龍谷大学理工学部数理情報学科

計算科学

テストプチ

龍谷大学理工学部数理情報学科

年

月

日樋口さぶろお

すべて過程も記そう

1

以下で指定される乱数を返す関数を

言語で書こう. なお, [0,

一様乱数を返す関数

は与えられたものとして使ってよい. 乱数の

のことは気にしなくてよい.

1.

確率密度関数

p(x) = ( 1

4√

x (1≤x <9)

0 (それ以外) (1)

連続な値をとる確率変数

がある. この確率密度関数にしたがう乱数を返す関数

なぜその関数でよいのかが明らかになるような, 数学的 な計算過程も書こう.

2.

離散的な値

のみを, 確率

p(x) =















1/3 (x= 1) 1/3 (x= 2) 1/3 (x= 3)

0 (それ以外)

(2)

にしたがってとる確率変数

がある. この確率にしたがう乱数を返す関数

この問は過程の記述不要.

2

連続な値をとる確率変数

が, 確率密度関数

p(x) =









+¹₄x+ ¹₂ (−2≤x <0)

−¹₄x+¹₂ (0≤x <2)

0 (それ以外)

(3)

にしたがうとする.

1. X

の分散

を求めよう.

2. −1≤x <+1

である確率を求めよう.

1http://sparrow.math.ryukoku.ac.jp/~hig/compsci/

2mailto:[email protected], http://www.math.ryukoku.ac.jp/~hig/, へや1-508,でんわ077-543-7501

1

3

量

に対する漸化式

3P(x+ 1, t) + 2

3P(x, t) (4)

を, 初期条件

P(x,0) = δ_x,0 =

(1 (x= 0)

0 (x6= 0) (5)

のもとで考える. ただし,

は整数,

は実数の値をとる.

1.

生成関数

を

Z(s, t) = X+∞

x=−∞

s^xP(x, t) (6)

で定義する. 式

を,

についての式に書き直そう

は 含んでもいいけど,

は含まない式に書き直そう).

2.

上で得た式と

を用いて,

Z(s, t) = µ 1

3s +2 3

¶_t

(7)

であることを示そう.

3. (7)

を利用して, 量

x=−∞

x·P(x, t) (8)

を

の関数として求めよう.

2

計算科学

テストプチ略解

龍谷大学理工学部数理情報学科

年

月

日樋口さぶろお

1

累積分布関数

は, 1

のとき,

Z _x

−∞

p(x⁰)dx⁰ = 1 2

³√ x−√

1

´ . y = F(x)

の逆関数

を求めると,

プログラム例

¶ ³

double random1(void){

double x;

double y=get_unform_random();

x=2.0*y+1.0;

x=x*x;

return x;

}

µ ´

プログラム例

¶ ³

int random2(void){

double r=get_unform_random();

if( r < 1.0/3.0 ){

return 1;

} else if ( r < 2.0/3.0 ){

return 2;

} else { return 3;

} }

µ ´

2

1. p(x), x²·p(x)

は偶関数,

は奇関数なので,

Z _+∞

−∞

x·p(x)dx= 0.

V(X) =E(X²)−E(X)² = Z _+∞

−∞

x²·p(x)dx−0² = 2 Z ₂

0

x²(−¹₄x+¹₂)dx= ²₃.

2.

確率

−1p(x)dx= 2R₁

0(−¹₄x+¹₂)dx= ³₄

3

1. Z(s, t+ 1) = _3s¹Z(s, t) + ²₃Z(s, t) =¡₁

3s+ ²₃¢

Z(s, t) 2. Z(s,0) =P_+∞

x=−∞s^xP(x,0) = 1

より,

は

に関して, 初項

公比

の 等比級数. よって示せる.

3. Z _+∞

−∞

x·P(x, t)dx= ∂

∂αZ(e^α, t)

¯¯

¯¯

α=0

=−t

3. (9)

3http://sparrow.math.ryukoku.ac.jp/~hig/compsci/

4mailto:[email protected], http://www.math.ryukoku.ac.jp/~hig/, へや1-508,でんわ077-543-7501

3