氏 名 中村
ナ カ ム ラ ショウヘイ昌平
所 属 理工学研究科 数理情報科学専攻 学 位 の 種 類 博士（理学）
学 位 記 番 号 理工博 第
282号 学位授与の日付 平成
31年
3月
25日 課程・論文の別 学位規則第４条第１項該当
学 位 論 文 題 名
Function spaces and its applications to problems on Harmonic analysis種々の関数空間と調和解析の諸問題への応用（英文）
論 文 審 査 委 員 主査 准教授 澤野 嘉宏 委員 教 授 倉田 和浩 委員 教 授 吉冨 和志
委員 准教授
Neal Bez（埼玉大学）
【論文の内容の要旨】
本学位論文は、著者が、首都大学東京大学院後期課程在学中に従事した研究の成果を まとめたものである。以下、詳細を述べる。著者は、解析学の一分野である、調和解析と 呼ばれる領域において研究を行っており、従って、まず初めに調和解析とは、どのような 研究対象を扱うのかを、まず述べ、その後に、著者の研究の立ち位置および成果について の概要を述べることが、適切であると思われる。
まず、調和解析において、扱われる基本的な対象は、大雑把に言うと、振動をする数 学的な対象一般であり、目標は、いかにしてその振動を捉えるか、であると言える。特に、
振動する対象の典型例として、フーリエ変換があるが、それのみならず、フーリエ変換に 関連する数多くの対象を扱い、その中には、シュレディンガープロパゲーターと言った、
偏微分方程式、物理学に直接的に関わる対象も含まれる。また、近年のデカップリング理
論の発展による、数論との密接な関連も、無視できない。このような、振動を捉えるとい
う目標の下、必要に応じて、関数空間の理論も発展してきた。例えば、フーリエ変換を捉
えるには、
L^2空間と呼ばれる関数空間を用いることが自然である、というのはプランシ
ュレルの定理が教えてくれる事実であるが、これは、フーリエ変換を捉えるために、
L^2空間と呼ばれる関数空間の理論が発展、あるいは役に立った、と考えることもできる。し
かし、考察の対象が、フーリエ変換自身よりも複雑になると、対応する関数空間もより複
雑に（あるいは単純に）なり、従って、様々な関数空間の理論の発展も重要なトピックに
なってくる。このような状況を背景にして、現在の調和解析の研究分野の中でも、大きく
２つの潮流があり、一つ目は、フーリエ変換に関連する作用素を、主に
L^p空間上で扱う
という、最初に述べた流れであり、二つ目は、関数空間自身の理論の発展というものであ る。すでに述べたように、この２つの流れは、互いに密接に関わっているが、他方で、そ れぞれが独立した分野として、多かれ少なかれ、距離があるのもまた、事実である。本研 究における、著者の結果の立ち位置、あるいは特色は、この二つの流れに橋をかけるとい うものである。以下で具体的に述べるが、本学位論文における研究結果そのものは、フー リエ変換に関連する作用素の話題で、一つ目の流れを汲むものであるが、その証明など、
詳細を見れば、二つ目の話題である、関数空間の理論の発展および、それを巧みに駆使す る技術が必要であることに気づくはずである。
以上を踏まえ、より詳細な研究結果を以下に述べる。本学位論文は、序文を除いて、
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部構成になっており、第１部では、多重線型フーリエ掛け算作用素のハーディー空間上の 振る舞いに関する研究成果で、第２部は、正規直交系に対するストリッカーツ評価と偏微 分方程式への応用に関する研究成果である。第
1部では、タイトルにあるように、
L^p空 間ではなく、ハーディー空間を用いた研究であり、関数空間の理論という立ち位置がより 明確になっている。主定理は、すでに知られていた、多重線型フーリエ掛け算作用素の
L^p空間上の有界性を、ハーディー空間を用いることによって、改良し、さらに、その改良が いつ可能で、いつ可能でないかを、マルチプライヤーのみに関する条件で与えることに成 功した。また、その応用として、
R.R.Coifman氏に提案された、２重線型フーリエ掛け算 作用素の弱収束に関する問題に、部分的な回答を与えた。第２部では、ストリッカーツ評 価と呼ばれる、シュレディンガープロパゲーターに対する、時間空間評価を、正規直交系 の枠組みで研究した。この正規直交系に対するストリッカーツ評価は、
2014年頃から、
Frank-Lewin-Lieb-Seiringer
