11次元における超空間形式の詳細について

著者

道下 洋二

雑誌名

鹿児島大学教育学部研究紀要. 自然科学編

巻

61

ページ

31-55

別言語のタイトル

On Superspace Formulation in 11 Dimensions

URL

http://hdl.handle.net/10232/9221

*　鹿児島大学教育学部　准教授

1

1次元における超空間形式の詳細について

道下洋二*

(2009年10月27日 受 理 ) On Superspace Formulation in 11 Dimensions Michishita Yoji 要約 11次元の超空間形式は超対称性をあらわに保ちながら膜の作用を構築するのに必要な形式であるが、 その詳細を分析するのに必要な手順や技術について論じる。 キーワード:弦理論、超空間形式

1

はじめに

超空筒形式は Green-Schwarz形式や purespinor形式に基づいて超対称な弦や膜の作用を書き下 すのに必要不可欠な形式である。しかしそれらの詳細、とくにその成分表示については、技術的な 複雑さのためあまり分析が進んではおらず、文献にも詳細は書かれていないため用いられることが 少ない。そこで本稿では特に11次元の場合[1，2]について、詳細な計算の手順を明らかにする。 10 次元タイプ IIAについては [3]を、 massiveIIA についてはい

l

を、タイプ IIBについては [5，引を、 タイプIについては[7，8‘9，10， 11ぅ12，13， 14]を参照のこと。添字についての規約は以下のように なっている3 local Lorentz spacetime coordinate vector 日，b、 m，n， xm ぉplllorα，β， μ，1/: _ θ μ superspace A， B， • • • M， N、

2

M その他超場に関する規約は Wess-Baggerの本 [15]に従うことにする。またガンマ行列についてで あるが、標準の添字の位置は

(

r

“)αβとなるので、以下これを用いることとする。しかし多くの文献 では

(

r

a)αβが使われており、これは荷電共役行列を用いて添字を上げ下げしたものと考えればよい: (rαlc/3 _{= (C-1)w}

，

c

_{sd(rα)γd = (rα)βα[}

，

_ji様に、 (ra1...an)

ノ

(-1)~n(n-l) (rα1αn)β山 ( 1ょ ) 1 また荷電共役行9"JIの添字の上下がその場合異なるので次のような入れ替えが必要になる:

(

r

a_{1...UnC)αβ → (-1)"(C-1}

_r

a_{1...an)αβ，} (c-1rα ，•••a_{n)αβ → (-1)η(rα ， ...anc)αβ} なお Majoranaスピノルは占=()↑

r

O

= _()TC-1_{で定義されている。} (1.2) (13) 超空間形式では一般的に次のように議論が進む。 11次元を念頭においているが他の次元でも同じ である。

1.まず supervielbeinEA二 dZMEMAとsuperconnectionnA B二 dzMnMABを導入し、 super

torsion TA = ~dZNdZMTMNA と叫凹urvatureRAB = ~dZNdZMRMNAB そ

TA

=

D EA

=

dEA

+

EBnBA， _RAB二 dnAB十nACncB， (1.4)

と定義する。 2. supertorsionの成分に次のような constraintを:泌す。 Tαβc二 xi(C-1rc)αβ，，Tαβγ= 0， ，Tαbι=0、 TαO C₌

o

.

(1.5) もちろん詳細は次元や超対称性の数によるo (係数 xは文献によって違うが、本稿の記法では 超重力理論の標準的規格化とあわせると zニ 1/4となる。) 3. constraintのもとで Bianchi恒等式 D T.4ニ EBR_s.4、 D R.4B=0， (1.6)

2 1

1

次元での

Bianchi

恒等式の解

以下では11次元に話を限り、 Bianchi恒等式の解を求める手順を議論する。 11次元では次のFierz 項等式が成り立つ。 (rαC)(αβ(rαbC)刊)

=

0 (M2-brane identity)， (2.1) (rac)(αβ(rαbl...b1

C

)

刊)ニ6(r[b1b2C)(αβ(rb2b1Ic)刊) (M5-brane identity). (2.2) また rOrl'" r10=と=土lとすると、以下の式が成り立つ。 εCl...CllfC1"，Cn

=

c(-1)η{ηー1)/2n!r， 叶1...C11' (2.3) rbra""uprb ニ(~1)P(1l ~ 2p)r向 α

へ

(2.4) rblb2ru，α2ru_{，b2= ~38ra ， α2 う rb， b2ra， α3r}b_{， b2=ー14r'"α3} rbjb2r'"α5rhb2ニ lOr町 内 . (2.5) rb，...b， rU，u2rb， ...b5ニ ~42.5!rα，a2 rb，...b，rα1

“

3rb，...b5

=

14・5!ra1...a3 rb，..._b5rU¥α5rb，...b5ニ 10・5!ra，αs (2.6) torsionについてのBianchi恒等式をconstraintを考慮しながら各成分に分解すると、 • (A，B，C，D) = 日，(b‘c，d) R[bcdlα = O. (2.7) • (A，B，C，D)ニ(白うb，c，.5) 2Ro[bclαニ ω(c-1rα)'oTbc' (2.8) • (A，B‘C，D)=(仏 b，c， d) O二 D[bTcdlα+T[bc'1i'ldlα (2.9) . (A， BうC，D)ニ α(，b.寸，.5) R守obα=2ixTbC/ ( C-1 rα) 1'16)・ ) 円 U 1 ょ 内 4 ( • (A，BうC，D)=(白，b，c，.5) Rbco"ニ DbTc/"~ Dcl'つbo"

+

Do

T

&

cα+ TcoεT

，

b'"~ Tb/

T

.

札α ( 2 . 1 1 ) • (A，BうC，D)=(仏β‘マ，.5) constraintより自明にli出たされる。 • (A、B，C，D)ニ(白、 b，iぅ.5)

を解く。このうち2番目の式は1番目の式から導けるので考慮しなくてよい[16]0成分で書くと DlBTCD}A十T[BCETIEID}A ~ R[BCD} A = O. (1.7) 4. superdi恥omorphisrn等の局所対称性の 0について高次の成分を用いて余計な成分を消す、す なわちゲ←ジ固定する。もちろん固定の仕方には任意性があるが、なるべく Oの低次の項から 消えていくように選ふ、と計算がうたになる。典型的には(i0)最低次の項を [Eμα]0ニ0， [EI''']o二 (jp

ぺ

[ilμAs]O二 O‘ とする。このとき決定されない項は (1.8)

[Emα]0

=

erna， [Emα]0ニψmα，([ilrnAB]日 二 ふ 叫s，) (1.9)

と超重力理論の場に対応させる。なお超場のn次の項を[

*

]nのように書いた。 重力を含まないゲージ理論であっても上と同様の手続きそ踏む。 superconnectionには Lorentzianassumptionと呼ば、れる次の制約が課されている。 1 . ~ ， ~~C Qαbニ ilba，ilαb = Oぅ ilaβ =0， il"s= ~i(C-lrα。 )"ßílab. (1.10) これから supercurvatureは次を満たすことになる。

RABab =

~RA恥 RAßab

= 0， RABas = 0，

R

A

叫二

~(C-lrab)"ßRAßab'

(1叫

constraintを課すことで余分な成分を消去できるが、もし超対称性の数が多い

06

個以上)と、こ のとき成分が消去されるのみならず、残った成分にも微分方程式のHilj約が課されてしまう。これはそ の成分の運動方程式と解釈することになる。すなわちこの場合は超空間形式は OIH;hellを記述するこ とになり、超場を使って作用者E書くことはできない。しかしこれは超対称性の数が多すぎて、(微分 の 2 階までの)作用の形が一意的に決まることに対応しているのでその点では問題はない。 (off~shcll への拡張と高階微分環については例えば[17，18]を参照。)これに対して超対称性の数が少ない、仔JI えば 4次元 N= 1だと constraintは余分な成分を消去するのみであり、超場を使って作用を書くこ とができる。これは作用の作り方に Kahlerpotentialやsuperpotentialなどの自由度があることに 対応する。 最後に、 O~formX A1 ..A" sj ..B~ に対して D D X A

，

.AηB1. .B

刊二乞

RA?C2XA:C7A72B1Bm+ZXAl A7iB1CJ BmRC7BJ (112) yニO であることを注意しておこう。これは成分表示では次のようになる。 [DA，Ds}XA1 A n B I B m TABCDcXA

，

...A凡 s1...Brn Z R A B A z c，XAl Cz AnB1Bm τニO +乞(~1)(A+s)(Aけ 十Aη十s

，

+ 十Cj+ j=u

x X_{AAl...An -}t!. d.Bl...C.7...BmR.AR{" B_ItABC

，

.1

十 ß~)

• (A、B，C，D)=(白、(3，γ，d) R(βマo)αニ ix(C-1

r

C)(向_T1c1o)

。

(2.13)

T

"，bγ これら Bianchi恒等式の解は (2.14) T_Qb"! 口 町 Rαβcd Rabcd である。

-Xbcde (rcde川 ;xcdefhrf

_九

=;xfriff(九Cdef)i0:1

主

(rCdCF"'D"Xαb

，

小 IX jz[叫 ω

(

c

-

1rcd)"!o

+

Xcde!(C円 fab)γo

1

'

-ix(C-1r[cl<>sTd]αα+jz(C1T

勺

l九ωrαaρ))α山 ζ

!

(

門

cl"'sDα Xd叫伽阿μj同凶肘吋αeげf

什

;

(σ(rC

川

2

乙

_{DαD s Xαbef(r}cdref C)αβ 56x 十108Xc[aqe2 Xb]dc，C2+ 12Xdcj...c3X[aCj...(31)blcー 12X"cl...c3X [n'"ィ3r1b[とi 十;xcIJ1 川(1)uc 11bd - 7)bc 1)ucil， (2国) (2.15) (2.16) (2.17) Tm741

川

=

=

fmnl...rq _ 8om[nlrnzn3ηl' _(2.19) は 11次元超重力理論の gravitinoψ の超対称変換 5ψm Dm(φ)ξ三 伽 十lφmabrabε+

よ 凡

rl 1 } 川4E

九 川

288 (2.20)

EιTnLL17nd=tbmecηδ[menJα十ecrneαnθ[meηJb-ea'fn

eo'fl δ[mεnJ( -i(ψc川

b+

ψαF叫c一 品 川α)， (2.21) F

叫 三 仇

Cnlpl;16

山

ψ'p]， 間 ) ;こ別れる組み合わせであることに注，法しよう [19ぅ2010 Xαbcdは完全反対称で、次の式とさらにいく つかの式を満たす、この段階では任意のテンソルであるO (rbcd)

九

DfJXαbcd= 0 (2.23) さらに 11次元では supervielbeinのほかに 3-form ArvlN Lも必要である。その恥ldstrengthをFAINLP と書こう。もちろんこれは F=dAで定義され、 Bianchi恒等式 dF= 0を満たす。

Fzj1d

出 向 叩ZMFMNLP

₌

~EDECEBEAFABCD

，

4! であるが、このFABCDには次の constraintが課される。 Fαiヲ"d= yi(C-1rcd)αβぅ

F

"

β刊 =0_‘ Fαf3γd= 0， F;αbcdニ O (2.24) (2.25) 係数_{Uは A全体の r}escalefこよりどのような値にでもできるが、 11次元超重力理論の標準的規格化 にあわせると後に見るように U二 -xである。 Bianchi恒等式をFABCDで書き下すと、

D[AFBCDE}十 2T[ABFF]FICDE}ニ 0，

であり、 constraintを考慮、しながら各成分に分解するとそれぞれ次のようになる。

• (AうB，C，D，E)= 日，(b，c，d，e) D[αFbcde]二 O. (2.27) • (A，B，C，D，E) = α(，b， c， d，ε) DεFabcd+ 6yiT[α♂(C-1rcd])'>E = 0 (2.28) • (A，B，C，D、E)=(α，b，cム，ε) yTe[n"(C-1rbc])αo + yT_o[αα(C-1rb_c])"

，

-

~X(C-lrd)れ Fdαbc 二 O. (2.29) • (A，B，C，D，E)二 (a，b，γ、ii，ε) constraintより自明に満たされる。 • (A，B，CうD，E)= ，日(β，γ，ii，と) constraintより1vI2brane identityに比例するので自明に満たされる。 • (AヲB，C，D，E)= α(，β， ，'iii， E) constraintより自明に満たされる。 これらを解くと次のようになり、 Xabcdは Fabcd Xaα1向 「 ニ一

3

右

:

-

か

5

戸

凡

Fal

_一

...aαい X

九

α川1...a6

右

₂

長

お

5

仇九川川1バ巾α[い凶 Dん ん，F，

ι

んん

R

んd品山κ3州 《恥υd

ベ

け

j

汁

十

斗

;

D

山川

_{"αF町 [ 川[α叫州b判1} 次;にここれらがどのよう;にこ決定されたカか、、その手順について説明していこう。

2

.

1

(

2

.

1

0

)

と

(

2

.

1

3

)

を解く

まずTαfについて与えよう。そのためにこれを次のように r行列老川いて展開し、その係数の聞 の関係を求めてみようo Tαf=-E:xhlan(rα1...a")γα _(2.32) n=O (2.10)を用いると、 Rαβf、したがってRas"Yoが Tαfを用いて表せる。それを (2.13)に代入すれ ば、 T"，b"Yだけを含んだ次の式が得られる。 2(C-1ra)(β

守

司

αlo)α十(r九)α(

刈

α￨β

べ

C-1rb)leh)= O. (2.33) これをFierz変換を用いて(rα1...a

=

)

"

o

(

*

)

βγ の形に書き換え、各 (rαIαm)勺の係数=0という条件 をm = 0，1，2，3，4，5の 6つ得ることができる。それらは上の式に (ra1α=)九をかければ得られる

。

ニ

2(C-1rα)βサ(rα1α=)O"，7a'o'"+4(C-1rαrαlαm)(β￨αTah)α-64iim，2T[a1 (βε(C-1ra2])I

，

h) +(C-1rbrα1α=rαb)，_(βT1ah)'+ (rα1...a= rab)O (γ

7

i

αど(C-1rb)'Is)， (2.34)

すなわち 0= 64m'( _1)m(m-l)/2(C-1r")s-yx山 αm+側 ω

乞

(C-1r[alrU1九)(β什 叫 んp n=臼 +4

2

二

(C-lr"ral..amrUl九)(β-y)XaUl...Un n=O

エ

(-1)山 +1)/2(C-1raural...amfbrbl九)(州Xabl...uη n=O

十乞

(C-1rbrbl 勺 αl..am

r

ab)(向)X_ah...b_n (2.35) η =日 さらにこの式を (rC1Cb引 (rC1(.2C)β引 (rC1...C5C)βγ のそれぞれに比例する引 (sとγについて対称 化されているので他のものはない)に分解することで、 Xaa!...(ll1の間の関係を導くことができる。 まず m=O~tよてみよう。 (rC1 _{.(.5C)ß-yの係数から、} [4 + 2( -11 + 5 + l)]X_aalα5(f<w1_...a ， 5C)βγ+ [4 -2(11 -4 -l)]X仙 1..._a1(r(J，(ll向C)βγ=O.(2.36) すなわち ikblb山 USXbl...bG一8X[alα51 = 0， である。同様に(rCC)s-，y

(

r

'

山 _{C)β?の係数を見ていくと、} 48Xα 十4XUba

=

0， -14X[ablニ _O この調子で m =1も見ていくと (r'lC)βγ→ O (rC1C2C)向 →

o

(rCJ .C5C)iJ-y→ O 24xccab

+

14Xab← 50Xbaー 12Xcc仇h 120X

_主

_政

₊

8X[bclα

+

12X[b17cla -4X~J[b17cl引 2X[cdcf17bl

_“

20xti口Je.fT71中 十30X[i>cde.fla十6Xal川1<f

寸

Xbl..b5 Eabl山 f はじめの式の対称成分、反対称成分、トレース成分を見ればただちに、 Xαb = 0， XC Cαb=O 同様に第2式から Xa = 0_‘ Xa!J(:= 0， Xd山lbc= O. 第3式から (2.37) (2.38) (2.39) (2.40) (2.41) (2.42) (2.43) 40 ム I X[α1α51二 0， X[_α1α.1二 7xubα1 向 X(l1..a6

♂

ada2Xα3α01・ (2.44) さらにm = 2を見てみよう。 Xα=O，Xab= O，Xαbc= 0をあらかじめ考慮すると、 (rC1C

_l

₆

_-

_Y

_→

O 432X~，bcd 自明)‘ (2.45) (rC1C2

c

);，，，→

o

156X[bcldc+ 12X[dclbc+ 960Xαα_bcde 十24Xα ac[d恥ju-24Xα叫[d17+_‘ (2.46)

(

r

日 C5

_C

₎

_{βγ→ O} 40X(~

，

川5{;6;'1十96X[de.fg

川

40X[b[def

吋

l

÷α[. ..a6def gh ( 40Xaa[α

，

...a

，

Olblα50lcla61 -100X如 何IIbOc11α61 十 叫 叫怜Ib叫例川州伽[川I州[aα1 向a50ιιαa向叫叫6叶d山叫州J川μl川1叶cC1+附 α1 α向

川

a

ん

，

，

向60O1I匂￨怜blaα向a501

川

01 第2式と XC

，

川 ニO

，

X[αμ

，

.

.

.

_a

，

1

苧

X>1bα1向から、 Xα凶 は4つの添字に関して完全反対称である とわかる。第3式でbとdを納約したものと、 xzα1比 二O，X[a[向1=0とから、 Xα1α5ニ 00 これまでのところで、 Xα二 O ‘ Xαbニ 0

，

Xαb1b2ニ0

，

X"b1...b1ニ 0

，

Xα [...a4

~i完全反対称ぅ

Xα1 「 iηαl凶 (2.48) (2.19) がわかった。尖はこれらで残りのすべてを満たすことができる。まず上の

m

3

式の一郎しか磁かめ ていなかったので、改めて代入して確かめてみると成り立つことがわかる。さらにXαニ

O

，

X

αbニ O

，

Xαb[b2

=

0

，

Xab[...b

，

=

0をあらかじめ考慮、して計算していくと、 m = 3から、 (fC1_{C)s-y→ O} 372Xα[bcdl -36X[bcdla -1920Xe e<凶cd， (2.50) (2.51) (fC[C2C)βγ →

o

= -CEα1.. .a5&1" ._b6 Xb1. .b6 (fCJ...(5 C) s-y→ O 54Xlb1hh[α1 5U2 h1d句Ib5!+ 30X[α1111 b2h3 d_uZ b4 Jα311J51 mニ 4から、 (fC[C)βγ→ O (fC1e

，

C)向 → O (fCJ.C5 _C) s"f→ 0 m = 5から、 (fCJC)B"f→ O -480X

九

α [lb

，

..b30α2 b40a31b5] + 600X[b[..b

，

[

α1α

，

0α31bsl 300X[a1α[】>1 >1'0α3lbs1. 10cεα1α5b[...b6 XI>[..b6 (2.52) (2.53) -288X九[_b1b

，

O[α[b₃0α2i hl+24051α1 b1 [Xa

，

lb

，

b3b1] + 432X[b1b山 [a10b1]叫 +1920X九[b1...b3α[10b

，

"

，

1 -720x[a1山I h"'b1 + 1440X[b1b1Jαlα2う -24x[a

，

α2α3[_>110α "1>20α5 b30α61b1] + 8X[b[[ 向 的α_30a1b20α5 b30α61 b1] +320XaαIb1Iα1句α30α4b

，

oa5b30a61b41-240X[α1α4 [b1b

，

Oα5 b30叫 ん_l +120X[b1b2 [al α40α5 b30α61 b1:' 1200ηα[b1Xb

，

...b51 (2.54) (2.55) -2400XC c[b1 ...b1ηb巾 -6960Xαb1b5

+

3600X[b1...b51'L1 (2.56) (fCJC'C)βγ→

o

-2X[a1 α10"5 b1 ... Oaol1>5十60X九α1[...U16αh. . .0_"0Ib5 -50X[b[[a1 α50α6 b

，

• •

.Oai51 -250X[町 向[b10a6b2... 0αoihl， (257) (fC [ C5C)s"f→ 0 120XaαIL11α 10α

，

_b

，

Oα3hOα1 _b1 0α5;bsl -360x[ala'[b[b20a3b30α

，

_b10α51_b51 十120X[b1b

，

[alα'0α3b30α1 b1 0α51b5J -2400Xαα[blhIGIα'0α3 b3 Oa1 b1 0α51b5]十1200X[α1町 向 [b[b

，

b30α1b1 Oa51 b51

十1200XlhhhlrHα2α3501 _b 1

、

5

旬

51 以とはすべて成り立っている。 最後に (2.10)から、

R

，

oba ニ 2ixT_b(-y'(C-1 rα)W) 2 幻2

刈

X[Xb壮cd配e(C-1rα rcd由e)(竹γ刊叫5め)十Xbc叫f 2iω叫z[3X/，グ"οr九2

j

シ

刈

Z

l

叫 ω九

μ

cd(C-(2.58) 以上の計算は Lorentz群の表呪の鋭約分

f

解1げ干の計算になつていることが見て取れるであろう。そのよ うに考えて行った解析としては例えば [21]を見よ。 2.2 (2.8)

，

(2.12)を解く 次に、 Tbc'"を求めるために、まずず、 R 品恥b州サ

，

J刊6fα=

ヤ

d

川 叩

ニ

(

j

『

刊

r?

門

勺

cdd

今

内

ヤ

)"αA_{内内[伊俳附}bc に注J広立し、右辺で (2.8)を川いて supercurvatureを消去すると、 Rb

，

o"

=

~X(rCd)"'ó(C

もしくは Rb'Ycd= -ix(C

吋

d)

品 ￨ 什

j

z

(

c

-

1

日 刊

(2.62) この式によって (2.8)は解かれる。 (2.12)にこのRb

，

o"を代入して supercurvatureを消去すると、 叫

，

To)bα ニ ω [(C-1ra)品 ♂ 1._..A. .1

-

j

(

刊)日 (C-1rd)1の)九ε+Z(戸)α(占(C-1rb)1市)Tcrt'

j

.

(2側 この両辺は，， 5について対称なので、 (C-1rα)γ恥(C-1rα1α

，

γ)o，

(

C

-

1

r

a1 α5)γsで展開できる。そ の展開係数から、

? ( 日 向

(-yTo)bα

?(rJ

円

D(-yTo)b" 32九 ト

(

j

門 川

ε九

J

+

j

門

i

(

門 a

，

a

，

r

d) εAαγ丸

μ

j

門

α町ωala2Jα刊 向句a2

刀川川

ffr九附ω

♂

bα")'

Jμ

εヘ

d

J

_'

(2.64) (2.65) 1 ._.'-_ 17(rQ1α5C)刊

D

(

γ九)bα = -5(rcdrα1α5r d)九九J+z(FcdLIα5rb)αεTcdε (2.66) これらをさらに解くために、まず (2.64)に (rα)βα を、 (2.65)に (rαl句)βα を、 (2.66)に (r"'ω5)

九

をかけて、 (2.6)を用いると、

3

(

山内(守口

)b

"

(

r

a)βα

2(FJ

内(守口

)b'"(r仁川')九 3(rα1ぷ 内 ( 舟 )

ー

竺

(rcdrd)βεTbc' +

~(rcdrb)βεTcdt:，

10

吋

σ

cdr

ι

九cε

σ

(

:

内吋Cd汁rb)

戸

βεAん乙Tc/]ε

，

]

4 必2引叫叶[は

i

(

内 (2.67) (2.68) (2.69)

この第2式と第 3式の右辺は比例しているので、 Tαfだけ含んだ式が得られ、それは次の式と同値 になる。 (fbcd)βαDβXαbcd = 0 (2.70) さらに第l式と第 2式を用いて (fcdfd)βε_Tbcεと (fcdfb)βε_Tcd'を Tαbγ で表せる。したがって (fCβ)

，

_Tb/

ー 土

(fcdfd)βε九 10

門

(2.71) をT"，必バ辿b'汁γでで、表せる。この 2つ自のものは (Y 2.64)でa=bとしても得られる。そちらのほうが簡単なの でそうすると、結果として

(げ

ETUCE 二 一

I

志

副

i

長

剖

;

:

[

ド

σ

(

faC)α

川

これらを、 (2.64)で日と bについて反対称化した次の式

手

f[αC)'Y6D(

品川

αi ニ 叫α-frlJ14

川

l

ハ

r F d M J 1 1._ 21Tab" -6(f[afC)"

，

TbJcε+z(rαbfCd)αεTcd'， (2.75) の以右辺の第 2項、第3項

7

t

T

.

αfで;書き換えるのに用いて、最終的に 九b'Y

= 名 門 川

αXab仙 (2.76) となるc これを導くのに (fbcd)"sDsXabcd

=

0を何度も使う必要がある。これまでわかったのは (2.70)と (2.76)の 2つであるが、これらは (2.64)、(2.65)、(2.66)の一部の情報だけを用いて導いた ので、それらがこれだけで満たされるかどうか代入してチェックしてみると、 (2.64)は満たされるこ とがわかるが、 (2.65)，(2.66)から新しい条件が現れる。 (2.65)からは、 DβXabcd(fd)βα

₊

3DsXdelab(fc]de)βα=0、 (2.77) であり、 (2.66_{)からのものは複雑なので書き下さないこと;こするが、 DαXαb}cdに対する条件になっ ている。最後に、 (2.76)から Rb_'Y'

斗

([Cf[[ι

叩

αXdlbrf;(FC

川

(2.78)

2

.

3

(

2

.

7

)

、

(

2

.

1

1

)

を解く (2.11)を (fαIαJ勺で展開しよう。まずはηニ 2の場合の係数を取り出す、すなわち (2.11)に

会

(fad)九をかけてみよう。左辺は 土

_(fα

_d)

占

_αRbc

_J"

_二土

_(fαd)Jα

_~(fef)

_勺

_Rbcef

_{= Rbcad. (2.79)} 16'-~~' "--U<.U 16'-~"'" 4' -したがって d

占川九

[Dsn

ハ

TcJ'T

，

b'" 九of.Tf.C Q ]

「

ハ

1___，

，

~n (fαd)SQ 1 竺_DsDβXb吋 (fcfCts_一一[九b1...b 4，T(ζ1...C4 ]勺Xbl...b，X町 れ ，1 1 6 α L7x. L JO.L/jJ.AJ.tJCCJ¥.L '--"J 64l..l../) ，-""-C _J Ò..LOl...04...Cl...f~'Í J

1

ユ

￨

r 6i _ _ __

DdDβXbcef(radr匂 )ds 訂(rad[九b1...bぺ 庁 1C41)Xb1UXC1J

16 L 7x 64 -C'C" J

~DαDβX

_56x

_b

_吋

(rαdrefC)αβ

+1刊08Xα[

〆

be町~1刊ι句2X仁lμ前dr叩， +;Xe円1叫C4xe1向 (1]ab1]cd一 川dρ) ρ 両辺にその他の

f

行子

F

列l_リjをかけると、左辺はゼロになるので、次の式を得る。 O DαTbc，:O (2.81)

。

(rO )

九

DdTbcα十2T_d[b'(rα)

九

Tc_cJU) (2.82) O (rα1α3)

_九

_DdTbc0. + 2(rαlα3 )dαD[bTc]dα+ 2Td[bε(rα1α3

)

七

五

cr， (2.83) O ニ (rαl向 )"αDdncα+ 2Td[b'(ra1...01)

九

T

，

e]"， (2.84) O (rα1

句

)

九

Ddncα十2(rαlα5

九

)

D[b丸Jd<>+ 2Td[b'(ra1α5

九

)

T<c]α. (2.85) これらは (rα1.._{.an)βαDβTb} cα、すなわち (rα1αnrdeC)βαDβDαXbcdcに対する条件を与える。はじ めの3つをもう少し計算すると O 二 DαDβXαOcd(rcdC)αβ， O (ra)

九

DdTbcQ -_，'IE abcα1α8xa1...04Xαsα

o (

r

“

1...U3)

九

DdTbc α _64.3!D [bXc]町 Z山 16，'1ξα1向α3b1...b7[bXe]b1b2b3X b，...O7 + 24ととbCO1...O7[α:α2X03]b1b2b3X b，...b7 (2.86) (2.87) +31]b[α J丸 山jcb1...O8XU1...b1Xb5...U8-3ηC[OI，'I九2α3]bb1"'U8Xb1...b1XU ，，，_，U8. (2.88) 実は(1.13)を用いると (2.86)は今まで導いたことから従う式になっているので独立な条件を与えな い。すなわち {Dα，Dβ} Xabcd Tαβe DeXabcd - 4Rαβe[αXbcd]と -ix[(C-1re)αβDeXαbcd

+24(C-1rfg)αβXefg[αXbcd]e + (C-lrh...f4e[α)αβXocdJeX h...f

，

]

，(2.89)

であるから、 (2.86)は自明である。

最後に、 (2.7)から、

。=恥中己主

D"DsXc

川

aldrcfc)αβ十108X[aoc1"2 _Xι]d_ele2

二 土

₁₆(r[αIdl)βαDβTbc]α+ 108X[au町 内XC]de1句 (2.90)

2.

4

(

2

.

9

)を解く

(2.9)から、 l O ニ (rとfC)αβ D[bDβXcd]cf

+

~(T[dal α4refc)αβDβ Xbc]cfX

町内

(2.91) これはDeDαX叫cdに対する制約を与える。 3形式を考!怠せずに得られる情報は以上であ.る。

2

.

5

(

2

.

2

9

)を解く

次に、 (2.29)はεと5について対称なので、 (C-1rα)め (C-1rαla2)め (C-1ra1α5，)6で展開でき るcそれぞれの展開係数から O

。

Fαbcd 第3式から、 (rd1d2 _{r [bclεα}

工

_α!α ‘ (rd1...d5 r[bc)εαT叫α?

-

老

(rdc)，，5[T，[a"'(C-1rbc])川 十To[a<X(C-1r1w])恥

1

3y v ，， ~d 、 EEX[α Icfgtr

(

r

CJ 9

r

dlrbcj) -36yx-1 X[abc]d

=

-36yx-1 Xαbcd. (2.92) (2.93) (2.94) Xa1

向

=

ゐ

凡

α4' Xα1...a6

おい凡

3 州 側 第I式から o=X[αId

ポ

第2式から o=X[α￨町 内 匂Itr(r町 白 内rdl...d5rbc])

+

X[αlel...e5Itr(rel..e5 rd1..d5 rbc])' (2.97) すなわち 0 = 32. 5!X， [d ， d2d38~18d，5J -32.5.2. 5!X， ，[d

，

..._d48d5 [ α b vcJ V~ V ~ v"iab vC: 以上の2つはどちらも満たされる。

2

.

6

(

2

.

2

8

)を解く

(2.28)から、 D J d cd

+

;

D 中

J

ん

4

(

A

卜μ州州fいα￡泊b判d刷州leげ叫川eff川￨ この式に

(

σ

r

d_{)ενiβfをカか、けると、次の式が得られる。} Ds，Fαbcd(rd)sα+3DβFde[ab(rct.)βα=

o

.

これは(2.77)そのものである。したがって(2.77)を独立な条件として考慮する必要はない。 (2.98) (2.99) (2.100)

なお(2.28)はDαFαbcdをTαoαで表す、すなわち(2.15)の逆を取るのに使うことができる・ DαF“bcd = -6yi(C-1f!αb)(XsTcdjβ (2.101)

2

.

7

運動方程式 DαDβXabcd(

C-

1 fcd)α，6 = 0に注ぷして、 (2.80)でCとdの締約をとると Rじαcb三 一Rα0 =-108x_a"，...e3X o 町 内+9ηαOXCl内XCJ 川 (2.102) これのOについて最低次の項は、 (y=土Z として)まさに11次元超重力理論のEinstein方程式で ある: ん (φ)+

二

九

九

F1P4pIP3-d

ョ

gmnFpl'.P1FP1 ，.P1 (2.103) さらに(2.88)においてα3とCの縮約をとると

0 = (fα1句C)

七

DoTbcα十32・3!DcXbCα1α2-8CEbal句ol...b8XO1.O4Xo5..b8. (2.104)

この第l項は (2.87)を用いて次のように変形できる。 (fα1α2fC)

九

Do九α2(f!αェ)δαDoTjojα2]α

=

手

(σrα1α句J 2 1:必L

=

主

(fαla2fcdec)句 βDαX ocdc

+

めb_ala山 08Xbl勺 01...08 IX = 2CEbal"2ol..，08X01...b4 Xb4 ..b8 (2.105) したがって

o

= D " xbala2αCεα1ω山 川Xα4町Xα8α11 υ 3 2 (2.106) これのOについて最低次の項は、 (y=-xとして)11次元超重力理論の3形式の運動方程式である: vnmlm2m3¥

c

~mlm2m町317l1...r川t O二 θα7η_る(ωV疋 g Fnm町1m向2m町3) 一一一一₈ ε Fm1...nt7Fms..，rnl1・ (2.107) ・(12)2C • rn1...Tn また (2.70)からgravitinoの運動方程式が導かれる。それは後にわかることであるが、 [E"m]o= 0， [E"I1]O= ，5"i11‘ [0川']0= 0， (2.108) [DαFαocd]Oぽ eameb1te/ edP(f[mnD!(φ)ψ1'])"， (2.109) であるので、 (2.70)の最低次の成分から fnlPf!rnηD 1(φ)ψ1']二 0， ) n u

--つ 白 ( となり、これは fmnlDn(φ)ψ1 = 0， t_g ) ム 1_よ ー っ “ ( と同値である。

3

ゲージ固定

superdiffeomorphism(パラメーター三Mぅ= A 三M E MA)、superlocal Lorentz変換(パラメー ターAAB)、super

U

(

l

)

gauge変換(パラメータ← L.MN)は次式で与えられる。 O E MA

ニヨ

NθN E MA

+

θM三NE NA + E MB ABA 。M三A十三B(EBNδN E MA一(ーl)MNEBNθM E NA)

+

E MB A B A， (3.1) OOMAB ニ 三NθN O M AB

+

δM三NONAB θM A A B

+

O M AC _{A cB - (_l)M(A+C)AA}CO M cB， O AM N L 二 三Pθp AM N L +θMEPAPNL+(-1)M(P+N)θNEPAMPL+(-1)(M+N)(L+P)θ_'L::::P AM N P 十θML.N L十(_l)M(N+L)θNL.L M十(_l)L(M+N)θ'LL.M N 三Pθp AM N L+3δIM::::P AIPINL}十3θIML.NL} もちろんパラメーターには0の高次の項が含まれている。 Lorentzianassumptionから (3.2) (3.3)

Aau = -Au山 AJ=-j(

川

αAau，Ao.u = 0， Aas = 0， 伶

である。[戸三m]

い

0，[戸三μ]0，件[Aα b]O，[戸L.叩m

n

]

ふ

]0がそれぞれ通常のd出1百島eomoωrpμ凶h凶n，local s凱叩up肝er凶symm訂me討trηy，local Loωr、噌_e叩I口lt匂Z変換，叫(U1り)gauge変換lにこ対応するC 他の最低次の項や0の高次の項は超重力理論には対応 するものがなく、特にそれらの変換には興味がないので通常はゲージ固定で余分な成分を消去する のに使うc 特に便利なゲージとしては、 Riemannnormal coordinateを超空間に拡張したときに自然に現れ る次の条件がある。 ([22]中の文献や [31]などを見よ。) あるいは 特に最低次の場合、 これに 9μEμα=0ぅ 9μEμα=(J α _(JμQμ AB= 0， (JμAμM N二

o

.

(3.5)

。

αEαm=0， (JαEαμ

₌

(Jμ. [EI1a]o= 0， [Eμα]0 = 0μα， [0μαu]o= 0， [Aμndo = 0， [Aμνdo = 0， [Aμν入]0= O.

[Ernα]0 = emu， [Ernα]0 =ψmα [Amnl}O = Cmnl，

(3.6) (3.7) (3.8) (3.9) を加えて最低次の成分を与える。なぜこのようなゲージが取れるかという理由は以下のとおりであ る。。μθμ

_Hn=

η

Hn

に注意して、

o

[(JlkElk A]

，

叶

(

n

十1)[三A]n+l

5[8μQμAs]叶 l

5[8μAμ川]n+l

針。μA;.wdn+l

5[8μAμnd叶 1

+81'

~二 ([3

ß

]m[E

ß

N

O

N

EμA]n_m

一(-1)N[3B]m[E

内

，

ENA]n_m

+

[ιB]n_m[AsA]m)ー (3.10)

(n

+

1)[AABJn+1

+81'

L

([0μ

山

n_m[Acs]m-(-l)A+C[AAC]m[OI'Cs]

…

+[3c]m[EcNθNOμAs]n 間 十θμ[三c]m+1[EcN ON A s]n_m

十(ー 1n3c]m[δμECNONAB]n_m)， 伶3川

(伊

hη

叶+什3め)[巳

~VÀ

叫

U叫川λÀ]い

η叫叫+刊1+8ゲμ

2

乞

二

(や[同三剖A

勺

い

l

m[

同

EιAP匂δP叫

ん

A

μ

仰川￡ν叫山入山川 +3δ

伐

(μ1'[三A]

μ

"

川什B+dEAPAl伊Pl作λν川)]n-m +(ー1)

悼

A]m[δ(μEA日IPlvA)]n-m)、 (n 十 2)[~vdn十 1 十81'

L

(

[

三

勺

m[EAPθpA

川

，

-m (3.12)

十2δ(μ[三A]m+dEAPAIP1v)zln-m+ (-1)A2[三A]m[δ(μEAPA[P1ν)l]n-m

十θ'd3A]m[EAPA[pll'v]n-m十[三A]m[OlE

九

IPl1w]n-m)， (3川

(n+ 1)[~ηdn+1

+81'

L

([3A]m[EAPθIpAj.Lnl]n-m

+2δ[n[3A]m[EAP AIPllJμ]n-7n十2[三A]mlδ[nEAP A[PllJμ]n-m

十θμ13A]m+dEAPAIP

山

m+(ー1)A[3A]m[θμEAP A[plndn-m)， (3叫

である。ただし ~MNfこ対して 0μ~μ N

=

0 を課しである。これは ~MN と ~MN 十 20[M~N} が同じ ゲージ変換を与えるのでその分の不定性を利用して常にこのようにとることができる (その詳細な 手順は以下の説明と同じである。)。まず (3.10)で、右辺には第 I項に [3A]n+lがそのまま現れ、その 他の項には 13A]m

，

m三ηしか現れていないので、低いηから順に[三A]叶 lを調節して [8;"EI

，

A]叶 l を好きな値にセットすることができる。そのあとで、 (3.11)の右辺第 l項に [AAB]n+1がそのまま現 れ、その他の項には [AAB]""m三nしか現れていないことに注意して同様に[8μQμAB]n+1を好き な値にセットする。 (3.12)、(3.13)、(3.14)でも右辺第llJ

i

を使ってそれぞ、れ￨百

l

様のことができる。 なお、このゲージを取った後でさらにこのゲージを崩さない変換を行った場合、伊5Eμ Aニ Oなど から、

。

μδμ三M

。

μθμAαb (2+8μδμ )~vλ 三 門 占αM _ EaM)十

j

門 川

MA叫 三μQμαb+8μθμ3MOMab， 三μAμνλOμδμ三_{M AMνλ}

，

(3.15) (3.16) (3.17)

(1 + Bμθμ)~νi 二三μAμνl-Bμθμ 三MA_Mvlぅ

。

μθμZηl 二 三μAμ叫 -Bμθμ三M AMnl・ (3.18) (3.19) これらの式によって通常の diffeomorphismなどが超場の高次の引にどう作用するかを orderby order に決定することができる。 次に (3.1)ちの最低次の工員そ取ってみよう。後lこ見るように であるので、 [Emah [Em"h

[

A

叩 'lh xiBfαψm，

~(f(句)αφmab +

土

(Tmrnl

。

向

αF)rnl 2 8 8 ι 3yiBf[m丸

ψ

jl，

iiernα ニ [3ηJoδnema十[三ν]0θv[Ernah+δrn[三η]oena+ emb[Aba]o

(3.20) (3.21) (3.22)

[

三η]0δ'nenta十δ1m[2r/.]oenα [Aαb]Oemb -xi[三ν]0(C-1fαψ"，)v， (3.23) 3ψmα[3γ']0θnψmα+[三ν]0θν[Emαh+δm[三n]oψηα+δ'm[三ν=α]0+ψmβ[Aβα]0

1 [3n]0θn'<TrHα+θ川[三""]日ψ"，，0 _ ~(fαbψ7ft)α [Aab]O + (Drn(心)[三]0)

ぺ

(3.24) 4 iiCrnnl [3P]0δIpCmnl + [三μ]oarnu[Amnlh+ 3δ[m[三P]Oqplnlj+ 3θ[m[~nlj]O [3

叩

θ'pCrnnl+ 3δ[m[三P]Oqplnlj+ 3θ[m[~nIJlO -3yi[三μ]0(C-1f[mn1tlJ)μ・(3.25) したがって、 ~rn ニ[三川 ]0 を diffeomorphism 、 ξμ ニ[三μ]0を;localsupersymmetry、入αbニー[Aωb]日 そ localLorentz変換、 σ叫n叩

=

[

ε

包T川r x=-y=-l/片4として1日1次元超重力理論の lゐoca心1邑叩upeωrs勾y守古m即nm江metrηyの形カがt再現できるO さらにこれらの変換の交換子を考えると、それはl号び、これらの変換の形になるはずであるc実際 2つの変換ii1、ii2(それぞ、れのパラメータにl、2の添字がつく。)の交換子[ii1，ii2]は次のパラメー ターで表される変換になる ( 三')M A'As A ~N" ~M .".N

，

，

-

，

M "'2 uN"'1 -"'1UN"'"2ぅ A1AC A2cs

-A2AC A1Cs十三!'}aNA1As一三

f

'

aNA2As，

~~N ニ三fâL~1MN-3fθL~2MN +(-lt(N+L)(三?θ[M~1N}L 三fδ[M~2N} Ll

4

各成分の決定

(3.26) (3.27) (3.28) 11次元の場合起場は8で反問すると

e

0) 0采から 32采まであり、低い次数の引はこれから述べる ような手続きで決定するが、一般の背景場について 32乗まですべてを決定するには莫大な計算をし なければならず、事実上不可能である。さらに fermionbilinearが 2つ以上かかった項では Fierz変 換によってさまざまな形に変形できるので、一見同じとは思えない項が実は同じであったりと相当

複雑な事情がある。がまでの表現については[22]を見よ。その他にも[23、24]などで以下で行うや り方とは多少違ったやり方で求めている。。 まず最低次の成分であるが、 superfield strengthの定義から、 [ F ，η凶 p]O

=

4δ[mC，岬]. (4.1) 一方で、

[Fmηlp]O 二 [EpD E1G En B E m AFABGD]O

em aenbelcep d[Fabcd]O - 6e[m aen bψfψp]O[，Fαb-yO]O

entα巴'Jth e[cep d[Fa'JCdlo十6y叫/lf，nηψ刈 (4.2)

したがって、 U二 1/4として、

[FFaabbccdd]]OO=

=

eearneb nec1edα ebneclei) Fmnlp' P

:

F

(4.3) supertorsiunの定義から、

[Tmna]o = [2δ[mEη]a _ 2E[m s!1n]Bα]0= 2θ[rnen]α-2e[m b[!1n]bα]0・ (4

め

一方で、 [T，月

J

したがって -7 仙 V I F i a 7 7 刊_V Z z t I 一 つ 白 α n t m n o α e

一 一

n u α b n Q b m ρ し α i e _(4.6) この式に、同じ式で(m，n，l)→(1‘m，n)としたものを加え、 (m，n，l)→ (η，I，m)としたものを引 くと、

Ela elαθ[meπlα+E7fδ[lem]α emαθ[ηel]α

j

m

すなわち、 X= -1/4として [!1mab]Oニ ーφ7山 b (4.8) 同様に、 supertorsionの定義から、 [Tmn Q]o

=

[2δ[rnEn]α 2E[ms!1，，]Bα]0

=

2δ[mψn!" + 2ψ[mβ仏 l β α ( 4 . 9 ) 一方で、 [Tmηα]0 [EnGEmBTsGα]0 Cm ben C[Tbcα]0

+

2e[mb

ψ

n]γ[Tbγα]0 em ben

C

[

九 叩

-i(TIJHmMlytr 144'-L'" T"J (4.10) したがって [TabC 市 =2e

α

(4.11 ) さらに(2.101)から、

[

D

αFαbcd]O = -6yi(C-1

r

[

αb)αs[Tcd]s]o=ー12yie[cmed"(C-1

r

αb]Dm(φ)ψn)α(4.12)

[DαFabcd10

=

[EαM(θ'M，Fαbcd -411M[a e Flelbcd)lo=δM=α[，Fαbcd10であるから、これは [ F ，叫cdh= 12y肥[cTnedπ(8fab]Dm(φ)ψn)， を意味している。 (2.16)、(2.17)ヵ、ら、

[

R

γω10 [Rascd1o 内 市2 二

;

A

_

.

[

叫ん

cd(C-1fcd)，yo

十

五

def(C-1 _{fcdef ab)}

_叫

144y L

;

什

(σ(fCとf

勺

r

_町

f[cトε

川

Dα

X仰川l

h

O

什

;

(σ(fe

川

《

?

示

1

E

_口

_α

_川

_J

ηm

_f

一

手

苧

e

_内

n(c-1f

_町

f_1al また、 supercurvatureの定義から、 [Rmncd1o 2θ[m[l1n]cd1o -2[11[m_IcIC1o[l1n]ed10 2θ[rnWn]cd -2W[mlcleφn]ed -R(φ)mncd 」方で、 [Rmncdlo [Ens _Em A RABcd10 (4.13) (4.14) (4.15) (4.16) emαen b [RabcdJO + 2e[m aψηl_{β [Rαβcd10}ーψmαψns[R

，

scd1o. (4.17) したがって、 [Rαbcd10 -R(φ)_αbcd + 2ψ[αβ [Rb]βcd10 +ψfψ1/[Ruscd1o R(φ)_αbcd

一

字

e[c'''el

川

₁₁

川 町

η

ム

b

ι

i

川 )

+

_竿

_与

E

_内

_ぺ

η

ω

_噸

_叫

(

_叫

_両向

d

_内九叫

_叫

_九叫1

μ

_{い仏 山[}

J

_i仏トル

α

"f_心伽山ん ，

J

凡f_山刊u_《川b司]州u11]]内 ef]Dm

バ

ω

(

ω

φ

川 ;~2 十二L[24Fcdef(

九戸別)+え

f9h(

九戸九州].

(4.18) 144yL これで、最低次の成分は出揃った。高次の成分は次の一連の式によって orderby orderに決定するこ とができる: (1 + 11νδ'v)Eμα -xiEμα(l1fα)αヲ (4.19) (1 + I1vν )Eδ μα 6"，" + E

川 乃

αα十

(

i

内 問 時 (4.20)

。

μθ_{μEmα -xiEmα(l1f}α)α， (4.21)

。

μδ_{μErnu E"}

_バ

β_Tsα:(rαb

-4

_¥

.1 (U} 1)αQ.Hmab， (4.22)

(l+l1vOv)l1μαb -l1oEμcRocab + 110 EμγR_γoabぅ (4.23)

。

νδJノf2mαb l1o EmCRoωb -l1o E (4.24)

。

μ

。μθμ_Fabcd 6yi(er[ab)αTcd]α' (4.26) 。μθμ_Tabα eORαboC< - 2eo D[αTb]/' -2eoT[αlolβTb]β

へ

(4.27)

。μθμAmnl 3yi(iJr ab)γE[mαEnbEIJ¥ (4.28) (1

+

eμδμ)Amnλ -yi(iJr ab)γEm a Enb E>."Y -2yi(iJra_b)γE[maE.πlγE>.b， (4.29)

(2

+

eμδμ)Amv入 2yi(iJ

r

ab)γEmαE(}Eλ)γ yi(iJrab)γE叫 すEvαE>.b， (4.30)

(3十Oρδρ)Aμνλ 3yi(Jir叫γ)E(αμEvbE入)勺 (4.31)

これらはそれぞれ ~uperton;ion の定義式、 supercurvature の定義式、 supercurvature に対する Bianchi

恒等式、 FABCDに対するBianchi恒等式、 TA BCに対するBianchi恒等式、 superfield strengthの 定義式、に併をかけて、ゲージ固定条件を考慮すれば得られる。がらいい =n

l

*

]

nに注意すれば、 両辺で0のη次の項を取ると、左辺は超場のη次の項のみ、右辺はn-1次以下の項のみが含まれ るので高次の項を順次決めていくことができる (右辺に Dα が合まれている場合は、 [DaHlηー 1~ [BαM(θM[*l

+

rlM

l

*

]

)]n-lニ Eα"'(δm

l

*

l

π

ー

1

+

[rlm[*]]η

ー

I

l

ー

ψαμ(

ゐ

ド

]n十[rlμ

f

*

l

ln-d十 ーなので、 右辺にもn次の項が現れるが、それはDαを含まないものを先に計算すれば、 Bianchi恒等式の解か ら容泌にIJえられる。〉。また3形式については、上式を変形して、次のようにIJえることもできる A = C一

μ

;

似 4 “ "J日 J ここでEtA

=

[dXmEmA十dDf1E"Alθ→teである。。の次数を数えるため補助変数tそ導入しである。 また次のことにも注意しておこう。 (2.11)の両辺にDβをかけると DαDβTab"Y DαRab

♂

2DαD[α丸lβγ 2Dα(T146九]o"Y)

=

す

(rcd)マsDaRαbcd-

占町

1 向)"YsD"DbJFal向

十一三万 (T[aalα'Tb]blね)γβ_(DαFα1α4Fbl...b

，

十九lα

，

Dαf可

b

_lb

，

)

.

(4.33) (288) 最右辺の第l項に R に対するBianchi恒等式 ((4.25)の元となる式)を代入し、第3項には(2.28) そ代入し、第2項には(1.13)と(2.28)を用いて得られる DαDb，α1α4 F [Dα

，

DbJFalα4 +DbDαFalα4 ニ TαboDd_，α1α4F -4R_αb[αleFle]_α2α3α4] 6yi(C-1_r[ α1α2)αoDlbl

T

.

α3hld， を代入してDαを消去すると、最終的に次の式が得られる。 D"D(j 丸b α

x幻ぺ

4

巾

tイ告作[日[~(主(r

門門

刊門

r

C

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γ

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2(C-

1

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)μμ

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D[aTb]/ -(C-1

川

αaDb町仇b

川

2 一

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s

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)

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→

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げ勺)0如αFcdeげf

+

(ρC一lrefg〆lh

九

aCωdρ)o臼α

F凡~fg仲ω

h

)

1152' ，~ l 一(2(C-1

r

c

7

[

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九九

!α1向_)oc<Tci)，αFl a4 }

+土

(T[aal

向)ヴパ土

(C-1

r

_a jC'2

Tb~bl...b4

)oaTa3u

，

o Fb_l...b

，

144'-LU '~l48 (4.34)

十2((C-1C

，

Jo"T_abO-(C-1ra)

ι

1bO -

(C-

1

r山~"aÓ)Fαωα)

十一」一一 (Tla

a1 α

_{4T，~， ...b4}

マ)β 24 x 288'L~ O J μ

x

{

(C-1ra1α2 )do:Ta3a1 o九

，

...b4

+

Fa1...a4(C-lr，bbz

仙川]

州

この両辺;こ 0α併をかけてゲージ固定条件を考慮すれば、 [~αbαln (n 三 2) を[~叫αln ー 1 、 [Tabαlη-2 、.. で表す式を得ることができる。 I次の成分は次のようになる: [Emah [Em"h

[

E

μαh [Eμαh ，

[

B

αTn]l [Eai'

h

[E"mh

[

B

αμh [ 仰Q_札

_hμ

_凶

_川

α叫

_川

b xi8ra

ψ

m， 1(rαb8)αφrnab

十土

(T_mml...m4(})αFm1.._7nt).ニ (.5m(φ)8ーθ'，"8)α， 288

-

i

m

r

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0， 一;218円 山

~(rCd8)

i'

_山

_cd

-

:::::;一

(~α

m1..rrQ

(})

J1

F

，川町十

121(drnψα)ψJ，

288 jzi(OF)α

，

jm(orn)αψημ， (4.36) (4.37) (4.38) (4.39) (4.40) (4.41) (4.42) (4.43) 1 _一

[Arnnlllニ3_{百i8r[mnψ1]}，_{[ArnnAh =} -~yi(8rrnn) λ) [Amvλh =0， [Aμuλh = 0， (4.45)

ー [~αb'Y h 二_yi(ncamn)γα_(ercdDrn(φ)ψπ)， 24 川 1 ニ

占

R九

h

恥恥川ω

川

叫_b凶_ccC吋此dlo(r'de

川

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e

山 丸

]'η町 F

[

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+

一

三

一

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円

7 η 町11 川

8

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η

川色~l.，.Tn

川

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，

f九L川

1

川 (288)2，-l

土

_e[am(φ_rncd ω肌 d)emrd(TbJ C1n2' m3'fHq ₈₎

ι

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+

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1

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l

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r

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川

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[

R

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九

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←

i

か

z叫(C- 必4叫的9) 1 守1山raαυ))

品

ι

(μ叫4μω [ F ，αbcdl (4.50) さらにψmα=0のときは、 em_{αen b[Tab}αh = _([.5"，(ω)， .5n(ω)]8)" ， (4.51) に注意しておこう。

2次の成分は次のようになる ここで、 [Ern ah [Em'"l2

[

E

μαl2

[

E

μαh r1 i ;-xiI一(erarOCe)α仏 血 十 一(erα_Tmml...m4(J)αF_ml...m41 2~~ L4'~- - 288'~- -"， ，- -"""""'J 1.._.1 一 一U糾州i(何Tm{l 480 _{， ."} 576

i

門 )

(

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m ce{3[R{3cablO

九

γ[R{3-yablo)，

。

‘

l q

、

α 6'μ， [Amnlh [Amn入

h

[Amv入

h

[Aμνλh ?αβ

;

μ

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州。 -

al]e)

一 川 川

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Y

[

(0札raα ) 入( or百訂

門

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[ll7 -;(伊er九πm乙

，

aα)( O.

412Fm

_{576 L} mJri7YHO)

怖 川

" q " ' q ( 内)α{

叫

bcd(Orcd)β

十九

tefdredefd)β}

1

3次の成分については次のことだけ注意しておこう・ R四2"." [Al'v.¥b =

一千

(orab)(

，

，

(

B

ra)ν(orb)入) (4.52) (4.53) (4.54) (4.55) (4.56) (4.57) (4.58) (4.59) (4.60) (4.61) このような手続きを繰り返してθの32乗の項まで決めるには手閣がかかりすぎることが見て取れ るであろう。しかし高い対称性を持った特殊な背景場のときは0の32乗まですべて決定できる場合 がある。その例として -平坦な空間 E MA ( E m α E

つ

( S J O ) EμαEμα -~xi(Orα)μ3μα (4.62) EAM ( ι m u ) ( 5 α m O ) Eα Eα μ -¥ ~xi(OP")α 15"，1'

J

'

(4.63) DMAs=O， (4.64) Amnl 0， (4.65) Amηλ -~yi(er 1 mn)λ， (4.66) Amvλ 7lu(O-Lf)(ν(orα)λ)， (4.67) Aμνλ 一一Z2uzab

γ(

釘 )(μ(era)v(erb)入) (4.68) • Ad84 X 87、AdS7 X 84

これらの空間の特徴は、どれも maximallysupersymmetric、すなわち独立な Killingspinorを 32 個持つということである。その場合、まず backgroundとしての gravitinoをゼロとしているので、 [Tabα]0は当然ゼロで、さらに[7;αbα!Jもゼロである。なぜなら (4.51)において[Drn(ω)，Dn(ω)]を 32x32の行列とみなすと、 Killingspinorはこの行列の固有値ゼロの函有ベクトルであり、それが 32 イ1，';1あるということは[Drn(ω)，Dn(ω)]l'~ 体がゼロであることになるからである。したがって (4.35) か ら、超場として Tαbαニ Oとなり、 Bianchi恒等式の解と (4.26)からRabcd、Rγdab、Tαf、Fαbcdは 最低次の成分しか持たず、 Rascd= 0である。他の超場の成分は (4.19)などから容易に解くことが でき、次のようになる. α α μ υ E E

一

em a

+

2xi

(

e

r

ap-l Sillh2

子

)α[Ern"!J (p-l/2si

山ゾ予

)αβ[Ernβ!，J -24??1SInh2

子

)μ'

(

P

ー1/2sinhVP)α仰 (1.69) (4.70) (4.71) (4.72) (4.73) Emα Yヲ α ~Tn

E

m ζZ _ 7ft しα

，

Eαμ= 九m[Ernβ=μ!J， μ4.74

め

)

ι

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x

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i

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l

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_)α[Ems向β=司「μ叩!J， (4祁) Q問 叫αab 三 叫 叫L凶川αabけ+什2φ(

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?rα

二

β

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〆 A

、

U

、

α F

川

2(γi

帥ぷニナ )

I'eo [R"dab]O' (4.78) ここで p-1sinh2子 な ど は 形 式 的 Taylor展開で、定義されている: 可 内 、 7フ

位

。

2(2n

+

2)! ?一 1/2sinh

伊ニ了一」一一

pn. (4.80)

包

(2n

+

1)! 微分形式として書くと、 De = de

+

~dxmwmn"rab8 十土dXmT，.，n

Tn1 ..m4BFm_{， ハ} "'"四 288-- - ， . . 川 ヲ (4.81) と定義して、 Eα A σ D 一 伊 一 2 8 h D -m 伊 一 2 ﹂ S 2 α ， ? L 以 ¥l//11¥ n A U O -m D J 刷 ↓ 広 y J M ? v R ト u h 1 L F 川 ゲ 一 リ 幼 E 2 2 2 -q ム h

一

'

ι ー -t i ? 叫 (4.82) (4.83)

E"

b α Q (4.84) 歴史的にはこれらの表現は supercosetconstructionによってはじめて与えられた [25，26]。すなわ ち AdS4X S7に対しては OSp(814‘R)、AdS7X S4に対しては OSp(6，214， R)という超群の coset

とに注意せよ。)しかしここでのようにsupercosetconstructionに頼らずとも与えることができる [22‘27]0 以上11党明したorderby orderの成分決定は(3.15)などそ!ljいて変換パラメータに対しでも行うこ とができる。例えばl次の項は、 [3"'h [ 三

μ

h

[

A

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h

[L;m

η

h

[L;

m

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h

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+

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2斜

4

F

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.

ん帥山b叫C 2 288

-

b

(

九

8)+j

収 mB)C叫 0， [L;l'

v

h

0 またこれらから、交換子の変換パラメータは [(三')m]o GOr

，

c

，

i

凡 -

.

c

i

'

o

nE，2' -xi(llr叫 2)

，

(4.85) (4.86) (4.87) (4.88) (4.89) (4.90) (4.91) 1 .

[(三

γ!

日 GOnEi -C.~ÖnE~

+

Xi(flrmE2)ψJ一記入ladrαbE2)11.十

Z

入2，u，(ra"El)'" (4.92)

[A~b]O 入1αc入2cb一入2αc入lcb-E，2'om入_lab

+

c

.

r

'

_δm入2αb

φWm(附m叫αd

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z必以以b点品川E己ザ(作lr仇何門 2肘 )

+

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[E~n肌ηn]O C.bOIσlmn

+

c

.

bO[ma川 -C.~ÖIσ2mn -~iå!mσ2nJl

-yi(fjr mnE2)

+

Xi(fjrIE2)Cmnl， (4.94) [L;;nvlo

ん

[-

~yc.;'(ljr

nmB) -

~XC.2(flrl帆nl]

， (4.95) [L;~vJo 0 (4.96) [L;;"v]oの形から、この成分は再定義によって消去できることに注意せよ。 こうして得られる成分表示から、実際に膜の作用などを書き下す方法は[28，29，30]等に説明され ている。 Green-Schwarz型の作用の場合は κ一対称性を光円錐ゲージ、などで固定すると非常に成分表 示が簡略化される [31]。成分表示についての史なる党以が

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