三角比の対称式の値 0° ≦θ≦180° ，sinθ＋cosθ＝ 23 のとき，次の値を求めよ。

(1) sinθcosθ (2) sinθ－cosθ (3) tanθ

(1) sinθ＋cosθ＝ 23 の両辺を 2 乗します。 (2) まず，(sinθ－cosθ)2の値を求めます。 (3) sinθ＋cosθ＝ 23 と(2)から，sinθ，cosθを求めます。

解答

(1) sinθ＋cosθ＝ 23 の両辺を 2 乗すると sin 2_{θ＋2sinθcosθ＋cos}2_θ＝ 4 3

sin2θ＋cos2θ＝1 から 1＋2sinθcosθ＝ 4 3 よって，2sinθcosθ＝－ 4 1 から sinθcosθ＝－ 8 1

要 点

Point

1 1 A －1 P Q 60° 2 3 120° 1 1 －1 60° 2 3 120°

(2) (sinθ－cosθ)2＝sin2_{θ－2sinθcosθ＋cos}2_θ sin2_θ＋cos2_{θ＝1，(1)から sinθcosθ＝－}

8 1 であるから (sinθ－cosθ)2_{＝1－2∙ }      8 1 － ＝ 4 5 ここで，0° ≦θ≦180° のとき sinθ≧0 であることと，sinθcosθ＝－ 8 1 ＜0 から cosθ＜0 よって，sinθ－cosθ＞0 である。したがって sinθ－cosθ＝ 4 5 ＝ 2 5 (3) 条件と(2)から       2 5 cos sin 2 3 cos sin θ＝ θ－ θ＝ θ＋ これを解くと sinθ＝ 4 5 3＋ ，cosθ＝ 4 5 3－ よって tanθ＝ θ θ cos sin ＝ 4 5 3 4 5 3 － ＋ ＝ ) 5 3 )( 5 3 ( ) 5 3 ( 2 ＋ － ＋ ＝ 5 3 15 2 8 － ＋ ＝－4－ 5

６

三角比の 2 次関数の最大・最小 0° ≦θ≦180° のとき，y＝cos2θ＋sinθの最大値，最小値を求めよ。また，そのときのθの値を求めよ。 ① sin2_θ＋cos2_{θ＝1 を利用して，関数を 1 つの三角比で表します。} ② sinθ＝t（または cosθ＝t ）とおき，変域に注意して 2 次関数のグラフをかきます。

解答

cos2θ＝1－sin2θより y＝cos2θ＋sinθ＝1－sin2θ＋sinθ＝－sin2θ＋sinθ＋1 sinθ＝t とおくと，0° ≦θ≦180° のとき 0≦sinθ≦1 であるから 0≦t≦1 y を t を用いて表すと y＝－t2＋t＋1＝－(t2_－t)＋1＝               4 1 2 1 2 － － － t ＋1＝ 4 1 2 1 2 ＋ － －       t ＋1＝ 4 5 2 1 2 ＋ － －       t t＝ 2 1 で最大値 4 5 ，t＝0，1 で最小値 1 をとる。 t＝ 2 1 すなわち sinθ＝ 2 1 を満たすθは θ＝30° ，150° t＝0 すなわち sinθ＝0 を満たすθは θ＝0° ，180° t＝1 すなわち sinθ＝1 を満たすθは θ＝90° よって，θ＝30° ，150° のとき最大値 4 5 ，θ＝0° ，90° ，180° のとき最小値 1

要 点

Point

2 1 4 5 1 1

７

正弦定理・余弦定理

△ABC において，辺 BC，CA，AB の長さをそれぞれ a，b，c， ∠A，∠B，∠C の大きさをそれぞれ A，B，C で表すことにする。 (1) △ABC において，次のものを求めよ。 ① A＝60° ，B＝45° ，a＝2 のとき，b および外接円の半径 R ② a＝3，B＝60° ，c＝4 のとき b (2) △ABC において，B＝45° ，b＝ ，c＝3 のとき，a，A，C を求めよ。 正弦定理 A a sin ＝ B b sin ＝ C c sin ＝2R 余弦定理

a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC

解答

(1) ① 正弦定理により，  60 sin 2 ＝  45 sin b から 2 3 2 ＝ 2 1 b よって b＝ _       2 3 2 × 2 1 ＝2× 3 2 × 2 1 ＝ 6 4 ＝ 3 6 2 また，正弦定理により 2R＝ _ 60 sin 2 から 2R＝ 2 3 2 よって R＝ _       2 3 2 × 2 1 ＝2× 3 2 × 2 1 ＝ 3 2 ＝ 3 3 2 ② 余弦定理により b2＝42＋32－2∙4∙3∙cos60° ＝16＋9－24∙ 2 1 ＝13 b＞0 から b＝ 13

要 点

Point

a b c A B C a b c A B C R A B C 2 b 45° 60° A B C 3 4 60°

(2) 正弦定理により  45 sin 6 ＝ C sin 3 から 2 1 6 ＝ C sin 3 よって sinC＝3÷_  _ 2 1 6 _＝3× 6 1 × 2 1 ＝ 3 2 3 ＝ 2 3 したがって C＝60° ，120° △ABC は右の図のように 2 通りある。 余弦定理により ( 6 )2＝32＋a2－2∙3∙a∙cos45° 6＝9＋a2－6a∙ 2 1 整理すると a2_－ 2 3 a＋3＝0 解の公式により a＝ 1 2 3 1 4 ) 2 3 ( 2 3 2     － － ＝ 2 6 2 3  また，C＝60° のとき A＝75° ，C＝120° のとき A＝15° 以上から (a，A，C)＝ _         60 75 2 6 2 3 ， ， ＋ ， _         120 15 2 6 2 3 ， ， －

８

三角形の形状 △ABC において，sinA＝2cosBsinC が成り立っているとき，この三角形はどのような三角形か。 正弦定理，余弦定理を用いて，与えられた等式を辺だけの関係式に直します。

解答

与えられた式に sinA＝ R a 2 ，cosB＝ ac b c a 2 2 2 2_{＋ －} ，sinC＝ R c 2 をそれぞれ代入すると R a 2 ＝2∙ ac b c a 2 2 2 2_{＋ －} ∙ R c 2 両辺に 2aR を掛けると a2_＝a2_＋c2_－b2 _{これから b}2_＝c2 _{b＞0，c＞0 より b＝c} よって，△ABC は AB＝AC の二等辺三角形である。

９

三角形の面積 次の△ABC の面積を求めよ。 (1) AB＝2，AC＝3，A＝60° (2) AB＝6，AC＝5，BC＝7

要 点

Point

B B A A C C 3 6 3 6 45° 45° 60° 120°

△ABC の面積を S とすると S＝ 2 1 bcsinA＝ 2 1 acsinB＝ 2 1 absinC

解答

(1) S＝ 2 1 ∙3∙2∙sin60° ＝ 2 1 ∙3∙2∙ 2 3 ＝ 2 3 3 (2) 余弦定理により cosA＝ 5 6 2 7 5 62 2 2   － ＋ ＝ 5 1 sin2

A＋cos2A＝1，0° ＜A＜180° のとき，sinA＞0 から sinA＝

2 5 1 1       － ＝ 5 6 2 よって S＝ 2 1 bcsinA＝ 2 1 ∙5∙6∙ 5 6 2 ＝6 6 別解 ヘロンの公式を用いる。 s＝ 2 c b a＋ ＋ ＝ 2 6 5 7＋＋ ＝9 であるから S＝ s(s－a)(s－b)(s－c)＝ 9(9－7)(9－5)(9－6)＝6 6

１０

三角形の内角の二等分線の長さ

△ABC において，AB＝5，AC＝3，∠A＝60° とする。∠A の二等分線と辺 BC の交点を D とするとき， 線分 AD の長さを求めよ。 三角形の面積を利用します。 ∠BAD＝∠DAC，△ABC＝△ABD＋△ACD であり， △ABC＝ 2 1 ∙AB∙AC∙sin∠BAC △ABD＝ 2 1 ∙AB∙AD∙sin∠BAD △ACD＝ 2 1 ∙AD∙AC∙sin∠DAC であることから AD を求めることができます。

要 点

Point

要 点

Point

A B a C b c A B _D C

・

・

解答

△ABC＝△ABD＋△ACD であるので，それぞれ面積の公式から 2 1 ∙AB∙AC∙sin∠BAC＝ 2 1 ∙AB∙AD∙sin∠BAD＋ 2 1 ∙AD∙AC∙sin∠DAC よって 2 1 ∙5∙3∙sin60° ＝ 2 1 ∙5∙AD∙sin30° ＋ 2 1 ∙AD∙3∙sin30° すなわち 2 1 ∙5∙3∙ 2 3 ＝ 2 1 ∙5∙AD∙ 2 1 ＋ 2 1 ∙AD∙3∙ 2 1 したがって AD＝ 8 3 15

１１

内接円の半径 △ABC について，次の問いに答えよ。 (1) a＝7，b＝9，c＝10 のとき，△ABC の面積 S と内接円の半径 r を求めよ。 (2) a＝6，b＝8，∠C＝60° のとき，△ABC の内接円の半径 r を求めよ。 △ABC の内接円の中心，すなわち，内心を I，面積を S， 内接円の半径を r とすると S＝△IBC＋△ICA＋△IAB ＝ 2 1 ar＋ 2 1 br＋ 2 1 cr ＝ 2 1 r(a＋b＋c) 内接円の半径は，3 辺の長さと面積から求めることができます。

解答

(1) s＝ 2 c b a＋ ＋ ＝ 2 10 9 7＋＋ ＝13 であるから，ヘロンの公式により S＝ s(s－a)(s－b)(s－c)＝ 13643＝6 26 また，S＝ 2 1 r(a＋b＋c) にそれぞれの値を代入すると 26 6 ＝ 2 1 r(7＋9＋10) これを解いて r＝ 13 26 6

要 点

Point

B C A I _r r r

・

(2) △ABC の面積を S とすると S＝ 2 1 absin∠C＝ 2 1 ∙6∙8∙sin60° ＝ 2 1 ∙6∙8∙ 2 3 ＝12 3

また c2_＝a2_＋b2_{－2abcos∠C＝6}2_＋82_{－2∙6∙8∙cos60° ＝36＋64－2∙6∙8∙} 2 1 ＝52 c＞0 から c＝2 13 S＝ 2 1 r(a＋b＋c) にそれぞれの値を代入すると 12 3＝ 2 1 r(6＋8＋2 13) 12 3＝(7＋ 13 )r から r＝ 13 7 3 12 ＋ ＝(7 13)(7 13) ) 13 7 ( 3 12 － ＋ － ＝ 36 ) 13 7 ( 3 12 － ＝ 3 ) 13 7 ( 3 －

研究１

円に内接する四角形の面積 円に内接する四角形 ABCD において，AB＝6，BC＝8，CD＝6，DA＝5 のとき，対角線 AC の長さ， 四角形 ABCD の面積 S をそれぞれ求めよ。 円に内接する四角形において，向かい合う角の和は 180° であることを利用します。

解答

△ABC において，余弦定理により AC2＝62＋82－2∙6∙8∙cos∠ABC ＝100－96cos∠ABC ……① △ADC において，余弦定理により AC2＝62＋52－2∙6∙5∙cos∠ADC ＝61－60cos(180° －∠ABC) ＝61＋60cos∠ABC ……② ①，②から 100－96cos∠ABC＝61＋60cos∠ABC これを解いて cos∠ABC＝ 4 1 ①に代入すると AC2_{＝100－96∙} 4 1 ＝76 AC＞0 から AC＝2 19 また sin∠ABC＝ 2 4 1 1       － ＝ ₄15 sin∠ADC＝sin(180° －∠ABC)＝sin∠ABC より S＝△ABC＋△ADC＝ 2 1 ∙6∙8∙ 4 15 ＋ 2 1 ∙6∙5∙ 4 15 ＝ 4 15 39

要 点

Point

B A C D 6 8 ₆ 5

研究２

正四面体の体積 1 辺の長さが 2 の正四面体 ABCD の体積を求めよ。 頂点 A から底面△BCD に 垂線 AH を引くと，直角三角形の 斜辺と他の 1 辺が等しいから △ABH≡△ACH≡△ADH よって，BH＝CH＝DH であるから， 点 H は△BCD の外心であることを 利用します。

解答

頂点 A から底面△BCD に垂線 AH を引くと △ABH≡△ACH≡△ADH これから，BH＝CH＝DH であるので，点 H は△BCD の外心である。 よって，BH は△BCD の外接円の半径であるから  60 sin 2 ＝2BH これから BH＝ 3 3 2 △ABH は直角三角形であるから，三平方の定理により AH＝ 2 2 BH AB － ＝ 2 2 3 3 2 2 _      － ＝ 3 6 2 また △BCD＝ 2 1 ∙2∙2∙sin60° ＝ 3 以上から，正四面体の体積は 3 1 ∙△BCD∙AH＝ 3 1 ∙ 3 ∙ 3 6 2 ＝ 3 2 2

要 点

Point

C B D A H

研究３

36°の三角比 A＝36° ，B＝C＝72° ，BC＝1 の △ABC があり，∠ABC の二等分線と AC の交点を D とする。 △ABC∽△BCD であることを利用して， cos36° を求めてみよう。

解答

∠BAC＝∠CBD＝36° ，∠ABC＝∠BCD より △ABC∽△BCD

また，△BCD，△ABD は二等辺三角形であるから，BC＝BD＝AD＝1 である。 AB：BC＝BC：CD であるから，AB＝x とおくと CD＝x－1 より x：1＝1：(x－1) よって x(x－1)＝1 x2－x－1＝0 これを解いて x＝ 2 5 1 x＞0 より x＝ 2 5 1＋

△ABC において，余弦定理により 1＝x2_＋x2_{－2∙x ∙x ∙cos36° これから cos36° ＝} 2 2 2 1 2 x x － x2＝ 2 2 5 1       ＋ ＝ 4 5 2 6＋ ＝ 2 5 3＋ であるから cos36° ＝ 2 5 3 2 1 2 5 3 2 ＋ － ＋   ＝ 5 3 5 2 ＋ ＋ ＝ ) 5 3 )( 5 3 ( ) 5 3 )( 5 2 ( － ＋ － ＋ ＝ 4 5 5 3 5 2 6－ ＋ － ＝ 4 5 1＋ A B C D 1 36° 72°

・

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