電磁波伝搬の三次元可視化表現

電磁波伝搬の三次元可視化表現

白井

宏

†a)

3D Visualization of Electromagnetic Wave Propagation

Hiroshi SHIRAI

†a)

あらまし 三次元空間中を伝搬する電磁波の様子を可視化する表現法について，その物理現象を理解しやすい 方法を工夫した．最初に，自由空間中に置かれた微小ダイポールアンテナからの放射厳密界から，アンテナ近く の電界ベクトル，磁界ベクトル，ポインティングベクトルの様子を，その大きさに応じた矢印の色や長さで表現 したり，電気力線や磁力線の変化の様子を表示した．また人体近傍に置かれた半波長ダイポールアンテナからの 放射電磁界をFDTD 法で計算し，その数値結果を基に，空間中の電界ベクトルや人体組織中の比吸収率（SAR） 分布の様子について可視化した． キーワード 電磁波伝搬，可視化，立体視，FDTD，CAVE システム

1.

ま え が き

携帯電話や無線LAN等の普及により，電磁波の伝 搬状況や電磁波が人体へ与える影響への関心が高まっ ている．電磁波は人間のいわゆる五感で直接感じるこ とができないために，理解しにくい存在であるが，こ うした現象をCG（Computer Graphics）を用いてわ かりやすく可視化して表現することが可能になってき ている．本論文では，電磁波の伝搬，散乱の様子を可 視化して理解するために，電磁界のベクトル等を三次 元的に表現する試みについて報告する． 可視化とは，人間が直接見ることのできない現象や 事象，あるいは関係性を，見ることのできるものにす ることをいい，可視化は自然科学のみならず様々な分 野において重要である．実験や統計処理，数値計算に よって得られた結果は，数値データの羅列でしかなく， それらのデータ眺めていてもデータのもつ特徴，規則 性や傾向をつかむことは難しい．数値データからこう した特長を理解するためにはグラフ化する等の可視化 が必要不可欠である．近年，コンピュータ技術の向上 とともに，より現実感のある仮想現実や，立体映像を †_{中央大学理工学部電気電子情報通信工学科，東京都}

Department of Elecrtrical, Electronic, and Communication Engineering, Faculty of Science and Engineering, Chuo University, 1–13–27 Kasuga, Bunkyo-ku, Tokyo, 112–8551 Japan a) E-mail: [email protected] スクリーンに表示させる技術が発達しており，計算結 果を様々な形で可視化することが可能となった．PC 等のディスプレイ上に3次元的に映像を表示させるこ とはもちろん，特殊なディスプレイや各種装置を用い て，あたかも映像がそこに実在しているかのように立 体的に表示させることすら可能となった．このように 高度なCG技術を用いて数値計算から得られた物理現 象の解析結果を可視化すれば，物理現象を理解する上 で有益であると考えられる． 筆者らは以前に，携帯電話使用時の電磁界分布の推 定として，FDTD（Finite Difference Time Domain） 法[1], [2]を用いて，人体頭部モデル近傍に置かれた 半波長ダイポールアンテナから放射される電磁波の 散乱解析を行った[3]．その際得られた電磁界成分を 米国VRCO社が開発した可視化ソフトウェアvGeo

（The Virtual Global Explorer and Observatory）[4]

を用いて，立方体，等高線，等高面及びベクトルの 形で，CAVE（CAVE Automatic Virtual Environ-ment）なる立体映像表示装置[5]により立体的に可視 化表示した．その結果，CAVEシステムのもつ大き な視野角の中に没入し，かつ対話的に立体的な表示を 行うことは，三次元空間中のデータの科学的解析にお いて非常に効果があることがわかった．vGeoは，多 様な2D/3Dデータをインタラクティブに統合可能な 汎用プログラムであるため，複数のデータセットを可 視化し，複雑なデータをわかりやすく表示することが

できるが，計算データのサイズが大きいとスムーズな アニメーションを行えないという欠点があった．そこ で筆者らは，vGeoを用いない独自の画像処理により， スムーズなアニメーションを実現する工夫をして電磁 界を立体的に可視化表示した[6]．本報告では，電磁波 の三次元空間中の伝搬について，アンテナからの放射 電磁界分布を基に，わかりやすく表現する試みについ て報告する．

2.

可視化表現法

電磁波の構成要素である電界及び磁界は，ともに空 間及び時間で変化するベクトルであるので，これらの ベクトル量を各座標において矢印や色を変化させて 表現し，それらを可視化したい．加えて電磁波エネル ギーは，ポインティングベクトルによって，その電力 エネルギー密度の大きさや方向をあらわすので，その 流れの様子も重要である． 各点で観測されるスカラ量は，その点に置かれた球 や立方体の大きさや色，透明度で表現したり，またベ クトル量は，その点を始点とする矢印の大きさや方向， 色で表現することができる．ここでは時間変化するス カラ，ベクトル量をスムーズなアニメーションで表現 するために，OpenGL（Open Graphics Library）と いうグラフィックスライブラリを用いて，電磁界を表 現するプログラムを作成した．OpenGLは，米国シリ コングラフィックス社が開発し，その後広く一般に普 及したオープンソースグラフィックスライブラリであ り，OSに依存しない，アニメーション表示可能，標 準C言語の知識でプログラミング可能等の特徴があ るため，グラフィックスについて専門的な知識がない ユーザでも，比較的簡単に様々なPC環境下で動作 するプログラムの作成が可能である[7], [8]．しかし， OpenGLは線や面を描くといった基本的な描画機能 しかもっていない．そこで，作成したグラフィックス をPCディスプレイに表示するにはGLUT（OpenGL Utility Toolkit）なるライブラリを用いることにより， ウィンドウの表示，アニメーションの作動等の高次元 な機能を使用することが可能となる． 筆者らが作成した可視化プログラムは，任意の座標 （x, y, z）におけるあるスカラ量Sまたはベクトル量 Aとその絶対値Aを，その値により色や大きさが変化 する立方体や矢印で表現し，アンテナや散乱体等，解 析領域に存在する物体（スカラ量）を，その内部にお ける電磁界まで観測可能にするため，半透明の立方体 の集合で表現するプログラムである．電磁波伝搬現象 等，時間変化する物理現象を表現するためにアニメー ションを用いた表示を行い，視点移動，表示物の回転， 断面表示等により様々な角度から表示内容も観察可能 にした．本報告における表示結果にはGLUTを用い てPCディスプレイに表示したグラフィックスの結果 を用いている．

3.

表 示 例

可視化プログラムの表示例として，原点を中心に垂 直（z軸）方向に置かれた微小電気ダイポール周辺の 電磁界を解析的に導き，得られた電界成分をベクトル 表示した例を示す． 原点Oに置かれたz軸方向を向いた長さdl，大きさ Iをもつ微小電流源からの放射電磁界は，調和時間振 動をexp(jωt)としたとき，球座標(r, θ, φ)を用いて Er = IdlZ 2π  1 r2 − j 1_kr3  cos θ e−jkr, (1) Eθ = IdlZ 4π  jk r + 1 r2 − j 1_kr3  sin θ e−jkr, (2) Hφ = Idl 4π  jk r + 1 r2  sin θ e−jkr, (3) Eφ = Hr= Hθ= 0 (4) となる[9]．ここで波数kは，光速cを用いてk = ω/c， また波動インピーダンスZ = 120πである． 式(1)∼(4)から明らかなように，遠方界ではEθ, Hφ が主要となり，電界，磁界ともに放射指向性はsin θ， 周(φ)方向には一様となる．このアンテナの電力指向 性sin2 θを規格化して立体図で表したのが，図1で ある．この放射パターンの三次元プロットは， MAT-図 1 微小ダイポールの放射指向性

Fig. 1 Radiation pattern of a infinitely small dipole antenna.

LABのsurf関数を用いて描いたが，Mathematicaの SphericalPlot3D関数等を用いても簡単に描くことが できる．ここではφ = 0◦, 90◦の切断面を入れてx-z 平面，並びにy-z平面での指向性をわかりやすくして いる．この指向性パターン図は，実際の電界，磁界が どのように変化しているかを示しているわけではない ので，電波工学の講義でこの図を見せると，学生は垂 直方向に放射される電波は，伝搬速度が水平方向に伝 搬するものよりも遅いという間違った印象をもつもの もいる． 式(1)∼(4)を基にして，微小ダイポール周辺の電 磁界を図 2に表示した．アンテナ中心からの距離が 0.1，0.2，0.3，0.4，0.5 mにおける電界ベクトルE （図2 (a)），磁界ベクトルH（図2 (b)），並びにポイ ンティングベクトルP (=E×H)（図2 (c)）について それぞれのベクトルの方向を矢印で，またその強さを 矢の長さと色で示した．表示空間にx（赤），y（緑）， z（青）軸を設けることで，表示内容の空間的な位置 を把握しやすくし，視点の移動，表示物の回転により， 様々な角度からの可視化結果も画面スクリーン上では 観察可能である．放射電磁界は，遠方でEθ, Hφ成分 が主要となっている様子がわかる． ポインティングベクトルの分布図2 (c)から，ベク トルP がアンテナから径方向を向いていることか ら，アンテナから電力が外向きに放射されている様 子がわかる．またベクトルP の大きさが，垂直方向 （θ ∼ 0◦, 180◦）に対してよりも，水平方向（θ ∼ 90◦） に大きいので，放射強度も水平方向に強いことが理解 でき，図1の指向性パターンよりも放射指向性を直観 的に理解しやすい． 各点における電界，または磁界ベクトルの変化を組 み合わせると，電気力線や磁力線の表示も可能とな る．電気力線を描くには，各点における電界ベクトル E(x, y, z)に対して，その直角座標成分(Ex, Ey, Ez) を使えば dx Ex(x, y, z) = dy Ey(x, y, z) = dz Ez(x, y, z) (5) なる微分方程式を解けばよい[9]．磁力線も同様であ る．しかし上記の微分方程式を解析的に解くことがで きるのは非常に限られているので，離散的に得られて いる数値データを使って力線を描くには，各点のベク トル方向に微小距離変化させて力線を接続していけ ばよい．図2 (d)は，微小ダイポールのまわりの電気 力線と磁力線の様子を表している．縦方向の三日月状 ループが電気力線であり，周（φ）方向の同心円ルー プが磁力線を表し，互いに直交していることがわかる． 紙面では表現できないが，シミュレーション上の電磁 界ベクトル，電気力線，磁力線は解析結果における時 間を変化させることにより，大きさと向きを変化させ ながら径方向に外向きに伝搬する様子を示すアニメー ション表示が可能である． 上述の結果は，解析解を基に電磁界分布を表示した が，数値解析結果を利用した表示も可能である．アン テナからの放射や，複雑な形状や材質をもつ物体によ る電磁界の散乱解析は，FDTD法をはじめとする数 値解法の発達によって，容易になりつつある．こうし た数値電磁解析法によれば，各サンプル点における電 界，磁界ベクトルの値を時間的，空間的な差分によっ て離散的に求めていくので，それらの値をそのまま用 いて解析結果を視覚的に表現可能となるので都合がい い．また解析領域を微小セルに分割し，各セルに電気 定数を割り付けて計算するため，人体頭部のような複 雑な形状の物体による電磁波の散乱解析に適した解析 手法である． 図3は，携帯電話の使用時を模擬して，人体頭部近 くに置かれた半波長ダイポールからの周波数2 GHz の放射電界を表している．ここでFDTD法を用いて 得られた電磁界成分をベクトルで表現し，数値人体モ デルを微小な立方体の集合で表現している．電磁界を 表すベクトルや立方体は，電磁界成分の大きさにより 色や太さを変化させ，人体モデルは人体の各器官の違 いにより色分けを行った．また，電磁波散乱の様子を 時間を追って観察できるよう，アニメーションを用い た表示も可能である． 人体モデルは，（独）情報通信研究機構より提供され た数値人体モデル情報から，頭部部分だけを抽出し， 各部組織の電気定数を入れた散乱体と考え，電磁界シ ミュレーションを行った[10]．数値人体モデルは人体 全身を2ミリ立方に分割し，それぞれに対して人体の 各組織・器官54種類を同定して数値を割り当てたも のであるため，本報告で用いる可視化プログラムにお いては，各組織・器官により色分けした立方体の集合 で表現することが可能である．ここでは，頭部モデル のみを使用した結果を示した． 自由空間中に置かれた半波長ダイポールアンテナの 放射パターンは，図2 (a)に示した微小ダイポールア ンテナのそれとよく似たアンテナ素子に関して軸対称 となる．しかし人体が水分を多く含むことから，人体

(a) (b)

(c) (d)

図 2 微小ダイポールアンテナ周辺の電磁界分布．(a) 電界分布，(b) 磁界分布，(c) ポイ

ンティングベクトル分布，(d) 電気力線及び磁力線分布

Fig. 2 Field distribution in the vicinity of an infinitely small dipole antenna. (a) Electric field vectors; (b) Magnetic field vectors; (c) Poynting vectors; (d) Electric and magnetic lines of force.

に入射する放射電磁波は，ほとんど減衰し，人体表面 で散乱された波は人体の反対側へ強く伝搬する様子が わかる． 人体モデルは，各種人体組織の色付けの透明度を 上げると人体内部の電磁界分布の観測が可能である． 図3からは少しわかりにくいが，2ミリ立方単位で識

図 3 人体近傍に置かれた半波長ダイポールアンテナから 放射される電界の 3 次元表示（ベクトル表示） Fig. 3 3D electric field vector distribution radiated

from a half-wavelength dipole antenna near a human head model.

図 4 人体内における比吸収率分布の 3 次元表示

Fig. 4 3D SAR distribution map in a human head.

別された人体組織情報も含まれており，FDTD法等を 用いた人体電波暴露時の電界の値を基に，各組織にお ける比吸収率（SAR）の分布の表示も可能となる．比 吸収率は，人体に入射した電界とその組織の導電率と 密度を基に，単位質量をもつ組織に単位時間に吸収さ れるエネルギーを表し，体内温度上昇を引き起こす指 標となる[11]．図4は，各人体頭部部位における比吸 収率（スカラ量）の強度分布を示したものである．照 射しているアンテナに近い耳の部分に比較的強い吸収 が起きている様子がわかる．

4.

立体映像可視表示システム

ここで示した可視化の結果は，二次元の紙面上に投 図 5 中央大学における可搬型 CAVE システム [12]

Fig. 5 Portable CAVE system at Chuo university [12]. 影したものであるため，具体的な空間分布の様子を理 解しにくいところもある．最近はCG技術の発達がめ ざましく，こうした三次元のデータの立体映像可視化 が可能になってきている．以前から両眼視差を利用し て左右のレンズに赤と青のフィルタをつけたメガネ， あるいは光の偏光を利用して左右のレンズに異なる方 向の偏光フィルタをつけたメガネを利用して左右の目 に入る視覚情報を制御して，立体視する方法があった． 最近の代表的な立体映像可視化装置としてCAVE

（CAVE Automatic Virtual Environment）が あ る

[5]．CAVEとは，1992年に米国イリノイ大学EVL

（Electronic Visualization Laboratory）が開発し，そ の後，米国を始め世界各国の大学，研究機関，企業等 で設置，利用されている立体視表示システムである． スクリーンに囲まれた部屋において，液晶シャッタメ ガネをかけた利用者の位置を計算しながら，左右の視 覚情報を調節することにより，プロジェクタから投影 された映像を立体的に見ることができる．また6自由 度をもつ磁気トラッキングセンサが，液晶シャッタメ ガネに取り付けられた磁気センサー及びコントローラ （Wanda）の動きを検出し，CAVEシステムが利用者 の視点の位置，向き，傾きからその視点情報を計算し， スクリーンに投影される映像をリアルタイムに更新表 示させるため，非常に高い没入感を得られる偏光式立 体視表示装置である． 本学に導入された最初のCAVEシステム(図5)は， 可搬型システム（幅4.587 m,奥行き2.687 m,高さ 5.6 m）であり，正面，右側面，床面の3面スクリー ン（幅1.46 m,奥行き1.46 m,高さ1.46 m）から構

図 6 中央大学における没入型 VR 表示システム [13] Fig. 6 Virtual reality display system at Chuo

Uni-versity [13]. 成される[12]． 図6は，本学に追加導入された，更に大きな正面， 左側面，床面の3面スクリーン（幅2.8 m,奥行き2.1 m, 高さ2.1 m）をもつシステムであり，実際にスク リーン内に入って高い没入感を得ることができる[13]． 本学の可視化システムは，3面のスクリーンによる システムであるが，観測者を取り囲む6面のものに比 べて没入感はやや劣るものの，十分な立体感を得るこ とができる． PCディスプレイの代わりに，こうした立体視表示 システムを用いて立体視するときは，GLUTの代わり にCAVElibなるライブラリを用いることにより，立 体表示が可能となるので便利である． またディスプレイに特殊加工をしたレンチキュラー 方式と呼ばれる，特殊なメガネをかけることなく裸眼 で立体視を行うことが可能な立体視の方式も開発され ている[14]．この方式では，ディスプレイ表面にレン チキュラーレンズと呼ばれる，かまぼこ型のレンズを 横方向に周期的に配置する．このレンチキュラーレン ズは，水平方向に対しては凸レンズと同様のレンズ機 能をもち，垂直方向には単なるガラス同様，光を透過 させる．このレンズの光学的な屈折を利用し視線の届 く先を操作して，右眼には右眼用の画像のみ，左眼に は左眼用の画像のみを観察が見えるように工夫し，立 体視が可能である．

5.

む す び

本報告では，三次元空間を伝搬する電磁波の電界， 磁界，ポインティングベクトルを，その大きさによっ て色付けしたベクトルとして表すことによって，直接 目に見えない電磁界の分布を可視化する試みについて 検討した．それぞれのベクトル成分が時間的に変動す る様子から，実際に電磁波の伝搬状況も理解しやすく なる．例として，自由空間内に置かれた微小ダイポー ルアンテナや人体近傍に置かれた半波長ダイポールア ンテナからの放射電磁界について，さまざまな三次元 的な分布の表現を試みた．可視化によって，正しい電 磁気現象の理解が深まるばかりでなく，実際に伝搬す るメカニズムを知ることにより，電磁波の伝搬・導波・ 遮蔽を効率的に行うための解析に利用することもでき る．本論文では，二次元スクリーンに投影した表示し か示すことができないが，三次元立体可視化装置を通 して動画で表示することにより，より一層の電磁気現 象の理解が深まると思われる． 謝辞 本研究で用いた人体モデルは（独）情報通信 研究機構，北里大学，慶應義塾大学，首都大学東京の 共同開発による数値人体モデルデータベースを使用し た[10]．また，本研究の一部は，日本学術振興会科学 研究費補助金（基盤研究(C) 24560478，2012）の援 助を受けて行われた． 文 献 [1] 宇野 亨，FDTD 法による電磁界及びアンテナ解析，コ ロナ社，2006. [2] 橋本 修，阿部琢美，FDTD 時間領域差分法入門，森北 出版，2006. [3] 関口秀紀，大久 潤，白井 宏，“3 次元空間における電 磁波伝搬の可視化について，” 電学電磁界理論研資，EMT-03-53, 2003.

[4] The Virtual Global Explorer and Observatory (vGeo), http://www.mechdyne.com/vgeo.aspx [5] The Electronic Visualization Laboratory, the

Univer-sity of Illinois at Chicago, http://www.evl.uic.edu/ index.php

[6] 前川耕一郎，白井 宏，“人体近傍に置かれたアンテナか

らの放射解析とその可視化表現，”電学電磁界理論研資，

EMT-08-115, 2008.

[7] Edward Angel（著），牧野祐子，滝沢 徹（訳），OpenGL 入門，ピアソン・エデュケーション，2002. [8] 床井浩平，GLUT による OpenGL 入門，工学社，2005. [9] 宇野 亨，白井 宏，電磁気学，コロナ社，2010. [10] 長岡智明，櫻井清子，国枝悦夫，渡辺聡一，本間寛之，鈴木 保，河合光正，酒本勝之，小川幸次，此川公紀，久保田 勝巳，金 鳳沫，多氣昌生，山中幸雄，渡辺 敏，“日本 人男女の平均体型を有する全身数値モデルの開発，”生体 医学工学，vol.40, no.4, pp.45–52, 2002.

[11] O.P. Gandhi, G. Lazzi, and C.M. Furse, “Electro-magnetic Absorption in the Human Head and Neck for Mobile Telephones at 835 and 1900 MHz,” IEEE Trans. Microw. Theory Tech., vol.44, no.10, pp.1884– 1897, Oct. 1996.

[12] “中央大学システム解析・可視化研究室：CAVE 立体視シス テム，” http://www.ise.chuo-u.ac.jp/CAVE/ja/index. html [13] “中 央 大 学 計 算 力 学 研 究 室：没 入 型 立 体 視 装 置 ，” http://www.civil.chuo-u.ac.jp/lab/keisan//VR mini museum/newpage3.html [14] “中 央 大 学 シ ス テ ム 解 析・可 視 化 研 究 室：裸 眼 立 体 視 ディス プ レ イ ウォー ル ，” http://www.ise.chuo-u.ac.jp/ISE/outline/Gmajor/korenanda/contents/ displaywall.htm （平成 26 年 3 月 31 日受付，8 月 8 日公開） 白井 宏 （正員：フェロー） 1980静岡大学工学部電気工学科卒，1982 同大大学院工学研究科修士課程了．1986 米 国 Polytechnic 大博士課程了．Ph.D. そ の後同大ポストドクトラル研究員．1987 年から中央大学に勤務．現在，理工学部教 授，学部長補佐兼務．本会基礎・境界ソ編 集特別幹事，和文論文誌編集委員長，ソ副会長，ソサイエティ 誌編集委員長等を歴任し，現在同委員会顧問，エレソ電磁界理 論研究会委員長．電磁波散乱，高周波漸近解析等の研究に従事． 著書に「応用解析学入門」（単著・コロナ社），「電磁気学」（共 著・コロナ社）等がある．IEEE シニア会員，電気学会会員．