異方的反応場におけるモードスイッチング
モードスイッチング系に関するモデル設計
奈良教育大学
中田
聡
京都大学大学院理学研究科物理学専攻
北畑裕之
1.
はじめに
生命体が示す生命活動の維持機能
(
リズム・パターン形或、
自己修復、 自己再生、
感覚など
)
は、非平衡下で生じる時間発展現象である。私達はこれまで、非線形・非
平衡の観点から簡単な実験系を用いて、生命体が示す機能を人工的に再現又は制御す
る研究を行ってきた。本研究報告では、比較的作或と制御のしやすい実験系を用いて、
時空間発展現象を発現させる。その中で、モードスイッチングやベクトルプロセスの
制御について着目し、実
,
験システムを構築すると共に普遍的なモデル実験系を確立さ
せることを目的とした。
ベローゾブ
.
ジャボチンスキー反応 (
$\mathrm{B}\mathrm{Z}$反応
)
は時空間発展する化学反応系として
取り扱われ、そのメカニズムや現象・実験系の多様性に関する報告はここ数十年で多
くの発展を遂げてきた。
しかしながら
$\text{、}-$時空間発展現象を示す様々な実験系の中で、
モードスイツチングやベクトル制御に関する研究例はあまりなく、これが本研究の学
術的な特色である。
2.
実験
水道水の真下に器を置いて水を流すだけの簡単な実験系を使って、モード変化、履
歴、及び振動が生じる現象について計算機シミュレーションと共に行った。特に明瞭
な履歴と分岐点が得られるのが本実験系の特徴である。実験では、流量と水道管の径
を可変パラメータとした。
また鉛直方向のみ可動な「浮き」を用いて、器に貯まる水
の水位を測定した。器の中での水のたまる様相はデジタルビデオカメラで撮影し、ラ
イブラリー社の画像解析装置を用いて解析した。
(
図
1)
3.
実験結果
{?}量が小さいとき容器に水を蓄えるモード
I
と、流量が大きいとき水を放出するモ
ード
$\mathrm{I}\mathrm{I}$が現れ、
ある流量で急激なモード変化が生じた。 またモード変化
$\mathrm{I}arrow \mathrm{I}\mathrm{I}$と
$\mathrm{I}\mathrm{I}$数理解析研究所講究録 1313 巻 2003 年 141-148
$arrow \mathrm{I}$
の
2
つの分岐点が明瞭に異なる履歴現象が存在し、 分岐点は流径とレイノルズ数
では依存性が異なった。 また流径が小さい時、
モード
I
を経て振動現象
(
モード垣
D
が現れた。
これらの現象を代表的な写真と模式図を使って図
2
に示す。
次に流水の管内径
(ft) とモードスイッチングの関係について実験結果を図
3
に示
す。
$\Gamma \mathrm{t}$(
こ依存して
Bistable
の領域が大きくなり、
$\prime \mathrm{t}$が小さいときだけ
Mode Ill
が狭い
領域で生じていることがわかる。
3
.
考察
Sa.
流入量と流出量に関する式
水道水に供給される水の流入量に関する式は次のように示される。
$\mathrm{d}\mathrm{V}\mathrm{c}\mathrm{e}11/\mathrm{d}\mathrm{t}=\mathrm{d}\mathrm{V}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}/\mathrm{d}\mathrm{t}-\mathrm{d}\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{u}\sqrt \mathrm{d}\mathrm{t}=\mathrm{Q}\mathrm{i}-\mathrm{Q}$ut
(1)
ここで
Vcell
$\cdot$.
容器の水の体積 (
$\mathrm{m}^{3)_{\text{、}}}$Qin
:
蛇口からの流入量
$(\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s})_{\text{、}}$Qout
:
容器か
らの流出量
$(\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s})$。
初期条件では、
Vcell(t=0)=0 より、
Vcell
が
Vmax
まで満たされる条件において、
$\mathrm{d}\mathrm{V}\mathrm{c}\mathrm{e}11/\mathrm{d}\mathrm{t}=\mathrm{Q}_{\mathrm{i}}\mathrm{n}$
(2)
安定なモード
I
と
II
の状態においては理想的に
$\mathrm{d}\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{e}11/\mathrm{d}\mathrm{t}=0$であるので、
$Q\dot{\mathrm{m}}^{=\mathrm{Q}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}}$
(3)
一方、
振動モードであるモード I
垣においては、
$\mathrm{Q}_{\mathrm{i}\mathrm{n}?}\mathrm{Q}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}$
十分な時間
$\mathrm{T}$の測定を行う場合
(T>\succ O)
、流出量の平均は流入量
Qin
になる。
$(1/\mathrm{T}).\infty \mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathrm{t})\mathrm{d}\mathrm{t}=\mathrm{Q}_{\mathrm{i}*}$(5)
次に、
Qout(t)
について、密度
$\mathrm{p}$の氷が流量
$\mathrm{Q}$(mvs)
、速度 vout(m/s)
で器から噴出すこ
とを運動方程式で考える。噴流が外に飛び出す力を
$\mathrm{F}$とすると
$\mathrm{F}=\mathrm{p}\mathrm{Q}_{V\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}=\mathrm{p}_{\mathrm{S}\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}^{2}}$(6)
142
器の壁面から飛び出す流体の断面積が流量に関らずほぼ
$-arrow$
定
(
つま p)
$\mathrm{d}\mathrm{S}/\mathrm{d}\mathrm{t}=0)$で
あり、
また
$\mathrm{d}\mathrm{v}_{\mathrm{o}\mathrm{u}}\sqrt \mathrm{d}\mathrm{t}=\alpha$(
$=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$,
つまり噴出するとき加速度
$\mathrm{d}\mathrm{v}_{\text{。}\mathrm{u}}d\mathrm{d}\mathrm{t}$を受ける
) である
と仮定する。 (6)
式の両辺を時間で微分すると、
$\mathrm{d}\mathrm{F}/\mathrm{d}\mathrm{t}=\mathrm{P}^{(_{\mathrm{V}}}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}^{2}(\mathrm{d}\mathrm{S}/\mathrm{d}\mathrm{t})+2\mathrm{S}_{\mathrm{V}}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathrm{d}_{V}\mathrm{o}\mathrm{u}d\mathrm{d}\mathrm{t}))=2\mathrm{p}\alpha \mathrm{S}_{V}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}=2\mathrm{p}a\mathrm{Q}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}$(7)
(7)
式を
(1)
式を代人すると、
$(1/2\mathrm{p}\alpha)\mathrm{d}\mathrm{F}/\mathrm{d}\mathrm{t}=\mathrm{Q}_{\mathrm{i}}\mathrm{n}-\mathrm{d}\mathrm{V}\mathrm{c}\mathrm{e}11/\mathrm{d}\mathrm{t}$(8)
$\mathrm{F}$を
$\mathrm{P}$(
$=\mathrm{F}/\mathrm{S}$:
単位面積あたりの圧力
) と置きかえ、
さらに
$\mathrm{b}=2\mathrm{p}\alpha/\mathrm{S}$とすると、
$\mathrm{d}\mathrm{P}/\mathrm{d}\mathrm{t}=\mathrm{b}\mathrm{Q}_{\mathrm{i}}\mathrm{n}-\mathrm{b}(\mathrm{d}\mathrm{V}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}/\mathrm{d}\mathrm{t})$(9)
が得られる。
次に、
$\mathrm{d}\mathrm{V}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}/\mathrm{d}\mathrm{t}$について考察する。単位時間あたり体積
$\Delta \mathrm{V}$変化したときの仕事は
$\mathrm{P}\Delta \mathrm{V}$で表される。
また、
Vcell=Vmax-Vp 刀℃
(10)
である。
ここで、
Vっは容器の最大容量、 Vpole は水の穴の体積である。
$\mathrm{d}\mathrm{V}_{\mathrm{c}\mathrm{e}1}1/\mathrm{d}\mathrm{t}=-\mathrm{d}\mathrm{V}_{\mathrm{P}^{01\mathrm{e}}}\cdot/\mathrm{d}\mathrm{t}=\mathrm{P}\mathrm{V}_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}$(11)
と置き換えてもよい。ここで
$\mathrm{P}$は水面に加わる水圧であり、前述の水が外へ飛び出す
方向の圧力とはベクトルの符号
(
正負
) が逆になっている。
$3\mathrm{b}$.
エネルギーに関する考察
流水の運動を考える。水道水からの流入
(流量
Qin) に関するエネルギー
$\mathrm{E}_{\mathrm{i}}\mathrm{n}$は、
$\mathrm{E}_{\mathrm{i}}\mathrm{n}=(1/2)\int \mathrm{Q}\dot{\mathrm{m}}\mathrm{p}_{\mathrm{V}^{2}\mathrm{d}\mathrm{t}}$(12)
で与えられる。ここで流量大かつ容器への衝突距離が短いとして、重力の効果は無視
している。
(14) 式を時間で微分すると、
143
$\mathrm{d}\mathrm{E}\mathrm{i}\mathrm{n}/\mathrm{d}\mathrm{t}=(1/2)\mathrm{Q}.\mathrm{n}\mathrm{p}_{V}\mathrm{j}\mathrm{n}^{2}$
(13)
ここで、へ
$\mathrm{p}$は単位時間当たりの流入の重量である。同様にして、容器からの流出
(流
量
Qout)
に関するエネルギー
Eout
は、
$\mathrm{d}\mathrm{E}\mathrm{o}\mathrm{u}d\mathrm{d}\mathrm{t}=(1/2)\mathrm{Q}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{p}_{\mathrm{V}}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}^{2}$(14)
容器の運動エネルギーについては、
$\mathrm{d}\mathrm{E}_{\mathrm{c}\mathrm{e}11}/\mathrm{d}\mathrm{t}=\mathrm{d}\mathrm{E}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}/\mathrm{d}\mathrm{t}-\mathrm{d}\mathrm{E}_{\mathrm{o}\mathrm{u}}d\mathrm{d}\mathrm{t}-\mathrm{E}_{1}$.
(15)
$\mathrm{E}_{1}$.
は摩擦に関するエネルギー喪失項である。この項のイメージは、水道水からの流入
によって水面が叩かれ、水のくぼみができる、
つまり、水のくぼみがないとくぼみを
作るためのエネルギーが必要であり、 くぼみ
(
または深さ
) の大きさとともにそのエ
ネルギーが下がり、
モード
II
では水位がゼロとみなせるので、
$\mathrm{E}_{1}\cdot=0$である。
つま
り、
$\mathrm{E}_{\mathrm{r}}=\mathrm{f}(\mathrm{h}_{0}-\mathrm{h})$(16)
のような関数形で表すことができる。
さて、容器の水の体積についての考察する。容器の水の体積を
Vcell
とする。まずくぼ
みが半球状
(
半径
r)
であると仮定すると、
$\mathrm{V}_{\mathrm{c}\mathrm{e}}\mathrm{u}=\mathrm{V}_{\max}-\mathrm{V}_{\mathrm{P}^{01\mathrm{e}}}=\mathrm{A}(\mathrm{r}\mathrm{o}^{\theta}-\mathrm{r}^{\mathrm{a}})=\mathrm{A}\mathrm{m}^{3}(1-\mathrm{r}_{\mathrm{h}^{3)}}$(17)
(17)
式の時間微分は、
$\mathrm{d}\mathrm{V}_{\mathrm{c}\mathrm{e}1}\iota/\mathrm{d}\mathrm{t}=-3\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{o}^{3}\mathrm{r}_{\mathrm{h}^{2}}(\mathrm{d}\mathrm{r}\mathrm{h}/\mathrm{d}\mathrm{t})=\mathrm{Q}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}-\mathrm{Q}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}$(18)
$\mathrm{d}\mathrm{r}\mathrm{h}/\mathrm{d}\mathrm{t}=\mathrm{B}(\mathrm{Q}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}-\mathrm{Q}_{\mathrm{i}\mathrm{n}})/\mathrm{r}\mathrm{h}^{2}=\mathrm{C}\Delta \mathrm{Q}/\mathrm{r}_{\mathrm{h}^{2}}+\mathrm{D}(\mathrm{E}_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}+\mathrm{E}_{\mathrm{r}})/\mathrm{r}_{\mathrm{h}^{2}}$(19)
ところで、
Epol.e
の位置エネルギーに関する項は、
Epore
$= \pi \mathrm{p}\mathrm{g}\int(\mathrm{r}_{\mathrm{h}^{2}}-\mathrm{h}^{2})(\mathrm{h}\mathrm{o}-\mathrm{h})\mathrm{d}\mathrm{h}$$=\pi \mathrm{p}\mathrm{g}((1/4)\mathrm{h}^{3}-(\mathrm{h}\mathrm{o}/3)\mathrm{h}^{2}-(1/2)\mathrm{r}_{\mathrm{h}^{2}}\mathrm{h}+\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{r}_{\mathrm{h}^{2}})\mathrm{h}$
(20)
$\mathrm{L}^{\backslash }l\downarrow k\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathit{1}_{\mathrm{Z}}d)$
\succeq
$\mathrm{d}\mathrm{r}\mathrm{h}/\mathrm{d}\mathrm{t}=\mathrm{C}’ \mathrm{P}-\mathrm{f}(\mathrm{r}_{\mathrm{h}})$
(21)
を導くことができる。
ここで、
ナビエ・ストークスの運動方程式との関係について検
討する。 ナビエ・ストークスの運動方程式を
1
次元のみで考えると、
u/\partialt+u\partiall\mbox{\boldmath$\nu$}\mbox{\boldmath$\delta$}x
$=\mathrm{F}_{\lambda}.-\{(1/\mathrm{p})\partial \mathrm{p}/\partial X-\mathrm{v}(\partial^{2}\mathrm{u}/\partial x^{2})\}$(22)
が得られる。 (22)
式は
(2o
式に相当するので、
ナビエストークスの式がらの導出とし
て取り扱うことができる。本実験系では、
(l/\rho )
下
p/\partial x は圧力勾配で、 容器の最大のレ
ベルから隆起した水量によって水圧が加わる項に相当し、
v(\partial 2d\partial x2)
は水のくぼみを作
るための粘性抵抗に相当する。
Fig.
1
Exper
imental
$\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{s}\uparrow \mathrm{o}\mathrm{r}$mode-switching
with
awater
faucet.
146
$\mathrm{M}$
ode
$|$ $\mathrm{M}$ode
$||$
$\mathrm{F}$
ig.2
$\mathrm{S}$chematc
$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\dot{|}\mathrm{o}\mathrm{n}$
of the three modes
(1,
11,
Ill)
a
$\mathrm{s}$afunction
of
the
flow
rate,
$\mathrm{Q}$,
and
the
$\mathrm{s}$
na
ps
hots of three modes when the inner radius
of
the
water
tube is
1.25
$\mathrm{m}\mathrm{m}$.
Upon
scanning with
a
$\mathrm{n}$increase in
$\mathrm{Q}$,
Mode 1changed
to
11
at
$\mathrm{Q}_{1- 11}$
via
Mode
1
$\mathrm{I}1,$ $\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}$upon
$\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{a}$
nning with
a
$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{e}$
in
$\mathrm{Q},$Mode
Il
$\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}$nged
tO
Mode
1at
$\mathrm{Q}_{||-|}$without Mode
I11.
–
Monostable
at
Mode
$|$$\square$
荻
onostable
at
Mode
11
$\mathrm{H}$
Bistable
between
Modes 1and
11
$.\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\lambda}$
Monostable
at
Mode
III
$\hat{\vee\in \mathrm{E}}$
$\overline{\mathrm{C}}$
$\mathrm{Q}(\mathrm{m}|\mathrm{s}_{-1})$
$\mathrm{F}\mathrm{i}9\cdot 3$
Dependenc
伽屋
f
$r\mathrm{t}$
(inner
rad
$\mathrm{i}\mathrm{u}\mathrm{s}$
