The models of recurrent events under the window censoring and their parameter estimation

窓打切りされた再発事象のモデルとパラメータの推定方法

The models of recurrent events under the window censoring and their parameter estimation

経営システム工学専攻 阿部興

Industrial and Systems Engineering Ko ABE

1

本研究はヒートシールの強度の分析から始まった

.

.

,

,

.

,

,

,

.

,

.

,

.

,

.

生存時間分析や信頼性工学などの分野では

,

,

,

. Laslett (1982)

,

.

,

.

,

,

,

.

,

.

,

,

,

window-censored

(Zhao, 2006, Zhu et al., 2014, Rootz´ en & Zholud, 2016).

Vardi (1982)

,

メトリック最尤推定量を導いた

.

, Zhao (2006)

.

,

,

,

.

このように再生過程の研究はなされているが

,

,

2

.

,

,

2

. Rootz´ en

& Zholud (2016)

1,

0

応させてモデル化し

,

0

.

2

交代再生過程

(alternating renewal process)

2

(

0

1

)

.

互いに相異なる正の連続型の確率分布関数

, F 1 (x), F 0 (y)

.

n

X 1 , . . . , X n , Y 1 , . . . , Y n

F 1 (x), F 0 (y)

. F 1 (x), F 0 (y)

µ 1 , µ 0

.

プロセスは状態

1

,

1

X 1

,

0

Y 1

.

(X 2 , Y 2 ), (X 3 , Y 3 ), . . . , (X n , Y n )

.

1

0

.

. Z i = X i + Y i

.

S k = ∑ k

i=1 Z i

,

N (t) = max { k | S k < t }

.

V (t) = I { S _{N (t) − 1} +X _{N (t)} > t }

.

I {·}

,

1,

0

.

交代再生では状態

1

ρ

, ρ = lim

t →∞ Pr { V (t) = 1 } = µ ₁ /(µ ₀ + µ ₁ ). (2.1)

また交代再生過程において

,

S _1,n =

n ∑ − 1

i=1

(X _i + Y _i ) + X _n , S _0,n =

∑ n

i=1

(X _i + Y _i )

と置く

. Z ₁ (t)

,

t

1

(

)

.

Z 1 (t) = S 1,N(t)+1 − t. (2.2)

このとき

,

(Beichelt & Paul, 2002).

G ₁ (x) = lim

t →∞ Pr(Z ₁ (t) > x | V (t) = 1) =

∫ _∞

x { 1 − F 1 (u) }

E[X n ] du. (2.3)

過程が

t

0

, Z 0 (t)

t

0

,

.

G 0 (y) = lim

t →∞ Pr(Z 0 (t) > y | V (t) = 0) =

∫ _∞

y { 1 − F 0 (u) } du

E[Y n ] . (2.4)

G 1 (x), G 0 (y)

.

g 1 (x), g 0 (y)

.

3

窓打切り状況下での再発事象のパラメータ推定には

,

. Laslett

(1982), Vardi (1982), Zhao (2006)

,

,

た場合

,

,

,

4

.

4

,

.

4

V (t)

0

1

.

[0, w]

.

1

,

1

. τ i (i = 1, . . . , m)

0

1

.

0

F 0 (τ)

,

1

,

F 1 (τ)

.

, f 0 (τ), f 1 (τ)

.

0

1

. d i

, τ i

0,

1

. a i

, τ i

0,

1

. s i

.

, n

, n ₁

1

.

2

,

(2016)

, 2

.

L(θ) =ρ ⁿ

(1 − ρ) ^{n − n}

×

∏ m

i=1

( [ { f 1 (τ i ) } ^d

{ 1 − F 1 (τ i ) } ^{1 − d}

] a

[

{ g 1 (τ i ) } ^d

{ G 1 (τ i ) } ^{1 − d}

] 1 − a

) s

× ( [ { f 0 (τ i ) } ^d

{ 1 − F 0 (τ i ) } ^{1 − d}

] a

[

{ g 0 (τ i ) } ^d

{ G 0 (τ i ) } ^{1 − d}

] 1 − a

) 1 − s

. (4.1)

θ

F 0 (τ)

F 1 (τ)

.

.

,

,

.

5

Rootz´ en (2016)

, (4.1)

,

1

,

,

L(θ 0 | n 1 ) =

∏ m

i=1

( [ { f 0 (τ i ) } ^d

{ 1 − F 0 (τ i ) } ^{1 − d}

] a

[

{ g 0 (τ i ) } ^d

{ G 0 (τ i ) } ^{1 − d}

] 1 − a

) 1 − s

(5.1)

を用いた

.

θ 0

, f 0 (τ)

.

n 1

(4.1)

ρ ⁿ

(1 − ρ) ^{n − n}

.

,

(5.1)

Rootz´ en & Zholud

.

状態

0

1

,

2016

Rootz´ en & Zholud

,

1 + µ 1 µ 0 / { w(µ 0 + µ 1 ) + µ 1 µ 0 } > 1 (5.2)

となる

(

, 2017).

,

1

.

状態

0

,

(2017)

,

,

F ₀ (τ)

,

(2016)

. Rootz´ en & Zholud

1

.

1

(2017)

.

0,

1

,

exp(β 00 + β 01 x), exp(β 10 + β 11 x)

,

鎌倉

(2016)

.

x

ヒートシール接着時の温度である

.

,

.

6

本研究では窓打切りされた確率過程について考察を行った

.

.

,

,

.

,

2

,

,

.

Rootz´ en & Zholud (2016)

,

,

.

.

,

.

,

MTBF, MTTR

.

参考文献

[1]

(2016).

.

. 29, 133-146.

[2]

(2017).

.

(in printing).

[3] Beichelt, F. E. & Paul Fattil, L. (2002). Stochastic Processes and Their Applications. Taylar

& Francis.

[4] Laslett, G. M. (1982). The survival curve under monotone density constraints with application to two-dimensional line segment processes. Biometrika., 69 153-160.

[5] Rootz´ en H. & Zholud, D. (2016). Tail Estimation for Window-Censored Processes. Techno- metrics., 58:1, 95-103.

[6] Zhao (2013). Parametric inference from window censored renewal process data., Ohio Uni- versity.

[7] Zhu, Y., Yashchin E. & Hosking, J. R. M. (2014) Parametric estimation for window censored

recurrence data. Technometrics., 56:1, 55-66.