非圧縮性粘性流れと弾性シェルの相互作用に関する数値シミュレーション

【論　 　文

1

UDC ：624

．

074

．

4 ：62

−

465 日本建築 学 会 構 造 系論 文 報告 集 第 393 号

・

昭 和 63 年 11 月

非

圧

_{縮性 粘性流}

れ

と

弾性

シ

ェ

ル

の

相

互

作用

に

　　　　　　

関 す

る

数

値

シ ミ

ュ

レ

ー

シ

ョ

ン

正 会 員 正 会 員 正 会 員 宰 料 ホ 　 ホ 　 ホ

雄

好

夫

敏

宣

典

村

坂

藤

西

登

近

　

1

．

序 　構 造 物 周 辺の流れに関す る研究の多く は

，

風洞実験に よっ て行わ れ， 流れ の様 子と 圧力 分 布 等が解 明さ れて き た。 し か し最近で は， 電 子 計 算 機の発 達 と精 度の良い数 値計算 手法の開 発に よっ て流体の方程式系の近似計算が 行わ れ る ように な り， 流体の運 動 を十 分に シミュ レ

ー

_ト す ること が可能と なっ てい る1｝

_。

　 粘性流れ の数値シ ミュ レ

ー

ショ ン は_， 差 分 法に よっ て 始め ら れ た

。

こ の方 法は

，

規則的な格 子におい て効 率の 良い計 算を す ること がで き

，

任意境 界を有す る領 域へ の 適 用 性は困 難であっ た

。

しか し最 近

，

物 理 領 域と計算領 域の_間の座標変換を微 分 方 程 式の数 値 解 を用い て行 う手 法1，_{が提 案さ れ} 、 差 分法は数値 計算 手法と して の汎用性 を飛 躍 的に発 展さ せ た。 こ れ に よ り

，

多く の流れ問 題が シ ミュ レ

ー

トさ れ

，

現象の解 明が着実に進め ら れて い る。

　

これに対 し， 有 限 要 素 法はその よ うな座標 変換をする ことなく任意境界を有す る問 題へ _{適 用 す}ることがで き

，

し か も要 素 分 割の_{疎 密}が自由に選定で き る とい う利 点が あるの で， 流れ問 題へ の適 用 性が高まっ て い る 3

−

Sl 。 　粘 性 流 体の流れの性 状と圧 力分布 を 把 握する に は_， ナ ビエ

・

ス ト

ー

クス _{方程 式}を解く必 要が あ り

，

上述し た差 分 法 と有 限 要 素 法に よる近 似 解 法が主 と して行わ れて い る_。 こ の_{時，計 算機}の_演算速度が速く なっ た ことに加え_， 記憶 容量 が増大し たこと か ら， 解析領域を十 分に細か な 要素に分割する こと が出来るよ うになっ て い る。 この結 果， 数 値 解 析において流れの現 象の解 像 度 が

一

_{段 と 高 ま} り

，

実 験 との比 較に おい ても十 分に良い 精 度で解 が 得ら れ て い る

。

　

一

方， 風圧 力 を受け る構 造 物は， その強 度

，

形 状およ び 大き さ等に依 存 して渦 励 振， フラッタ

ー

_{等の複 雑な振} 動性状を示すこ と が知られ てい る

。

振 動し て い る構 造 物 ま わ りの流れの_様子は，その振 幅 と振 動 周 期に依 存 して， 構 造物の静 止 時にお け る流れとは異な っ た もの と なる。 溝田 らt7

・

13］ は実 験 的 研 究に よ り

，

こ れ らの事 柄を詳 細に 本論 文は

，

参 考 文 献23）

，

24） を 基に _{し て}再 構 成し たもの で ある

。

　 ＊ 日本 大 学 　教 授

・

工博 　 II _{日本 大 学 　 教 授}

・

_工博 　寧＃ _日 本大学　助 手

・

工博 　 　 （昭 和63年2月18日原 稿受理｝ 調べ _てい る。 しか し数値解析を利用し ての解析 例は少 な く

，

坪 井ら19｝

_，

_{平 野ら}7

・

2°

・

Zl］

_，

_{お よ び著 者ら}22

『

26）_{に よる} ものが示されて い る にす ぎな い

。

　坪 井ら は， 弾 性 支 持さ れ た円柱の渦励 振 現象に関す る 解析を差分法に よ り行い

，

円柱の_{振 動特性}と流れの_性状 を示 してい る

。

平 野 ら は， 円柱 と角柱のモデル に対し て 同様の_{解 析}を

，

音速手法 を 用い た有限要 素法によつ て 行っ て い る。 上記二 つ の解析で は， 構 造 物 を

一

_{質点 系と} して扱か っ て い る

。

また文 献 （22 ）で は

，

音 速 法と シェ ル の運 動 方程式を 用い て連成解析を行っ て い る

。

音 速 法 は圧 力表現による連 続 方 程 式 を採 用 し

，

微 小 な 圧縮 性 を 考 慮したもの である

。

音 速 法 を適 用 すれ ば_， 流 体の方程 式系を陽的解法に よっ て計 算を進める こ とが で きる の で， 運 立 方 程 式 を解くこと な く流れの現象をシ ミュ レ

ー

トで き る とい う利点が あ る

。

この連 成解析に おい て

，

シェ ル に加 わる粘 性 力は接 触 面 上での流 体 粒 子 とシェ ル の速 度の連続条 件を適用し て

，

シェ ル の速度に よ る表現に変 換す る手法 を採 用して い る。 し た がっ て

，

その粘 性 力は 減 衰 力に対 応し たもの と して シェ ル の方 程 式の中へ 導 入 さ れてい る

。

これ はい わ ゆ る付 加 減 衰であ る

。

こ れに よっ て シェ ル へ _{作 用 す}る_{外 力}は_{圧 力}だ_{け を 考 慮} し_{て い} る

。

　こ れ に_対して_本論文では_{， 流体 解析}に_音速法 を適用せ ず， 非圧縮性 粘性流れ の仮定を採用す る。 これによ り流 体解析に関し て陽的解法を適用する事は不 可 能で あり

，

準 陰 的 解 法 または陰 的 解 法 を適 用 する事にな る

。

しか し 陽 的 解 法に比べ _{て時 間 増 分 を大き く採る事 ができ}

_，

_しか も数 値 計 算 上の安 定 性 を改 善する事が で き る

。

流 体 力は 圧 力と粘性力の和で表され る が， 文 献 （

22

）で示し た よ うに粘 性 力 を減 衰 力に対 応さ せ る とい う方 法は採らず

，

流体力を直接 外 力と して作用 さ せ る

。

この よ う な方 法に よ り， 流れの中に存在す る構造物と し て弾性シェ ル を対 象に し

，

非 定常流体力 を受けて生じ る シェ ル の振 動性 状 を数 値シ ミュ レ

ー

ショ ンによ り把 握す る た めに必要な方 法 論 を提 示す る

。

さ らに解 析 結 果 を通し て本手 法の有 効 性 を示す。 　 本 論 文で の解析 手 法は

，

時 間の経 過と ともに変化 し て いる流れの_{性 状}と流 体 力を考 慮す る とい _{う連成 解析}の立

一

₁₂₈

　

一

Architectural Institute of Japan

NII-Electronic Library Service Arohiteotural エnstitute 　of 　Japan

場である

。

構造 物に は連続 体モ デルを適用 する ので

，

構 造 物 全 体の_弾性 挙 動 を正確に計算す る事が で き る。 計算 には

，

シェ ル の運 動 方程式

，

ナ ビエ

・

ス ト

ー

ク ス方 程 式 お よ び 連続 方程 式 が使わ れ

，

流体とシェ ル の接 触 面 上で 運 動 学 的な条 件 式 を導 入 し

，一

つの連 成 系モデル を構成 して い る

。

これによ り

，

シ ミュ レ

ー

ショ ン の 時 間 増 分ご とに_{流 体}と シェ ル の両方程 式 を 同 時に計 算 し_， 流 れの変 化に依 存す る シェ ル構 造 物の振 動 性 状 を とらえるこ と が で き る

。

_{本 論文}で_示す方程式 系の_{数値計算 を 行 う}ために_， 流体と シェ ルの解析領域に有限 要 素 法 を適 用して空 間 的 離散化を行う

。

さ ら に得 ら れ た各々 の離 散 運 動 方程 式系 へ ，時 間 数 値 積 分 を施こす こと に よっ て

，

連成系の シ ミュ レ

ー

ショ ンを行な う。 　最 後に_， 上述の解 析 手 法 を適 用して_， 流れ場を二_次元 領 域に制 限し た場 合の円筒形シェ ル ま わ り の流れ の性 状 と そ れの振動特 性を明ら かにす る事に よっ て_， 本 手 法に よ り現象の _{解 明}が十 分に できる事 を示 す

。

　文 中で用い られる アル ファ ベ ッ ト文 字の 添字は1

，

2

，

3

をと り

，

ギリ シ ャ文字の_添字は

1，2

を とるもの と し， 指 標は総 和 規 約 を適 用 する。 　

2．

連 成 系の基 礎 方 程 式

　

流体領域を

91

と し

，

その流 速 境 界 をr，， 応 力 境 界 を r2 で表す

。

また シェ ル領 域 を

9s

_， その変位 境 界を

r

_，

，

応 力境 界を

r

，と す る。 　非 圧縮 性粘性流れの運 動 方 程 式は

，一

般に次 式で与 え ら れる

。

　 　　 Pr（

b

‘＋VjVi

，

J）＝

−

p

、

i＋：，

，

」　 　（

in

Ωr）

…・

・

（

2−1

） 　 粘性応 力 riiは 　 　　τ‘j

＝

lt（VL」＋ VJ

．

t）

・

…・

・

・

……・

…………・

……

（2

−2

） で示 される

。

　

こ こ で

，

Vs は流 速成分

，

　p _{は 圧力}

，

　_{Pf は流 体 密 度} ， μ は分 子 粘 性 係 数

，

（　）は時 間に関 する微 分

，

（

，

）は直 交 直線 座 標 系 xt に関する微分 を表す

。

　 流体の_{連続 方程式}は

，

非圧縮性の仮 定か ら

，

　 　　Vtl

＝0

（

in

Ωノ）

・

・

・

…

　（2

−

3） で与え られ る

。

　流体の_{境界条 件}は

，

流速と応力の条件が規定さ れ るも の と し

，

各々以 下の よ うに表 す

。

　 　　Vt

；

倉‘　　　　　　 （on 　

r

 ）

’

H …

（

2−4

） 　 　　rt　

＝

（

−

Pδ_w十 TtJ）n」

＝

をs　　　　（on 　

j

_「2）

……

　（2

−

5_） 　こ こ で_， nt は流 体の境界面に お け る外 向き単 位 法 線 ベ _{ク トル成分} ， δi」は クロ ネッ カ

ー

の デル タを 示 す。 　次に

_，

_{本 論文}で扱か う シェ ル の運 動 方 程 式を誘 導する

。

流 体 力 を 受 けて変形 する シェ ル は微 小ひずみ_， 微 小 変 形 で あ ること を仮定し

，

キル ヒホッ フ

・

ラブの仮 定に基づ く シェ ル の 基本関 係 式を採 用す れ ば

，

線 形 運 動 方 程 式は 次 式の ように与えられる

。

　　　N

銘

一

δ

9

〃 髭＋

1

α

＝

pha

α

　　 　 　 　　 　 　　 　 　 　　 　 　 　（

in

　

gs

）

・

・

一・

（2

−

6）

　　　M

携α＋

bafiNna

＋

ls＝

＝

phth

　

こ こで

，

Nas は面 内 応 力，　

Mas

はモ

ー

メ ン ト

，

　u α と w は面 内 変 位と面 外変位，

b9

と

bafi

は第 2基 本 計 量 テ ン ソ ル_，

1

α と

13

は表面力成分

，

p は シェ ル密 度_，　

h

は シェ ル厚

，

（〃）は シェ ル の座標 系 θ‘ に_関す る二 _{次 元 共 変 微} 分を表す。 　構 成 方 程 式 は

，

ラブの_{第 1 近似よ}り次式で与える

。

　　　Nt

° ＝ 。

AWtu

φ．。 　　 　 　 　　 　 　　 　

・

・

…

　

一…

　r

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_（2

−7

_）

　　　MSa ＝

］

APPtZ

‘ x_．。 　こ こ で

，

係 数テン ソ ル は

，

　　 　。

Afic

「nx

＝hAfiant

　

　

　

、・ ・a・u

一

釜

轡

’

’

””’

’

’

’

’

’

”…

’

…

’

_圏 で あり， Afit 「「Pt_{は弾 性テン ソ ルである}

_。

ひずみ

ilae

とXaβ は各々以下の よ う に与え ら れ る。 　 　 　 φαs＝ Uasfi

− b

αnω 　 　 　　 　 　　 　 　 　　 　 　　 　 　

・

・

…

　

4−…

　

一・

・

（2

−

9） 　 　 　κ、，fi＝ βaltfi＝

一

ゆ娵 ＋

b

名醐 “ β 　式 （

2−6

）に対す る境 界条件は

，

　　　

u・

＝aa，

繍

寄

一

警

（・n・

r

_，）

…

_（2

−

1・）

　 　 　

Na

． ・_（

Nfia− bSMpa

_＞Vn　

＝Na

　　　

v

・

＝

Mf・

9

・。

−

8t

（勉 M   ノ）

一

ρ

　

（・nL ） 　 　 　M　

・

＝

　M　eα　_”svα

＝

M 　 　 　　 　 　　 　 　

・

………一 ・

…………

（2

−

11 ） で与え る

。

こ こ で εαfiは交代テン ソ ル

，

　Va は シェ ル の 境 界に お け る外 向き 法線ベ ク トル成分

，

s は シェ ル境 界 に沿 う接 線 方 向 を 表 す。 　 表 面 力

la

と

IS

は シェ ル の 上下面での 応 力 σ 3

α

と σ3a に よっ て決定さ れ る が

，

本論 文で は シェ ル内部の圧力変 動 を無 視 し

，

シェ ル周 辺の気 流に よっ て生じる流 体 力の み を対 象と する_。 し た がっ て応力σSαと ゲ3 は

　

　

　

a・・_一

［

9

／

；

_晝

_耋

L

→ 、、

・

_Tji 　 　 　

・

・

・

・

・

・

…

　（2

−

12）

　

　

　

a・s

− 一

・ ・

［

晝

皇

馨

］

P，

。

h、z

・

_Tn で与え ら れ る事にな り

，

表面 力

1

α と

t3

は上 式で表 現さ れ る応 力を中央 面での応 力に換 算 さ れた量 とし て次式で 表さ れ る

。

　

　

　

ta−

_［

・

聯 籌

］

e。

。

h，、

・

_rji

　

　

　

l

・

一一

［・］・・

−

h・・P＋

［

・

｛

裟劉

＿ ，

・

・ 　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

…

　（2

−

13） 　こ こで

，

娼 は シェ ル テン ソ ル で以 下の よ うに与 え ら れ る

。

　 　　λ

9

＝

δ竃

一

θ3bX

…・

・

………・

…

　

………・

・

（2

−

14）

一

₁₂₉

一

N工 工

一

Eleotronio _Library

ま た， λ＝　

det

（冶 ）である

。

表 面 力 （2

−

_{13＞ を 式 （2}

−

_6＞ へ 代入 す れば

，

流 体 力 を受 ける弾 性 シェ ル の運 動 方 程 式 は次 式の ように_表現さ れ る

。

　 　 　

N

耜

一

δ琶

M

鶲十 堕_呈萄‘

＝

ρ九が 　 　 　

・

・

t−

（2

−

15 ） 　 　 　盟鑑 ＋

b

。sNpa

−



_Vp

_＋ 縣 τ，‘＝ ρ励 た だ し 亜＝ ［λ_］PtFh／2 ・

g

・

一

［

・

礁

｛

裟

L

，、 ・

rji

−

［

・

鶸 雰

］

P，

。

h、、

・

・

…



一・

一…



一・

_（2

−

_16）

　

さ らに_， 流 体 力 を受ける弾 性 シェ ル は常に振動してい る の で， 流体と シェ ルの接 触 面におい て運 動 学 的な条 件 が必 要と なる

。

これ は速 度の連続性を 満た すもの で あり

，

次 式のよ うな線 型 化 し た条 件 式を採 用す る。

　　

　

Vt−

［

器

（κ1｝

3

］

卿 ，

（

ap

＋

參

R

・

）

　　

　

　

・

［

籌

］

Pt

．

。、

in

…………・

…………・

_（2

−

_17） 　 以上

，

流体 中に存在す る弾 性シェ ル の動 的 挙 動を と ら え る た めの基 礎方程式系を示し て き た

。

これらの方 程 式 は流 体 とシェ ル の接 触 面で運 動 学 的な条 件 式 （

2−17

）を 導入 して いる た め に

，

シェ ル の振 動

が

流 体の流れに影 響 を与え ること に な る

。

この_結果， シェ ル へ 作用 する流 体 力は静止状 態での液体力と比べ て異な り

，

シェ ル の運 動 方 程 式は シェ ル の振 動の影 響が 入 っ た流 体 力で計 算さ れ るこ とにな る

。

　

3

．

有限 要素法による定式化 　ナビエ

・

ス ト

ー

ク ス方 程 式が非 線型で あ るこ と

，

連 成 系の境界は単純な形 状で ない ことか ら， 前 節で示し た基 本式を解析 的に_解くこ とは不可 能である

。

し た がっ て本 論 文で は近 似 解 析 を行 うために

，

有限 要素法を採用し離 散 化 を行 う

。

式 （2

−

1＞， （2

−

_{3）に関 する重み関 数 を各々}

b

，と

P

と す れば

，

両式の重み付き残 差 方 程 式はそれ ぞ れ 以 下の よ うに示 され る。

　　

t

．

　

・・

b

・

　

（

　

b

・＋v・V ・）

d9

　　　

＋

f

。． ・（・…aJi＋

D

・

a

」k）う繊 調

　　　

一

ゐ

姻

9

一

か

・

dr ……・

・

……・

…

（3

−

1＞

　　

f

．．

P

・・

，

1・

9

− ・

…………・

………・

・

……・

・

・

…

_（3

−

_・） 　ま た

，

式 （

2−15

＞に関す る重み関数を各々

bat

　

th

と す れば

，

シェ ル の運 動方程式の重み付き残差方程 式は以 下の よ うに与 え ら れ る

。

五

・九〔嫩 件 肋 ）

d9

・

五

［

（

a

。ve

− ban

　

th

_）Nca

−

_（砺

_皿

_＋

_bga

ρ）itnMfia

］

・・

一 130 一

一

々

鶤 繭 ＋（

一

・

v

_{ρ ＋}・

L

，b，）　

tald9

＋

f

．

，

（

N

・

a

・＋

Vtha−

〃

讐

）

dr

　 　 　十［εα ρ

M

βα レβ／ 働］r

……・

…・

…・

…………・

（

3−3

） 次に_， 式 （3

−

1）

一

（3

−

3＞へ _{有 限 要 素 法を適 用 する} 。 解 析領域の _{各要 素}に_対し，未知 量 を 以下の よ うに表現す る。 ”‘二 94 曜

，

う‘； φ4貔

　　　　　　　の

P ニ

φ、

P4，

カ＝ 軌

P4

uα

言1V4

砧， 壼α→

V

，

b2

ω＝

M4

_ω4

，

か＝

M

』勿 4

…一 …………・

_（

₃₋

_4） 　こ こ で添 字 △ は節点未 知 量の数

，

qa（φA）

，

φ4 （φA）

，

N

， （

Nn

）

，

M

，（

M

。）は 基 底 関 数

，

　 vf（

b

夛）

，

pA（

ba

）

，

垢 （酷）

，

wa （

thA

）は節点未知盪 を示す。 　式 （

3−

4）を式 （

3−1

）

一

（

3−3

）へ 適_{用す る之 以 下の よ} うな_有限要素方 程 式を得る

。

　 　 ノ

MV −f

（メ丿

V

（

V

）十rK ）

V −

t（

LP＝

ノ

F ・

・

・

・

・

・

…

　（

3−5

） 　 　 ノ

C7y ；

0

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（3

−

6）

　　

8〃

U

十sK ｛／

＝

sF （

P

，τ）

………r・

…・

（

3−

7） 　た だ し

，

上式の_{係数行 列}は以下の_通りで あ る

。

　　

・

M

・

か

輪

dg

　　

trv・

LpxvJ

_¢4pr

，

_Jda

　　

…

_．

t

． ・（

alh

・ii・醐 φ・ 伽

d

Ω

　　

・

c

・

！

i

．

　

ip4i

¢rd9

　　

・

F

≡

か

・

dr

　

　

　

sM −

［

sMn 　

OO

　 sM2t

］

　　　　　

必 1・

ム

・

hge

・

N

・

N

・

d9

　　　　　

轟 ・・

五

鵡

嗣 Ω

　

　

　

sK

−

［

sKii 　 sKM sKn 　 _sKn

］

　　　　　

sK ・≡

f

。

，

（ ・

A

’MS ・

lii

・tiTlv … 　 　 　 ＋，

Aff

°pmb ． aN6 “aN ．“μ）

dg

　 　 　 　 　sKti ＝ sKn

　　　　　　

≡

f

。 （

一

・

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°・

b

・ ・

N

・・vMr 　 　 　 ＋iA °”v”

bgev

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Ω

　　　　　

sK ・2・・

f

。

，

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’t・e・

b

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・

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　 　 　 ＋］

AePii

‘

MM

ρcMr ”v“｝

d9

sF

＝

ロ

　

を

FF3

　 ε sFi ≡

躯

_{聾 ・・}

d9

＋

LN

_，

N

°

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Architectural Institute of Japan

NII-Electronic Library Service Arohiteotural エnstitute 　of 　Japan

X2

A



B

_！

v2 ＝

O

　　

τ

1

＝

0

v 胃 v ＝

0

τ

lzO

τ

2

＝

O

TllI

国 〇 一 卜

一一

一

8R

−一一

一

→

2R

←

−



30R

− 一一一一一一一一一一一一一一一『

→



_x　1

Fig

．

1　Boundary　conditions 　and 　finite　element 皿esh

．

　　　

　　

sF2 ・

f

、， 　

Mn

← Vp ＋

v

_・，・・，）・

d

Ω

　

　

　

　

　

　

　

・

f

”

（

一

 ∂

Mn

M

ム

v −

∂レ

M

）

dr

　 　 　　 　 　　 ＋［εαpM °Sv

_，

，〆

M

島

　　　V

≡

lvi

｝

，

　

P

司ρ「｝

，

　

U

…

luE

，

tU「

IT

　 　 　

− …………・

…・

……・

……

（3

−

8） 　こ こで

gab

は シェ ル の座 標 θ t に関 する第 1基 本 計量テン ソル を表す

。

　接 触 面で の速 度の連 続 性を満た す条 件 式 （

2−

16 ） に対す る行 列 表 現は

，

以 下の よ うに与えられ る。 　 　 　

V

＝ _λ

U ・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一

・

（3

−9

） 　こ こ で_， 　 　 　λ＝ ［λ₁

，

λ₂］

　

　

　

Xi・

［

器

（パ・

13L

、，

（

gM 一

參

　

・ ・

blt

）

lv

・

　

　

　

h

≡

一

［

器

_（

P

・

−

1）

2L

諺

…蜘 ・

　

　

　

　

　

・

［

器

L

、、

μ

　以 上の有 限 要素方 程式へ の適当な時間数 値 積 分 手 法を適 用す ることに よ り， 粘 性 流 体

一

_{弾 性シェ ル連} 成系の動 的 挙 動 をシ ミュ レ

ー

トするこ と ができ る。 　

4．

数値解 析 例 　 本 手 法の有 効 性 を検 証 する た めに

，

前 節まで に示 してきた方 程 式 系を用い て円筒 形シェ ルが側 面か ら 風を受け る場合の シェ ル 周 辺の流れの様 子と シェ ル の振 動 性状に関す る解析 結 果を示す

。

解析で は円筒 9

融

a _{） t}

＝ 15

聴

形シェ ル を固 定 支 持と して扱かい

，

流れ場を二次元領域 に制 限し た た め に シェ ルの 円 周 と法線方 向の 変 化の み を 計 算の _{対 象}と し た。 さ らに シェ ル の弾性 変形に伴う内 部

　　　　　　　　 b

） t

＝ 25

Fig

．

_2　Pressurecontours and　ve 弖ocity 　vectors 　around 　the

　 　 　cylindrical 　shell 　with 　E

＝

2×107

．

圧力の_変動は無 視し てい る

。

　 ナビエ

・

ス ト

ー

ク ス方 程 式の数 値シ ミュ レ

ー

シ ョ ン に おい て

，

高レイノ ルズ数 流れ になると 非 線 型 性が強くな

一

　

131

　

一

e-:

s-e

g-o s.oe lo.oe T5.00 :o.en IS.OO

a) PointA :pressure TIME 7E-8No 8ti s : ts. 2e tn 'co

><

.u

" " 'e r g-e: sao,o s,oo b) PointA : ve to.oo lecities s.ae o･oo 3rar g-gN

N-1.00

xes.to'

"

:-:o. g" e) PeifltA :di$placements

'oo/u

r[E

Xw

'eo

s,oo 10.00 IS.CO n･oo 2S

d) PointB:pressure 2S.OO 8N'E[]-2,eo"LO-'zetru re"I re: ge gv gNo, e) PointB:velocities o oe ae/"

.oo

-"

.o

.3E

= 3'e; g-sti gN

pm.1,OO11a-:ti f) PointB:displacements =on.tr gao.oe

s.oo 10.00

-IS,OO

la.eo

/u

oettE

Xv

15.00 :tiM-2･eoNIO't2.00ti 8N, g) Pointc:pressure et gNn gti na oo

-ov'

-oo

oo E= gae,oo h) Point

,o

C:ve oo<:. g"Nre-: locit±es 3r! : g-gdi

I-zaoMle- g-±

)

PointC:d ±splacements 1.oe.u' Fig.3Tirneen thehistories and trajectories

cylindrical shell with E=of

pressure, ve

2× loi.

T,,, ee><(1

locitiesiand dispiacementsforthethree

ga1E]l] n.oe points Hle'I ,A,B 2,OOuand C

,

132

Architectural Institute of Japan

NII-Electronic Library Service ArchitecturalInstitute ofJapan re; e.: e; g-o. sa' :dia-g" gso, g" go, g1 gsa

'o

5/OO le,oo IS.OO le,ee IS

a)PointA:pressure Tl"E

'

l,

'

e

,DO

b) Point e A : velocities o 2e oo iloo

/

N" u.ne

<

w

."t

e; )T2: gdi r g" gN g"

EIIIII]

-e,oe

e.oe -10-

_fi

oa 5.00 c) Point A: ±e.oo displeeements

ts,oo 10,OO 2s,eo

ee-1.00

1.00 Mro" u d)Point B :Pressure t "e#8s1 gNe :-g&o. :N' :di s 2 an< v .) T e: g" e:] e) PointB : 10 velocities oo sao us･ oo

/

Xw

3e; :-t 8N

ma-xnn

1.oe "le-s _fi f) ?oint B : :o.oo displacement$ ls･eo le.eO M 2s,ne gN/I-.ee 2,oa "te'i _u o; re= o. :-8Ne. :N,

'

g) Peint C: o･o pressure e to h) Peint oe o

,oe

C;velocities e 1 IMoo<f W Fig.4Timeon the i) Point C : displacements

historiesand trajectoriesof _pressure, velocitiesand cylindrical shell with E=2 ×leS.

u

IME 2S Do

<

w

displacementsforthe three

g

r,IM

/

-6.00

E.OO "10-

.

u gt.,M

'

.1,OO

zOO M[D'i u points,A,B and

C,

--

133

NII-Electronic

り_， ガラ

ー

キン型 有 限 要素法 を適 用した_{空 間的離散化}で は， 安 定な解 を得るのが 困 難であること は よ く知ら れ て い る

。

そこ で_{本 論文}で は数値 的な安 定 性を維 持す る た め に

，

上 流ス キ

ー

ム5）_{を導 入 し}て いる。 時 間数値 積 分に は， 式 （3

−

5） と （3

−

6）へ

Fractional



Step

_法6）_を ， 式 （

3−7

） へ _{線型加 速度法を適用 して時間}ステッ プを進 めてい く。 そ の過 程で

，

シェ ル の変形に伴い シェ ル周 辺の流 体 領 域 の要 素 を

，

シェ ル の変 形と と もに可 動さ せ る とい う操 作 を行っ てい る。 　 計 算に用い た定 数は

，

流 速と長さに関す る特 性 値

V

と

L

で_{無 次}元化し， 以下の よ うに与え た。 　シェ ル厚

h

（

＝h

／

L

）

＝0．01，

　シェ ル半 径 R （

＝

RIL ＞

＝

1

，

0 　 弾性 係 数

E

（

＝E

／p、

Vi

＞

＝2

×

IOT

，

2x108

　 密 度比m _（

＝

ρ／ρノ）

＝

2

．

5×los

，

　 レイノ ルズ数

Re

・

＝

2000 流 入 条件はべ _き乗法則に_従い

，

V、e＝ const と して

　

　

　

Vl

−

Vl。

（

xllO

）

’〆s

………・

・

……・

……・

………

_（4

−

_1） で_与え た

。

x2 は_{地 上}か らの_高さを表す

。

初 期 条 件は流 速 と圧 力 を零とし てい る。 これ は突風を与え た事を意 味 す る。 シェ ルに関して変位

，

速度

，

加 速 度の初 期 条 件は 全て零で与え た

。

_{解 析 対象 領域}と要素分割図を

Fig．

1

に示す

。

流体領 域で は

4

角形

1

次要素を採用し

，

要素数 は1588

，

節点 数は1　475 である

。

シェ ル領 域に関して は 1次 元 要素のエ _{ル ミ}

ー

_{ト補 間 を行い} ， 要 素数は

40

で あ る

。

　解 析 結 果は_， 無 次 元 化し た_変数

t

〈1gLt _／

V

_）

_，

　v、〈≡ リノ

y

）

，

P （≡ _P／P

．

ノ

y

り

，

冠 （≡ ui／

L

＞

，

w （蕣 ω／

L

）で表 す

。

この_計算で使用 し た計 算 機はFACOM 　M

−

360 で あ り

，

時間 増 分1／

200

で

，CPU

時 間は約 20時 間 要し た

。

　

5

．

結 果 と考 察 　無 次 元 化 し た弾性 係 数

E ＝2

×

1

ぴで与え た と き の円 筒 形シェ ル 周辺の流速ベ ク トル と 圧力分布を

Fig．

2に 示す。Fig

．

2

は非 定 常 状 態にあるフ ロ

ー

パ タ

ー

ン であり， シェ ル背 後の渦が 時間の経過 とと も に成長し てい く様子 が と ら え ら れてい る。 し か し シェ ル の変 形 量が小さ い の で， 渦の形が崩れ る よ う な状態には 至 っ て い ない。

　

地表面での流 速 を

No −Slip

条 件で与 えてい るこ と が 影 響 し て

，

シェ ル前 面の支 持 部分付近 での流速は 小 さ く な っ て い る事が確 認で きる

。

　

Figs．

3と4は シェ ル表 面の

3

点に お け る 風圧 力と そ れ に対する シェ ル の振 動 性 状を示し た もの であ る_。 図中 で の u は円 周 方 向 変 位， ω は法線方向変位で あ る。 シェ ル表 面に作 用 する風 圧 力は_， シェ ル の振 動の影 響 を受け て時 間と ともに変 動 して い る事が わ か る

。

その _変動は シェ ル の前 面で特に大きく なっ て い る

。

ま た当然に変形 量の小さい場 合 （Fig

．

4）で は

，

その圧 力 変 動は， わず か な もの と なっ てい る

。

シェ ルの頂点 （point　

B

）での 振 動は単調な正 弦 波の様子 を呈し て お り

，

上 下方向の振 動は

，

水平方向の振 動に比べ _激し く揺れて い る

。

　シェ ルの無 次 元 化 した 固 有 周 期 をTable

．

1

に示 す

。

こ

Table　1No 蹴

di

【翫ensionaI 　ロatural　periods　of　the　cylindrical shell mode

〜

E

黥

2x

里

07

〜

E

冨

2xlO8

lst2nd

5 ．

552

．

52

L760

．

80

Table　

2

NondimensionaL　_pe【iods　o歪oscil 正ation 　o正the　cylin

・

　 　 　 　drical　sheLl　under 　w 重nd　pressure

FIDvs → mode 〜

E冨2x107

〜

_E富2x108

lst2nd

5 ．

422

。

50

1

．

77

0 ．

81

一 　

一

〇

．

04t

＝

17

_，

5 一 　

一

〇

．

04 　 　 　 t

＝

18

．

0 一 　

一

〇

．

a4 　 　 　 t

＝

18

．

S 一 　

一

D

．

04t

＝

19

．

5 一 　

一

〇

．

04 　 　 　 ttt20

．

0 一 　

一

〇

．

D4t

＝

2G

。

5 　 　 　 r

髄

黼

曽

曹

「

「

　 　 　 　r

−一

一

一

「］ 　 　 　 　 　

−

OrO4　　　　　　

−

D

．

04 　 　 　 し　

＝

　19

。

O　　　　　　t　

＝

　21

．

O

Fig

．

5　Modes　of　defomat［on　of　the　cylindrical 　sheH 　w 苴th　E

　 　 　

；

2XlO7

．

Architectural Institute of Japan

NII-Electronic Library Service Arohiteotural エnstitute 　of 　Japan

れ と比 較す る た めに

，

シェ ル の頂 点で の変 位の時 刻 歴 曲 線

Figs．

3

（

f

）と

4

（

f

）か ら得 ら れ た振 動 周 期 を

Table

　

2

に示す。 本 論 文で与 え た 剛性を持つ円筒形 シェ ルでは， これらの_{周 期}が

一

致し た もの と し て見られ る_。 　

Fig．

5は シェ ル の 変 形 性 状を示し た も のであ る。 シェ ル は_{側 面}か ら 風を受けて い る の で_， 風 下 側へ _大き く_{変 形} して いる様子が と ら え ら れ ている

。

し かも， シェ ル の 1 次と 2次モ

ー

ドに_支配さ れ た変形性状を示して い る。 　

6．

結 語 　本 論文では

，

非定常 流体 力を受け る弾性シェ ル構造物 の動 的 挙 動を計 算する ために_， 有 限 要 素法 を 適用し た 数 値 解析 手法 と解析 例 を示して き た

。

こ こ で扱っ た シェ ル の運 動 方 程 式は線型表現を採用 し た もの であ り

，

微 小 変 形の範 囲 内で適 用 されるもの である。 また構 造 物 後方で の_渦の_発生 を考慮す る必要性か ら

，

流 体の流 れ を 支配 す る 方 程 式に はナビエ

・

ス _ト

ー

クス_{方 程 式}と連 続方程 式を 用い た

。

これ らの式に対 する有 限 要 素 方 程 式は

，

シ ミュ レ

ー

シ ョ ンの時間ス テップごとに速 度の連 続 性 を 満た し な が ら同 時に数値 計算さ れ る。 し た がっ て

，

本手法は常 に変 化して い る流 体 力 をシェ ル構 造物の振動計算に取り 入れ ること が で き る とい う利点を有して い る

。

　本 論 文の定 式 化では

，

シェ ル構造物の内部を中空と し て きた が， 備 蓄タ ン ク等の よ うに 内 部に液 体が 入っ た シェ ル構造物に対し ても同 様に定 式 化 およ び数 値 解 析が 可 能で あ る

。

さら に構造物の幾何学 的非線型解析へ も拡 長25｝ す ること がで き， 流 体 力 を 受 け た構 造 物の大 変 形 振 動解析を行な うこと も可能で ある

。

参考 文 献 1） 桑原 邦 郎 ：流れ の シ ミュ レ

ー

ショ ン

，

第37回 応 用 力 学 連 　 　合 講 演 会 講 演予稿 集

，

pp

．

53

−

59

，

1987

．

2） F

，

C

．

　 Thames

，

　

J．

　F

．

　 Thompson

，

　

C．

W

．

　 Mastin　and

　

R，

L．

　

Walker，

：Numericai　Solutions　

for

　ViscQus　and

　 　Potential　Flow　abeutArbitrary 　Two

・

Dimensional　Bodies

　　Using　Body

−

Fitted　Coerdinate　Systems

，

　

J

．

　Comp

．

　 　P｝【ys

、

，

　Vol

．

24

，

　_pp

．

245

〜

Z73

，

1977

．

3_＞　L

．

Gresho，　R

．

L

．

　Lee　and 　R

．

L

．

　SaRi：On　the　Time

−

　 　Dependent　Solutlon　of　the　Incompressible　Navie【

−

Stokes

　 　Equations　in　Two 　and 　Three　Dimensions

，

　Recent　Adv

．

　 　ances 　in　Numerical　Method　in　Fluid

，

　Eds

．

　C

．

　Taylor

　 　and　K

．

　 MGgan

，

　 Vol

．

1

．

　 _pp

．

27

〜

79

，

　Pineridge　Press

　 　Limited

，

198e

．

4_＞ T

．

」

．

R

．

　Hug卜es

_，

　W

．

K

．

　Lin　and　A

．

　N

．

　Brooks ：Finite

　 　Element　Method　of　lncompressible　Viscous　FIDws　by　the

　 　PenaltyFunctionFormulation

_，



J．

Comp

．

　Phys

．

，

　 　Vol

．

30

，

　pp

．

1

〜

60

，

　1979

、

5）　A

，

N

．

　Brooks　and　T

．

_」

．

R

，

　Hughes：Strearnline　Upwind_／ 　 　Petrov

−

Gaterkin　Formulations 　for　Convectlon　Domin

．

　 　ated 　FIQws　with 　Particular　Ernphasis　on　the　I【Lcompressi

．

　 　ble　Navier

・

Stokes　Equations

，

　Comp

．

　Meth

．

　Appl

．

　 　Mech

．

　Eng

．

，

　Vol

．

32

，

　_pp

．

199

〜

259

，

1982

．

6｝　」

．

Donea

，

　S

．

　Giuliani

．

　H

．

　Laval　and　L

．

　

Quartapelle

：

　 　Finite　Element　Sotution　of　Unsteady　Navier

−

Stokes

　 　Equations　by　a　Fractional　Step　Method

，

　Comp

．

　Meth

．

　 　Appl

．

　Mech

．

　Eng

．，

　Vol

．

30

，

　_pp

．

53

−

73

，

1982

．

7｝ M

，

Kawahara、　 H

．

　 Hirano　 and　T

．

　 Koda皿a ：Two

・

　 　Explicit　Finite　Element　Method　fDr　High　Reynolds

　 　Numbei 　Flow　Passed　Through　OscMating　Body

，

　Flnite

　 　Element　in　Fluids

，

　Vol

．

5

，

　pp

．

227

−

262_，　

John

　Wiley＆ 　 　Sons

，

1984

．

8）　Y

．

　Yoshida 　and 　T

．

　Nomura ：A　Transient　Solution

　 　Method　

fo

【the　

Finite

　

Element

　

Incompressib

_且e　Navier

．

　 　

Stokes

　

Equations

，

　

Int

，

　

J

．

　

Num ．

　Meth

．

　Ftuid

．

　Vol

．

5

，

　 　pp

．

873

−

890

，

　1985

，

g_）U

．

G…1ia

，

　K

．

　N

．

　Ghia　and 　C

．

　T

．

　Sh五n ：High

・

Re　Solution

　 　for　Incompressible　Flow　Using　the　Navier　Stokes　Eqtta

−

　 　tions　and　Multigrid　Method

，

　

J．

　Comp

．

　Phys

．

，

Vol

、

48

，

　 　pp

．

387

−

411

、

　1982

．

10＞ A

．

Mizugami ：Flnite　Element　Analysis　of　the　Steady

　 　Navier

．

Stokes　Equations　by　a　MuLtiplier　Method，　Int

．

　 　

J．

Num

．

　Meth

．

　Fluid

，　VQI

．

5，　pp

．

28ト 292， 1985

．

11）C

．

Banbi

，

　 D

．

P

．

　 Favier

，

　 C

．

　A

．

　 Maresca　and　D

．

P

．

　 　Telionis：VQrしex　Shedding　aad　Lock

−

On　ef　a　Circular 　 　Cylinder　in　Oscillatory　Flow

，

　

J．

　Fluid　Mech

．

，

Voi

．

170

，

　 　pp

．

527

−

544

，

　1986

．

］2）P

，

S

．

　 Huyakorn

，

　 C

．

　 Taylor

．

　 R

．

　L

．

　 Lee　and 　P

．

　M

．

　 　Gresho：AComparison 　of 　Various　Mixed

・

lnterpolation

　 　Finite　Elements　in　Velecity

−

Pressure　Formulation　of　the

　 　Navier

・

Stokes　Equations

，

　 Comp

．

　 and　Fluid

，

　 Vol

．

6

，

　 　pp

．

25

〜

35

，

　1978

．

13）　

j．

Donea

_，

　S

．

　Giuliani

，

　H

．

　Laval　and 　L

．

　Qllantapelle：

　 　 Solution　of　the　Unsteady　Navier

・

Stokes

　Equations　by　a

　 　 Finite

−

Element　 P【ojection 　Method

，

　Computatlonal

　 　 Techniques　in　TTansient跚 d　Turbulent　Flow

，

　Eds

．

　C

．

　 　 Taylor　and　K

．

　Morgan

，

　pp

．

97

〜

132

_，

　Pineridge　Press

　 　 Limited　1982

．

14＞P

．

M

．

　Gresho

，

　

C．

　D

．

　Upson

，

　

S．

　

T 、

　

Chan

　and　

R．

L ．

　Lee

　 　 　：Recent　Progress　in　theSolutionoftheTime

．

　 　 Dependent

，

　Three

．

Dimensiona ［

_，

　Incornpressible　Navier

−

　 　 Stokes　Equations

，

　Finite　Element 　Flow　Analysis

，

　Ed

，

　 　 T

．

Kawai

，

　_pp

，

153

−

162

，

　Univ

．

　o｛Tokyp　Press

，

1982

．

］5｝ P

．

J．

　

Mason

　and 　R

．

1

．

　Sykes：Three

・

Dimensional

　 　 Numerical　

In

しegration 　ofthe 　Navier

−

Stokes　Equations　for

　 　 Flow　

Over

　

Surface

−

Mounted　Obstacles

，

　

J．

　 Fluid

　 　 Mech

．

，

　Vol

．

91

，

　_part　3

，

　_pp

、

433

−

450

，

1979

．

16）　S

．

Brごi6：Three

．

Dimensional　Time　Respense　of　Thin

．

　 　 Walled　Ciicular　Cylinder　to　Fluid　Flow

，

　Numericai 　 　 Methods 　for　Coupled　Problems

，

　Eds

．

　E

，

　Hintert　P

．

　 　 Bettess　and 　R

．

　W

．

　Lewis

，

　pp

．

36ト 366

，

1981

．

17） 溝 田 武 人

，

岡 島 　 厚 ：振 動す る角 柱ま わ り の流れの特 性 　 　 と流体力に関す る実験 的研究

，

土木学会論文 報告 集

，

第 　 　 327号

，

pp

、

39

−

47

，

1982

．

11

．

18） 溝田武 人， 岡 島 厚 ；振 動す る角 柱 まわ りの 流線 と非 定 　 　 常 流 体 力に関す る実 験 的 研 究

，

土木 学 会 論 文 報 告 集

．

第 　 　 327号

，

PP

．

49

〜

60

，

1982

、

11

．

19） 坪井

．

一

洋

，

田村 哲 郎

，

桑 原邦 郎 ：円柱の渦励 振に関する 　 　 数 値 実 験

，

日本 建 築 学 会 大 会 学 術 講 演 梗 概 集

，

pp

、

1445 　 　

−

1446

，

昭和 62年 IO月

。

一

₁₃₅

一

N工 工

一

Eleotronio _Library

20＞平 野 賓 和

，

川 原 睦 人 ：有 限 要素法による振 動 物 体 回り の 　 　 流れ解析

，

第6回流れの_{有限要素 法解析}シン ポジ ウム_報 　 　 文集

，

pp

，

189

〜

196

，

1985

。

21） 平 野 廣 和

，

川 原 睦 人 ：有 限 要 素 法によ る流れ と構 造 物の 　 　振 動 連 成 問 題の解 析， 第 7回 流 体 力 学にお け る数値 解 析 　 　法シンポ ジウム報 文 集

，

pp

，

189

〜

196

_，

］986

。

22） 西 村 敏 雄

，

登 坂 宣 好

，

近 藤 典 夫 ：有 限要 素法に よ る粘 性 　 　流 体 と弾 性 シェ ル の動 的 相 互 作 用 解 析

，

日本 建 築 学 会 構 　 　造 系 論 文報告 集， 第350号， pp

．

58

−

60， 昭和60年4月

。

23）　T

．

Nishimura

，

　N

．

　Tosaka　and　N

．

　Kondo ：Numerical

　 　Simulation　for　Viscous　Flow

−

Elastic　SheH　Interaction

，

　 　Shells

，

　Membrans　and 　Space　Frames

，

　Ed

．

　K

，

　Heki

，

　　Vol

．

1

，

　pp

．

89

〜

96

、

　Elsevier

，

1986

．

24）　N

．

Konde

_，

　N

．

　Tosaka　and　T

．

　Nishimura_：Numericai

　　

Simulation

　

for

　

CovpleCl

　Syste皿 of　Viscous　Flow　and

　 　

Elastic

　

Shell

，

　Numerical　Methed　in　Laminar　and

　　

Turbulent

　Flow

，

　Vol

，

5part　2

，

　Eds

．

　

C．

　

Tayler

，

　W

．

　G

．

　　 Habashi　and　M

．

　M

．

　Hafez

．

　_pp

．

1798

〜

1809

_，

　Pineridge

　　Press

，

1987

．

25）近藤 典夫

，

登 坂宣好

，

西村敏 雄 ；有 限 要 素 法による気 流 　　 と円筒シ

ェ

ル の_相互作 用 解析

，

第7回流 体 力 学にお ける 　　数値解析法シンポジ ウム_報文集

，

pp

．

173

〜

180_， 1986 26｝ 近 藤 典 夫

，

登 坂 宣好

，

西村敏雄 ：気 流と円 筒シェ ル の連 　　 成 系に対す る数 値シ ミュ レ

ー

ショ ン

，

構 造工学にお ける 　　 数 値 解 析 法シンポジ ウム_{論 文 集}

，

_第11_巻

，

_pp

．

427

〜

432

_，

　　 昭和62年7月

。

27）P

．

M

、

　Naghdi_；Foundation　of　

Elastic

　

Shell

　Theory

，

　　 Progress　in　

Solid

　

Mechanics

，

　

Eds．

　

N．

　Sneddon　and　R

．

　　 Hill

，

　Vol

．

4

，

　3

，

　North

・

Ho且

land



Publishing

_Company 　 　 l963

．

28） 西村敏雄：テン ソ ルと シェ ル理 論

，

彰 国社，昭 和52年 29）　日本建築 学会 ；建築 構造 力 学の最 近の発 展

一

応 力 解 析の 　　考え方

一

1987

．

pp

．

981

〜

1020

．

SYNOPSIS

UDC ：624

．

074

。

4；62

−

465

　　

NUMERICAL

　

SIMULATION

　

FOR

　

THE

　

COUPLED

　

SYSTEM

　

OF

INCOMPRESSIBLE

　

VISCOUS

　

FLOWS

　

AND

　

THIN

　

ELASTIC

　

SHELLS

by　Dr

．

_TOSHlO　NISH【MURA

，



Prof．

，



Nihon

_Univ

，

_，

_Dr

．

　 NOBUYOSH ■TOSAKA

，

　Prof

，

，

　 NihonUniv

．

，

　and　Dr

．

　 NOR 匡O　KONDO

，

ResearchAssociate

．

，

Nihon

Univ

_∴ 　 Members　of　A

，

1

．

J．

　The

　oscillating 　modes 　of　thin　elastic 　she 呈

ls

　uロ

der

　unsteady 　

fl

ロid　forces　are　numerica ｝

ly

　analyzed

．

　

The

　_gov

・

eming 　equations 　used 　

in

　this　paper　are　the　

Navier−Stokes

　equations

_，

　continu 三ty　equatio 皿 and 　ones　of　motion 　of

thin　elastic　shells

．

　

The

　spatial　

discretization

　of　each 　equation 　is　achieved 　with 　the　

finite

　e丑ement 　method

．

　

In

　the

proposed

　numetical 　method

_，

　the　

finite

　element 　equations 　

for

　

incompress

玉

ble

　viscous 　

flows

　and 　shells 　are　solved simultaneously 　at　each 　time　stepof　numerical 　simulatiQn

．

　

Conseque

就

ly，

　both　the　flow　

profi

　

les

　around 　the　_shells 　and

oscillating　modes 　of　ones　can 　

be

　obtained

．

　

This

　I皿ethod 　is　applied 　to　numelical 　calculation 　of 　a 　coupled 　_problem　of

an　

incompressible

　viscgus 　

flow

　and 　an 　elastic 　cylindiical　shell　

in

　order 　to　show 　the　validity 　of　Qur　_procedure

．