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第11回 近畿大学理工学部数学コンテスト問題

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Academic year: 2021

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(23) L B A-2 25pt ;37 ABC xyz‰‚ BC, CA, AB |•$•ƒ>†E P, Q, R xš { @Ÿ BP, PC, CQ, QA, AR, RB ƒ‘x|•$• a, b, c, d, e, f šˆ‰ !Œ‚E P †‰ BC ƒ?@x α{E Q †‰ CA ƒ?@x β {E R †‰ AB ƒ?@x 㠚ˆ‰‚ƒš{;D@ α, β, γ ’„ EŠ8‰p ƒIM=Ÿ

(24) a + c + e = b + d + f Š ‰šx ‚ 2. 2. 2. 2. 2. A. γ. e. d β. R. Q f B. c a. b. P α. C. 2.

(25) L B A-3 20pt 1 ƒ‘’ 1 ƒ@837x T Чˆ‚T ƒB3@Š0•p>‘s@ 837x T š}{ ‹FM†}~@837 T ƒB3@Š0•p{T  >‘s@837x T šˆ‰‚@837 T (n = 0, 1, 2, · · · ) ƒ—™ X x S šˆ‰š{ S x5 u‘s‚ 0. 1. 0. n. ∞. n. n+1. n. n. n. n=0. T0. T1.

(26) L B A-4 30pt 19 8ƒ @’ ‰‚F?ƒ?’8†#8 > 5 8 ‹$ š¦~s¨‚ AIƒ @xš =¦pštŠ{š¦p @ƒ9œ’48†u¦p £x>qšˆ‰%!xŽ‚ƒ%!

(27) <I> ‚.

(28) L B A-5 35pt <>ŠD5‘•{<†›xš‰{2 ŠƒOBuF‡xr ‡ f (x) ’. xKpˆ‚ƒš{. f ′′ (x) ≥ f (x). ex − e−x ′ ex + e−x f (0) + f (0) f (x) ≥ 2 2. šu‰šx‚p©} e

(29) ABƒŠ ‰‚. vw†IH’ }pƒŠ>ƒŽ†@}}p‚3%    ƒ:E $@ †

(30) 16 žŠ}p‚IH† s~

(31) $  ?}> ˆ‚ .

(32) L B A-6 30pt 2 ƒN {a }{{b }

(33) ƒ x$pˆšˆ‰‚ (i) G0ƒA n †B}~{a

(34) @ƒ6‚ (ii) G0ƒA n †B}~{b

(35) @ƒ4‚ n. n. n. n. (iii) lim an = lim bn = +∞. n→∞ n→∞   bn (iv) α an. N. (1).

(36) @ƒ< †<Bˆ‰‚. ƒ 2 ƒ 8C: !  p  2 A = lim sin π an + bn , n→∞   p 2 B = lim sin π bn + an . n→∞.  

(37) ? {a }{b } :!:  

(38) ? {a }{b } 9@:   >L !. (2) A = B. n. n. n. n.

(39) L B A-7 40pt m <A?! ?7? m 9 fm (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + am xm. M$!(m − 1) 02G9 g(x)  Z. 1. fm (x)g(x)dx = 0 −1. @N  D! (1) m 6? G4? i (0 < i < m)  a >L ! (2) m 4? G6? i (0 ≤ i < m)  a >L !. i. =0.

(40) . i. =0.

(41) .

(42) LB L B B-1 40pt 8$

(43) ! B. 32 + 42 = 52 ,. (i). 33 + 43 + 53 = 63 .. (ii). 0HE<A? k@? x   xk + (x + 1)k + (x + 2)k + · · · + (x + k − 1)k = (x + k)k. (iii). 9$!(i)  (iii)  k = 2x = 3 >

(44) (ii)  (iii)   k = 3x = 3 >

(45) !  1  1

(46) (iii) $@? x :   ! (2) k + 1 A?

(47) 

(48) k 9$!(iii) $@? x :. k = 2

(49)  ! (1) k.

(50) L B B-2 50pt 0 0>@? 1 =$%! 2KF$H9$!H F$%! K? 1 0> M8?=$%! J ?F$5!@@? n n K%! FHn-H   0 0> n − 1 02@?=$ %! $ $ 1 K

(51) 7 n KF$n-HI n-H ! H A, B @? r H A  B %!  1 K

(52) <  2 K%! =$?O r  

(53) 3N  P (r; A, B) !HA (A, B)  (C, D) @? r   P (r; A, B) = P (r; C, D) @N 

(54) 

(55)  ! 02LE$ !(2a)  (2b)  1 L E ! (1) I 6-H B (B , B )   

(56) 2  6-H. A (C, D)  ! (2a) I 5-H B (B , B )   

(57) 2  5-H  A (B , B ) $

(58)  ! (2b) p A?!I p-H B (B , B )   

(59) 2  p-H A(B , B ) $

(60)  ! 6. 5. 5. 6. 5. 6. 5. 5. p. p. p. p. p.

(61) L B B-3 40pt ?@J n @ 9 AB %64    a · · · a 1n  11   .. . . . ...  ; Mn =  .   an1 · · · ann.   . 3 a  ? ij. @J n 8

(62)  n %64

(63) !n ≥ 2  !  M  $>7KIJ64 V 9$! “V GN9 !@J 0 9 = 59  !” 0HM$$ n >7K%64L8 :F!%640 :F! V %64 dim V =V 6= {O} . D! $ ! (1) G n 1 ≤ dim V ≤ n

(64)   n 4?  G%64 V  dim V = 1 @N ! (2) dim V = 4  

(65) V :! 2. 2. n. n. n. n. n. n. n. n. 4. n. 4.

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