相対論的運動量と
運動方程式
問題（矛盾点）
運動量の保存が成り立たない？
p ! 1 i + !
p i 2 ! !
p 1 f + !
p 2 f " ?
p ! 1 i
p ! i 2
p ! 1 f
p ! 2 f
簡単な説明
p !
1i+ !
p
i2= !
p
1f+ !
p
2f のｙ
成分m
1dy
i1dt
i1+ m
2dy
i2dt
i2= m
1dy
f1dt
f1+ m
2dy
f 2dt
f 2（１）
時空座標にそれぞれの粒子のラベルがついていることに注意
ローレンツ変換
!
t = t " (u / c 2 ) x
1 " # 2
!
x = " ut + x
1 " # 2
!
y = y, z ! = z
簡単な説明
p !
1i+ !
p
i2= !
p
1f+ !
p
2f のｙ
成分m
1dy
i1dt
i1+ m
2dy
i2dt
i2= m
1dy
f1dt
f1+ m
2dy
f 2dt
f 2別の座標系では
m
1d y
1!
id t
1!
i+ m
2d y !
2id t
2!
i= m
1d y
1!
fd t
1!
f+ m
2d y !
2fd t !
2fこのため、Lorentz変換で（１）と（２）は相容れない
特に、時間が粒子、座標系によって変わってしまうことが問題
（１）
（２）
時空座標にそれぞれの粒子のラベルがついていることに注意
相対論的運動量
p ! = m d ! x d ! =
m ! v
1 " #
2!
は固有時間相対論的運動量
p ! = m d ! x d ! =
m ! v
1 " #
2!
は固有時間相対論的運動方程式
F ! = d ! p
dt = d
dt m d ! x d !
"
#$ %
&'
例：一定の力を受けて加速する粒子
力と運動の方向は同じとする
F = d
dt m dx d !
"
#$ %
&' = m d
dt
dx
1 ( )
2dt
"
# $$ %
&
'' = m
1 ( v
2c
2"
#$
%
&'
3/2
dv dt
! = v
c
例：一定の力を受けて加速する粒子
力と運動の方向は同じとする
F = d
dt m dx d !
"
#$ %
&' = m d
dt
dx
1 ( )
2dt
"
# $$ %
&
'' = m
1 ( v
2c
2"
#$
%
&'
3/2
dv dt
! = v c
この式を解くと
v = at
1 + a
2t
2, a = F
m
速度の時間変化
v
t
相対論 Newton
無限大へ
光速度へ 1
0.5
0
エネルギー
K = d !
s ! !
" F = " d s ! ! d dt p ! , p ! = 1 m # v ! $
2運動エネルギー
K =
0
!
v dxF = 0!
v dx dtd 1"mvv2 / c2= 0
!
v vd 1"mvv2 / c2#
$%
&
'(
計算：力と移動の向きを同じに取る
K = mc
21 ! v
2/ c
2! mc
2" E = mc
21 ! v
2/ c
2静止エネルギーとして
E = mc
2四元運動量
( E, !
p) = mc
21 ! "
2,
m ! v
1 ! "
2#
$ %% &
' ((
d ! = dt 1 " #
2 なので( E, !
p ) = m c
2dt d ! ,
d ! x d !
"
#$ %
&' ( c (( = 1 ) m d
d ! (t ,
x ! )
τ とmはローレンツ変換の元で不変なので
( E , !
p) (t , ! x )
は と同じように変換する
四元運動量（四元ベクトル）
ベクトル
（１）成分をもった量（物理量＝観測される量）
（２）座標変換の元で一定の規則に従って移り変わる量
( E, !
p )
のように、ローレンツ（座標）変換の元で(t , !
x )
と同じように変換する量を、四元ベクトルというスカラー
座標変換の元で変換しない、一定（固有）の量
一般にはテンソル
