極端な情報系下のヘッジ戦略について
鍛治
俊輔
平成
17
年
1
月
28
日
1
Introduction
非流動的資産を担保にした
ABS(Asset
Backed
Security) の評価とヘッジ戦略を扱う。
ある資産市場が存在せず、
その流動性を見込めない資産を証券化するにあたり、それを
担保として引き受けた特別目的会社
SPV(Special
purpose
vehide)
はまず投資家から資
金を調達し、満期にはキャッシュフローを投資家に還元することにする。
このとき支払
い優先順位の差をつけて証券を発行するが、
まずはシニア債、そして残りは劣後債とし
ている。証券を買った投資家は金利リスクと破産リスクを抱えてしまうので割引国債を
使ってヘッジしょうと試みることにする。
そこでシニア債や劣後債を担保資産に対する
ヨーロピアンオプションと認識する。
詳しく言うとこうである
;
非流動的資産の証券化に関する構造は、
担保資産から生ずるキャッシュフローに対し
て投資家が優先権を持つシニア部分とその残りを受け取る劣後部分からなるものとす
る。担保資産が破産したときに劣後部分がシニア部分よりも先に受け止めなくてはなら
ず、
劣後部分はシニア部分に対する信用補完として構成されている。
$\mathrm{S}\mathrm{P}\mathrm{V}$(
特
$\mathrm{B}^{1}\mathrm{J}$目的会
社)
がシニア債投資家に対して支払いができなくなったとき、
つまり満期
$T$
における
担保資産の価値
$\Gamma$が信用補完額
$K$
を下回ったときシニア債は破産したとされることか
ら、それはヨーロピアンオプション.
$\min\{\Gamma, K\}$
であり、
劣後債は
$\max\{\Gamma-K, 0\}$
と解
釈できる。
デリバティブの問題としてそのヘヅジ戦略を求める手法をとるが、担保資産に関する
情報を投
F
に
SPV
が開示するかしないかでヘッジ戦略も変わってくる、
つまり
$\xi\underline{\mathrm{B}}\text{保}$資産の破産情報を各時点で開示するかある時点のみで開示するかで異なってくるだろ
う。本論文では満期のみで開示する設定を考えている。
このとき不完備市場になること
が明らかにされる。
一般に不完備市場ではヘヅジ戦略は一意的に決まらず何か整合性
のある
$\Phi\grave{7}\ominus\underline{\ovalbox{\tt\small REJECT}}\text{戦略}$をとることになるが、今回は Follmer
and Sondermann[l] が提案した
Risk-\perp Minimizing.strate 留をffi\rightarrow ,ffl
した。
この
$\text{戦}\Phi$をとることにより、我々
(まシニア債や
2
Risk-Minimization
リスク資産価格過程に対する同値マルチンゲール測度
$(\mathrm{E}.\mathrm{M}.\mathrm{M})$が存在し、かつ完備市
場下では条件付請求権のヘヅジ戦略や価格も決まる。
しかし不完備市場では一意に決ま
らない
.
Follmer and
Sondermann
[1]
では
”Risk-Minimization”
の概念を紹介している。
彼らはリスク資産価格過程が連続 2
乗可積分マルチンゲールとして条件付請求権を複
製しようとするときに伴うリスクを最小化する戦略を見つけ、
それを
“Risk-Minimizing
strategy”
と呼んでいる。
Schweizer
[5]
ではリスク資産価格過程が cadlag
なセミマルチン
ゲー
)
$\mathrm{s}$の仮定で
”
Local
Risk-Minimization”
と言う、
”Risk-Minimization”
を拡張した概
念を導入した。
これらの論文では
”
$\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{k}$-Minimizing
strategy” を具体的に見つけるため
の必要十分条件は
”Kunita and
Watanabe
decomposition” (Kunita and Watanabe[3])
を得ることであると述べている。
あるフィルター付確率空聞
$(\Omega, \mathcal{F}, \{\mathcal{F}_{t}\}_{0\leq t\leq T}, P)$を与える。
ただし乙は右連続とす
る。 また
$X$
は
2
乗可積分右連続マルチンゲールとし、
$\mathcal{H}=$
{
$\eta=\{\eta t\}0\leq t\leq\tau|\eta$
:
予測可能
(predictable),
$E[ \int_{\mathrm{r}\mathrm{J}}^{T}(\eta_{s})^{2}d\langle X\rangle_{\mathrm{s}}]<\infty$}
$J \Lambda=\{M=\{M_{t}\}_{0\leq t\leq T}|M=\int_{0}^{t}\eta_{s}dX_{s}; t\in[0,T]\grave{/}\eta\in \mathcal{H}\}$
$\vee \mathrm{M}^{[perp]}=\{N=\{N_{t}\}0\leq t\leq_{-}\tau|N$
:
2
乗単線分右連続マルチンゲール,
$\langle N, M\rangle=$
$0,\forall M\in \mathcal{M}\}$
とおく。
戦略
$H$
によるボートフォリオの割引価値過程
$V(H)=\{V_{t}(\mathcal{F}I)\}_{0\leq t\leq T}$
は
$V_{t}(H)=H_{t}^{0}+H_{t}^{1}X_{t}$
と書ける。
ただし
H2 や
$H_{t}^{1}$はリスクフリー資産やリスク資産の時点
$\mathrm{t}$における保有数
とする。
戦略
$H=(H^{0}, H^{1})$
に関する定義は以下のようである
;
Definition 2.1
$H^{0}$は乙適合で
$H^{1}\in \mathcal{H}$とし、
$V(H)$
は右連続なパスをもつとする。
1.
$H$
によるコスト過程
$C(H)=\{C_{t}(H)\}_{0\leq t\leq T}$
を
$C_{t}(H)=V_{t}(H)- \oint_{0}^{t}\mathrm{f}I_{s}^{1}dX_{s}$
で定義する。
2.
$H$
が”Meannse が financing” であるとは、
$C(H)$
がマルチンゲー
)
になることであ
3.
満期
$T$
における条件付請求権
は
$\Gamma\in L^{2}(\Omega_{2}\mathcal{F}_{T_{2}}P)$で与えられているものとする。
$H$
が許容的
(admissible)
であるとは
$V_{T}(H)=\mathrm{F}a.s$
.
を満たすことである。
Definifion 22
許容的戦略
$H$
の時点
$t$における残存リスクを
$R_{t}(H)=E[\{C_{T}(H)-C_{t}(H)\}^{2}|\mathcal{F}_{t}]$
とする。
このとき
$H$
が
ffRisk-Minimizing”
であるとは次の条件を満たすことである。
ffFor any
$t\in[0,T]$
,
$R_{\mathrm{t}}(H)\leq R_{t}(\phi)a.s$
.
for
every
adm 飴 sible
strategy
$\phi$”
Definition
23
$\Gamma\in L^{2}(\Omega, \mathcal{F}_{T}, P)$なる条件付請求権
$\Gamma$に対して
$\Gamma=\Gamma_{0}+\int_{0}^{T}\eta_{s}dX_{S)}E[\oint_{0}^{T}(\eta_{s})^{\underline{9}}d\langle X\rangle_{\mathrm{s}}]<\infty$
なる予測可能過程
$\eta$と定数
$\Gamma_{0}$が存在するとき、
$\Gamma$
は
attainabte
という。
特に任意の
$\Gamma$が
attainable
のとき完備市場と呼ぶ。
[L],[5]
によると次の命題・定理が導かれる
;
Proposition 21
条件付請求権
$\Gamma$は
$\Gamma\in L^{2}(\Omega, \mathcal{F}_{T_{1}}P)$とする。
以下同値 ;
1.
$\mathrm{F}$に対して許容的な self-financing
戦略
$H$
が存在する
2.
$\Gamma$に対して”Rt(H)
$=0a.s.$
,
O\leq t\leq Tf’
なる許容的な戦略
$H$
が存在する
3.
$\Gamma$は
attainable
Theorem 2I
$\Gamma\in L^{2}(\Omega, \mathcal{F}\tau, P)$なる条件付請求権
$\Gamma$に対して次のような分解
(Kunita
and
Watanab
$e$decompo sition);
$\mathrm{F}=E[\Gamma]+\oint_{0}^{T}\eta_{s}dX_{s}+\pi_{T}$
が得られたとき、 Risk-Minimixing stmtegy
$\mathrm{f}I=(H^{0}, H^{1})$
が次のように存在する ;
$H_{t}^{1}=\eta_{t}(= d\langle V^{*},X\rangle\ovalbox{\tt\small REJECT}_{f})$
Ht0=vt*-\eta tx
亡
ただし、
$V^{*}=\{V_{t}^{*}\}_{0\leq t\leq T}$
は
$\{E[\Gamma|\mathcal{F}_{\mathrm{t}}]\}_{0\leq t\leq T}$を修正した右連続マルチンゲー
)
で
$\eta\in \mathcal{H},$$\pi\in \mathrm{A}4^{[perp]}$3
Model
確率空間
$(\Omega_{1}, \mathcal{F}_{1}, P_{1})$上で一次元標準ブラウン運動
$W=\{Wt\}0\leq t\leq T\backslash$
確率空問
$(\Omega_{2}, \mathcal{F}_{2}, P_{2})$上でパラメータ
$\lambda$の指数分布に従う確率変数
\mbox{\boldmath $\tau$}
、そして確率空間
$(\Omega_{3}, \mathcal{F}_{3}, P_{3})$
上で
$[0, 1)$
の一様分布に従う確率変数
$\xi$を定義する。
各確率空回
$(\Omega_{i}, F_{i}, P_{i})$嫁
$=1,2,3$
上でフィルトレーション
$\{\mathcal{F}_{1,t}^{W}\}_{0\leq t\leq T}$と
$\sigma$加法族
$F_{2}^{\tau},$$\mathcal{F}_{3}^{\xi}$
を以下のように与える
:
$\mathcal{F}_{1_{\}}t}^{W}=\sigma(W_{s}; s\leq t)\vee N_{\mathrm{I}},$$F_{2}^{\Gamma}=\sigma(\tau),$$\mathcal{F}_{3}^{\xi}=\sigma(\xi)$
ただし駈は
PI
ー門集合全体の集合とする。
このとき確率空間
$\langle$$\Omega,$$\mathcal{F},$$P)$
を完備直積空闇
$\prod_{i=1}^{3}(\Omega_{i}., \mathcal{F}_{\mathrm{i}}, P_{i})$で与え、 その上でフィルトレーション
$\{\mathcal{F}_{t}^{W}\}0\leq t\leq T,$ $\{\mathcal{F}t\}0\leq t\leq T$を
$\mathcal{F}_{t}^{W}=(\mathcal{F}_{1t,\}}^{W}\mathrm{x}\{\emptyset, \Omega_{?}.\}\mathrm{x}\{\emptyset,\Omega_{3}\})\vee \mathrm{A}’$
if
$0\leq t\leq T$
$\mathcal{F}_{t}=\{$
$\mathcal{F}_{t}^{W}$
$ift<T$
$(\mathcal{F}_{1,T}^{W}\text{、}\mathcal{F}_{2}^{\tau}\cross \mathcal{F}_{3}^{\xi})\vee N$$ifT=T$
と定義する。
ただし
$N=\sigma(\{F\subseteq\Omega_{1}\mathrm{x}\Omega_{2}\cross\Omega_{3}|\exists G\in \mathcal{F}_{1}\mathrm{x}\mathcal{F}_{2}\mathrm{x}\mathcal{F}_{3}s.t1F\subseteq G, P_{1}\cross P_{2}\mathrm{x}P_{3}(G)=0\})$
このとき
Moller[4]
の
Lemma34
より
$\mathcal{F}_{t}^{W},\mathcal{F}_{t}$が
$\text{右_{}\mathrm{J}}\underline{\Phi}$続かつ完備になることも確認で
きる。 さらに
$W,$
$\tau,\xi$を
$(\Omega, \mathcal{F}, P)$上へ
$W(\omega)=W(\omega_{1}),$
$\tau(\omega)=\tau(\omega_{2}),$ $\xi(\omega)=\xi(\omega_{3})$if
$\omega=(\omega_{1},\omega_{2}, \omega_{3})\in\Omega$のように拡張すると、拡張された
$W,\tau,\xi$
は
$(\Omega,\mathcal{F}, P)$上で互いに独立な一次元標準ブラ
ウン運動、
パラメータ
$\lambda$の指数分布に従う確率変数
$[0, 1)$
の一様分布に従う確率変数
となることに注意せよ。
3.1
Term
structure
Definition 3.1
金利過程
$r=\{r_{t}\}_{0\leq t\leq T}$
はブイルター付確率空間
$(\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{F}_{t}^{W}, P)$上で
定義される次のマルコフ型確率微分方程式の解とする
:
$dr_{t}=\sigma(t, r_{t})dW_{t}$
+\mu (
ち
$r_{t/}^{\backslash }dt,$$r_{0}$:
constant(1)
注
31
一般に
(1)
の解が存在する十分条件は以下のどちらか一方であることが知られ
ている
:
1
.
$|\mu(t,x)-\mu(t,y)\backslash |+|\sigma(t, x)-\sigma(t,y)|\leq C|x-y|,$
$\int_{0}^{T}\{\sigma(t, 0)^{2}+\mu(T, 0)^{2}\}dt<\infty$
$\mathit{2}$
.
$|\mu(t, x)-\mu(t, y)|\leq C|x-y|,$
$|\sigma(t,x)$
-\sigma (ち
$y$
)
$|\leq\rho(|x-y|)$
$\rho:\int_{\lfloor}0,T]arrow[0, T]$は狭
$\text{義}\ovalbox{\tt\small REJECT}’$加関数で
$\rho(0)=0,$
$\int_{(0,t)}\rho^{-2}(u)du=\infty,\forall t\in(0,T]$
注
3.2
$r$はマルコフ性をもつ、 つまり任意の有界ボレル関数
$f$
に対して
for
$s<t$
$E$
[
$f(r_{t})$
lJ
な
“]
$=$
$E[f(r_{t-\mathrm{s}}^{0_{\lambda}x})]|_{x=r_{s}}$Definition 32
満期
$T$
なる割引国債価格過程
$B=$
{B,}0\leq ア T
を以下を満たす連続確
率過程とする
;
$B_{t}=E[e^{-\int_{t}^{T}r_{\mathit{8}}ds}|\mathcal{F}_{f}^{W}]$
またその割引価値過程
$X=\{X_{l}\}0\leq t\leq T$
を次のように表しておく
;
$X_{t}=B_{t}e^{-\int_{0}^{\mathrm{f}}r_{\mathrm{s}}d\mathrm{s}}$
注
3.3
$X$
は
$(\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{F}_{t}, P)$上で
2
乗可積分マルチンゲールになる。
3.2
A contingent claim
Definition 33
満期
$T$
における担保資産の価値
$\mathrm{A}_{T}$を
$\Lambda_{T}=1_{\{T<\tau\}}+\xi e^{\int_{\tau}^{T}r_{s}ds}1_{\{T\geq\tau\}}$
とする。
ここで
$\xi\in[0,1)$
は破産時点
$\tau$の担保資産の回収率と解釈する。
Definition
3.4
満期
$T$
における条件付請求権
$\Gamma=\mathrm{A}_{T^{\wedge}}K$をシニア債
(senior security)
といい、
$\Gamma=(\Lambda_{T}-K)^{+}$
を劣後債
(equity
$secur\acute{\mathrm{v}}ty$)
という。ここで権利行使価格
$K\in(0,1)$
は信用補完額と解釈する。
Proposition
31
$(\mathrm{A}_{T}\Lambda K)e^{-I_{0}^{\tau_{r_{\epsilon}ds}}}$,
$(\Lambda_{T}-K)^{+}e^{-\int_{0}^{T}r_{\epsilon}d\mathrm{s}}$共に
2
心高積分
証明
$(\Lambda_{T}\Lambda K)e^{-\int_{0}^{T}r_{\epsilon}ds}$3iig 界
$(\Lambda_{T}-K)^{+}e^{-\int_{0}^{T}r_{\tilde{\theta}}ds}$の
2
$\text{乗^{}\mathrm{t}}\urcorner$}F\mbox{\boldmath $\theta$}’
性は
$(0\leq)\Lambda\tau\leq 1+$
$e^{f_{\tau}^{T}r_{s}ds}$
4
Main
result
Section3
で
$X$
と
$(\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{F}_{f}, P)$を導入した。 ただし
$X$
が
$(\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{F}_{t}, P)$上で
2
乗可積
分マルチンゲールであることに注意せよ (
注
3,2)
。今
$\mu(t_{1}\cdot)$,
$\sigma(t, \cdot)$に関する
2
階微分作
用素を
$A_{t}F(x)= \mu(t, x)\frac{\partial F}{\partial x}(x)+\frac{1}{2}\sigma(t, x)^{2}\frac{\partial^{2}F}{\partial x^{2}}(x),$ $F\in C^{2}(\mathrm{R})$
と定めておく
$(\sigma(t, x)>0$
と仮定していた
)
。
Theorem
41
$v\in C^{1,2}([0,T)\rangle\langle R)\cap C([0, T]\rangle \mathrm{e}R)l2$
:
$\{$
$- \frac{\partial v}{\partial\delta}+v|x|$
$=$
$A_{t}v$;in
$[0, T)\rangle\langle R$$v(T,x)$
$=$
1
を満たし、
かつ
$\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}0\leq t\leq\tau|v(t,x)|\leq M(1+|x|^{m})$
for
some
$M>0,$
$m\geq 2$
,
$\frac{\partial v}{\partial x}(t, x)>0$とし、
$w\in C^{1,2}([0, T)\mathrm{x}R)\cap C([0, T]><R)$
は
$\{$
$- \frac{\partial w}{\partial t}+2w|x|$
$=$
$A_{t}w$
;in
$[0, T)\cross R$
$w(T, x)$
$=$
1
を満たし、
かっ
$\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}0\leq t\leq\tau|w(t,x)|\leq L(1+|x|^{l})$
for
some
$L>0,$
$l\geq 2$とせよ。
さらに
(1)
$k\in C^{1,2}([0,T)\mathrm{x}R)\cap C([0, T]\mathrm{x}R)$
が
$\{$ $- \frac{\partial k}{k(\partial t}+k|x|T,$
$x)$
$==$ $KA_{f}k+\alpha;t_{\vee}^{2}-\lambda T)$
in
$[0, T)\cross R$
where
$\alpha(\mathrm{f},x)=\lambda e^{-\lambda t}(Kv(t, x)-\frac{K^{2}}{2}w(t, x)\cdot)$
を満たし、
かっ
$\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}0\leq \mathrm{e}\leq\tau|k(t, x)|\leq A(1+|x|^{a})$
f.or
some
$A>0,$
$a\geq 2$
ならば、
次のような分解;
$e^{-I_{\mathrm{o}(\mathrm{A}_{T}\Lambda K)=E[e^{-\int_{0}^{T}r_{\mathit{5}}ds}(\Lambda_{T}\Lambda K)]}^{\tau_{r_{s}d\mathrm{s}}}}+ \oint_{0}^{T}\eta_{s}dX_{s}+\pi_{T}$
,
where
$\eta\in \mathcal{H}$}
$\pi\in \mathcal{M}^{[perp]}$
$\pi_{t}=\mathrm{A}_{T}\wedge K-(Ke^{-I_{0-}^{\tau_{r_{s}ds}}}\frac{\lambda K^{2}}{2}e\int_{0}^{T}r_{3}d_{\mathrm{S}}\int_{0}-Te\int_{0}^{u}r_{s}ds-\lambda u_{du)}\mathrm{i}ft=T$
;
$=0$
if
$t<T$
$E[e^{-\int_{0}^{T}r_{s}ds}(\mathrm{A}_{T}\Lambda K)]=k(0,r_{0})$
と表せる。
(2)
$h\in C^{1,2}([0, T)\mathrm{x}R)\cap C([0, T]\mathrm{x}R)$
が
$\{$ $- \frac{\mathit{8}h}{h\partial t}+h|x|(T, x)$$=$
$A_{t}h+\beta;in,[0_{2}T)\cross R$
$=$
$(1-K)e^{-\lambda T}$
where
$\beta(t,x)=\lambda \mathrm{e}^{-\lambda t}(\frac{1}{2}-Kv(f,x)+\frac{K^{2}}{2}w(t, x)1-$
を満たし、
かっ
$\mathrm{m}\mathrm{a}x0\leq t\leq\tau|h$
(
ち
$x$)
$|\leq B(1+|x|^{b})f$
or
some
$B>0,$
$b\geq 2$ならば、
次のような分解
;
$e^{-I_{\mathrm{o}(\mathrm{A}_{T}-K)^{+}=E[e^{-\int_{0}^{T}r_{\mathit{3}}ds}(\Lambda_{T}-K)^{+}]+\int_{0}^{T}\theta_{s}dX_{s}+\rho_{T}}^{\tau_{r_{\mathit{5}}ds}}}$
,
where
$\theta\in \mathcal{H},\rho\in M^{[perp]}$として
$\theta_{t}=K(e^{-\lambda t}-1)+(\frac{\partial l\mathrm{z}}{\partial x}(\mathfrak{z}, r_{t})+\frac{\lambda K^{2}}{2}e^{-\int_{0}^{t}r_{S}d\mathit{3}I_{\mathrm{c}^{e}}^{t\int_{0}^{u}\tau_{S}ds-\lambda u_{du\frac{\partial w}{\partial x}}}}$
(
ち
$r_{t}$)
$)/ \frac{\partial v}{\partial x}(T_{\}}r_{t})$$\rho_{t}=(\mathrm{A}_{T}-K)^{+}-ift=T$
;
$=0ift<T$
$E[e^{-f_{0}^{T}r_{\mathrm{s}}ds}(\Lambda_{T}-K)^{+}]=h(\mathrm{O}, r_{0})$
と表せる。
注
4.1
定理
2.1.
より、
1.
シニア債に対する
$Risk_{k}M\mathrm{i}n\mathrm{i}miz\mathrm{i}ng$stmtegy
$H=(H^{0}, H^{1})$
は
$H_{t}^{\mathrm{I}}=\eta_{f},$ $H_{t}^{0}=k( \mathrm{O}, r\mathrm{o})+\int_{0}^{t}\eta_{\mathrm{S}}dX_{s}-\eta \mathrm{t}Xt$2,
劣後債に対する
R 齢
$k$-Minimizing
s
加
tegy
$H=(H^{0}, H^{\mathrm{I}})$
は
Htl=\mbox{\boldmath$\theta$}
あ
$H_{t}^{0}=h(0,r_{0}) \dotplus\oint_{0}^{t}\theta_{s}dX_{s}-\theta_{f}X_{\mathrm{f}}$REFERENCES
1.
H.Follmer and D. Sonderman(1986)
,
$\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$of non-red undant contingent claim s,in:W.Hildenbrand
and
A.M
as-Colell,eds,Contributions
to
Mathmatical Economics
205-223
2. I.Karatzas
and
$\mathrm{S}.\mathrm{E}$.Sh
ereve,“Brownian
Motion
and
Stochastic
$\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{s},2\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{d}$”,
$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{r}$3. H.Kunita
and
S.Watanabe(1967),”On
Square Integrable Martingales” ,
$\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{o}\mathrm{y}\mathrm{a}$Math.J
.30,pP209-245
4. T.Moller(2003),”Indifference
Pricing of
Insurance Contracts in
aprod uct space
$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{l}$
”,
$\mathrm{F}\hat{\mathrm{z}}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{e}$Stochast
.7,Pl97-2l7
5. M.Schweizer (1991),’
$2\mathrm{O}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$Hedging
for semimartingales”
,
$\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}$
