【
論
文
1
UDC ：624
．
012
．
46
：624．
044 ：539．
376 日本 建 築 学 会 構 造 系 論 文報 告 集 第402
号・
1989
年S
月コ
ン
ク
リ
ー
ト
の
ク
リ
ー
プ
ひ
ず
み
に
関
す
る
一
考 察
一
遅
れ
弾性
お よ び
回復
ク
リ
ー プ
のPC
静定部
材
のク
リ
ー
プ解析
に及
ぼ す
影 響一
正会
員 正 会 員渡
六
辺
車
誠
＿
＊煕
林1．
は じ め にコ ン クリ
ー
トの ク リー
プ
，
乾 燥 収
縮
の構
造 物
に対 す
る影 響
につ いて は，
古
く か ら数 多 く
の解析 的
研
究
がな さ れ て い る。
これ らの解 析 的 研 究
の基
本
と な るの は，
コ ンクリ
ー
トの ク リー
プ
およ び 乾 燥
収縮
の数式表
示
であ
るが
，
古
く は ク リー
プ
ひずみが持 続 載 荷 応 力
の載 荷
の瞬 間
にお き る弾 性
ひず みに正比 例
し， 圧縮
に対
しても引 張
に対
し て も比 例定
数
は同
じと
す るDavis−Glanville
の法 則
1）・
2） お よび
，
同
一
コ ン クリ
ー
ト
に同
じ大
き さの持 続 応 力 を載 荷
し た 場合
，
載 荷 開 始
の時期
が異
なっ ても
，
任 意 材
令
に お け る ク リー
プ
ひず
み の進
行
速
度
は同
じ とす
るWhitney
の法則 （
ま た は，
重 ね 合
わ せの法
則 ）
31の 二つ が 使 わ れ て き た（
以 下
， こ れ らを
古典 表
示 式 と よ
ぶ1
。
そ の後
，
ク リー
プ
ひず
みは非
回
復性
のフ ロー
ひず
みと
回復性
の遅
れ弾
性
ひずみあ
二 つ に分解
で きる こ と が確
認 さ れ，
と く に後 者
につい て は，除荷
後
の時 間 経 過
と と も に回 復
す る こと が実 験 的
に示
さ れ た4 〕−
6 ）。さ ら
に， フ ロー
ひず
み に は重
ね合
わせ の法
則
が適 用
で きるが，
遅 れ弾
性
ひずみ に は適 用
で き ない こ と が明
らか に さ れ7P，今
日
で は1978
年
CEB −
FIP
Modle
Code
for
Concrete
Structures
にも
採 用 さ
れている よ うに，
ク リー
プ
ひず
み に はフロー
ひ ずみ と遅
れ弾性
ひず
みの和 と し
て示
し ， かつ，
除 荷
に対
して は ひず
み の回復
を考 慮 す
るのが妥
当
であ る とさ れ る に至
っ て いる8〕・
10）。
そこ で本 研 究
で は，Davis−
Glanville
お よ び，Whithey
の古
典 的
クリ
ー
プ
表示
を用
い た場 合
に対
しフロー
ひず
み。遅
れ弾 性
ひず
み，
回
復
クリ
ー
プ
ひず
み か ら な る ク リ「
一
プ
表
示 （
以
下，新
表 示 と呼
ぶ） を
用
い た場 合
，構造 物
の クリ
ー
プ
解 析
結
果
に どの程 度
の差
が生 ず
る かを
．プ
レス トレ ス コ ン クリ
．
一
ト部材
断 面
にプ
レ ス トレ ス匿
け が作
用
す る場 合 を例
にとっ て検 討
し た。
な お，
以 下
の検討
に おい て は乾 燥
収縮
の影 響
は除 外
し て あ る。2．
コ ンク リ
ー
トの ク リー
プ
ひず
み の古 典 表 示 式
コ ン クリ
ー
トに一
定持
続 応 力
が作 用
す る場 合
の クリ
ー
プ
ひず
みは
，
古
くは，次
の 二つ の法 則
によ
っ て表
示
され て き た。
i
）
Davis−Glanville
の法 則
，
1 びε・
＝
E
。 卯・… ’
”’
… 『
’
’
”…
∵… ”鹽
’
”… ’
”
（
1
）
ii
）
Whitney
の法 則
・・
−
tl」彦
（
9
厂OP
・i
）
一 …・
一 ……・
……
：
・
・
t…
（
2
｝
こ こ に・
εt ：
標
準
時 間
t
＝・o
か ら一
定 持
続 応 力 を載 荷
し た と きの
任
意 時
間
t
に お け るコ ン クリ
ー
ト
の クリ
ー
プ
ひ
ず
み．
．
．
E
。 ：持続応 力載
荷
の瞬 間
で の コン クリ
ー
トの弾
性 係 数
σ ：
一
定持続 応力
ePt
：任意時
間
t
にお ける クリ
ー
プ係 数
εt−
t，
：時 間
ti
（
≧0
） よ
り一
定 持 続 応 力 を
載荷
し た場 合
の
任
意 時 間
t
（
＞ti
）
にお け る ク リー
プ
ひずみqt
，
：時
間
ti
に おけ る ク リー
プ係
数な お
，
（
1
）式 お よ び （
2
） 式
に おい て，
後
に述
べ る新 表
示 式
との記 号
の繁 雑
さを
さ け る た めにPt
を 妖 の
と表
現
する（
図
一
1
参
照）
。
す な わ ち，．
（1
｝
お よ び（
2 ）
式
では次
のよ う
になる。
び ε・＝
iOft
）
… … ’
”
：
鹽
’
”… … … ’
一 ・
……
（
3
）
・t
−
・・一
ま
［
Q（
・｝
一
耐
・
・
……・
……・
…・
……
（
・｝
．
次
に，
時
間
を
にお け る載 荷 応 力 を
σ（
圧縮
応 力 を 正 ）
と し， その後
の時 間
と とも
に変 動
す る応 力 変
化 量 を
Agt−
t、
（
圧縮応 力
を 正｝
とす
れ ば，任 意 時 間
t
にお ける作
用応
力 at．
t、はtt
”
1li
t ＊ （株 ）伊 藤 建築 設計事
務 所取締 役
・
技 術士 ＃ 京 都 大学教授
・
エ
博（
1988
年12
月9
日原 稿 受 理，
1989
年5
月29
日 採用 決定 ）t
亀 図一
1
ク リ
ー
プ曲 線t
σ，
一
广 σ＋ムσ HI・
・
………・
・
………・
・
・
………・
（
5
）
で表
され る。
こ の よ う な変
動 応 力 を 受
けると
きの クリ
ー
プひずみ は
，
Davis
・
Glanville
，
お よ び，
Whitney
の法
し
則
か ら下 記
のよ うに表
．
さ れ る。
．
．・・
．
・
△・t
−
・、
一
瓷
國
一
・・（
tD
］
＋，
Az
．ltElt
−
ti・
こ1・
「
・
訌
d
籌
恥［
o
…
一
・・（
・・
］
・・「
妛
［
似
ε）
一
奴
胡
＋ △詈
ヂ
r
・
if
，
’ …一
・，＠
i
°
f
；
？
， ：）
d
・・
…・
・
・
・
…一
（
・
6 ＞
：
i：3．
コ ンク リー
トの ク リー
プ
ひず
みの 新 表 示 式
セli
｝
ラ
白
二ひず
み と 遅 れ弾 性 び
ず
み を用
い た ク リー
プ曲 線
の基
本表
示
『
．
ンク リー
トに
裸
準
時
間、
t＝
p
か
ら一
定 持 続 応 力
が作
用
し た と きの クリー
プ
ひず
み は（
1
）式
で表
さ れる。
クリ
ー
プ
ひず
みが
フロー
ひず
み と 遅れ弾性
ひずみが ら な る こ と か ら，標 準 時 間
t
；O
か ら載荷
し たど
き
の クリ
ー
プ
係 数
ePt
は・
’
・L
．
ψ8； ψd藍十 ψ 丿v
＝
ψd（
t
）
十¢r
ノ（
t
）
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
・
…
（
7
）
こ こ に
，
．
’
、
．
・
・
¢。、＝
qd
（
t
）
：遅れ弾性
ク リー
プ係 数
．
・
・
，
P
／t＝
9
，（
t
｝
：フロー
クリ
」・
プ
係 数
・
．
また
，
時
間
ti
・
よ り』
一
定 持 続 応 力
を作 用
さ せ．
た場 合
の ク リー
プ 係 数
ψH，
は・
・
I
rPt
−
t、
＝
ePdt
−
t］
＋ep
）．
t∴tL・
・
一 …………・
…
：・
……
（8
）
こ こ にt
噛
19dt
．
t、：ti
’
よ
り載
荷
し た 場合
の任 意 時 間
t
に お け る 遅：
一
｝’
れ弾
性
ク リT・
．
プ 係 数
1
．
．
・「ト
：
：」
鰍 8
．
t、 ：t
、よ
り載 荷
し た場 合
の任 意
．
時 間ぜ
にお け る汐
ロ
ー
クリ
ー
プ
係 数
一
方
，
遅
れ弾 性
ひず
み に関
す る従 来
の研
究
によ
る と，
図「2
（
a
）
に示
す よ うに，．
いず
れの時 間
から載 荷
し て も同
じ経
理
を
たど
り・
かつ・
そQ
一
大
き さはettt
後
の経
渾
時
瓢
鷺
鍔
載 荷 開
脚
調
系
騨
興
と』
−ipi
・IL
・；・
・・（
・：
t
・）
’
”：・
・
∴……・
IL
−
・
…一…
：
∴（
’
・；
γ
』
：
と表 示
で き る。 ま た，時
間t
，か ら載 荷
した場
合
の フ ロー
2 ひず
み は 図一2
（
b
）
の よ うにWhitney
の法 則
が適
用 さ れ る101。 す，
なわ
ち，’
・、．
9J
．
，−
tlニ
qA
t
）
−
qX
t
，）
・
…’
v，
，
．
…・
…・
……・
・
……
（
10
｝
と表 示
できる。
し たがっ て（
8
）
式 は次
の よ うに な る。qt
−
t、＝
Of
t
−
ti
｝
＝
9
誰
一
t
，
）＋ep
メ
t
）
r
px
ti
）
。。ご
羸
漏
漸
：
レ
噺
1
融
じ
ぞ
掣
定
載 荷 応 力
が除
去 されだ
場合
，
’
フ ロ 」 ひずみ は図
一
3
（
b
）
に示
す よ うに その後 進 行
せず
，
また，
それ まで に生
じた一 72 一
、
φdPtdn
φ
d（
1．
）
φ，1
（
し一
し1）
1
φ
f
t
蹉t
（a） 遅
れ弾 性
ク リー
プφ
f（
t
）
φ
f（
t
）
一
φ
r（
tl
）
・
φ
4
t1
（b
）フ、
．
ロー
クリ．
，
一
プド
図
一
2
．
、 ．
φ
f
t
」
1
t−2
t
t2
£
・
（a ） 遅れ弾性 ク リー
プ’
（
b
｝’
フロー
クリー
7
図
一
3
「
グリー
プ曲線
（あで除荷
） L層
．
；匸1、、
．
．
q・
tt
φ
，迄
且．
’
t
2（
a
）
「
丿
1
，
’φ
dt
，イ”
「』
・
．
φ
卜 t、
聖ノ
！ ノ／
φ口 ’
、
’」
’ 丶／
t
l
・
・、
tl
・， ・．t2ト
’．
t
（
b
）
．
図一
4
t
，よ り載 荷tt
で除待
の』
ク リー
プ’
一
』
遅 れ弾 性
ひず
・
う
一
嫉
同 図（
a）
に示
す よ う に除
荷 後の時
間 の経 過 と
とも
にすべ て回 復
す る もの と する。
こ こ で は数
り
’
式 表 示
の便 宜 上
回復
ク リー
プ
の進
行
1
ま渾
れ弾 性
ひず
みのア
基 本 曲 線 に 相 似
と仮 定
する．
と，
標 準
時 間t
＝O
か ら一
定
持 続 応 力 を
載荷
し，時
間
t
＝
t
，で除 荷
し た場 合
の任
意
時
間
t
（
≧ち
）
にお け るク リー
プ係 数
は9d（
卜 置、｝
ψt
＝
9
）（
t
）
＝
ψd（
tD
−
epd
（
t2
）
＋
epx
t
，）
ePdil
…・
……・
・
…・
・
………・
………
（
12
｝ψ血＝
1
輙
ε）
：遅
れ弾 性
クリ
ー
プ 係 数
の最終値
tり
oe で表
さ れ る。 ま た，
図
一
4
に示 す よ
うにt
、より載 荷
しt
＝t
，（
≧ti）
で除 荷
し た場 合
の任 意 時
間t
、
（
ll
t
，）
に お け る クリ
ー
プ係 数
はePt
−
t、
＝
ep
（
t− tn
＝ ψal
t
，
−
ti
）
一
嚥
一
‘ ・）
究
詔
＋・・．（
・t
、）
一
…，（
・ti
）
．
一 ・ ・
（
t
・− tl
）
（
1一
ψ♂
1
壽
）
i
＋・・（
・tt
）
一
・・Atl
）
”………・
………・
t・
（
13
）
と な る。（
2
） 変 化 応 力 を受 け
る場 合
の ク リー
プ
ひず
み表 示
載 荷後
の時 間
の経 過
と ともに漸
増，
．
ま た は，
漸 減
する応 力
を受 け
る場 合
につ いて は， 回復
ク リー
プ
の影 響
の有
無
に よっ て クリ
ー
プ
表 示 が 異
なっ て くる。
以 下
こ れ ら を区 別
し て示
す。
i
） 応 力
が漸 増
す る場
合
図
一
5
に示 す
よ うに時 間
ti
．
で一
定 持 続 応 力
σ （圧縮
応 力 を 正 ｝
が作
用 し， 以後 時 間
の経 過
と とも
に連
続的
に漸 増 す
る応 力
A
σt．
t，
（
圧縮 力
を 正，
た だ し，
t＝t
，で0
）
が作 用
する場 合 を考
え る。
任 意
時 間
t
に おけ る作
用
応力
は（
5
）式 で 表
され， こ の 場合
の任 意 時
間t、
にお け る クリ
ー
プ
ひず
みA
εt−
t，
は下 記
の よう
に表
すこ と がで きる。 △・ト・「
簍
［
9
・（
t一
置・）
＋epx
・t
）
一
φ
メ
‘1）
］
＋ △幾
＋ま
が
箒
・詠
卜 ・＞
d
・ ・訌
d
籌
・・［
・伽
創
・・一
ま
［
9d
（
t
−
t
ヨ〉
十ψノ〈
t
）
一
卿
1）
］
・ △
詈
IL
訂
・幅d
ψ紹
・
・・
謡
・嘱d
餐
τ｝
・・…………
（
14
・
さ ら にこれ
は（
ll
）式
の表 示 を用
いる とA
・L．
ti一
彦
畝
診一
研
畭
ヂ
・
亡∬
・ 幅艦
τ）
・・……・
・
（
15 ）
（
14
） 式
の右
辺の第
1
項
は一
定 持 続 応 力
σ に対
す る ク リー
プ
ひず
み，第
2
項
は付 加 応 力
A
σt−
h に対
す る弾 性
ひず
み，第 3
項
，
お よ び，
第
4
項
は付 加 応 力
A
σ、−
t，に対
す る遅
れ弾性
ひず
み，
およ
び，
フロー
ひず
み を表
す。
ii
） 応
力 が 漸 減 す る場 合
図
一
6
の よ うに時 間
ti
において一
定
持続 応
力
σ（
圧
縮 応 力 を 正
）
が作
用
し，
以 後
，
時 間
の経 過
と と もに連 続
的
に漸 減
す る 応 力A
σ t．
t、（
圧縮 応 力 を
正，
かっt
＝ti
で0
）
が作
用
す る場 合
を考
え る。
こ の場 合
も任 意
時間
t
にお け る作 用
応
力
at−
t、≦ σ は（
5
）式
で表
さ れる
。ク リ
ー
プ
ひず みA
ε，−
t、
は aiT t，
≦σ であ
ること を考慮
し て下 記
の よう に表
さ れ る、
△幅一
1
鐔
［
郁
一
君1）
＋魏
）
一
ψXt，）
］
＋ △
器
竜
∬
d
籌
一
t・［
倣
一
t
，）
一
輟
・一
・・喋
τ）
］
・・一
毒∫
εd
籍
［
・x
・畷
・
］
・・；
意
［
pM
t
二t
・）
＋卿
）
−
epx
・ti）
］
A
σt−
t］
十Ee
・li
｝
；
f
，
t．
…
．
・，
・
JC
，
tAai ，，，
L
d
τ・
・
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
∵
・
・
・
・
・
・
…
（
16
）
＋去か
幅誓
型
d
・dpx
τ）
王d
τ一
．
d
τE ，
ψend
［
ePd
（
τ一t
、〉
幅
卜 τ）
］
d
τ σ＋△
σt．
し量 σ十△
σ τ一
tl
σ し匡 T 図一
5
漸 増 応 力t
σ σ一
△
σ．：
｝， σ一
△σt
−
q
FttT
図一
6
漸 減応 力t
一 73 一
さ らに
，
（
11
）式
の表 示
を用
い ると・ 幅
一
和
・一
・1）
＋ ム詈
ヂ
・歳
t
d
ψ｛
t
− tL
）
・
か
嘱 、 τ ・ ・一
。誌
・
d
［
ψ試
τ一
ti
）
ePd
（
t一
τ）］
∫
！△ar−
・、
、τ
d
・・
∴・
…
∵ ：・
…・
…・
……・
…・
・
…
（17
）
と表
され る。
すなわ ち，
右
辺第
3
項
までは（
15
）式
の漸
増 応 力
を受
け る場 合
の ク リー
プ表 示
と まっ た く同
じ であ り，第
4
項
が漸 減 応 力
に よ る回
復
ク リー
プ
ひず
みを表 す
項
で ある。
．
1
4
．
プ
レ スト
レ ス トコ ン ク リー
ト静定 部 材
のプ
レ ス トレ ス
減 退 量 計 算
式
除
荷
に伴
うコ ン ク リー
トの回
復
ク リー
プ
がコ ンクリ
ー
ト構
造
物
ま たは構 造 部 材
の クリー
プ挙
動t，
：どo
．
程度 影
響
す る かを
鮒
す敬
めに・
こ こ で は鴎
7
（
a些
示
す長
方 形 断 面プ
レ ス ト．
レ ス コ ン ク リー
トは り部材
を例
に と り， ク リー
プ
新表
示 式 を適 用
し てプ
レ
スト
レス減 退 量の計算
を 回復
ク リー
プ を考 慮
し た場 合
と考 慮
し ない場
合
に つ い て行
っ た。
さ らに， クリー
プ
の古 典 表 示 式
を用
いた場 合
との比
較
も行
う た。
本
項
で はま ず前
述の コ ン ク リー
トの ク リー
プ
ひず
み各 表 示 式 を用
い て、
プ
レ ス トレ ス力
減 退
量計
算
式 を誘 導
す る。
誘 導
に当
たっ て は，
計算
の簡
略 化 を
は か る た めにPC
鋼 材
は図
一
7
（
a｝
の よ うに偏
心距 離
e
の位 置
に集 中
配 置
さ れ てい
るも
のと す
る。 さ ら に， コ ン ク リー
ト断 面
に はブ
レス トレ スカ
P
だけが時
間
t＝
＝
t
，よ
り作 用
し，
設
計荷
重
によ．
る曲 げ
モー
メ ン トは作
用
し ないも
のと す
る。
ま た，
解析
にはコ ンク リー
トの乾
燥
収縮
の影
響
は入
れて いない。（
1
｝ 新表
示 式
によるプ
レ スト
レ ス力 減 退 計 算 式
i
）
回 復
クリ
ー
プ
を考 慮
す る場 合
図
一7
（
b
）
お よ び（
c
＞
は コ ン ク リー
トの ク リー
プ
に よ る断面
ひず
み分 布 お よ
び応 力 分 布
の変 化
を一
般 的
に図
示
し た もの であ
る．
。
すな わ ち，
同 図
におい てAB
はプ
レ ス トレス力導
入時
’
t＝t
、に おける ひずみお よ び応 力 分
布
を，CD
は任
意 時 間
t＝t
（
≧ti
）
に おけ
るそ
れら を
表
す。PC
鋼 材
の ク リー
プ
（ま
たはリ
ラクゼー
ショ ン）
は無 視
す る もの とすれ ば，任 意 時 間
t
まで に生 ずるPC
Fb
→
球
一．
i
I〕B
．
’
D
B
（a）断面
（b） ひ ずみ
9t
ヒ（c ）応 力 変 化 図
一
7
コ ン ク リー
トあ
クリー
プによ る断 面ひずみ 分布
と応 力分布鋼
材
の ひず
み変 化
4
ε。．
t−
tLは，
減
退プ
レ ス トレ スカ
をAP
，．
．
t、
（
PC
鋼 材
に対
して は引 張 力 を正
， コ ン ク リー
ト に対
し て は圧
縮 力
を正 と
し て，次
式
で
表
さ れ る。A
εs．
t−
t、
＝一
△P
ε一
tLIEeAe・
…………・
・
……・
・
（
18
）
こ こ に
，Es
：PC
鋼 材
の ヤング係 数
AS
：PC
鋼
材
の断
面積
PC
鋼
材
配 置
位
置
にお け るコ ンク リー
トのt
、〜
t
間
にお け
るむ参
み変 化 量
A
εc．
t．
t、は，
回 復
ク リー
プ
6
ず
みを
考 慮
し た漸 減 応 力
を受
け る場 合
の ク リー
プ
ひずみ表
示 式
（
17
＞
を適 用
し て，
次
の よ うに なる。 ・Ec．
・ 。一
△警
（
1
θ：A
。 ＋lc
）
瑤 俵
＋葺
）
［
・・ai
・− t
・）
＋ ・・x
・t）
一
・X
胡
＋
ま
ズ
ムPr
−
・、（
letA
。
＋ 為）
砦
ε1）
d
・＋
翫ズ
・塩
（
1e2Ae
十lc
）
整
｝
d
・一
，蠧
∬
凪
・佳
・斜
・
d
［
qal
τ一
鯉
一
Y
）
］
d
・………
（
・9
）
こ こに，
P
：導
入プ
レス』
ド
レ スカ
A’
c ：コ ン クリ
ー
ト断 面 積
’
・
・Ic
：断 面
図 心軸
に対
す るコ ンク リー
トの断 面
二
次
モー
メン ト（
18 ）
式
』
と（
19 ）
式
が等
しい と おい て整
理 す れば
一
｝
AP
・−
tL− −
P ［
qMt
−
tl
）
＋ψ∫（
t
）
−
L
’
．Kt
，）
］
’
t
d
ψ試
τ一ti
）
−
f
dr
△
P
τLt
、d
τ一
か
馬
．
d
豊
‘
τ1
・
・＋
毒
f
・馬
塑
τ一
農
¢試h
）
］
d
・一一P
・・（
・一
・・
Tf
，
tAP ．J
“，
？
t
（
T；
tL
）
d
・・
磊
蝋
齢
一
鯉
一
τ）
］
・・．
………・
………・
……・
………
（
20
）
ここ に，
’
．
．
．
’
・
一
業
藷
ψ
・
…………・
…・
…・
・
∴
・
…
（
21
）
Ds
；
EsAs
，
Pc
＝
EcAc
，
κ8＝E8
∠48et，
Ks
Ds
β
＝、
Ke
；Eclc，
a＝Kc
十Ks
Dc
十Ds
’（
20
） 式
は， こ のま ま
で は解
が得
ら れな
い の でク リー
プ係 数
および プレ ス トレ ス力 減 退の進行
を 次の よ うに仮定
す る。一
74
一
ψ
