モノドロミー保存変形と4次元パンルヴェ型方程式 (微分方程式のモノドロミーをめぐる諸問題)

モノドロミー保存変形と

4

次元パンルヴェ型方程式

坂井秀隆

東京大学大学院数理科学研究科

1

動機

高階のパンルヴェ型方程式の研究をよく見るようになって, その正体がよくわからず得心がいかな い状態だったが, 小池さんの結果([5])で, $fi_{I}$ 階層,

Av

階層と呼ばれているものが退化ガルニエ系 の独立変数の制限になっていることが分かった. これらの常微分方程式系を, ガルニエ系のような多 変数系としてみるべきだというのは, 相空間が既に対称性の情報を持っていて, 本来持っているべき 変形のすべてを見ているのが多独立変数系となっていて

,

常微分のほうはその特別な方向への制限と なっているからで, 逆に言うとそのような特別な方向を特徴づける必要も感じる. そのように考えると, 野海 山田系や笹野系などよく調べられている高階バンルヴェ型方程式系が 気になってくる. わたしは, これらも (退化) _{ガルニエ系の制限としてみることができるのではない} かと思っていたが (この可能性が否定されたわけではない), むしろより一般のシュレージンガー系 の枠組みを整理して, そこにいろいろな可積分系を位置づけるのがよいと考えはじめた. これらのパ ンルヴェ型方程式は, そのほとんどがラヅクス表示を持っているので, 何らかの意味で神保三輪 上野の一般化シュレージンガー系に含まれていることはあらかじめ保証されているからである. シュレージンガー系は $\frac{d}{dx}Y=(\sum_{1=1}^{n}\frac{A_{i}}{x-u_{i}}I^{Y}$ の形のフヅクス型方程式 (シュレージンガー正規型と呼ぶ) の変形理論から導かれ, 具体的には,

$\frac{\partial}{\partial u_{j}}A_{i}$ $=$ $\frac{[A_{j},A_{i}]}{u_{j}-u_{i}}1$ $(j\neq i)$,

$\frac{\partial}{\partial u_{i}}A_{i}$ _$=$

$- \sum_{j\neq i}\frac{[A_{j},A_{i}]}{u_{j}-u_{i}}$

の形にかける. これは, 従属変数 $(A_{1}, \ldots, A_{n})\in M_{m}(\mathbb{C})$ に関する方程式で, 一斉相似変換に関して

不変で, さらに, 各 $A_{i}$ の固有値は保存量となっている. ガルニエ系は, この方程式系の行列サイズ

$m$ が2の場合に対応している.

本来はやはり, 非線形の微分方程式の分類は, 代数多様体のそれに帰着されるべきであると思うの

ジュライ) の詳細まで必要なのでなおさらである

.

笹野さんが具体例をいろいろ計算しているので頑 張ってほしい ([8]).

それでも線型方程式の変形理論よりも代数幾何のほうがいいと言ってきた理由

の一つに,

非線形方程式とラヅクス形式の間の対応が一対一でないことがある

.

つまり, パンルヴェ 方程式のような非線形方程式が一つあったときに, それに対応する線型方程式はサイズ $m$ を大きく 取ってよければいくらでも構成できるし, もちろんラヅクス表示を持たないような方程式もあってい い.

与えられた方程式に対してラックス表示を与える標準的方法はないので

,

非線形方程式を適当に 持ってきたとき,

それが何者かをそれで判断するのは難しい

.

この問題点のうち, $x\urcorner\backslash$応する線型方程式がいくらでも作れるというほうが, 線型方程式の分類理論 の進展のおかげで何とかなりそうになってきた

.

つまり,

与えられた方程式に対しラックス形式に書

くこと (あるいは書けないことを判定すること) は簡単ではないが, 一つそのようなものが与えられ ていれば,

それらがどの方程式か特定することができるというような理論が作れるということである

.

ここで言っているのは, カヅツの理論のことで, ミドルコンヴォリューションとアディションと $Aa$ うふたつの操作による線型方程式の変換で, (変形のほうの) 相空間の次元を固定すると, 有限個の方 程式に帰着されてしまうからである. 次の節で, この理論を, 変形理論の立場から簡単に紹介する. そのあとで, この論考の目的である, 4 次元のパンルヴェ型方程式の分類の試みについて, 述べてい きたい.

2

フックス型方程式の分類理論

シュレージンガー系の幾何学的描像をもっと詳しく見てみよう.

独立変数 $u=$ ($u_{1},$ $\ldots$ , un) は,

$\mathbb{P}^{1}$ の $n$ 点の配置を表わしていて, $PGL$ の作用で正規化できるの で, 3点を零一無限大に持ってきて, $n-3$ 次元の空間をなしていると思える. これは, 変形の次元 がどれだけあるかを表している. さて, 従属変数の空間だが, 方程式は一斉相似変換の対称性があるので, それで割ったものを考え る. 各行列の固有値へのマップがあって, その値を固定すると, それに対応したファイバーが力学系 の相空間となる. ファイバーの部分は, 固有値, つまり特性指数では決まらないところで, その座標 をアクセサリーパラメーターと呼んでいる. つまりファイバー (相空間) の次元は, アクセサリーパ ラメーターの数に等しい. 固有値の縮退があるところでは, $G^{-1}A_{i}G=A_{i}$ となるような対称性 $G$ の空間の次元が大きく なるため, ファイバーの次元は小さくなっている. 相空間を分類するためには, 特異点の数 $n+1$ $(u=u0=\infty$ も特異点$)$ と行列のサイズ_$m$ だけでなく, より詳しい固有値の縮退に関する情報が必 要である. スペクトルタイブと呼ばれる $m$ の分割の $n+1$ 個の組で, 必要な情報を表そう. スペクトルタイ

プが

$m_{1}^{1}m_{2}^{1}\ldots m_{l_{1}}^{1},m_{1}^{2}\ldots m_{l_{2}}^{2},$

$\ldots,$$m_{1}^{n}\ldots m_{l_{n}}^{n},$ $m_{1}^{0}\ldots m_{l_{0}}^{0}$ $( \sum_{j=1}^{l_{i}}m_{j}^{j}=m$

for

$0\leq\forall i\leq n)$

のように与えられていたとき, $u=u_{i}$ における行列 $A_{i}$ の固有値の情報は $i$ 番目の分割で与えられ

ていて, $m_{j}^{i}$ 個 $(1\leq j\leq l_{i})$ の同じ固有値があることを表していると思うわけだ. ただし, ジョルダ

ン標準形で対角化されないような場合を考えるときは,

対角化されていて固有値が同じときよりも対

称性は小さくなってしまうので, これは別に考えなくてはいけない. この場合を含めて理論は作られ

ているが, ここでは簡単のため, 以後, 行列 $A_{i}$ は対角化可能と仮定しておこう.

さて. カッツの理論の説明に入る. カッツの操作と呼ばれる線型方程式の間のふたつの変換を考え

る. カヅツは幾何学的に述べているのだが, ここでは, デットワイラーとライターによる行列の計算

のほうを与えておこう ([1]). まず, アディションのほうだが, これは $\alpha=(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n})\in \mathbb{C}^{n}$ にた

いし,

$A=(A_{1},\ldots,A_{n})\mapsto(A_{1}+\alpha_{1}, \ldots,A_{n}+\alpha_{n})$

という変換である. さらに, ミドルコンヴォリューションについては, $\lambda\in \mathbb{C}$ にたいし, まず, $A\mapsto$

$(G_{1}, \ldots,G_{n})$ という変換を

$G_{i}=$ $(A_{1}$ $A_{2}$

...

$oO$

.

$A_{i}+\lambda 1_{m}$

...

$A_{n})<i$ $\in M_{nxm}(\mathbb{C})$

で定義し, これをコンヴォリューションと呼ぶ. さらに, $G=(G_{1}, \ldots, G_{n})$ の不変部分空間

$\mathcal{K}=(\begin{array}{l}KerA_{l}|KerA_{n}\end{array})\subset \mathbb{C}^{nxm}$, $\mathcal{L}_{\lambda}=Ker(G_{1}+\cdots+G_{n})$

を考え, $G=$ $(G_{1}, \ldots , G_{n})$ _の商空間 $\mathbb{C}^{nxm}/\mathcal{K}+\mathcal{L}_{\lambda}$ への作用を $\overline{G}=(\overline{G_{1}}, \ldots\overline{G_{n}})$ で表したとき,

変換

$A=(A_{1}, \ldots, A_{n})\mapsto\overline{G}=(\overline{G_{1}}, \ldots\overline{G_{n}})$

をミドルコンヴォリューションと呼ぶ.

このとき, ミドルコンヴォリューションは, 一般には,

行列のサイズを変えてしまうことに注意し

よう. 解のほうでみると,

これはオイラー変換と呼んでいるような積分変換で与えられることが知ら

れている.

定理2.1 (N. Katz[4]). 任意のリジッド, 既痢なフックス型方程式はカッツのふたつの操作を有限 回繰り返して, 単独1階のフヅクス型方程式に帰着できる. ここでリジッドといっているのは, アクセサリーパラメーターがないということである. 一階の線 型方程式は求積可能であるから, 既約, リジヅドな方程式の解の積分表示の存在を示したことにも なっている. われわれの輿味は, アクセサリーパラメーターのある方程式のほうだ. とくに2次元の相空間を 持つパンルヴェ方程式のグループに対して, その拡張として, 4次元の力学系を分類する地図を描き たい. しかしこれに対しても, 重要な定理が示されている. 定理

22(

大島 [7]). アクセサリーパラメーターが4つある既痢フックス型方程式は, アディション とミドルコンヴォリューションを有限回繰り返して, _次の

13

種類のスペクトルタイブの方程式のい ずれかに帰着できる ; 11,11,11,11,11

21,21,111,111

31,22,22,1111

22,22,22,211

211,1111,1111

221,221,11111

32,11111,11111

222,222,2211

33,2211,111111

44,2222,22211 44,332,11111111 55,3331,22222 66,444,2222211. いちばん最初のが, 2 独立変数のガルニエ系に対応していて, 特異点の数が5なので, 変形の次元 は2で, これが独立変数の数に対応している. さらに, 変形の次元が1の方程式が3つある. この合 わせて 4 つ以外の 9 つの方程式には変形がない. よってガルニエ系以外に 3 つの方程式を見てやれば, すべての場合が尽きている. 述べていなかったが, もちろん, このような議論ができるのは次のような定理があるからだ. 定理 2.3 (原岡-Filipuk[2]). 変形方程式は, カッツの操作で不変である. ちなみに, アクセサリーパラメーターが2つの場合も, 同様の結果が得られていて

(Kostov[6]),

次の4つに帰着される ; 11,11,11,11 111,111,111 22,1111,1111 33,222,111111. 変形の次元があるのは最初ののみで, これは第6 パンルヴェ方程式に対応している. 第6方程式の 退化のみで尽きていることと矛盾しない.

3

アクセサリーパラメーターの空間

これでわれわれの目的は, 21,21,111,111 31,22,22,1111 22,22,22,211

という 3 つのスペクトルタイプにたいして, その変形方程式 (シュレージンガー系) を調べることに 絞られたわけだ. それで, 方程式系の相空間, つまりアクセサリーバラメーターの空間について, 一 般論として知られていることをまとめてみよう.

31

次元 まずアクセサリーパラメーターの数だが, 次の公式で与えられる

:

$(n-1)m^{2}- \sum_{i=0}^{n}(\sum_{j=1}^{l_{*}}(m_{j}^{i})^{2})+2$

.

だが, もう少し行列をいじって具体的にこれを確認してみよう. まず各特異点 (無限遠点以外) での行列を考えるのだが, スペクトルタイプが$m_{1}^{1}\ldots m_{l_{1}}^{i}$ となるよ うな行列は, 各固有値を固定すると, $m^{2}- \sum_{j^{i}=1}^{l}(m_{j}^{i})^{2}$ 次元だけ存在する. 各 $m_{j}^{1}$ がすべて 1 のとき は, 固有値の情報の分だけ, 行列の次元から引いているにすぎない. 実際に座標を与えることを, 簡単な例で見てみよう. われわれの目的のためには, (7) $m-1\cdot 1$ と

いう場合, $()m-2\cdot 2$

_,

$(\theta)m-2\cdot 1\cdot 1$ _{という場合を見ておけば十分だろう.}

(7) の場合, 固有値を $\theta_{1},$ $\theta_{2}$ とおくと, 行列は

ム $=(\begin{array}{l}b_{l}|b_{m}\end{array})(c_{1}, \ldots,c_{m})+\theta_{1}\cdot 1_{m}$

,

$\sum_{j=1}^{m}b_{j}c_{j}=\theta_{2}-\theta_{1}$

と書ける. ここで, $c\in \mathbb{C}^{x}(=GL_{1}(\mathbb{C}))$ にたいして, $b_{j},$ $c_{j}$ を cbj, $c^{-1}c_{j}$ に取り換えてもよい. ジェ

ネリックな場合 $(b_{1}\neq 0$ のとき$)$ には, たとえば, _{$b_{1}=1$} とおける. 導入した変数が $2m$ で, 関係式

が1つ対称性が1次元あって, 次元は $2m-2$ である. あとで変形方程式を考えるときには, アディ

ションで $\theta_{1}=0$ としておく.

あとのふたつの場合, 行列は

$A_{i}=(\begin{array}{ll}b_{ll} b_{12}\vdots \vdots b_{m1} b_{m2}\end{array})(\begin{array}{lll}c_{1l} \cdots c_{lm}C2l \cdots c_{2m}\end{array})+\theta_{1}\cdot 1_{m}=BC+\theta_{1}\cdot 1_{m}$

と書け, $GL_{2}(\mathbb{C})$ の対称性を持ち, 関係式はそれぞれ, $()C\cdot B=(\theta_{2}-\theta_{1})1_{2},$ $(\theta)$ 固有値 $\theta_{2},\theta_{3}$

を決めるためのふたつの関係式となる. 次元は, $($イ

$)4m-4-4=4m-8,$

$(\theta)4m-4-2=4m-6$

となる.

次に一斉相似変換を考えてやらなければならない. 普通, シュレージンガー系を考えるときは無限

遠点での係数

を対角化して考える. 無限遠でのスペクトルタイブに合わせて $A_{0}=$ diag$(\theta_{1}, \ldots, \theta_{l_{0}})$ とできるので, ムの和と比べて, $m^{2}$ 個の関係式が出る. ただし, この関係武のうちトレースの部分は固有値のみの 関係武で, アクセサリーパラメーターの制限にはならない. フックスの関係式と呼ばれる. さらに, $A_{0}$ と可換な行列の対称性が残っているので (よくこの分をゲージと言ったりしている), 結局合わせて, $\sum_{i=1}^{n}(m^{2}-\sum_{j=1}^{\iota}(m_{j}^{i})^{2})-.(m^{2}-1)-(\sum_{j=1}^{l_{0}}(m_{j}^{0})^{2}-1)=(n-1)m^{2}-\sum_{i-\triangleleft}^{n}(\sum_{j=1}^{l}(m_{j}^{i})^{2})+2$ がアクセサリーパラメーターの数となる.

32

ボアソン構造 行列の組の空間 $M_{m}(\mathbb{C})^{\oplus n}$ の上には, コスタンキリロフ構造と呼ばれるボアソン構造が入ること が知られている. これは, $M_{m}(\mathbb{C})^{\oplus n}$ の上の関数の組にたいして, 次のようにボアソン括弧を定める ことで導入される

:

$\{(A_{p})_{i_{t}j}, (A_{q})_{k_{2}t}\}=\delta_{p\}q}()$

.

このようにボアソン括弧を定義すると, シュレージンガー系はハミルトニアン

$H_{k}= \sum_{\iota\neq k}\frac{r\Gamma n(A_{k}A_{l})}{u_{k}-u_{l}}$ (3.1)

を使って, $\frac{\partial}{\partial u_{k}}A_{t}=\{A_{l},H_{k}\}$ のように書き換えることができる. これは, 計算してみればすぐに確認できるだろう.

3.3

正準座標

上で与えたハミルトニアンにたいして, 次元に対応した数だけの正準座標がとれれば, それで方程 式が与えられるのだが, これが難しい. そこで, 変数を増やしてやって, より次元の高い空間での力 学系と考えれば, 実は, うまく正準座標をとれることが知られている. (神保三輪毛利

&$

[3])

これはアクセサリーパラメーターの数を見たときに構成した座標で,

$A_{i}=B^{i}\cdot\dot{\sigma}$, $B^{i}=(b_{kl}^{i})_{k_{1}}\iota\in M_{m_{r}rankA_{i}}(\mathbb{C})$, $\dot{\sigma}=(c_{kl}^{i})_{k},\iota\in M_{rankA_{i},m}(\mathbb{C})$

とおく. 組 $(B^{1}, C^{1}, B^{2}, C^{2}, \ldots, B^{n}, C^{n})$ の空間で, ハミルトニアンをとしたとき 9 $b_{kl}^{i},$$c_{kl}^{\dot{t}}$ を正準座

標とした正準方程式の解を考えると, それから構成した $A=(A_{1}, \ldots, A_{n})$ はシュレージンガー系の

解になっている. このときのシンブレクティヅク形式は

と書ける.

4

22,22,22,211

の変形方程式

一般論で, 前節の内容まではわかるのだが, そこからの計算が難しい. 対称性を考慮して, 次元を 本来の部分まで小さくするために, リダクションを考えなくてはならない. もともと方程式を特定す ることができなくてはしょうがないのだから, 少なくとも次元が同じだけの変数で閉じた形で書いて おきたい. ここで紹介できるのは, 3 つのうちのひとつだけなのだが, これはうまく座標がとれて, 多項式ハ ミルトニアンの正準方程式で表すことができた. まず, 特異点の位置を $u=(O, 1, t, \infty)$ と正規化し, $t$ を独立変数と思う. スペクトルタイブ 22, 22, 22,211に対応する固有値を,

$0,$$\theta 0;0,$$\theta_{1};0,$$\theta_{l};\kappa_{1},$

$\kappa_{2},$$\kappa_{3}$, $2\theta_{0}+2\theta_{1}+2\theta_{t}+2\kappa_{1}+\kappa 2+\kappa 3=0$

(

フヅクスの関係式

)

とする. これが方程式のパラメーターとなる. ハミルトニアンは次のように書ける

:

$t(t-1)H$ $=$ $\frac{t(t-1)}{2}H_{VI}(--22\theta_{0}\kappa_{1}-22(\theta\theta_{1}+-\kappa_{1}2\theta_{t});q_{1},p_{1})-(1-2q_{1})(q_{2}^{2}p_{2}^{2}+(q_{2}p_{2}-\theta-\kappa_{1}-\kappa_{2})^{2})$ $-2(q_{1}(q_{1}-1)-q_{2})(q_{1}-t)p_{2}(q_{2}p_{2}- \theta-\kappa_{2}-\kappa_{2})-\frac{1}{2}(\theta+(3q_{1}-t-1)p_{1})p_{1}q_{2}$ $-(2q_{2p_{2}2}-\theta-\kappa_{1}-\kappa)\{(t+1)\theta_{0}+t\theta_{1}+\theta_{t}+2\kappa_{1}q_{1}+((1+t)q_{1}-t)p_{1}-p_{1}q_{2}\}$

.

ここで, $\theta=\theta_{0}+\theta_{1}+\theta_{t}$ で t

HVI

は第6 パンルヴェ方程式のハミルトニアン

:

$t(t-1)H_{VI}(^{\theta_{0},\theta\iota_{2}\theta_{t}}\kappa_{1},\kappa;q,p)$ $=$ $q(q-1)(q-t)p^{2}-\{\theta_{0}(q-1)(q-t)+\theta_{1}q(q-t)+\theta_{t}q(q-1)\}p$ $-\kappa_{1}(\theta_{0}+\theta_{1}+\theta_{t}+\kappa_{1})(q-t)+(t-1)\theta_{0}\theta_{t}+t\theta_{1}\theta_{t}$, $(\theta_{0}+\theta_{1}+\theta_{t}+\kappa_{1}+\kappa_{2}=0)$

.

ついでに, _{得られた方程式の特殊解について述べておこう.} このハミルトン系は $\theta+\kappa_{1}+\kappa_{2}=0$ _の とき $(\kappa_{2}=\kappa_{3}$ のとき$)$ , 特殊解をもつことがすぐ分かる. このパラメーターの条件のもとで, _{$q_{2}=0$} を考えてみると, $Ttdq_{2}=0$ となるので, $q_{2}=0$ は解になる. 代入すると,

$\frac{d}{dt}q_{1}=\frac{1}{2}\frac{\partial H_{VI}}{\partial p_{1}}$

,

$\frac{d}{dt}p_{1}=-\frac{1}{2}\frac{\partial H_{VI}}{\partial q_{1}}$

,

$\frac{d}{dt}q_{2}=0$

,

$t(t-1) \frac{d}{dt}p_{2}=2q_{1}(q_{1}-1)(q_{1}-t)p_{2}^{2}+2\{(t+1)\theta_{0}+t\theta_{1}+\theta_{t}+2\kappa_{1}q_{1}+((1+t)q_{1}-t)p_{1}\}p_{2}$

$+ \frac{1}{2}(\theta+(3q_{1}-t-1)p_{1})p_{1}$

となり, 結局, $qi,pi$ はパンルヴェ方程式 (の尺度変換) の解p $q_{2}=0$

,

働はパンルヴェ方程式の解

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