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(1)

第3章対流熱伝達

Prof. H. Takamatsu

1

3.1 対流熱伝達の概要

対流熱伝達

（

f

）

対流熱伝達

（

convective heat transfer

）

流体の移動により熱エネルギーが移動する熱輸送様式

3.1.1 対流熱伝達の分類

流れ場の幾何形状による分類流れ場の幾何形状による分類外部流れ（external flow）内部流れ（internal flow）内部流れ（internal flow）外部流れ（翼周りの流れ）内部流れ（管内流） Prof. H. Takamatsu 2 図3.2 流れの駆動力による分類流れの駆動力による分類強制対流（forced convection）機械的手段より強制的発生機械的手段により強制的に発生させられた対流自由対流（free convection）or 自然対流（natural convection）温度差による浮力で発生する対流共存対流（mixed convection）共存対流（ ed co ec o ）両方の影響を受ける対流流れの様式による分類層流（laminar flow）整然とした流れ分子拡散による熱移動が支配的乱流（turbulent flow）流速が不規則変動流体塊の混合が支配的層流から乱流への遷移 _流速：小 _流速：大図3 3 図3.3

(2)

3.1.2 対流熱伝達率と境界層

ト

冷却法則

（

f

）

ニュートンの冷却法則

（

Newton’s law of cooling

）

( _f)

qh T( wTf) (3 1)

q h T T (3.1)

2

(W/(m K))

h  ：熱伝達率（heat transfer coefficient）

T_w 伝熱面温度（表面温度） T f T ：伝熱面温度（表面温度）：流体温度熱伝達のよさを表す係数定義熱伝達のよさを表す係数どこの温度？定義「何のために？どう使う？」を考えて全体の性能？それとも部分（局所）の性能全体の性能？それとも部分（局所）の性能現象を代表する温度 Prof. H. Takamatsu 5

対流と熱伝導の関係

伝熱面表面での熱の移動

固体固体と接してい内部の固体表面固体と接している流体粒子内部の流体熱伝導熱伝導と流体の運動伝熱面表面では熱伝導のみ熱伝導熱伝導と流体の運動 d 0 d ( ) d w f x T q k h T T x      壁面での流体内の温度勾配が決まれば熱伝達率が決まる．流体度分布流体熱物性流動条件伝熱状依流体の温度分布は，流体の熱物性，流動条件，伝熱面形状に依存する．熱伝達率も同様． Prof. H. Takamatsu 6 熱伝達率も同様

境界層

（

boundary layer

）

境界層

（

boundary layer

）

速度や温度が急激に変化する固体面近傍の薄い層（領域）

速度境界層（velocity boundary layer）

温度境界層（thermal boundary layer）

熱伝達率と境界層の関係熱伝達率と境界層の関係 f T w T x y T k x q    f T d x



 







0 x w f w f x q h T T T T T T       f v









w f T T T k k T T      (3.2a) d



TwTf



T _t：温度境界層厚さ ( ) t 図3.4

境界層厚さの定義

速度境界層厚さ 0 99 の位置までの厚さ 0.99 u uの位置までの厚さ温度境界層厚さ_ 0.99 w T T T T   の位置までの厚さ w f T T

(3)

局所熱伝達率と平均熱伝達率

熱伝達率

分布

熱伝達率の分布

1/ _T h  h は位置（場所） _Tは流れ方向に増加 _Tは物体形状や流れの条件に依存 h は位置（場所） の関数

局所熱伝達率

（

_{local heat transfer coefficient}

）

q h 局所熱流束

平均熱伝達率

（

h t t

f

ffi i t

）

w f q h T T    局所熱流束局所温度差

平均熱伝達率

（

average heat transfer coefficient

）

Q A h  平均熱流束



w f



Q h T T    平均温度差 Prof. H. Takamatsu 9

平均熱伝達率

1 d Aq A Q A _A h 



がわかるとの関係がわかる設計できる A Q A _A h T T    



Q T h がわかると の関係がわかる設計できる温度差が場所によらず一定の場合： Q T h w f T T T   









1 _d 1 _d 1 _d w f w f Aq A Ah T T A T T Ah A A A A h T T T        



1 A T T h dA T A    



(3 2a) A A



(3.2a) 注意：この定義はT =一定の場合にしか使えない Prof. H. Takamatsu 10

3.2 対流熱伝達の基礎方程式

3 2 1 基礎方程式の概要

3.2.1 基礎方程式の概要

目的布流体内の温度分布を求めて伝熱量を見積もる．求める量（未知数）＜非圧縮性の場合＞速度（u,v,w），圧力（p），温度（T）基礎方程式（governing equations）変数の数：計５つ g g q 質量保存則連続の式解ける連続式運動量保存則ナビエ・ストークスの式式の数：計５つナビストクスの式 （x, y, z 方向：計３つ） エネルギー保存則エネルギーの式

3.2.2 連続の式

質量保存則（次元場合）

質量保存則（２次元の場合）

m m m m m m m  _ _ _

 

      x x x y y y in out m m m m m m t         

 



 x y



 y  y  x  x      u    u    v    v   y



x y



x y x x y y x y y x t                  u u v v ① ② ③ ④ 両辺をxyで割って x y ④ y y m _ y y y x x x t x y      _     _{ } _    v v u u 両辺を yで割て y ① x m ② x x m _ t x y        x,y→0 の極限をとると x x+x x m   x y

 

0 t y  _ _  _  _  _  x u  v 連続の式（ ti f ti it ） _③m_y 連続の式（equation of continuity）

(4)

デカ

ト座標系

連続

式（

f

）

デカルト座標系の連続の式（

equation of continuity

）

 

  

_{ }



_{ }



_{ }

0 t y z  _ _ _  _  _  _  _  x u  v  w 

_

_

0 t  _  _{  } _  u (3.5)    ベクトル表示：非圧縮（密度一定）の場合 x y z           i j k 0  _ _ _    u v w y z x   0   u ベクトル表示： Prof. H. Takamatsu 13

3.2.3 運動量保存則

運動量

保存

運動量の保存

 

m m m  _ _ _

 



u F u u 流入する運動量流出する運動量検査体積にかかる力運動量の時間変化

 

in out m m m t     u

 

F u



u

２次元 x方向の運動量保存則

④ mu  運動量 y ④ mu y y mu _

 

x in out m F m m t  _ _ _  u



u



u 運動量  y ① x ② mu muxx ① 2 x x x mu uu   y u  y ② _ _ 2 _ x ③ mu ③ y y mu vu  x ④ ② 2 x x x x x x mu _ uu _   y u _  y Prof. H. Takamatsu 14 ③ y ④ y y y y mu _ vu _  x 力力 ⑥ x軸に垂直な面に作用する 方向の垂直応力 ⑧xy yyx ⑤_xx|_x ⑥_xx|_x+_x ⑦_ｘ_y|_y x方向の垂直応力 y軸に垂直な面に作用する 方向のせん断応力 ⑥ xx x x y  _  X x y  ⑨ ⑤xx x y   ⑧_xy|_y+_y x方向のせん断応力 ⑨Xxy 体積力（重力，磁力，クーロン力） ⑥ ⑨ ⑤ 保存則 ⑦xy yx

 

2 2 y y y x x x m y y x x t        _ _{  } _{  } _{  } _{ }  u u u uv uv xxx y xx x x y xy y x xy y y x X x y   _                    2 2     

_{ }

u x x u x uvy y uvy t x y                   u u uv uv u xy xy xxx x xx x y y y X x y    _  _       x y→0 の極限をとると x,y→0 の極限をとると

 

2





xx xy X t x y x y         _{ }  _  _ _ _  u  u  uv   ニトン流体

 

t x y x y      ナビエ・ストークスの式（Navier-Stokes equation）ニュートン流体 xx p xx         xy  _  _     u v y x 2 2 3 xx  _   _  __  _  _   u u v x x y

(5)

ナビ

トク

式（デカ

ト座標系）

ナビエ・ストークスの式（デカルト座標系）

x方向 xy xx xz p X t x y z x x y z    _       _  _   _             u u u u u v w y方向 t x y z x x y z                    p yx yy yz Y t x y z y x y z    _       _  _   _             v v v v u v w z方向 p      w w w w p  zx zy  zz _Z t x y z z x y z    _       _  _   _             w w w w u v w Prof. H. Takamatsu 17

ニュートン流体



一定



一定の場合

ニュトン流体，



定，



定の場合

x方向 2 2 2     2 2 2 2 2 2 p X t x y z x x y z _       _  _   _             u u u u u u u u v w y方向 2 2 2 p   v v v v  v v v 方向 2 2 2 p Y t x y z y x y z _       _  _   _             v v v v v v v u v w z方向 2 2 2 p Z              w w w w w w w 2 2 2 p Z t x y z z x y z _       _  _   _             w w w w w w w u v w Prof. H. Takamatsu 18

実質微分（

substantial derivative

）

 時間の変化( ) (     ) t時間の変化(x, y, z , t) → (x+x, y+y, z+z, t+t ) d ( , , , ) ( , , , ) lim x x y y z z t t x y z t             0 d_t  t _t 0 ( , , , ) ( , , , ) lim t x x y y z zt t x x y y z zt t                    _    t    ( ,y y z, z t, ) ( ,y y z, z t, ) x t t x x x x                    t  x    u ( , , , ) ( , , , ) ( ) ( ) x z z t x z z t y t y y y y t t                   ( ,t t)  r r   y    v   ( , ,z z, ) ( , , , )z z x y t x z y t t           _ ( , )t  r z    w D     

_

_

D Dt t y z t  _ _  _  _  _ _ _ _  ux v w   u ：実質微分_（_substantial ）対流項（convection term） derivative）

デカルト座標系

D 2 2 D 3 p t x x x y y x      _{ }       _{ }   _{ }    _{ }              u u u v u D 3 x t x x x y y x z  z x                      _{ }  _{ }  _{ }   _{ } u w g (3.12a) z z x  _{ }   _{ } D 2 2 D 3 p t y y y z z y      _{ }      _{ }   _{ }     _{ }               v v v w u D 3 y t y y y z z y x  x y                 _{ }  _{ }  _{ }  _{ }       v u g (3.12b) x x y       D 2 2 D 3 p t z z z x x z      _{ }      _{ }   _{ }     _{ }               w w w u u D 3 z t z z z x x z y  y z                               _{ }  _{ }  _{ }   _{ } w v g (3.12c) y y z  _{ }   _{ }

(6)

3.2.4 エネルギー保存則

④ 2 2 _y _y V m e          2    ⑧ y y q _  x 内部エネルギーと運動エネルギー伝熱量 y ②   ① 2 2 _x V m e_  _     y ⑥ x x q _  y ⑤ x q  y G x y  x x+x x ③ 2 2 _x _x V m e          2 V m e_  _ x x+x x ⑦qy x ⑨内部発熱 ③ 2 _y m e_  _   ⑦ y ⑨内部発熱 ⑬yyv_y__y x ⑰xyu_y__y x 垂直応力による仕事せん断応力による仕事 y ⑪ ⑩ xx x y  u   xxuxx y y ⑰ yx _x y  v   yxv_x_x y x x+x x ⑪ ⑩ x x+x x ⑮ ⑭ Prof. H. Takamatsu 21 x x+x ⑫yyv_y x x x+x ⑯ xy y x  u  

エネルギーの保存

 

V2 me me m q w  _ _ _ _









 

仕事内部エネルギーの時間変化

 

2 i j i j me me m q w t     



 

仕事伝熱量運動エネルギの収支内部エネルギーの収支内部ネルギの時間変化 2 ₁ V

２次元系の場合

運動エネルギーの収支





2 2 2 1 2 2 V m  u u v 内部エネルギー＋運動エネルギー（x方向） 2 2 d d u E , E ,  _  v _d d 2 adv x adv x dx u E E u e x y x          _ _  __  _ _ __ v Prof. H. Takamatsu 22 伝導熱量（x方向） 伝導熱量（方向） , , d d cond x cond x dx T E E k x y x x        _ _       仕事（x方向）  





 

d d d d d d net x x xx xy W g u x y  _ p u_ x y   u x y   エネルギ保存則





 

, net x gx y xx p y xy y x  y   体積力による仕事表面力による仕事エネルギー保存則 2 2 2 2 e u u u e e    _ _  v __  _v_  v __





 

2 2 u e e t x y T T k k g u g pu p    _ _  __ _ _  __   _ _ __  _ _ __            _ _ _ _    v v v





 









0 x y xx yx xy yy v k k g u g pu p x x y y x y u u q      _ _ _ _                      v v v v



xx yx





xy yy



qv x y   運動量の式を用いると運動量の式を用いると v e T T u k k p q t y x x y y x y _     _  _  _  _  _ _  _                     e e v u v x ここに t y x x y y x y             x      粘性による消散（発熱） 2 2 2 2 2       2   2  2 2 3 y y x              _  _  _ _ _ _  _  _           _   _ u v u v u v x x y エンタルピを用いて整理すると h h h T T             / h e p  v h h h T T k k q t y x x y y _     _  _  _  _  _                   u v x p p p t y     _   _     u x v 

(7)

熱力学関係式





d d pd 1 p hc T T _ (3.24) 1 T         __ _ ここに：体膨張係数 _(3.26)

２次元系のエネルギーの式

p T _ _ ( ) 高速な流れ以外では粘性散逸項は0 p v T T T T T c k k q t y x x y y  _     _  _  _  _  _             u x v y y y  p p p T t y             _   _    t ux vy  x  熱流動現象はdp=0 の場合が多いので通常は 0 Prof. H. Takamatsu 25 熱流動現象 p 場合多通常

3.2.5 非圧縮性流体の基礎方程式

非圧縮物性値定発熱なし非圧縮，物性値一定，発熱なし連続の式 0  (3 27) ナビエ・ストークスの式 0   u Du 1 (3.27) エネルギーの式 2 D 1 Dt       g p  u u (3.28) 重力（体積力）エネルギの式 2 D D T T t   (3.29) 重力（体積力） 2 (m / s)    ：動粘度（kinematic viscosity）ここに (3 30a) (m / s)   2 (m / s) k   ：動粘度（kinematic viscosity）：熱拡散率（thermal diffusivity） (3.30a) (3.30b) Prof. H. Takamatsu 26 ( ) p c  ( ) 熱拡散 y

デカルト座標系（非圧縮）

連続

式

連続の式

0  _ _ _    u v w (3 31)

ナビエ・ストークスの式

x y z    2 2 2   (3.31) 2 2 2 2 2 2 D 1 D x p t  x  x y z        _  _   _      u u u u g 2 2 2   (3.32a) 2 2 2 2 2 2 D 1 D y p t  y  x y z         _   _  _   _ v v v v g 2 2 2      (3.32b)

ネルギの式

2 2 2 2 2 2 D 1 D z p t  z  x y z         _   _  _    _ w w w w g (3.32c)

エネルギーの式

2 2 2 DT __ T _T _ T   ₂ ₂ ₂  (3 33) Dt x  y  z  (3.33)

円筒座標系（非圧縮）

( ) u rv w x r r r 1 1 0 q ¶ ₊ ¶ ₊ ¶ ₌ ¶ ¶ ¶ 2 2 æ ö (3.35) x u u u w u p u u u u v r g t x r r x x r r r r 2 2 2 2 2 1 1 1 n q r q æ ö ¶ ₊ ¶ ₊ ¶ ₊ ¶ _{= -} ¶ ₊ _ç¶ ₊ ¶ _çæ ¶ _÷ö₊ ¶ _÷₊ ÷ ç ç ÷÷ ÷ ç è ø ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ è¶ ¶ ¶ ¶ ø 2 ¶v ¶v ¶v w v¶ w (3 36a) u v t x r r r p v v v v w 2 2 2 1 1 1 2 q ¶ ¶ ¶ ¶ + + + -¶ ¶ ¶ ¶ æ ö ¶ _ç¶ ¶ æ_ç ¶ ö_÷ ¶ ¶ _÷ (3.36a) (3 36b) r p v v v v w r g y n x2 r r r r2 r2 2 r2 r q q ¶ _ç¶ ¶ æ_ç ¶ ö_÷ ¶ ¶ _÷ = - ¶ + èçç¶ + ¶ çè ¶ ÷÷ø- + ¶ - ¶ ÷ø÷+ w w w w w vw u v ¶ ¶ ¶ ¶ + + + + (3.36b) u v t x r r r p w w w w v r g r x r r r r r r 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 q q n r q q q + + + + ¶ ¶ ¶ ¶ æ ö ¶ _ç¶ ¶æ_ç ¶ ö_÷ ¶ ¶ _÷ = -rr¶¶q + ççèè¶¶x +r r¶¶ èèç ¶¶r ø÷÷ø-r +r ¶¶q +r ¶¶qø÷÷ø+ (3.36c) T T T w T T T T u v r t 2 2 2 2 2 1 1 a q q æ ö ¶ ₊ ¶ ₊ ¶ ₊ ¶ ₌ _ç¶ ₊ ¶ _çæ ¶ ö_÷₊ ¶ _÷ ÷ ç ç ÷÷ ÷ ç è ø ¶t ¶x ¶r r ¶_q _ç¶x2 r r¶ _èç ¶r _ø÷ r2 ¶_q2÷ (3.37) ¶ ¶ ¶ ¶ è¶ ¶ ¶ ¶ ø ( )

(8)

２次元定常流れの基礎式

連続

式

連続の式

0  _ _   u v (3.38)

運動量の式

x y   ( ) 2 2 2 2 1 p x y  x  x y  _  _{ }  _  _       _  _ u u u u u v (3.39a) 2 2 2 2 1 p x y  y  x y  _  _{ }  _  _       _  _ v v v v u v (3.39b)

エネルギーの式

2 2 T T T T       2 2  (3 40) x y  x y     _  _   _   _ u v (3.40) Prof. H. Takamatsu 29

無次元の基礎式

連続

式

連続の式

0 _u* __v* _ _x* x L 

運動量の式

* * 0 x  y   * y y L  * 2 2 * * * *2 *2 1 p Re x y x x y  _  _{ } _  _       _   _ * * * * * u * u u u u v u  * u u * 2 2 * * * *2 *2 1 p Re x y y x y  _  _{ } _  _       _   _ * * * * * v * v v v u v u  * v v

エネルギーの式

* * ₁ 2 * 2 * T T T T      * * * 2 p p u    u L Re  * * *2 *2 1 T T T T Pe x y x y  _  _  _      _   _ * * u v _* w w T T T T T     u L Pe  Prof. H. Takamatsu 30 

3.2.6 境界層近似（

boundary layer approximation

）

物体表面に沿う次元定常流れ

物体表面に沿う２次元定常流れ

境界層近似（boundary layer approximation）

(x)  u v u u v v _u e(x) Te , , y x y x  _        u u v v T T   (x) y T T y x  _    Flow x L ( ) T(x) 0 Tw(x) 0 

u

Order estimation：

u* ₁ となるように L を選ぶ

Order estimation

* 1 x   となるように L を選ぶ * v * * * * _u* _v* 連続の式： * 1 y    v _*   v ( _y* 0;_v* 0, _y* ) * 2 * 2 * v v u __u* ₁ _2 *_u ₁ _2 *_v ₁ * * 0 x y  _ _   u v * , *2 , *2 1, x  x  x          v v u * *2 2 *2 1 1 1 , , y  y  y           u u v x方向運動量式： * 2 2 * * * *2 *2 1 p Re x y x x y  _  _{ } _  _       _   _ * * * * * u * u u u u v x方向運動量式： ：1のオーダー y _ y _ 1 1 _1/ ₁ _1/_2 2  のとき粘性項と慣性項が同じオーダー y方向運動量式： y方向運動量式： * 2 2 * * * *2 *2 1 p Re x y y x y  _  _{ } _  _       _  _ * * * * * v * v v v u v ：のオーダー x y y x y    _  _

(9)

境界層方程式（

boundary layer equations

）

連続

式

連続の式

0 u _v _ (3.41)

運動量の式

0 x  y   (3.41) 2 2 2 2 1 p x y  x  x y  _  _{ }  _  _       _  _ u u u u u v (3.42) 2 2 2 2 1 p x y  y  x y  _  _{ }  _  _       _  _ v v v v u v p 0 y ¶ = ¶

エネルギーの式

2 2 T T T T      _{(3 43)} 2 2 T T T T x y  x y  _  _  _      _   _ u v (3.43) Prof. H. Takamatsu 33

境界層方程式

0 x y  _ _   u v _(3.41) 2 2 1 d d u p x y  x  y  _  _{ } _     u u u v x y   (3.42) d x y  x y    ・常微分 ・p(x)が予めわかっていないと解けない

境界条件

2 2 T T T x y  y  _  _     u v (3.43) 境界層外縁の値

境界条件

 

0 : 0, T Tw x     y u v (3.44a) 境界層外縁の値

 

: e x , T Te const.      y u u (3.44b) due  1 dp u （ベルヌーイの定理）より算出 Prof. H. Takamatsu 34 d d e x  x u （ルヌイの定理）より算出

無次元化

無次元数

x* ₌x L_/ _y* ₌_{y L}_/ * _/ * _/

(



)

p* = p/ ru 2 ( ) ( ) T* T T T T

境界層方程式と境界条件

 u =u u/ v =v u/ _ T =(T -T_) (T_w -T_) * *  *  * * * 0 x y  _ _   u v * * * _ _ 2 * (3.46) 物体形係数が式と境 =1/Re * * * 2 * * * * * * _*2 d d L p x y x _y    _  _{ } _    u _ u u u u v (3.47) 形状が相似同じであ界条件は * * 2 * * * * * _*2 T T T x y L _y        _  _      u v u (3.48) 似で，このあれば，支は一致 y * __{0 :} * _ * __{0, T}* _₁ y u v (3.49a) の無次元支配方程 =1/Pe

 

* _: * * * _, * ₀ e x T     y u u (3.49b) 元程

重要な無次元数

レイノルズ数（R ld b ）レイノルズ数（Reynolds number） L L Re u_ (3.50) ：慣性力と粘性力の比プラントル数（Prandtl number）  c  ( ) ペクレ数（Peclet number） p c Pr k      速度境界層と温度境界層の厚さに関連 (3.52) ：運動量拡散と熱拡散の比ペクレ数（Peclet number） p L L c L L Pe = Re Pr k    u  u (3.51) ：流体の持ち去る熱量_{と伝導伝熱量の比} ヌセルト数（Nusselt number） k  hL と伝導伝熱量の比熱伝達率無次元数 L hL Nu k  物体の代表長さが温度境界層の厚さの何倍か (3.57) ：熱伝達率の無次元数 L 代表寸法 L：代表寸法

(10)

3.3 管内流と平行平板間の強制対流

管内流

層流から乱流

遷移

管内流の層流から乱流への遷移

遷移レイノルズ数（critical Reynolds number）

流 , 4 2300 B d cr d m Re d   u    d 2300₂₃₀₀ d Re Re   (3.61) ：層流_：乱流

流れと温度場の流れ方向変化

助走区間十分に発達する x 粘性境界層 B u ( , ) u x r

u r

( ) B 十分に発達した流れ助走区間 d Prof. H. Takamatsu 37 u L 管内流の助走区間速度助走区間（）長さ

速度助走区間（hydrodynamic entrance region）：長さ Lu

(3.62a) (3 62b) / 0.05 ( 2300) u d d L d  Re ：層流 Re  / 10 ( 2300) L d  ：乱流 R  ：十分に発達した流れ（fully-developed flow）温度助走区間（th l t i ）長さ L (3.62b) / 10 ( 2300) u d L d  ：乱流 Re  u xL

温度助走区間（thermal entrance region）：長さ LT

/ 0.05 0.05 ( 2300) T d d d L d  Re Pr  Pe ：層流 Re  / 10 ( 2300) L d  ：乱流 Re  (3.63a) (3 63b) ：十分に発達した温度場

（fully-developed temperature field）

/ 10 ( 2300)

T d

L d  ：乱流 Re  (3.63b)

T

xL

（fully-developed temperature field）

x 粘性境界層 B u ( , ) u x r u r( ) d Prof. H. Takamatsu 38 u L 十分に発達した流れ助走区間

3.3.1 十分発達した流れ

平行平板間

流れ

平行平板間の流れ

x方向運動量の式 y x _u 2H u 2 2 d 1 d d d p x y      _ _   u (3.65) 境界条件： 0, 0 x  _ _   u v : 0 y H u  (3.64) (3.66) 境界条件速度分布 y



2 2



2 1 d 3 1 p y H           ( ) 断面平均速度（mean velocity）:



2 2



1 d 3 1 2 d 2 B p y H y x H         _ _   _ _ _ _   _   _ u u _(3.67) 断面平均速度（mean velocity）: 2 1 d d 2 3 d H B H H p y H   x     _ _  



u u (3.68)   

円管内の流れ（

ハーゲン・ポアズイユ流れ

）

x方向運動量の式 1 d d 1 dp r  _    u   (3 70) y x _u 2H2R r 境界条件： d rd d r r r   x (3.70) 速度分布 d 0 : 0, : 0 d u r r R u r     速度分布



2 2



2 1 d 2 1 4 d B p r R r R        _ _   _ _{ } _   _   _ u u _(3.71) 断面平均速度（mean velocity）:





4 dx  _   R _ 2 1 R R  d  ( ) 2 2 ₀ 1 d d 8 2 d R B R p r x R r       _ _  



u u (3.72)

(11)

3.3.2 十分発達した温度場（平行平板）

適当な参照温度差で無次元化した無次元温度分布が, 下流において軸座標に依存しない温度場  w q w 温度場混合平均温度（b lk ）  x 合同通常はT_wT_B

混合平均温度（bulk mean temperature） q

(a) 等熱流束壁

 

p d d A c T A A T A T 



u



u  x w q w 相似

 

d A A B B p A T x A c A  







_u u (3 74) x q 相似物性値一定の場合 (3.74) 流路断⾯を⼀定時間に通過する流体を q (b) 等温壁図3.13 流路断⾯を⼀定時間に通過する流体を，断熱的に混合した温度 Prof. H. Takamatsu 41 エンタルピーの合計を熱容量で割ったもの十分発達した温度場の温度分布十分発達した温度場の温度分布

 

w B w T T T T    _  ：無次元温度分布 (3.75) B w y H     無次元変数（座標）： _(3.76)



w B

 

w1 B



y H q T h k T T T T y       _ _   _  _



B w

_{   }

₁

_

_{ }

₁ w B k T T k T T H   H   _  _ _ _      d (3.77)

 

1 H hH Nu k        1 1 d d _   _    に関する常微分 (3.78')

 

H N k  (3.78 ) ヌセルト数（熱伝達率）がxに依存しない Prof. H. Takamatsu 42

3.3.3 等熱流束加熱と等温加熱

十分発達した温度場では式( )から温度助走区間十分に発達した温度場十分発達した温度場では，式(3.75)から

 



 



d d 1 d d B w T T _{ } T _{ }  _ _ _  (3.79) T ) (x Tw ) , (xy0 T 一定等熱流束壁の場合：

 



 



d d x x  x   ( ) x . q=const ) (x TB d d T T T ¶ d dq x0 x (a) 等熱流束壁条件温度助走区間十分に発達した温度場 ( ) ( ( )) ( ) d d 1 d d d d( ) d d B w w w B T T T x x x T T T q h q h q h ¶ ₌ ₊ -¶ -= -T Tw(xT)( yx ) 温度助走区間十分に発達した温度場 ( ) dx dx h d d T T T  ∵ q, h 一定だから (T_w－T_B) 一定等温壁の場合： T ) (x TB ) , (xy0 T d d d d B w T T T x x x  _ _  dT dx0 (3.80) 等温壁の場合： x . w T=const (b) 等温壁条件

 

d d B T T _{ }  _  dT_w dx0 (3.95) 図3.14

 

d x x   ( )

等熱流束加熱平行平板

エネルギーの式 2 2 T T _ T  _  _     u v 境界層方程式(3.43)で y x u 2H 2 x y y    v0





22 p p T T c c T k x x y           u u (3.81) x x y    2 Hæ_ç¶_T_÷ö æ_ç¶_T ¶_T ö_÷ ¶_T

ò

上半分y=0～Hに渡って積分 対称右辺

(

Hrc uT yd

)

H d(rc u TB B) ¶ ₌

ò

2 0 d _{y H} _y ₀ _{y H} T T T T k y k k q y y y y = = = ¶ _÷ _ç¶ ¶ _÷ ¶ ç _÷ ₌ _ç _- _÷₌ ₌ ç _÷_÷ _ç _÷ ç¶ ç ¶ ¶ ÷ ¶ è ø è ø

ò

右辺：中辺：

(

)

( ) 0 c uT yp d Hd c u Tp B B x r x r ¶

ò

( ) d 0 d H p p A B c uT y c uT A T x r r º

ò

=

ò

中辺： ∵ 混合平均温度： ( ) d B p B p A T x c u H c u A r r

ò

混合平均温度





d T H_d



cpuBTB



k q (3 82a) y H H c T k q x  y     u _(3.82a)

(12)

dT q dT d d d d B p B T q T x c H x    u 等熱流束では (3.82b) エネルギの式（3 81）に代入 d d d d B T T x  x エネルギーの式（3.81）に代入 2 2 kH T q y    u u 無次元表示 B q y u 速度分布式（3.67）を代入し，無次元化定義無次元表示



2



3 1 1 2   Nu  (3.83) _TTT_Tw 定義境界条件 2 Nu_H 0 : 0   (3 84a) B w T T y H  0 : 0     1: 0     (3.84a) (3.84b) H hH Nu k  Prof. H. Takamatsu 45 温度分布



_{5 6} 2 4



w H T T Nu     式(3.83)を積分 (3 85) 0 6 0.8 1.0 円管  混合平均温度



_{5 6} 2 4



8 w H B w T T        (3.85) 0.2 0.4 0.6 平行平板混合平均温度 0 d H B T y T 



u 1



1_ u _d 無次元化 0.00.0 0.5 1.0 1.5 2.0 1.64 1.29 (T - T_W ) / ( T_B - T_W ) 図3 15



 



1 1 ₂ ₄ 3 ₂ d NuH 5 6 1 d 1        



_ u _ 



    B B T H  u 1 0 d B _ _   



_u (3 86) 図3.15



 



0 d 0 8 5 6 2 1 d 1 B        _ _     



_u



35 Nu dh 8 24 Nu h または (3.86) (3 87) 17 H Nu  _h h 8.24 d N k u   または 4 h d  H 水力直径： (3.87) Prof. H. Takamatsu 46

十分発達した層流熱伝達のまとめ

表3.2 ヌセルト数の漸近値（代表寸法：水力直径）加熱条件平行平板円管加熱条件平行平板円管等熱流束 8 24 4 36 等熱流束 8.24 4.36 等温 7.54 3.66

3.4 物体まわりの強制対流熱伝達

水平平板から

強制対流層流熱伝達

水平平板からの強制対流層流熱伝達

層流の条件： e _{5 10}5 L u L Re    層流の条件支配方程式 主流の流速： ue 主流の温度： Te 壁温（定） T 0 u _v 5 10 L Re _   (3 111) 壁温（一定）： Tw 0 x  y    2  u _ u _  u u v (3.111) (3 112) u 一定 dp 0 T 2 x  y  y    u v 2 2 T T _ T  _  _  u v (3.112) (3 113) u_e 定 0 dx 境界条件 e u e T y 2 x  y  y    u v (3.113) 0 0 T T 0 T  T T   x 0 : 0, _w y u v T T : _e, _e y  uu T T w T (3.114a,b) _図 3.18

(13)

相似変数の導入による常微分方程式化

変数変換（偏微分方程式常微分方程式） y   f

 

  

 

T Te T T     (3.115) e x   u

 

e f x   u

 

Tw Te  _ ( )    ：流れ関数（stream function）  基礎式 y     u x      v 定義： (3.119) 連続の式を満足基礎式 1 0 2 f f f  1 1 (3.116) 最初にこの式を解く→f 境界条件 1 1 0 2 f Pr  (3.117) 次にこの式を解く→ 解析解もあるが，境界条件 0 : f f 0, 1       : f 1, 0       (3.118a) (3.118b) 解析解もあるが，一般には数値的に解く Prof. H. Takamatsu 49 : f 1, 0   ( ) 速度分布 ef   u u





e f f    u  v 0.8 1.0 u / u e (3.120a) (3 120b) 速度境界層厚さ





1/ 2 2 x f f Re   v 0.6 f ' = (3.120b) 0.2 0.4 1/ 2 5 5 x/ e x R    u  速度が主流速度の99%となる位置 (3.121) 摩擦係数 0 1 2 3 4 5 6 0.0  1/ 2 e x e R / e x u Re  x  ( ) 局所レイノルズ数摩擦係数 _{図3.19 無次元速度分布}

 

1 2 1/ 2 / 2 2 0 2 0.664 x f w f C R R    ₂  _{1/ 2}  ₁_{/ 2} (3.123) x f e Rex Rex u 2 ₀ 1/ 2 2 1 L 1.328 f w C dx L  R   _ _   



(3.124) Prof. H. Takamatsu 50 2 ₀ 1/ 2 f w L e L Re     u 



温度分布 1.0 局所ヌセルト数 0.6 0.8 ) / ( Tw - T e )



w



 

0 1/ 2 x x q x Nu Re T T k     0 2 0.4 Pr=1 Pr=0.1  = ( T - T e )





 

x x w e T T k (3.126) Prの関数 近似式 0 1 2 3 4 5 6 0.0 0.2 Pr=10   1/ 2 1/ 3 0.332 (0.5 Pr 15) x x Nu  Re Pr   近似式 (3.128) 平均ヌセルト数  図3.20 無次元温度分布 ( . ) d L





0



1/ 2 1/ 3 d 0.664 (0.5 Pr 15) w L _L w e q x hL Nu Re Pr k T T k      



(3 129) 境界層厚さの関係 (3.129) 1/ 3 Pr  _ (3 130) T Pr   (3.130)

3.5 乱流の概略

乱流

工業上，出現する流れのほとんど

乱流の特徴

速度の不規則変動（時間的・空間的）数学的には取り扱いにくい流体が渦塊（eddies）として運動流体塊間の運動量の混合（乱流混合）速度分布が平坦速度分布平層流乱流低温高速 q 高温低速図3.28 図3.29

(14)

乱流混合の効果

log pD logh 圧力損失熱伝達率増大

鈍頭物体の流動抵抗

摩擦抵抗（friction drag） 102 ₁₀3 ₁₀4 ₁₀2 ₁₀3 ₁₀4 d Re Re_d 摩擦抵抗（friction drag）圧力抵抗（pressure drag）流れのはく離が原因図3.30 管内流の場合流れのはく離が原因圧力抵抗速度境界層はく離点：速度勾配が0 逆流開始点圧力抵抗逆流開始点鈍頭物体の場合はこれが大きい前方よどみ点後方よどみ点はく離を抑えはく離点を後方に形成すれば流動抵抗が低減図3.31 Prof. H. Takamatsu 53 流動抵抗が低減

乱流混合による抵抗低減

層流乱流

乱流混合による抵抗低減

表面の凹凸の効果乱流混合により粘性境界層内乱流混合により粘性境界層内の運動量低下を遅らせるはく離点が後方へはく離点が後方摩擦抵抗は増加するが，全抵抗の大部分を占める圧力抵図3.32 表面の凹凸の効果 2 4 10 3 10 抗大部分を占抵抗が低減例）ゴルフボール 10 40 D C 2 10 2 4 10´ ボルテックス・ジェネレータ抗力係数（drag coefficient） 4 10 1 0 4 乱流境界層出現 d u d Re n ¥ = 2 10 ₁₀4 ₁₀6 0.1 1 0.4



2



/ / 2 D D P C F A u (3.140) Prof. H. Takamatsu 54 図3.33 円柱の抗力係数n

3.6 強制対流乱流熱伝達

滑らかな平面上の乱流境界層滑らかな平面上の乱流境界層粘性底層（viscous sublayer）層流線形速度分布 e u 層流の線形速度分布遷移層（buffer layer） u 完全乱流域遷移層中間領域完全乱流域（fully-turbulent layer）粘性底層対数速度分布





1/ 2 1 ln w y u B        粘性底層遷移層完全乱流域後流域 20 ( _/ )1/ 2 w u t r









1/ 2 ln w B      _ _ 1       _       B y u w 1ln 2 / 1  粘性底層遷移層完全乱流域 10 20  (3.152)         y u w 2 / 1            y B u _ _ln 1 2 3 0.40,B 5.5    (3.153)

壁法則（law of the wall）

  yv y  1/2

1

10 102 103

壁法則（law of the wall）

図3.35

3.6.1 円管内乱流強制対流

管摩擦係数

プラントル（Prandtl）の式壁法則を管断面積分し若干修正壁法則を管断面で積分し，若干修正





10 1 2.0 log Red f 0.80    (3.154) ブラジウス（Blasius）の式





10 g d f f  10-1 2 ( ) 1/ 4 3 5 0.3164 (3×10 10 ) f d d Re Re    ＜＜ 10 1 × 10-3 4 × 10-3 1 × 10-2 yr / d = 4 × 10 -2 遷移域 C_ff



(3.155) ホワイト（White）の式： ( d )



_l



2 5   10-2 遷移域層流域: Blasius 3000 4Cf White



(3 156)





2.5 10 3 8 1.02 log (3×10 10 ) f d d Re Re  _  ＜＜ 103 ₁₀4 ₁₀5 ₁₀6 ₁₀7 10-3 d Re 64 層流域: (3.156) 10 10 10 10 10 Re_d 図3.36

(15)

熱伝達整理式（

correlation）

熱伝達整理式（

correlation）

熱伝達率の実験データを表す相関式式最もポピな式 Dittus-Boelterの式：最もポピュラーな式





0.8 ₃ ₇ 0.023 n 10 10 d d d Nu  Re Pr  Re  (3.157a) Sieder-Tateの式：物性値の温度依存性が無視できない場合物性値は混合平均温度における値を用いる 0.14 0.8 0.023 n d d w Nu  Re Pr _  w  (3.157b)   _w：壁温における粘度ここで 0.4 0.3 n n   ：流体を加熱する場合：流体を冷却する場合ここで (3.158b) (3.158a) Prof. H. Takamatsu 57

3.6.2 平板からの乱流強制対流

流れ方向変化

Re_x105では層流， Re_x>105では乱流として取り扱う速度境界層厚さ h 1/ 2 5Re_x  _  層流： (3.121) 1/5 h _µx- _（乱流） 5Re_x x 1/ 5 0.381Re_x  _  層流：乱流： ( ) (3.159) 局所ヌセルト数 _{h x}_µ -1/2_（層流） x x 4/ 5 1/ 3 0 03 N  R P (3 162) 平均ヌセルト数（層流域が無視できる場合） 0 _x tr x 1/ 3 0.03 (0.7 100) x x Nu Re Pr Pr    (3.162) 図3.37 平板上の熱伝達率変化平均ヌセルト数（層流域が無視できる場合） 4/ 5 1/ 3 0.037 L L Nu  Re Pr (3.164) 達率の変化 Prof. H. Takamatsu 58

3.7 自然対流熱伝達（

natural convective heat transfer

）

自然対流（

）

自然対流（

natural convection

）

温度差による浮力（buoyancy）が流れの駆動力速度場と温度場が影響を及ぼしあう鉛直平板から水平円柱から煙草の煙鉛直平板からの自然対流の自然対流煙草の煙ベナール・セル人の体からの自然対流シリコンオイル液層の下面加熱による自然対流加熱による自然対流

(16)

垂直平板からの自然対流

密度

 

T

 

Te



T Te



T    _ _     (3.174)

流体の単位体積あたりの浮力

Tw e T 上昇流

 





e e e p T T T    _    ( ) e g

 



 Te  T



g 

 

Te g



T Te



ここで (3.175)  1 p T T T         __ _ ここで (3.176) 気体の場合 x 0 y u v e p T T   _ 体膨張係数(1/K) 気体の場合 ₀ y

 

C1 273 e T     (3.177) 図3.39 Prof. H. Takamatsu 61

 

e

浮力とは

静止流体中にある物体に働く力 d d d dx y pd dx y p d dx y     g   _ g _ pdp pdp 静止流体の力のバランス d d d d d d d d x y x y x y x x  _  _   g g dp g g p p x d d d d d 0 d p x y x y x _  g   _y 以上より dp _ ₀   g 静止境界層 d d ( p x    _   _  _  g    )g 浮力 dx g 境界層方程式（重力を考慮，式(3.42)参照） pdp 2 _{1 d} u p  u u g g p 2 2 1 d d u p x y  y  x    _  _  _{ }      u u u g u v (T T )  Prof. H. Takamatsu 62 2 y         g g(TT)

基礎方程式

ブシネ近似（Boussinesq approximation）温度による密度の変化を，運動方程式の体積力項にのみ考慮し，他の項では無視する（慣性項では無視） 0 x y  _ _   u v _(3.178) 上昇流 y





2 2 T Te x y  y   _  _  _ _    u u u u v g (3.179) w T e T g x y y    2 2 T T _ T  _  _     u v (3.180)  g 2 x y y    ( ) x u v 0 y u

自然対流で重要な無次元数

グラスホ数（G h f b ）グラスホフ数（Grashof number）





3 2 w e x T T x Gr g  (3.182) 局所 2 x 





3 2 w e L T T L Gr  g  平均浮力と粘性力の比レイリー数（Rayleigh number） 2 L _





3 w e x x T T x Ra Gr Pr g _ (3.183) 局所





3 w e L L T T L Ra Gr Pr     g 平均乱流への遷移 9 ~ 10 x Rax

(17)

垂直平板からの自然対流熱伝達の整理式

層流層流局所ヌセルト数 1/ 4 1/ 4 0 60 Pr Nu  Ra _ _{ (3 192)} Ra と Pr の関数 平均ヌセルト数 0.60 1 2.005 2.033 x x Nu Ra Pr Pr  _ _     1/ 4 1/ 4 0 80 Pr N R _ _ (3.192) (3 193) 乱流 1/ 4 0.80 1 2.005 2.033 L L Nu Ra Pr Pr     _ _    1/ 4 4 9 0.59 (10 10 , 0.7) L _L _L Nu  Ra Ra  Pr (3.193) (3.194) 物性値はすべて乱流局所ヌセルト数 1/ 5 2 / 5 0.040 Pr N G (3 199) 物性値はすべて (T_w+T_e)/2に基づく膜温度



_{2 / 3}



2 / 5 2 / 5 1 2.023 x x Nu Gr Pr   1/ 3 9 12 0.13 (10 10 ) x x x Nu  Ra Ra  (3.199) (3.200) h は x に無関係 膜温度平均ヌセルト数（層流から乱流まで） 2 1/ 6 0.387 0 825 L L Ra Nu       (3 202a) Prof. H. Takamatsu 65  



_{9 /16}



8 / 27 0.825 1 0.492 / L Nu Pr      _    (3.202a)

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第3章 対流熱伝達

3.1 対流熱伝達の概要

対流熱伝達

（

f

）

対流熱伝達

（

convective heat transfer

）

3.1.1 対流熱伝達の分類

3.1.2 対流熱伝達率と境界層

ト

冷却法則

（

f

）

ニュートンの冷却法則

（

Newton’s law of cooling

）

対流と熱伝導の関係

伝熱面表面での熱の移動

境界層

（

boundary layer

）

境界層

（

boundary layer

）



 



















境界層厚さの定義

境界層厚さの定義

局所熱伝達率と平均熱伝達率

熱伝達率

分布

熱伝達率の分布

局所熱伝達率

（

local heat transfer coefficient

）

平均熱伝達率

（

h t t

f

ffi i t

）

平均熱伝達率

（

average heat transfer coefficient

）





平均熱伝達率

平均熱伝達率























3.2 対流熱伝達の基礎方程式

3 2 1 基礎方程式の概要

第3章対流熱伝達

_{local heat transfer coefficient}

質量保存則（次元場合）

_{ }

_{ }

_{ }

_

_

_{ }

トク

ニュトン流体，

_