第３学年Ａ組 数学科学習指導案 指導者 長期派遣研修員 吉崎 加津美 １ 単元 平行線と線分の比 ２ 指導観 ○ 図形は，身の回りに存在する具体物を視覚的にとらえたものではなく，それを単純化，理想化 する過程を通し て得られた数学的な対象である。「形」，「大きさ」，「 位置関係」という観点で事象を考察することで，平面図形や 空間図形についての概念や性質についての理解を深めることができる。また，図形に対する直観的な見方や考え 方，および ，図形の性質を数学的な推論の方法によって考察する過程を通して養われる論理的な見方や考え方は， 数学の学習のみならず，私たちが社会生活を行っていく上で重要な役割を果たす。 生徒は，小学校で，比の表し方や等しい式，比の関係から数量を求めることを学習している。また，中学校第 １学年では，小学校で学習してきた基本的な図形の性質を対称性の観点からとらえ，基本的な作図の学習を行っ ている。第２学年では，対頂角の性質や平行線と角の性質，三角形の合同条件などを基に，図形の性質を演繹的 な推論によって確かめていく学習を行っている。さらに，第３学年では，前単元で，相似の意味と三角形の相似 条件について学習している。そこで，本単元 では，平行線と線分の比の性質を見いだし，これを確かめることを ねらいとする 。具体的には，平行線と線分の比についての理解を深め，これを利用して，図形の性質を証明する などできるようにする。また，本単元は高等学校の数学Ⅰの図形と計量につながるものである。 以上のことから，本単元は，これまで学習してきた「図形の合同」から「図形の相似」へと発展させ，図形の 関係を多面的に考察し，数学的な見方や考え方，論証能力を高めることができる。さらに,平行線の性質や三角形 の相似を基に，平行線と線分の比における数理を構成する本単元は，新しい問題解決場面に直面したとき，すで に知っている方法に帰着させるという考え方を育てる上でも大変意義深い。 ○ 本学級の生徒の図形領域への興味・関心を調査したところ，学級平均値は 2.3（４段階評定尺度法）であった。 評定の高い生徒の理由としては，「補助線を入れるなど作図することで求められる（発見がある ）」，「パズルみた いでおもしろい」，「角度を求めるのがおもしろい」であった。逆に，評定の低い生徒の理由としては，「公式が多 い」，「証明の仕方が難しい（証明の流れが覚えられない）」「 どの定理や性質を使えばよいのか分からない」など を上げている。このことから，生徒は「決まったやり方で解かなければいけない」，「やり方を覚えることばかり である」ととらえているようである。また，これまでの図形の学習で達成感を味わった経験がある生徒は 19 人（30 人中）であった。その主な理由としては「自力で問題が解けたとき」，「今までできなかった問題ができたとき」， 「別の考えで解く方法をみつけたとき」などを上げている。 既習内容については，「三角形の内角の和は 180°である 」や「平行四辺形の向かい合う辺の長さはそれぞれ等 しい」などを証明する際，補助線を引き，その理由も述べることができる生徒は，それぞれ５人と９人であった。 また，既習の図形の性質を基にして図の中から二等辺三角形を見いだすことができる生徒は 12 人，これが二等辺 三角形であることを 証明できる生徒は５人であった。さらに，垂直二等分線 や角の二等分線などの基本的な作図 ができる生徒は 20 人，平行線の性質や多角形の性質を基に角度を求めることができる生徒は 22 人，簡単な比の 性質を理解している生徒は 24 人，平行や垂直，合同などの基礎的な記号を理解している生徒は 28 人であった。 以上のことから，生徒は，本単元に関して，興味・関心はあまり高くなく，思考力も十分でない。しかし，表 現力や理解力 においてはほとんどの生徒が概ね高い数値を示した。このことから，問題を解決していく過程で， 驚きや感動，さらには図形を学ぶことのおもしろさなどを 味わわせ，生徒が自ら既習の知識を基にして図形の性 質を発見して解き明かし，達成感を感じることができるよう工夫が必要であると考える。 ○ 指導にあたっては，生徒に自ら考える必要性をもたせ，根拠を考えさせることで，新たな発見ができるような 学習を行う。そこで，本単元では，生徒に「ずれ」を意識・解消させる活動を学習過程に位置付けることによっ て，自ら平行線と線分の比の性質における数理を構成できるようにすることをねらいとする。そこで，各次にお いて，次のような学習活動を設定する。 第一次では，まず，平行線と線分の比の性質を探求することに興味・関心をもたせ，学習内容につながる課題 を明らかにできるようにする。そのために，「長さを測る場合は測る場所に直接定規を当てる」というこれまでの 認識との「ずれ」を意識させる活動として，定規を直接当てただけでは比が求められない長さをもつ長方形を提 示し，辺の分け方を予想させる活動を設定する。次に，平行線の性質や三角形の相似を基に，平行線 と線分の比 の性質が見いだせるように，「ずれ」を解消させる活動として ，見つけた辺の比の分け方でどうして辺をわけるこ とができるのか演繹的推論にて調べる活動を設定する。この際，補助線を引くという操作的活動を通して，生徒 の考え(根拠)を見取る。最後に，平行線と線分の比の性質における数理の構造を再確認する場を設定し，この数 理を他の条件や場面に適用して，よさを認識させる。 第二次では，まず，三角形の２辺の中点を結ぶ線分のもつ性質を探求することに興味・関心をもたせ，学習内 容につながる課題を明らかにできるようにする。そのために，「三角形の２辺の中点を結ぶ線分の長さについて， 頂点の位置を変えると，中点を結ぶ線分の長さも変わる」というこれまでの認識との「ずれ」を意識させる活動 として，中点の結ぶ線分の長さの関係を予想させる活動を設定する。次に，平行線と線分の比の性質を基に，中 点連結定理が見いだせるように，「ずれ」を解消させる活動として，見つけた性質がどうして成り立つのかを演繹 的推論にて調べる活動を設定する。最後に第一次と同様に，見いだした性質を他の場面に適用する場を設定する。 ３ 単元目標 ○ 平行線の性質や三角形の相似を基に，平行線と線分の比の性質における数理を構成するとともに，この数理 を活用できるようにする。 根拠を明らかにしながら数理を構成する生徒を育てる数学科学習指導の在り方 ―「ずれ」を意識・解消させる活動を通して― 研究主題
４ 単元評価規準 関心・意欲・態度 数学的な見方や考え方 表現・処理 知識・理解 ○平行線の性質や三角形 の相似を基に図形の性 質を考えようとする。 ○平行線と線分の比の性質を，平行 線の性質や三角形の相似を基に考 察し，証明することができる。 ○平行線と線分の比の性質を 用いて，線分の長さや比を求 めることができる。 ○平行線と線分の比の 性質を理解するこ と ができる。 ５ 単元計画（８時間） 次 時 学習活動・内容 生徒の思考 指導・援助の手だて １ (1) １ 平行線と線分の比についての課題を見いだす。 (１) 実測できない線分の比について考える。 (２) 学習内容につながる課題を明らかにし，まとめる。 ・平行線と線分の比の性質 定規を当てれば 比は分かるよな。 縦の長さは定規 を当てても測れ ないぞ。 定規を斜めに当 てて比をとり，平 行線を引けば縦 の長さの比がと れそうだぞ。 平行線 や線分の 比についての 関 係を明らかにす る必要があるぞ。 ・「長さを測る場合は測る場所に直接定規を 当てる」という既習の知識（認識）との 「ずれ」を意識させるために，定規を直 接当てただけでは比が求められない長さ をもつ長方形を提示し，比のとり方を予 想させる活動を設定する。 ・定規を斜めに当てて比をとり，平行線を ひいて本時の課題を解決できるように， 直角三角形の模型を使った操作的活動を 仕組む。 一 ２ (3) ２ 平行線と線分の比の性質における数理を構成する。 (１) 平行線と線分の比について考える。 ・AD//ＰＱ//ＢＣ⇔ＡＰ：ＰＢ＝ＤＱ：ＱＣ (２) 平行線と線分の比についての性質（逆）をまと め，他の場面で確かめる。 平行線と線分の比 についての予想は 正しいのかな。 平行線 と線分の 比について，三角 形の相似を基に， 予想が正しかっ たことを明らか にできたぞ。 定規を斜めに当 てて比をとり，平 行線を引けば縦 の長さの比がと れることが，正し いということが わかったぞ。 ・平行線と線分の比を意識し，平行ならば 比が等しくなることを予想できるよう に，実際に図を作図させ，それを実測さ せる活動を行う。 ・生徒の思考を援助するために，根拠とな る事柄（既習の図形の性質や定理など） を，生徒に出させ板書していく。 ・平行線と線分の比の性質における数理の 構造を再認識できるように，なぜ補助線 を入れたのかを考える場を設定する。 ３ (1) ３ 三角形の２辺の中点を結ぶ線分についての課題 を見いだす。 (１) 辺の中点を結ぶ線分の長さについて考える。 (２) 学習内容につながる課題を明らかにし，まとめる。 ・三角形の２辺の中点を結ぶ線分のもつ性質 平行線 と線分の 比の定理とその 逆を使えば，簡単 に解けるよな。 Ｐ´Ｑ´＝ＰＱ になるのかな。 ２つの線分が等し くなることはどの ように説明したら よいのかな。 三角形の２辺の中 点を結ぶ線分と三 角形の辺との関係 を明らかにする必 要があるぞ。 ・問題ⅠはＰＱ//ＢＣの条件がないというこ とから，平行線と線分の比の性質がすぐ に使えないということを確認する。 ・「三角形の２辺の中点を結ぶ線分の長さに ついて，頂点の位置を変えると，中点を 結ぶ線分の長さも変わる」という既習の 知識（認識）との「ずれ」を意識させる ために，中点を結ぶ線分の長さの関係を 予想する活動を設定する。 ・生徒が視覚的にとらえやすいように，ジ オボードを活用する。 二 ４ (3) ４ 中点連結定理における数理を構成する。 (１) 三角形の２辺の中点を結ぶ線分について考える。 ・ＡＰ＝ＰＢ，ＡＱ＝ＱＣのとき，ＰＱ//ＢＣ，ＰＱ＝ ＢＣ (２) 中点連結定理をまとめ，他の場面で確かめる。 三角形の２辺の 中点を結ぶ線分 についての予想 は正しいのかな。 三角形の２辺の 中点を結ぶ線分 について，平行線 と線分の比につ いての性質を基 に，予想が正しか ったことを明ら かにできたぞ。 頂点をどこにとっ ても中点を結んだ 線分の長さが変わ らないことが分か ったぞ。 ・三角形の２辺の中点を結ぶ線分と底辺の長 さを意識し，長さの関係が予想できるよ うに，実際に図を作図させ，それを実測 させる活動を行う。 ・中点連結定理を証明するためには，さま ざまな根拠となる定理や性質があり，こ れらを学習プリントにまとめさせたり， 口頭で表出させたりすることで，根拠を 明らかにさせていく。 ・中点連結定理における数理の構造を再認 識できるように，証明を見つめ直す場を 設定する。 平行線と線分の比について 探求すること に興味・関心をもたせ，学習内容につなが る課題を明らかにすることができる。 問題Ⅱ ねらい 問題Ⅰ 学習課題 平行線の性質や三角形の相似を基に，平行 線と線分の比の性質における 数理を構成 することができる。 Ｂ Ｃ Ｐ Ｑ Ａ Ａ Ｂ Ｃ Ａ Ｂ Ｃ ´ ´ ´ Ａ Ｐ Ｑ Ｂ Ｃ ねらい Ａ Ｐ Ｑ Ｂ Ｃ D 問題Ⅰ 問題Ⅱ 三角形の２辺の中点を結ぶ線分のもつ性質 を探求することに興味・関心をもたせ，学 習内容につながる課題を明らかにする。 （ア）Ｐ´Ｑ´ ＜ＰＱ （イ）Ｐ´Ｑ´＝ＰＱ （ウ）Ｐ´Ｑ´＞ＰＱ Ａ Ｐ Ｑ Ｂ Ｃ Ａ Ｐ Ｑ ´ ´ ´ ねらい Ａ Ｐ Ｑ Ｂ Ｃ 6c m xcm 8cm 6c m 5cm 5cm 図のように，線分ＢＣを固定し，点Ａをとって， △ＡＢＣをかき，辺ＡＢ，ＡＣ の中点をＰ，Ｑ とし，ＰとＱを結ぶ。次に，点Ａ´を辺ＢＣに対 して点Ａよりも離れた位置にとって，△Ａ´ＢＣ をかき，辺Ａ´Ｂ，Ａ´Ｃの中点をＰ´，Ｑ´とし， Ｐ´とＱ´を結ぶ。ＰＱとＰ ´Ｑ´の長さの関係は次 の（ア），（イ），（ウ）のどれになるでしょうか。 平行線と線分の比についての性質を基に， 中点連結定理における数理を構成すること ができる。 学習課題 Ａ Ｐ Ｑ Ｂ Ｃ 2 1 ねらい Ａ Ｄ Ｐ Ｒ Ｓ Ａ Ｓ Ｄ Ｒ Ｃ Ｂ Ｐ △ＡＢＣがある。図のように，辺ＡＢ， ＡＣの中点をＰ，Ｑ とし，ＰとＱを結ぶ。 各辺が図のような長さになるとき，ＰＱ の長さは何cm になるでしょうか。 Ａ Ｄ Ｂ Ｃ 台形ＡＢＣD がある。図のように ＰＱ//ＢＣとなるように，辺ＡＢ， ＡＣ上にそれぞれ点Ｐ，Ｑをとる。 このとき， ＡＰ：ＰＢ＝ＤＱ：ＱＣとなるこ とを証明してみる。 △ＡＢＣがある。 図のように辺ＡＢ，ＡＣの中点をＰ，Ｑ とし，ＰとＱを結ぶ。 このとき，ＰＱ＝ ＢＣ となることを証明してみる。 2 1 縦と横の長さがわからない長方形の紙が ある。この紙の横の辺を２：３の長さにな るように正確に分けたい。手元には等間隔 の目盛りのはいった定規だけがある。この 定規を使って，横の辺を正確に分け，分け た点を長方形にかき込んでみましょう。 問題Ⅰの長方形の紙の縦の辺を２：３の長さになるように正確に 分けたい。問題Ⅰと同じ定規を使って，縦の辺を正確に分け，分 けた点を長方形にかき込んでみましょう。
６ 検証授業１ 第一次の１時（１／８） 11 月 29 日（水）４校時 (1) 目標 平行線と線分の比の性質を探求することに興味・関心をもたせ，学習内容につながる課題を明らかにするこ とができる。 (2) 展開 学習活動・内容 指導・援助の手だて 形態 配時 評価規準(方法) １ 本時の学習の方向を確認する。 (1) 前時までの学習過程を振り返る。 ・相似な図形の性質 ・三角形の相似条件 (2) 問題Ⅰの解決を図る。 ・長方形の横の辺に定規を当てて実測 (3) 問題Ⅱを把握する。 ・長方形の縦の辺に定規を当てて実測 不可能 (4) 本時の学習のめあてを確認する。 ○前時までの学習内容を振り 返り，生徒に相似な図形の 性質や三角形の相似条件な どを出させることで ，既習 内容および 本時学習内容と のつながりを意識させる。 ○「長さを測る場合は測る場 所に直接定規を当てる」と いう既習の知識（認識）と の「ずれ」を意識させるた めに，定規を直接当 てただ けでは 比が求められない長 さをもつ長方形 を提示し， 比のとり方を予想させる活 動を設定する。 ○問題Ⅱでは，定規を当てて も比が求められないことだ けを確認させ，学習のめあ てを提示する。 一斉 ／ 個 ／ 一斉 10 問題に興味・関 心を示し，課題 意 識 を も つ こ とができる。 (様相観察， 振 り返りシート ) ２ 定規を当てても長さが測れない辺の分け方を探 る。 (1) 個人で追求する。 (2) 発見した辺の分け方を全体で確認する。 (3) 比の値が他の場合でもこの辺の分け方がいえるの か，同じ定規を使って作図し，実測して確かめる。 ・１：３ ・２：１ ○生徒ができるだけ 自分の発 想を生かして課題追求でき るように，個人の思考時間 を十分に確保する。 ○手が付かない 生徒が帰納的 に考えられるような 手だて として ，きちんと比がとれ た図形（重ね合わせると比 が確認できるもの）を配布 する。 個 ／ 一斉 ／ 個 30 ３ 本時のまとめをする。 (1) 本時のまとめをするとともに，今後の学習課題 を明らかにする。 今後の学習課題 ・見つけた 辺の分け方でどうして辺を分けること ができるのか調べてみたい。 ・長方形ではなく，他の図形（台形や平行四辺形 など）でもいえるのか調べてみたい。 (2) 次時についての話を聞く。 ・見つけた 辺の分け方でどうして辺を分けること ができるのかを調べる。 ○本時の学習活動で分かった こ と を 明 確 に で き る よ う に，「○○すれば○○にな る」の○○を考えさせるこ とで，仮定と結論を明らか にさせる。 ○今後の学習課題を明確にす ることができるように，知 りたいこと ，調べたいこと を 学 習 プ リ ン トに 整 理さ せ，発表させる。 ○次時の学習内容と方向を把 握できるように ，生徒の発 言からでてきた 課題（見つ けた辺の分け方でどうして 辺を分けることができるの かを調べる）ことを告げる。 個 ／ 一斉 10 本 時 の 学 習 で 分 か っ た こ と や 今 後 の 学 習 課 題 を 明 ら か に す る こ と が できる。 (学習プリント， 振り返りシート) 問題Ⅰ 縦と横の長さがわからない長 方形の紙がある。この紙の横の 辺を２：３の長さになるように 正確に分けたい。手元には等間 隔の目盛りのはいった定規だけ がある。この定規を使って，横 の辺を正確に分け，分けた点を 長方形にかき込んでみましょう。 問題Ⅱ 問題Ⅰの長方形の紙の縦の辺を２：３の長さになるよ うに正確に分けたい。問題Ⅰと同じ定規を使って，縦の 辺を正確に分け，分けた点を長方形にかき込んでみよう。 定規を当てても長さが測れない辺の分け方を見つけよう。 a b a b ・斜めに定規を当てて長さを 測り，横の辺（底辺）に平 行な線をひけば，斜めの辺 の比と縦の辺の比が等し くなる。 ： ： ・定規を斜めに当てて，２：３に分ける点をとる。 ・その点を通り，横の辺に平行な線を引く。 ・この線と縦の辺と交わったところが，縦を ２：３の比に分けた点である。 見つけた辺の分け方
７ 検証授業２ 第一次の２時（２／８） 11 月 30 日（木）１校時 (1) 目標 平行線の性質や三角形の相似を基に，平行線と線分の比の性質における数理を構成することができる。 (2) 展開 学習活動・内容 指導・援助の手だて 形態 配時 評価規準(方法) １ 本時の学習の方向を確認する。 (1) 前時までの学習過程を振り返る。 ・見つけた 辺の分け方でどうして辺を分けること ができるのか。 ・長方形ではなく，他の図形（台形や平行四辺形 など）でもいえるのか。 (2) 本時の学習課題を確認する。 (3) 本時の学習のめあてを確認する。 ○前時に生徒が見いだした課 題を振り返らせることで， 平行線 と線分の比の性質を 明らかにすることに 対して の追求意欲を引き出す。 ○「長方形 に斜めに定規を当 てて比をとり，横の辺と平 行な線を引く」という，前 時に見つけた縦の辺の分け 方を確認しながら，単純化 の考え方 をすれば，台 形の 部分だけ取り出して考えてい けばよいということを確認し， 本時の学習課題 を作り上 げ ていく。 ○生徒がきちんと課題を追求で きるように ，仮定 と結 論 を明 確にする。 一斉 ／ 個 ／ 一斉 10 ２ 平行線と線分の比の性質を明らかにする。 (1) 多様な考えで補助線を引き，全体で確認する。 【予想される生徒の考え】 (2) 補助線を入れたいろいろな形の 図形の中から，自己選択し，課題を解決する。 (3) 学級全体で検討する。 ・ＡＤ//ＰＱ//ＢＣならばＡＰ：ＰＢ＝ＤＱ：ＱＣ (4) 他の場面（∠Ｂ＝90°でない場合）でも成り立 つことを確認する。 ○生徒の思考を援助するため に，まず図形にいろいろな 補助線 を入れる活動を仕組 む。そして ，全体で多様な 補 助 線 を 確 認 する 場 を設 け，その後，この補助線を 入れた図形の中から自己選 択させ，課題を追求させる。 ○ 多 様 な考 え で補 助 線が ひ け，また，その解決方法も いろいろと 存在するため， 生徒が自分の考えをもつこ とができるように個人の思 考時間を十分に確保する。 ○生徒が周りの考えを取り入 れたり ，自分の考えを確か めたりできるように ，全体 で検討する場を設ける。 ○全体で，互いの気付きを共 有できるように ，相互評価 表を準備し，活用させる。 個 ／ 一斉 ／ 個 ／ 一斉 ／ 個 30 平 行 線 と 線 分 の比の性質を， 平 行 線 の 性 質 や 三 角 形 の 相 似 を 基 に 考 察 し，証明するこ とができる。 (学習プリント) なぜ補助線を入 れたのか，その 根拠を述べるこ とができる。 (学習プリント) ３ 本時のまとめをする。 (1) 構成した数理（平行線と線分の比の性質）をまとめ，その構造 を見直し，なぜ補助線を入れたのかを考える。 ・三角形の相似に帰着したため △ＡＰＱ∽△ＡＢＣより ＰＱ//ＢＣならば ＡＰ：ＰＢ＝ＡＱ：ＱＣ (2) 他の条件や場面に適用して線分の長さを求める。 ○平行線と線分の比の性質に おける 数理の構造を再認識 できるように，なぜ補助線 を入れたのかを 考える場を 設定する。 ○平行線と線分の比の性質の よさを 認識できるように， 条件や場面を変更して線分 の長さを求める活動を設定 する。 ○生徒の考え(根拠)を見取る ために ，必要な場合はきち んと補助線 を入れて線分の 長さや比を求めることがで きるかを確認する。 個 ／ 一斉 10 平 行 線 と 線 分 の 比 の 性 質 を 用いて，必要な 補 助 線 を き ち んと引き，線分 の 長 さ や 比 を 求 め る こ と が できる。 (学習プリント) 底辺に平行な線をひくと，左右にできる辺の比が どうして等しくなるのかを調べてみよう。 Ａ Ｂ//ＤＥ △ ＤＲＱ ∽△Ｄ ＥＣを 使って Ａ Ｅ//ＤＣ △ ＡＰＲ ∽△ＡＢＥを 使って △ ＢＲＰ ∽△ＢＤＡ △ ＤＲＱ ∽△ＤＢＣを 使って △ ＥＡＤ ∽△ＥＰＱ △ ＥＰＱ ∽△ＥＢＣを 使って Ａ Ｂ Ｃ Ｐ Ｑ Ａ Ｂ Ｃ Ｐ Ｑ 6 3 x 15 Ｃ Ｂ Ａ Ｐ Ｑ x 9 3 6 Ａ Ａ´ Ｂ´ Ｃ´ Ｂ Ｃ 3 2 x 6 課題 台形ＡＢＣＤがある。 図のようにＰＱ//ＢＣとなる ように，辺ＡＢ，ＡＣ上に それぞれ点Ｐ，Ｑをとる。 このとき， ＡＰ：ＰＢ＝ＤＱ：ＱＣ となることを説明してみる。 Ａ Ｐ Ｑ Ｂ Ｃ D Ａ Ｐ Ｑ Ｂ Ｃ D Ｅ Ｒ Ａ Ｐ Ｑ Ｂ Ｃ D Ｅ Ｒ Ａ Ｐ Ｑ Ｂ Ｃ D Ｒ Ａ Ｐ Ｑ Ｂ Ｃ D Ｅ
８ 検証授業３ 第二次の１時（５／８） 12 月５日（火）５校時 (1) 目標 三角形の２辺の中点を結ぶ線分のもつ性質を探求することに興味・関心をもたせ，学習内容につながる課題 を明らかにすることができる。 (2) 展開 学習活動・内容 指導・援助の手だて 形態 配時 評価規準(方法) １ 本時の学習の方向を確認する。 (1) 前時までの学習過程を振り返る。 ・平行線と線分の比についての性質 (2) 問題Ⅰの解決を図る。 ・ＡＰ：ＰＢ＝ＡＱ：ＱＣよりＰＱ//ＢＣだから 平行線と線分の比の定理より ＡＰ：ＡＢ＝ＰＱ：ＢＣ よって
x
=
4
(3) 問題Ⅱを把握する。 ・Ｐ´Ｑ´＜ＰＱ (4) 本時の学習のめあてを確認する。 ○前時までの学習内容を振り 返り，生徒に平行線 と線分 の比についての 性質を出さ せることで ，既習内容およ び本時学習内容 とのつなが りを意識させる。 ○「三角形 の２辺の中点を結 ぶ線分の長さについて，頂 点の位置を変えると ，中点 を 結 ぶ 線 分 の 長さ も 変わ る」という 既習の知識（認 識）との「ずれ」を意識さ せるために ，中点の結ぶ線 分の長さの関係を予想する 活動を設定する。 ○問題を提示する場面では， 生徒が視覚的にとらえやす いように，ジオボードを活 用する。 一斉 ／ 個 ／ 一斉 10 問題に興味・関 心を示し，課題 意 識 を も つ こ とができる。 (様相観察， 振 り返りシート ) ２ 三角形の２辺の中点を結ぶ線分のもつ性質を探 る。 (1) 個人で追求する。 (2) 発見した性質を全体で確認する。 ○中点を結んだ線分と底辺と の関係を意識し，辺の値がど のような場合でも，中点を結 んだ線分の長さは底辺の半 分にことを見いだせるよう に，実際に図を作図させ，そ れを実測させる活動を行う。 ○生徒ができるだけ 自分の発 想を生かして課題追求でき るように，個人の思考時間 を十分に確保する。 個 ／ 一斉 ／ 個 25 ３ 本時のまとめをする。 (1) 本時のまとめをするとともに，今後の学習課題 を明らかにする。 今後の学習課題 ・見つけた 性質（三角形の２辺の中点を結ぶ線分 の長さは，他の１辺の長さの半分になる ）がど うしていえるのか調べてみたい。 (2) 次時についての話を聞く。 ・見つけた性質がどうしていえるのかを調べる。 ○本時の学習活動で分かった こ と を 明 確 に で き る よ う に，「○○すれば○○にな る」の○○を考えさせるこ とで，仮定と結論を明らか にさせる。 ○今後の学習課題を明確にす ることができる ように，知 りたいこと ，調べたいこと を 学 習 プ リ ン トに 整 理さ せ，発表させる。 ○次時の学習内容と方向を把 握できるように ，生徒の発 言からでてきた 課題（見つ けた性質がどうしていえるの かを調べる）ことを告げる。 個 ／ 一斉 15 本 時 の 学 習 で 分 か っ た こ と や 今 後 の 学 習 課 題 を 明 ら か に す る こ と が できる。 (学習プリント， 振り返りシート) 問題Ⅰ △ＡＢＣがある。図のように， 辺ＡＢ，ＡＣの中点をＰ，Ｑと し，ＰとＱを結ぶ。 各辺が図のような長さになる とき，ＰＱの長さは何cm にな るでしょうか。 問題Ⅱ 図のように，線分ＢＣを固定し，点Ａをとって，△ＡＢＣをかき， 辺ＡＢ，ＡＣの中点をＰ，Ｑとし，ＰとＱを結ぶ。次に，点Ａ´を 辺ＢＣに対して点Ａよりも離れた位置にとって，△Ａ´ＢＣをかき， 辺Ａ´Ｂ，Ａ´Ｃの中点をＰ´，Ｑ´とし，Ｐ´とＱ´を結ぶ。 ＰＱとＰ´Ｑ´の長さの関係は次の（ア），（イ），（ウ）のどれにな るでしょうか。 三角形の２辺の中点を結ぶ線分のもつ性質を見つけ よう。 ・点ＡをどこにとってもＰＱの長さは変わらな い。 ・ＰＱの長さはＢＣの長さの半分になっている。 (・ＰＱとＢＣは平行になっている。) Ａ Ｐ Ｑ Ｂ Ｃ 6cm xcm 8cm 6cm 5cm 5cm Ａ Ｐ Ｑ Ｂ Ｃ Ａ Ｐ Ｑ ´ ´ ´ （ア）Ｐ´Ｑ´ ＜ＰＱ （イ）Ｐ´Ｑ´＝ＰＱ （ウ）Ｐ´Ｑ´＞ＰＱ Ｂ Ｃ Ａ Ｐ Ｑ ＡＰ＝ＰＢ，ＡＱ＝ＱＣ ならば ＰＱ＝ ＢＣ （ＰＱ//ＢＣ） 見つけた性質 2 1９ 検証授業４ 第二次の２時（６／８） 12 月６日（水）１校時 (1) 目標 平行線と線分の比の性質を基に，中点連結定理における数理を構成することができる。 (2) 展開 学習活動・内容 指導・援助の手だて 形態 配時 評価規準(方法) １ 本時の学習の方向を確認する。 (1) 前時までの学習過程を振り返る。 ・三角形の２辺の中点を結ぶ線分の長さは，どう して他の１辺の長さの半分になるのか。 (2) 本時の学習課題を確認する。 (3) 本時の学習のめあてを確認する。 ○前時に生徒が見いだした課 題を振り返らせることで， 三角形 の２辺の中点を結ぶ 線分のもつ 性質を明らかに することに 対しての 追求意 欲を引き出す。 ○生徒が視覚的 にとらえやす いように図の辺を色分けし て表す。 ○生徒がきちんと課題を追求で きるように ，仮定 と結 論 を明 確にする。 一斉 ／ 個 ／ 一斉 15 ２ 三角形の２辺の中点を結ぶ線分のもつ性質を明 らかにする。 (1) 説明のための見通しを，全体で確認する。 【予想される生徒の考え】 (2) 見通しの中から，自己選択し，課題を解決する。 (3) 学級全体で検討する。 ・ＡＰ＝ＰＢ，ＡＱ＝ＱＣならば ＰＱ＝ ＢＣ （ＰＱ//ＢＣ） ○大半の生徒は，三角形の相 似，または ，平行線 と線分 の比の性質とその逆の性質 を使って説明すると 考えら れる。この説明が早くでき た生徒には，平行四辺形の 性質を使ってできないか， 補助線 のみを入れた図を提 示し，取り組ませる。 ○生徒が周りの考えを取り入 れたり ，自分の考えを確か めたりできるように ，全体 で検討する場を設ける。 ○全体で，互いの気付きを共 有できるように ，相互評価 表を準備し，活用させる。 個 ／ 一斉 ／ 個 25 中 点 連 結 定 理 を，平行線と線 分 の 比 の 性 質 や 三 角 形 の 相 似 を 基 に 考 察 し，証明するこ とができる。 (学習プリント) ３ 本時のまとめをする。 (1) 構成した数理の構造を見直す。 ・平行線と線分の比の性質とその逆の性質に帰着 したため ＡＰ：ＰＢ＝ＡＱ：ＱＣ ならば ＰＱ//ＢＣ ならば ＡＰ：ＡＢ＝ＰＱ：ＢＣ (2) 他の条件や場面に適用して線分の長さを求めた り，図形の証明をしたりする。 ○中点連結定理 における数理 の構造を再認識できるよう に，証明を見つめ直す場を 設定する。 ○中点連結定理 のよさを認識 できるように，条件や場面 を変更して線分の長さを求 めたり，図形の証明をした りする活動を設定する。 ○生徒の考え(根拠)を見取る ために ，必要な場合はきち んと補助線 を入れて線分の 長さや比を求めたり，図形 の証明をしたりすることが できるかを確認する。 個 ／ 一斉 10 中 点 連 結 定 理 を用いて，必要 な 補 助 線 を き ちんと引き，線 分 の 長 さ や 比 を求めたり，図 形 の 証 明 を し た り す る こ と ができる。 (学習プリント) 三角形の２辺の中点を結ぶ線分の長さは， どうして他の１辺の長さの半分になるのかを調べてみよう。 学習課題 △ＡＢＣがある。 図のように辺ＡＢ，ＡＣの 中点をＰ，Ｑとし，ＰとＱ を結ぶ。 このとき，ＰＱ＝ ＢＣ となることを説明してみる。 △ＡＰＱ∽△ＡＢＣを使って または 平行線と線分の比の性質 とその逆の性質を使って 平行四辺形の性質を使って 2 1 Ａ Ｐ Ｑ Ｂ Ｃ Ａ Ｐ Ｑ Ｂ Ｃ Ａ Ｐ Ｑ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ Ｐ Ｑ Ｂ Ｃ Ａ Ｄ Ｂ Ｃ 8 4 Ｐ Ｑ Ａ Ｄ Ｂ Ｃ Ｐ Ｑ Ｒ Ｓ Ａ Ｓ Ｄ Ｒ Ｃ Ｑ Ｂ Ｐ 四角形ＰＱＲＳが 平行四辺形であること 四角形ＰＱＲＳが 正方形であること 2 1
