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数値計算:有限要素法

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Academic year: 2021

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(1)
(2)

講義の流れ

1 ビームの静的変形 ビームの一次元変形の積分表現 積分表現の近似 釣り合いの方程式の計算 2 ビームの動的変形 ビームの一次元動的変形 運動エネルギー ラグランジュの運動方程式 3 二次元変形 4 まとめ

(3)

講義の内容 有限要素近似 ビームの静的変形と動的変形 講義の目標 ビームのポテンシャルエネルギーと運動エネルギーを有限要素近似 ビームの変形をラグランジアンで定式化

(4)

ビームの一次元静的変形

P(0) P(x) P(L) 自然状態 P(0) P(x) P(L) f u(x) 変形状態

(5)

L ビームの長さ P(x ) 左端から距離 x の点 E (x ) 点 P(x) におけるヤング率 A(x ) 点 P(x) における断面積 u(x ) 点 P(x) の変位 ビームの変形: 関数 u(x) (0≤ x ≤ L)

(6)

ビームの一次元静的変形

x

0 L

(7)

右端 P(L): 外力 f を作用 ビームの変形を表す微分方程式 d dx ( EAdu dx ) = 0 ただし u(0) = 0 E (L)A(L)du dx(L) = f 境界値問題 (boundary value problem)

ルンゲクッタ法等:常微分方程式の初期値問題の解法 境界値問題には不向き

(8)

有限要素法

有限要素法 (finite element method; FEM)

境界値問題を解く手法

1 境界値問題と等価な積分表現を導く

2 未知関数を近似し,積分表現を有限個の変数で表す

(9)

U =L 0 1 2EA ( du dx )2 dx , 外力 f による仕事 W : W = f u(L) 静力学の変分原理: min I = U− W , subject to u(0) = 0

(10)

未知関数の近似

区間 [0, L] を 6 個の小区間に等分 各小区間の幅:h = L/6 xi x xj 0 L Pi Pj 節点 (nodal point) x0 = 0, x1 = h, x2 = 2h, · · · , x6 = L 節点上の変位 ui = u(xi) 未知関数 u(x):7 個の変数 u0, u1, u2,· · · , u6 で表される

(11)

u(x ) = ui Ni ,j(x ) + uj Nj ,i(x ), (xi ≤ x ≤ xj) ui, uj:節点 xi, xj における変位 xi x xj 0 L 1 0 xi x xj 0 L 1 0 Ni ,j(x ) = xj − x h Nj ,i(x ) = x − xh i = { 1 (x = xi) 0 (x = xj) = { 1 (x = xj) 0 (x = xi)

(12)

未知関数の近似

未知関数:u(x) (0≤ x ≤ L) 区分線形補間 u(x ) =              u0N0,1(x ) + u1N1,0(x ) (x0 ≤ x ≤ x1) u1N1,2(x ) + u2N2,1(x ) (x1 ≤ x ≤ x2) u2N2,3(x ) + u3N3,2(x ) (x2 ≤ x ≤ x3) .. . u5N5,6(x ) + u6N6,5(x ) (x5 ≤ x ≤ x6) 関数 u(x) を 7 個の変数 u0, u1, · · · , u6で表す

(13)

x 0 L P0 h 2h 3h P6 P3 P2 P1 u(x) 5h 4h P5 P4

(14)

未知関数の近似

x 0 L P0 h 2h 3h P6 P3 P2 P1 u(x) u0 u4 u3 u2 u1 u5 u6 5h 4h P5 P4

(15)

Ni ,j(x ) = xj − x h , Nj ,i(x ) = x− xi h Ni ,j (x ) = −1 h , N j ,i(x ) = 1 h u(x ) = ui Ni ,j(x ) + uj Nj ,i(x ) du dx = uiN i ,j(x ) + ujNj ,i′ (x ) = ui −1 h + uj 1 h = −ui + uj h

(16)

弾性ポテンシャルエネルギーの近似

弾性ポテンシャルエネルギー = 7 個の変数 u0, u1,· · · , u6で表す 変位ベクトル uN=        u0 u1 u2 .. . u6        積分を分解 ∫ L = ∫ x1 + ∫ x2 + ∫ x3 +· · · +x6

(17)

xj xi 1 2EA ( du dx )2 dx = ∫ xj xi 1 2EA ( −ui + uj h )2 dx = 1 2 E h2 (−ui + uj) 2 ∫ xj xi A dx = 1 2 [ ui uj ] E h2 [ Vi ,j −Vi ,j −Vi ,j Vi ,j ] [ ui uj ] , ここで Vi ,j = ∫ xj xi A dx =⇒ 小区間 [x, x] で切り取られる領域の体積

(18)

弾性ポテンシャルエネルギーの近似

U = ∫ L 0 1 2EA ( du dx )2 dx = 1 2 [ u0 u1 ] E h2 [ V0,1 −V0,1 −V0,1 V0,1 ] [ u0 u1 ] + 1 2 [ u1 u2 ] E h2 [ V1,2 −V1,2 −V1,2 V1,2 ] [ u1 u2 ] + 1 2 [ u2 u3 ] E h2 [ V2,3 −V2,3 −V2,3 V2,3 ] [ u2 u3 ] +· · · + 1 2 [ u5 u6 ] E h2 [ V5,6 −V5,6 −V5,6 V5,6 ] [ u5 u6 ]

(19)

U = 1 2uN T K uN 剛性行列 K = E h2          V0,1 − V0,1 − V0,1 V0,1+ V1,2 − V1,2 − V1,2 V1,2+ V2,3 −V2,3 −V2,3 . .. . .. . .. V4,5+ V5,6 − V5,6 − V5,6 V5,6         

(20)

弾性ポテンシャルエネルギーの近似

U = 1 2uN T K uN 剛性行列 K = E h2          V0,1 − V0,1 − V0,1 V0,1+ V1,2 − V1,2 − V1,2 V1,2+ V2,3 −V2,3 −V2,3 . .. . .. . .. V4,5+ V5,6 − V5,6 − V5,6 V5,6         

(21)

U = 1 2uN T K uN 剛性行列 K = E h2          V0,1 − V0,1 − V0,1 V0,1+V1,2 − V1,2 − V1,2 V1,2+ V2,3 −V2,3 −V2,3 . .. . .. . .. V4,5+ V5,6 − V5,6 − V5,6 V5,6         

(22)

弾性ポテンシャルエネルギーの近似

U = 1 2uN T K uN 剛性行列 K = E h2          V0,1 − V0,1 − V0,1 V0,1+V1,2 − V1,2 − V1,2 V1,2+ V2,3 −V2,3 −V2,3 . .. . .. . .. V4,5+V5,6 − V5,6 − V5,6 V5,6         

(23)

特に断面積 A が一定の場合 Vi ,j = Ah K = EA h           1 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 1          

(24)

弾性ポテンシャルエネルギーの近似

特に断面積 A が一定の場合 Vi ,j = Ah K = EA h           1 − 1 − 1 1+1 − 1 − 1 1+1 − 1 − 1 1+1 − 1 − 1 1+1 − 1 − 1 1+1 − 1 − 1 1          

(25)

特に断面積 A が一定の場合 Vi ,j = Ah K = EA h           1 − 1 − 1 1+1 − 1 − 1 1+1 − 1 − 1 1+1 − 1 − 1 1+1 − 1 − 1 1+1 − 1 − 1 1          

(26)

仕事

外力 f による仕事 W = f u(L) = f u6 W = fTuN ただし f =           0 0 0 0 0 0 f          

(27)

0 aTuN= 0 ただし a =           1 0 0 0 0 0 0          

(28)

積分表現を有限個の変数で表現

min I = U− W , subject to u(0) = 0 min I (uN) = 1 2u T NK uN− fTuN, subject to aTuN = 0

(29)

min I (uN) = 1 2u T NK uN− fTuN, subject to aTuN = 0 ⇓ ラグランジュの未定乗数を導入 制約なし最小化問題

min J(uN, λ) = I (uN)− λaTuN

= 1 2u

T

(30)

ビームの静的変形 釣り合いの方程式の計算

積分表現を最小化

(

最大化

)

する変数を計算

∂J ∂uN = K uN− f − λa = 0 ∂J ∂λ = −a Tu N= 0 ベクトル形式 [ K −a − aT 0 ] [ uN λ ] = [ f 0 ]

(31)

ビームの静的変形 釣り合いの方程式の計算

積分表現を最小化

(

最大化

)

する変数を計算

∂J ∂uN = KuN− f −λa = 0 ∂J ∂λ = −a Tu N= 0 ベクトル形式 [ K −a − aT 0 ] [ uN λ ] = [ f 0 ]

(32)

積分表現を最小化

(

最大化

)

する変数を計算

∂J ∂uN = KuN− f −λa = 0 ∂J ∂λ = −a Tu N= 0 ベクトル形式 [ K −a − aT 0 ] [ uN λ ] = [ f 0 ] 係数行列は正則 =⇒ 上式を解いて uNと λ の値を求める

(33)

ヤング率 E は一定 Vi ,j = ∫ xj xi (a− 2bx) dx =[ax − bx2]xjx i = {a − b(xi + xj)} h V0,1 = (a− bh)h, V1,2= (a− 3bh)h, V2,3 = (a− 5bh)h, · · · 区間 [0, L] を 4 等分 K = E h       a− bh −a + bh −a + bh 2a − 4bh −a + 3bh −a + 3bh 2a − 8bh −a + 5bh −a + 5bh 2a − 12bh −a + 7bh −a + 7bh a− 7bh      

(34)

円錐台:点 P(x) における半径 r (x) =√3(a− bx) (a, b は正の定数で a− bL > 0 を満たす) A(x ) = πr2 = 3π(a− bx)2 Vi ,j = ∫ xj xi 3π(a− bx)2dx = [ π(a− bx) 3 −b ]x =xj x =xi = π{3a2− 3ab(xi + xj) + b2(xi2 + xixj + xj2) } h 区間 [0, L] を 4 等分 (xi = ih,h = L/4) V0,1 = π(3a2− 3abh + b2h2)h V1,2 = π(3a2− 9abh + 7b2h2)h V2,3 = π(3a2− 15abh + 19b2h2)h V3,4 = π(3a2− 21abh + 37b2h2)h

(35)

講義の内容 有限要素近似 ビームの静的変形と動的変形 講義の目標 ビームのポテンシャルエネルギーと運動エネルギーを有限要素近似 ビームの変形をラグランジアンで定式化

(36)

ビームの一次元動的変形

P(0) P(x) P(L) 時刻 0 P(0) P(x) P(L) f(t) u(x,t) 時刻 t

(37)

T =L 0 1 2ρA ( ∂u ∂t )2 dx =L 0 1 2ρA ˙u 2dx ビームの運動エネルギーを 7 個のパラメータ u0, u1, · · · , u6で表す 小区間 [xi, xj] における関数 u(x , t) の区分線形補間: u(x , t) = ui(t) Ni ,j(x ) + uj(t) Nj ,i(x ), (xi ≤ x ≤ xj) 時間微分 ˙ u(x , t) = ˙ui(t) Ni ,j(x ) + ˙uj(t) Nj ,i(x ), (xi ≤ x ≤ xj)

(38)

運動エネルギーの近似

xj xi 1 2ρA ˙u 2dx = 1 2 ∫ xj xi ρA{ ˙ui(t) Ni ,j(x ) + ˙uj(t) Nj ,i(x )} 2 dx = 1 2 [ ˙ ui u˙j ] [ mi ,j ; i ,j mi ,j ; j ,i mj ,i ; i ,j mj ,i ; j ,i ] [ ˙ ui ˙ uj ] ここで mi ,j ; i ,j = ∫ xj xi ρA (Ni ,j)2 dx , mj ,i ; j ,i = ∫ xj xi ρA (Nj ,i)2 dx , mi ,j ; j ,i = mj ,i ; i ,j = ∫ xj xi ρA Ni ,jNj ,i dx

(39)

T = 1 2 ∫ L 0 ρA ˙u2dx = 1 2 [ ˙ u0 u˙1 ] [ m0,1; 0,1 m0,1; 1,0 m1,0; 0,1 m1,0; 1,0 ] [ ˙ u0 ˙ u1 ] + 1 2 [ ˙ u1 u˙2 ] [ m1,2; 1,2 m1,2; 2,1 m2,1; 1,2 m2,1; 2,1 ] [ ˙ u1 ˙ u2 ] + 1 2 [ ˙ u2 u˙3 ] [ m2,3; 2,3 m2,3; 3,2 m3,2; 2,3 m3,2; 3,2 ] [ ˙ u2 ˙ u3 ] +· · · + 1 2 [ ˙ u5 u˙6 ] [ m5,6; 5,6 m5,6; 6,5 m6,5; 5,6 m6,5; 6,5 ] [ ˙ u5 ˙ u6 ] = 1u˙ TM ˙u

(40)

運動エネルギーの近似

慣性行列 M =        m0,1; 0,1 m0,1; 1,0 m1,0; 0,1 m1,0; 1,0+ m1,2; 1,2 m1,2; 2,1 m2,1; 1,2 . .. m4,5; 5,4 m5,4; 4,5 m5,4; 5,4+ m5,6; 5,6 m5,6; 6,5 m6,5; 5,6 m6,5; 6,5       

(41)

xj xi (Ni ,j)2 dx =xj xi (Nj ,i)2 dx = h 3 ∫ xj xi Ni ,jNj ,i dx =xj xi Nj ,iNi ,j dx = h 6 慣性行列 M = ρAh 6           2 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1          

(42)

断面積 A と密度 ρ が一定の場合 M = ρAh 6           2 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 2          

(43)

断面積 A と密度 ρ が一定の場合 M = ρAh 6           2 1 1 2+2 1 1 2+2 1 1 2+2 1 1 2+2 1 1 2+2 1 1 2          

(44)

断面積 A と密度 ρ が一定の場合 M = ρAh 6           2 1 1 2+2 1 1 2+2 1 1 2+2 1 1 2+2 1 1 2+2 1 1 2          

(45)

密度 ρ は一定xj xi x (Ni ,j)2 dx = h 12(3xi + xj),xj xi x (Nj ,i)2 dx = h 12(xi + 3xj),xj xi x Ni ,jNj ,i dx =xj xi x Nj ,iNi ,j dx = h 12(xi + xj) mi ,j ; i ,j = ρh 6 {2a − b(3xi + xj)}, mj ,i ; j ,i = ρh 6 {2a − b(xi + 3xj)}, mi ,j ; j ,i = mj ,i ; i ,j = ρh 6 {a − b(xi+ xj)}

(46)

区間 [0, L] を 4 等分 M = ρh 6       2a− bh a− bh a− bh 4a − 8bh a− 3bh a− 3bh 4a − 16bh a− 5bh a− 5bh 4a− 24bh a− 7bh a− 7bh 2a− 15bh      

(47)

ラグランジアン L(uN, ˙uN) = T − U + W + λR = 1 2u˙N T M ˙uN 1 2uN T K uN+ fTuN+ λaTuN ラグランジュの運動方程式 ∂L ∂uN d dt ∂L ∂ ˙uN

(48)

制約安定化

R = aTuN ˙ R = aTu˙N ¨ R = aTu¨N aTu¨ N+ 2νaTu˙N+ ν2aTuN= 0

(49)

M ¨uN− λa = −KuN+ f −aTu¨ N = aT(2ν ˙uN+ ν2uN) ˙ uN= vN [ M −a −aT ] [ ˙ vN λ ] = [ −KuN+ f aT(2νv N+ ν2uN) ]

(50)

二次元弾性変形

伸縮変形 せん断変形

(51)

Pk

Pj Pi

(52)

二次元弾性変形

三角形 PiPiPi

Pk

Pj Pi

(53)

Pk Pj Pi ui uj uk 三角形 PiPiPiの変形 ui = [ ui vi ] , uj = [ uj vj ] , uk = [ uk vk ]

(54)

二次元弾性変形

弾性ポテンシャルエネルギー Ui ,j ,k = 1 2 [ uT i ujT ukT ] Ki ,j ,k   uuij uk   Ki ,j ,k:部分剛性行列 (6× 6) Ki ,j ,k = λJ i ,j ,k λ + µJ i ,j ,k µ Jλi ,j ,k, Jµi ,j ,k: 部分接続行列 (6× 6) 三角形の形状で決まる

(55)

P2 P1 P0 1 1 P2 P3 P1 1 1

(56)

二次元弾性変形

Jλ0,1,2 = Jλ3,2,1 = 1 2         1 1 −1 0 0 −1 1 1 −1 0 0 −1 −1 −1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 −1 1 0 0 1         Jµ0,1,2 = Jµ3,2,1 = 1 2         3 1 −2 −1 −1 0 1 3 0 −1 −1 −2 −2 0 2 0 0 0 −1 −1 0 1 1 0 −1 −1 0 1 1 0 0 −2 0 0 0 2        

(57)

P2 P3 P1 P0 1 1 = P2 P1 P0 1 1 + P2 P3 P1 1 1

(58)

二次元弾性変形

ポテンシャルエネルギー U = U0,1,2+ U3,2,1 = 1 2 [ uT 0 u1T u2T u3T ] K     u0 u1 u2 u3     K :剛性行列 (8× 8) K = λJλ+ µJµ Jλ, Jµ:接続行列 (8× 8)

(59)

Jλの (0, 0) ブロックへの寄与 Jλ0,1,2 = 1 2         1 1 − 1 0 0 − 1 1 1 − 1 0 0 − 1 − 1 − 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 − 1 1 0 0 1        

(60)

二次元弾性変形

Jλの (0, 1) ブロックへの寄与 Jλ0,1,2 = 1 2         1 1 − 1 0 0 − 1 1 1 − 1 0 0 − 1 − 1 − 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 − 1 1 0 0 1        

(61)

Jλの (0, 2) ブロックへの寄与 Jλ0,1,2 = 1 2         1 1 − 1 0 0 − 1 1 1 − 1 0 0 − 1 − 1 − 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 − 1 1 0 0 1        

(62)

二次元弾性変形

Jλの (1, 0) ブロックへの寄与 Jλ0,1,2 = 1 2         1 1 − 1 0 0 − 1 1 1 − 1 0 0 − 1 − 1 − 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 − 1 1 0 0 1        

(63)

Jλの (1, 1) ブロックへの寄与 Jλ0,1,2 = 1 2         1 1 − 1 0 0 − 1 1 1 − 1 0 0 − 1 − 1 − 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 − 1 1 0 0 1        

(64)

二次元弾性変形

Jλの (1, 2) ブロックへの寄与 Jλ0,1,2 = 1 2         1 1 − 1 0 0 − 1 1 1 − 1 0 0 − 1 − 1 − 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 − 1 1 0 0 1        

(65)

Jλの (2, 0) ブロックへの寄与 Jλ0,1,2 = 1 2         1 1 − 1 0 0 − 1 1 1 − 1 0 0 − 1 − 1 − 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 − 1 1 0 0 1        

(66)

二次元弾性変形

Jλの (2, 1) ブロックへの寄与 Jλ0,1,2 = 1 2         1 1 − 1 0 0 − 1 1 1 − 1 0 0 − 1 − 1 − 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 − 1 1 0 0 1        

(67)

Jλの (2, 2) ブロックへの寄与 Jλ0,1,2 = 1 2         1 1 − 1 0 0 − 1 1 1 − 1 0 0 − 1 − 1 − 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 − 1 1 0 0 1        

(68)

二次元弾性変形

Jλ0,1,2の Jλへの寄与 = 1 2             1 1 −1 0 0 −1 1 1 −1 0 0 −1 −1 −1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 −1 1 0 0 1            

(69)

Jλの (3, 3) ブロックへの寄与 Jλ3,2,1 = 1 2         1 1 − 1 0 0 − 1 1 1 − 1 0 0 − 1 − 1 − 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 − 1 1 0 0 1        

(70)

二次元弾性変形

Jλの (3, 2) ブロックへの寄与 Jλ3,2,1 = 1 2         1 1 − 1 0 0 − 1 1 1 − 1 0 0 − 1 − 1 − 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 − 1 1 0 0 1        

(71)

Jλの (3, 1) ブロックへの寄与 Jλ3,2,1 = 1 2         1 1 − 1 0 0 − 1 1 1 − 1 0 0 − 1 − 1 − 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 − 1 1 0 0 1        

(72)

二次元弾性変形

Jλの (2, 3) ブロックへの寄与 Jλ3,2,1 = 1 2         1 1 − 1 0 0 − 1 1 1 − 1 0 0 − 1 − 1 − 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 − 1 1 0 0 1        

(73)

Jλの (2, 2) ブロックへの寄与 Jλ3,2,1 = 1 2         1 1 − 1 0 0 − 1 1 1 − 1 0 0 − 1 − 1 − 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 − 1 1 0 0 1        

(74)

二次元弾性変形

Jλの (2, 1) ブロックへの寄与 Jλ3,2,1 = 1 2         1 1 − 1 0 0 − 1 1 1 − 1 0 0 − 1 − 1 − 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 − 1 1 0 0 1        

(75)

Jλの (1, 3) ブロックへの寄与 Jλ3,2,1 = 1 2         1 1 − 1 0 0 − 1 1 1 − 1 0 0 − 1 − 1 − 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 − 1 1 0 0 1        

(76)

二次元弾性変形

Jλの (1, 2) ブロックへの寄与 Jλ3,2,1 = 1 2         1 1 − 1 0 0 − 1 1 1 − 1 0 0 − 1 − 1 − 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 − 1 1 0 0 1        

(77)

Jλの (1, 1) ブロックへの寄与 Jλ3,2,1 = 1 2         1 1 − 1 0 0 − 1 1 1 − 1 0 0 − 1 − 1 − 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 − 1 1 0 0 1        

(78)

二次元弾性変形

Jλ3,2,1の Jλへの寄与 = 1 2             0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 −1 −1 0 1 1 0 −1 −1 0 0 0 0 0 0 0 −1 −1 0 1 1 0 −1 −1 0 1 1            

(79)

Jλ0,1,2の寄与と J3,2,1 λ の寄与を加算 = 1 2             1 1 −1 0 0 −1 1 1 −1 0 0 −1 −1 −1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 −1 −1 0 0 0 1 1 0 −1 −1 −1 −1 1 0 0 1 0 0 0 −1 −1 0 1 1 0 −1 −1 0 1 1            

(80)

二次元弾性変形

Jµ0,1,2の Jµへの寄与 = 1 2             3 1 −2 −1 −1 0 1 3 0 −1 −1 −2 −2 0 2 0 0 0 −1 −1 0 1 1 0 −1 −1 0 1 1 0 0 −2 0 0 0 2            

(81)

Jµ3,2,1の Jµへの寄与 = 1 2             1 0 0 1 −1 −1 0 2 0 0 0 −2 0 0 2 0 −2 0 1 0 0 1 −1 −1 −1 0 −2 −1 3 1 −1 −2 0 −1 1 3            

(82)

二次元弾性変形

Jµ0,1,2の寄与と Jµ1,3,2の寄与を加算 = 1 2             3 1 −2 −1 −1 0 1 3 0 −1 −1 −2 −2 0 3 0 0 1 −1 −1 −1 −1 0 3 1 0 0 −2 −1 −1 0 1 3 0 −2 0 0 −2 1 0 0 3 −1 −1 −1 0 −2 −1 3 1 −1 −2 0 −1 1 3            

(83)

有限要素法 エネルギーの積分表現 エネルギーを有限個の変数で近似 ビームの変形 ポテンシャルエネルギーと運動エネルギーの近似 U = 1 2uN TK u N, T = 1 2u˙N TM ˙u N 静的な変形 =⇒ 釣り合いの方程式 動的な変形 =⇒ ラグランジュの運動方程式

(84)

ベクトルに関する微分

ベクトル x =   xx12 x3   スカラー y のベクトル x に関する微分 ∂y ∂x =     ∂y ∂x1 ∂y ∂x2 ∂y ∂x3    

(85)

b =b1 b2 b3  内積 y = bTx = b1x1+ b2x2+ b3x3 ∂y ∂x1 = b1, ∂y ∂x2 = b2, ∂y ∂x3 = b3 内積の微分 ( bTx)= b

(86)

二次形式の微分

A =   aa1112 aa1222 aa1323 a13 a23 a33   二次形式 y = 1 2x TAx = 1 2 { a11x12+ a22x22+ a33x32+ 2a12x1x2+ 2a13x1x3+ 2a23x2x3 } ∂y ∂x1 = 1 2{a11· 2x1 + 2a12x2+ 2a13x3} = a x + a x + a x

(87)

∂y ∂x1 = a11x1+ a12x2+ a13x3 ∂y ∂x2 = a12x1+ a22x2+ a23x3 ∂y ∂x3 = a13x1+ a23x2+ a33x3 二次形式の微分 ∂x ( 1 2x TAx ) = Ax

参照

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