非線形分散波理論に基づいた津波遡上解析手法の構築研究

(1)

修士論文要旨（

2008

年度）

安定化有限要素法による

非線形分散波理論に基づいた津波遡上解析手法の構築研究

Development of a Tsunami Runup Numerical Method

based on Nonlinear Dispersive Wave Theory by Stabilized Finite Element Method

土木工学専攻

32

号利根川大介

Daisuke TONEGAWA

1. はじめに

地震に伴い発生する津波により沿岸域では甚大な被害を受けることが予測される．現在世界各国でさまざまな津波被害が報告され，防災対策の検討が広く行われている．防災対策を行う上で津波到達時間や最大遡上域の予測，建物に働く力を正確に把握することが求められ，近年ではコンピュータ性能の飛躍的進歩により数値解析による検討が盛んに行われている．

津波の数値解析手法としては，差分法による解析が広く行われてきたが，津波の数値解析対象は複雑な自然地形や建物群を考慮するため，遡上域・建物に働く波力を正確に把握するためには，任意形状への適合性に優れ，

波力を正確に把握可能な有限要素法が有効な手法であると考えられる．また既往の研究において建物群を考慮した解析手法¹⁾が提案されているが，津波に対する建物の抵抗をモデル化して土地利用毎に粗度を設定する方法であり，建物周辺の流れを正確に把握するには建物の形状を正確に考慮した解析を行う必要があると考えられる．

そこで本研究は，数値解析により波の遡上，建物に働く波力を正確に評価可能な数値解析手法の構築を行うことを目的とする．支配方程式には波の非線形性と分散性を考慮した非線形分散波方程式（

Boussinesq

方程式）を用い，離散化手法に

SUPG

法に基づく安定化有限要素法²⁾ を適用する．遡上域における移動境界手法としては固定メッシュに基づく

Euler

的手法³⁾を用いる．数値解析例として，孤立波遡上解析，建物を有する津波遡上問題，建物群を有する津波遡上問題を取り上げ，本手法の有効性の検討を行う．

2. 数値解析手法 2.1

支配方程式

支配方程式には，以下に示す非線形性と分散性を考慮した非線形分散波方程式（

Boussinesq

方程式）を用いる．

∂U

∂t + A

i

∂U

∂x

i

− ∂

∂x

i

µ N

ij

∂U

∂x

j

¶

= ∂

²

∂t∂x

i

(K) + R − GU (1)

ここで各ベクトルとマトリックスは以下のようである．

U =

"

H u

1

H u

2

H

# , K =



 0

h² 3

∂u_iH

∂x₁ h²

3

∂u_iH

∂x₂



 , R =



 −c

²

⁰

_∂x^∂z

−c

²_∂x^∂z1 2



 ,

A

1

=

"

0 1 0

c

²

− u

²1

2u

1

0 −u

1

u

2

u

2

u

1

# , A

2

=

"

0 0 1

−u

1

u

2

u

2

u

1

c

²

− u

²2

0 2u

2

# ,

N

11

= ν

e

"

0 0 0

−2u

1

2 0

−u

2

0 1

#

,N

12

= ν

e

"

0 0 0

−u

1

1 0

#

，

N

21

= ν

e

"

0 0 0

−u

2

0 1

0 0 0

#

, N

22

= ν

e

"

0 0 0

−u

1

1 0

−2u

2

0 2

# ,

G =



 

0 0 0

0

^C^f

√

u²₁+u²₂

H

0 0 0

^C^f

√

u²₁+u²₂ H



  , C

f

= gn

²

H

^1/3

ここで

u

iは

x

，

y

方向の断面平均流速，

H

は全水深，

h

は静水深，

ν

eは渦動粘性係数，

n

はマニングの粗度係数，

c

は波速，

g

は重力加速度，

z

は基準面からの高さである．また，

U

，

K

，

R

，

A

i，

N

ij，

G

はそれぞれ未知，

分散，勾配ベクトル，移流，拡散，摩擦マトリックスである．

2.2

安定化有限要素法

支配方程式

(1)

に対して，空間方向の離散化として

SUPG

法に基づく安定化有限要素法²⁾を適用する．これにより以下に示すような重み付き残差式が得られる．

Z

Ω

U

^∗

· ³ ∂U

∂t + A

i

∂U

∂x

i

+ GU − R

´ dΩ +

Z

Ω

µ ∂U

^∗

∂x

i

¶

· µ

N

ij

∂U

∂x

j

+ ∂

∂t (K)

¶ dΩ +

nel

X

e=1

Z

Ωe

τ(A

j

)

^T

³ ∂U

^∗

∂x

j

´

· ³ ∂U

∂t + A

i

∂U

∂x

i

+ GU − R

´ dΩ +

nel

X

e=1

Z

Ωe

δ ³ ∂U

^∗

∂x

_i

´

· ³ ∂U

∂x

_i

´

dΩ = 0 (2)

(2)

式

(2)

において左辺

1

，

2

項目は

Galerkin

項であり，

3

，

4

項目の要素ごとの積分の総和項はそれぞれ

SUPG

法による安定化項，水位の不連続面での数値不安定性を回避する

shock-capturing

項である．拡散項と分散項に対しては部分積分を行っている．また

τ

，

δ

は安定化パラメータであり以下のようである．

τ = ³ 1

(τ

_{SU GN1}

)

²

+ 1 (τ

_{SU GN2}

)

²

´

₋¹

2

τ

SU GN1

=

³ X

ⁿ^en

a=1

(c | j · ∇N

a

| + | u · ∇N

a

|)

´

₋₁

τ

SU GN2

= ∆t

2 , j = ∇H k ∇H k

δ = τ

SHOC

(||u

int

||)

²

τ

SHOC

= ³ X

ⁿ^en

α=1

¯ ¯

¯u·∇N

α

¯ ¯

¯

´

₋₁

||u

int

|| = ||u||

ここで

∆t

は微小時間増分量，

N

aは形状関数である．

また要素としては三角形一次要素を用いて補間を行い，時間方向の離散化には

2

次精度を有する

Crank- Nicolson

法を適用する．以上より得られた連立一次方程式の解法には

Element-By-Element

に基づく

Bi- CGSTAB

法用いた．

2.3

移動境界手法

遡上域における移動境界手法として，固定メッシュに基づく

Euler

的手法³⁾を用いる．

Euler

的手法とは，あらかじめ対象領域を有限要素分割しておき，各時間ステップにおいて，要素が陸域の要素なら計算領域外，水域の要素なら計算領域内という処理を行うことにより，

境界の移動を

Euler

的に表現していくものである．時間ステップ

n

において，各要素における３節点の全水深

H

ⁿと設定した微小水深

ε

とを比較し，陸水判定を行い，

水際境界線の移動を表現する．

2.4

流体力評価法⁴⁾

本研究では支配方程式

(1)

に有限要素法を適用し，時間ステップごとに計算された流速と水深を用いて，流体力を式

(3)

の右辺の境界積分項

T

より求める．

構造物周り一層分のメッシュにより構成される領域

Ω

⁰では，

Z

Ω⁰

U

^∗

· ³ ∂U

∂t + A ¯

i

∂U

∂x

i

+ GU − R ´ dΩ +

Z

Ω⁰

µ ∂U

^∗

∂x

i

¶

· µ

−L

i

U + N

ij

∂U

∂x

j

+ ∂

∂t (K)

¶ dΩ

= Z

Γin

U

^∗

TdΓ (3)

が成り立つ．よって式

(3)

を鉛直方向に積分し，計算された流速と水深を代入することにより構造物に働く流体力が求められる．

2.5

建物倒壊方法

本研究では，建物の倒壊を考慮した解析を行うため，

建物倒壊方法を導入する．まず構造物内部にも有限要素分割を行い，構造物の境界に境界条件を与える．そして毎ステップ各構造物に働く流体力を計算し，ある構造物が定めた造り別の構造物の倒壊にいたる流体力の指標

（コンクリート造，木造など）を超えたとき，その構造物は倒壊と判定し，構造物周りの境界条件を

Free

として解析を行っていく．

2.6

砕波モデル

非線形分散波方程式は直接砕波による運動量散逸を考慮することが困難な方程式である．そこで砕波の表現には，岩瀬ら⁵⁾にならい，拡散項の渦動粘性係数により運動量散逸を表現し，砕波判定には流速波速比を用いる．

流速波速比が

0.59

を超えたときに砕波と判定し，渦動粘性係数を以下の式

(4)

により空間分布として与え，砕波による波高減衰を表現する．

ν

e

= β p

gHζ (4)

ここで

β

は係数であり，岩瀬らにならい，水理実験と数値計算の比較により決められた係数

β=0.23

とする．

3. 数値解析例 1

3.1

孤立波遡上問題

津波の砕波，遡上問題に対しての本手法の有効性の検討を行うため，

Synolakis

による水理実験モデル⁶⁾^,⁷⁾を取り上げる．解析モデルを図

-1

に示す．

L

は孤立波の半波長であり，波高水深比は

0.3

である．水理実験を考慮し，マニングの粗度係数

n = 0.01[s/m

¹³

]

とした．

x,y

方向分割幅

0.005[m]

，微小時間増分量

∆t=0.005[sec]

とした．

3.2

解析結果

図

-2

において，波高水深比

0.3

での無次元化した各時刻

(t

⁰

= t(

_h^g

)

¹²

= 10

，

15

，

20

，

25

，

30

，

35

，

40

，

60)

における波形の実験結果と計算結果との比較を示す．図

-2

より，

(t

⁰

= 20)

の砕波領域において，実験値に比べ過小評価しているものの，波の伝播，遡上を精度良く表現できていることがわかる．また図

-3

は孤立波の入射波高に対する遡上高を計算し，

Synolakis

が提案した算定式と比較したものである．図

-3

より非砕波領域，砕波領域ともに近い値を示しおり，傾向を得られていることがわかる．

(3)

z x 1:19.85 h

ζ

t=0

L

図

– 1 Synolakis

による水理実験モデル

-20 -10 0 10

0 0.2 0.4 0.6

Ä/h

Cal.

Exp.

t'=10

-20 -10 0 10

0 0.2 0.4 0.6 t'=15

-20 -10 0 10

0 0.2 0.4 0.6 t'=20

-20 -10 0 10

0 0.2 0.4 0.6 t'=25

x/h

-20 -10 0 10

0 0.2 0.4 0.6 t'=30

-20 -10 0 10

0 0.2 0.4 0.6 t'=35

-20 -10 0 10

0 0.2 0.4 0.6 t'=40

-20 -10 0 10

0 0.2 0.4 0.6 t'=60

x/h

図

– 2

各無次元時刻における計算結果と実験値の比較

10^-3 10^-2 10^-1 10⁰

10^-2 10^-1 10⁰

Ä/h₀

R m ax/ h

0

Cal.

non-breaking breaking

図

– 3

孤立波の最大遡上高の計算結果と算定式の比較

4. 数値解析例 2

4.1

建物を有する津波遡上問題

本手法の津波の遡上，波力への有効性の検討を行うため建物を有する津波遡上問題⁸⁾を取り上げる．図

-4

に，

解析モデルを示す．幅

7[m]

，長さ

11[m]

の平面水槽であり，波の浅水変形から遡上までを再現する．入射波は実験での造波板の移動速度の時刻歴を

x

方向の線流量として入力する．建物模型は護岸から

0.2[m]

の位置にあり，縦×横は

0.1

×

0.1[m]

の角柱である．水理実験を考慮し，マニングの粗度係数

n = 0.01[s/m

¹³

]

とした．

有限要素分割は非構造格子（総要素数

44991

，総節点数

89313

）を用い，微小時間増分量は

0.005[sec]

とした．

4.2

解析結果

図

-5

において，各地点

(P1: x=-3.8[m]

，

P2: x=-

2.3[m])

における水位変動量の時刻歴の実験結果と計算

結果の比較を示す．図

-5

より，

P1

での波が伝播している段階において計算結果は実験値と良い一致を示しており，

P2

において非線形の影響により波高が増幅し，浅水変形している様子も計算結果は実験値と良い一致を示していることがわかる．また図

-6

に示す建物に働く波力の時刻歴の実験値と計算結果の比較より，波の衝突が実験値に比べ若干遅れているが，波力は実験値に対して良い一致を示していることがわかる．

Shallow water

Sea Land

Wavemakerpaddle

Incident wave

3.83 1.75 1.81 3.7

5.85 6.95

0.62 0.6 0.57

~ ~

P1 P2

0.2

Unit:m x

y o

図

– 4

水理実験モデル

0 10 20

0 0.02 0.04

P1

time [ s ]

waterelevation[m] ^Cal._Exp.

0 10 20

0 0.02 0.04

P2

time [ s ]

waterelevation[m]

図

– 5

各地点

(P1,P2)

における水位変動量の時刻歴

8 9 10 11 12 13

0 1 2

time [ s ]

force[N]

Cal.

Exp.

図

– 6

建物に働く波力の時刻歴

(4)

5. 数値解析例 3

5.1

複数建物を有する津波遡上問題

本手法の実問題への適用の基礎的段階として，建物群を有する津波遡上問題を取り上げる．図

-7

に解析モデルを示す．陸上部に

7

棟の建物を配置したモデルであり，沖合いに水位差

1.5[m]

の段波を発生させる．有限要素分割は，非構造格子（総要素数

19232

，総節点数

9861

図

-7

）を用い，微小時間増分量は

0.01[sec]

とした．また本研究では建物の倒壊を考慮するため，建物をコンクリート造，木造にわけ

,

それぞれの建物が倒壊する抗力値を，表

-1

に示す松冨らの指標⁹⁾を用いて解析を行う．

表

– 1

家屋の造り別の倒壊に至る抗力家屋の種類抗力

[KN/m]

コンクリート造

165.6

木造

10.4

図

– 7

左：解析モデル，右：建物周辺の有限要素分割図

図

– 8

波の遡上，衝突，構造物倒壊

5.2

解析結果

図

-8

において，津波が押し寄せ，構造物が倒壊していく様子を示す．図

-8

より発生した津波により，津波が陸上へ遡上し，建物に衝突していることがわかる．そしてコンクリート造は倒壊に至っていないが，木造は波力が設定した限界値を超え，倒壊していることがわかる．これにより，本手法は建物の倒壊を考慮した解析を行えていることがわかる．

6. おわりに

本研究では，支配方程式に非線形分散波方程式を用い，波の遡上，建物に働く波力を正確に評価可能な数値解析手法の構築を行った．数値解析例として孤立波遡上問題，建物を有する津波遡上問題，複数建物を有する津波遡上問題を取り上げ，本手法の有効性の検討を行った結果，以下の結論を得た．

•

本手法は波の変形及び遡上高を精度良く表現可能であり，計算結果は実験値と良い一致を示しており，本手法の妥当性が確認された．

•

波力においては，計算結果は実験値に対して定量的に良い一致を示し，本手法の妥当性が確認された．

•

本手法は建物の倒壊を考慮した解析を行えることができ，本手法の有効性が確認された．

今後の課題として，構造物の倒壊を考慮した実問題への本手法の適用などが挙げられる．

参考文献

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