経済と経営 45−2(2015.3)
論 文>
不等間隔な時系列データの周期の最小二乗推定
ジャズのアドリブフレーズを対象に
駒 木
泰
１．はじめに 時間毎に得られるデータを時系列データと呼ぶが，ある時間についてデータが欠損値となる場合 がある。欠損値が多いと，データは時間によって並んではいるものの，時間の間隔は等間隔ではな く，不等間隔となる。 データに欠損値が生じて，不等間隔となる原因としては，観測不能によるところが大きい。多く の観測不能の状況はランダムに起きる。一方，観測範囲を超えた値を示したための切断（trunca-tion），消息不明のような打ち切り（sensor）などを欠損値として扱うこともある。欠損値の処理と しては，欠損値の数が少ない場合は，欠損値を除去する，あるいは，補間するなどの方法がある。 切断データや打ち切りデータを対象とした 析では，欠損値が生じるメカニズム自体をモデル化し ている。 時系列 析における自己回帰（AR）モデルやスペクトル 析などは，データが等間隔に得られて いなければならない。したがって欠損値については，データを補間する以外には 析が難しい。一 方，時間自体を説明変数として，時間の間隔を組み入れないように線形モデルや周期モデルを構築 すれば，不等間隔なデータでも，通常の回帰モデルとして係数の推定・検定が適用出来る。しかし， クロスセクションデータに対する 析方法として扱われるため，ダービン・ワトソン統計量などに よる回帰診断は行えない。 不等間隔な時系列データに対する周期を推定するモデルは，Lomb（1976），Scargle（1982）が代 表的である。これらは，最小二乗法を基に導出されている。Bos, Waele and Broersen（2002）で は，Burg アルゴリズムを解説し，また簡潔なサーベイもみられる。 本稿では，不等間隔な時系列データを対象として，最小二乗法による回帰モデルによる周期の推 定を行う。時系列データの欠損値が生じるメカニズムはランダムな場合を仮定する。 実証に先立ち，等間隔な場合に比較して，不等間隔な場合の推定の効率性を検討する。等間隔な データからランダムに取り除いたデータに最小二乗法を適用し，推定量の 布を吟味する。実証例 としては，音楽データの音高の並びに潜む周期を推定する。音楽データには休符が存在し，発音さ れている音高に対しては欠損値としてみなせる。休符には，演奏者や作曲者の意図が潜むので，観 測不能，切断，打ち切りには該当しない。しかし，本稿では，休符が生じるメカニズムは 慮せず， 単純にランダムに表れた結果と える。したがって，音高の並びを不等間隔な時系列データとみな ( ) 65 99して，周期の推定を行う。 ２．周期モデルのシミュレーション 時間 t における時系列データ y の周期についての回帰モデルは，以下のようになる。ただし，単 純化のため周期成 数は１成 にしている。 y＝β＋ β＋β cos ωt−θ＋ε ここで，T ：周期，ω＝2π/T ：角周波数，β：メサー， β＋β ：振幅，θ＝tan β/β ：位相 （β＞0，β＞0のとき），θ/ω：位相時間である。 データ発生モデルと推定モデルは，以下の通りである。 y＝β＋βcos ωt ＋βsin ωt ＋ε シミュレーションは，データ数 30(t＝1，…，30)，β＝0，β＝1，β＝2，ε∼N 0，4 とした。 したがって，メサー：0，振幅： 5，位相：tan 2/1＝0.96となる。周期 T は５と 10の二通り 設定した。不等間隔のデータは，30個のデータから一様に取り除くことで作成した。取り除いたデー タ数は 10個，20個の二通りとした。これは，回帰 析を 20個，10個のデータで行うことになる。 パラメータ数は３なので，β，β のｔ値はそれぞれ自由度 17，７のｔ 布に従う。 シミュレーションは 1000回行った。β−β，β−β のｔ値の 布を，理論値と共に表１に示した。 取り除いたデータ数によらず，これらのｔ値は，理論値に近く，一致性は失われていないといえる。 ３．アドリブフレーズの周期の推定 ジャズのアドリブでは，８ 音符を中心にフレーズが構成されるが，そこには周期が潜むと え られる。ジャズの一般的な楽曲は４ の４拍子だが，４ の３拍子の曲も見受けられる。この場合 は，４拍目がないため，アドリブには４ の４拍子の曲とは異なったノリ・アクセントを置く必要 がある。本稿では，４ の３拍子のジャズ曲を取り上げ，そのアドリブフレーズの音高に潜む周期 表１ 最小二乗法によるｔ値の 布 β β 周期 自由度(除去数) 10％点 ５％点 10％点 ５％点 T ＝5 17(10) 1.66 2.00 1.67 1.99 7(20) 1.80 2.21 1.84 2.23 T ＝10 17(10) 1.53 1.94 1.96 2.44 7(20) 1.89 2.33 1.91 2.35 自由度 ｔ値 17 1.74 2.11 1.74 2.11 7 1.89 2.36 1.89 2.36 注）除去前のデータ数は 30個。
を推定する。曲は Wes Montgomeryの Full Houseを対象とする。
Full Houseは，コード進行のパターンからみると AABA 形式となるが，Ａ部 は 16小節，Ｂ部 は８小節あるので，１コーラス 56小節からなる。テーマのＢ部 のみにバンプ（Vamp）が入る。 アドリブは全部で３コーラス 行われ，表２のような構成からなる。それぞれにアドリブの特徴を 記した。特に，後半の演奏では繰り返しのフレーズが増えてきている。 データを作成するにあたり，８ 音符の表拍，裏拍を最小単位とした。１拍目の表拍を t＝1とし てスタートして，８ 音符で数えた発音タイミングを t とした。そこでの音高が y となる。発音タ イミングの周期を 察するので，２ 音符のようなロングトーンについては，音符の長さは 慮し ない。したがって，４ 音符は８ 音符＋休符と える。その他，３連符は２番目を除いて８ 音 符の表拍と裏拍，３拍４連符は２，４番目の音を除いて，１，３番目の音をそれぞれ１拍目の表拍， ２拍目の裏拍とした。アドリブは８ 音符６個のアウフタクトから始まるが，１拍目から始めた８ 小節毎の推定を行った。実際のフレーズと小節の区切りとは一致しない。フレーズの区切りが明確 であればフレーズ毎の推定が望ましいが，小節で区切っても，ある程度は位相で処理できると え る。データは，シンコーミュージック・エンタテイメント（1997）のコピー譜を参 に，Midi音階 の尺度で音高データを作成した。 係数 β，β，β と周期 T の同時推定は困難なため，周期 T を変化させ，推定モデルからの残差 平方和（SSR）を求めた。ジャズのアドリブなので，音高の最大周期はせいぜい４小節，すなわち ８ 音符 24個 までと えられる。したがって推定では，３周期から 24周期まで変化させて，そ れぞれの残差平方和を求めた。 ３コーラス ８小節毎に，周期 T を３から 24まで変化させたそれぞれの残差平方和を，図１∼図 ６に示した。また，８小節毎のデータ数，および残差平方和が最小となる周期を，表３にまとめた。 以下，Ａ１とはＡの最初の８小節 ，Ａ２とはＡの次の８小節 を意味する。 図１∼図６を見ると，８小節内の周期に応じて残差平方和の谷がいくつかみられ，周期が合成さ れていることを示唆する。その中で最小となる周期が表３である。Ａ２，Ａ３，Ａ４，Ａ６は，コー ラスを跨って同様の周期が選ばれている。１拍半ごとの周期としての，３の倍数の周期もみられる。 また，３，７のような短い周期は，２コーラス目Ａ２以降には表れない。アドリブの後半で繰り返 しのフレーズが増えることに関連している。 １コーラス目，１コーラス目のＡ１を除くと，周期は予想よりも長めである。周期が６で１小節 不等間隔な時系列データの周期の最小二乗推定 表２ アドリブの構成 コーラス Ａ-16小節 Ａ-16小節 Ｂ-８小節 Ａ-16小節 １ 単音のみ 短いオクターブ奏 法と単音 繰り返し多い 単音のみ ２ 短いリフあり 繰り返し多い 繰り返し多い テーマの一部あり ３ 単音＋オクターブ 奏法，繰り返し多 い オクターブ奏法 繰り返し多い オクターブ奏法 繰り返し多い オクターブ奏法 繰り返し多い ( ) 67 101
図１ 周期ごとの残差平方和（１コーラス目前半)
図４ 周期ごとの残差平方和２コーラス目後半) 図３ 周期ごとの残差平方和（２コーラス目前半)
( ) 69 103 不等間隔な時系列データの周期の最小二乗推定
図６ 周期ごとの残差平方和（３コーラス目後半) 図５ 周期ごとの残差平方和（３コーラス目前半)
なので，殆どが小節を超えた周期と推定されている。これは，モデルが滑らかな正弦波（sine wave） のみで構築されているためであり，三角波（triangle wave）や鋸波（saw tooth wave）のような 離散的なフレーズも近似されてしまい，周期が長めに推定されたと える。 ４．おわりに 本稿での周期モデルについては，データに欠損値を含み不等間隔に並んでいても，推定された係 数の一致性は失われないことが，シミュレーションにより確認された。補間などで等間隔なデータ に変換出来ない場合は，推定方法としては最小二乗法が援用できる。 周期を推定する多くのモデルは，正弦波を基本としており，音楽データのような離散的データに は，ウォルシュ変換（駒木（2013））のような離散的な方法が適すると えられる。本稿では，時間 が不等間隔に得られる音楽データを対象にした。しかし，回帰モデルとしては，正弦波のみを推定 するよりも，三角波や鋸波を推定できるモデルの方が望ましいと思われる。フーリエ展開では，三 角波と鋸波は多くの正弦波から合成されるが，回帰モデルにおいて，正弦波を変数として多数並べ ることは，自由度からみて困難と える。 ［参 文献］
［１］Bos,R,S.de Waele,P.M.T.Broersen, Autoregressive Spectral Estimation by Application of the Burg Algorithm to Irregularly Sampled Data , IEEE Transactions Instrument and Measure-ment, Vol.51, No.6, 2002, p.1289-1294.
［２］駒木泰 ウォルシュ変換によるリズムパターンの周期解析と生成 情報処理学会研究報告（音楽情報 科学），2013-MUS-98(1)，2013，p.１-４。
［３］Lomb. N. R., Least-squares frequency analysis of unequally spaced data , Astrophysics and Space Science, Vol.39, 1976, p.447-462.
［４］Scargle, J. D., Studies in astronomical time series analysis. II -Statistical aspects of spectral analysis of unevenly spaced data, Astrophysical Journal, Part 1, Vol.263, 1982, p.835-853. ［５］シンコーミュージック・エンタテイメント スーパーギタリスト ウェス・モンゴメリー ，1997， p.36-42。 表３ データ数および残差平方和が最小となる周期 Ａ１ Ａ２ Ａ３ Ａ４ B Ａ５ Ａ６ １コーラス目 データ数 27 26 32 41 43 39 36 周期 7 14 24 24 16 11 20 ２コーラス目 データ数 29 34 35 36 39 32 30 周期 3 15 24 13 20 19 15 ３コーラス目 データ数 27 27 25 27 27 29 33 周期 19 15 24 24 10 23 21 注）８小節 のデータは 48個である。 ( ) 71 105 不等間隔な時系列データの周期の最小二乗推定
