非線形システムの不規則応答解析における重み付き最小二乗化による等価線形化法およびその応用

[nt

g} UDC:624.042.7:624.04

JeurnalefStructural and ConstructlonEngincering

(Tran$actionsefAIJ) Ne,395,JanuaTy,19B9 eHptRca\ftMfikP.sctu:fi395 l:-.'･waip64 ff1fi

A

STOCHASTIC

LINEARIZATION

TECHNIQUE

AND

ITS

APPLICATION

TO

RESPONSE

ANALYSIS

OF

NONLINEAR-SYSTEMS

BASED

ON

WEIGHTED

LEAST-SQUARE

MINIMIZATION

by

Dr.

MASANORI

IZUMI",

LI

ZAIMING*':

and

Dr.

MASAHIKO

KIMURA""',

Members

of

A.I.J.

1.Introduction

We can state thatthe stochastic linearizationmethod hasthe _{greatestpotential}and widest range ol'applicability among the extensively developedapproaches to the stochastic response analyses of nonlinear systems. Forthis method some _possibletechniques havebeenwell developed.

Jacobson')

seems to havebeenthe firstte use the concept "equivalent woTk done_percycle assuming haTmonicmotion" successfully. On the other hand,itisbelieved thatCaugheyZ)hasintroducedoriginally the least-squareapproximation technique. Thisapproximation technique, which isbasicallythe statisticai extension of the deterministiclinearizationmethod3), has been_generalizedby Kobori

&

Minai')tononstationary excitation, later

by

Foster5),Iwan& Yang6)and TakemiyaT)to

multi-degree-of-freedom

_(MDOF)

systems, and furtherby Kazakovg)to _thecase of inertial･nonlinearsystems. Recently,a more

directand simplified version of Kazakov'slinearizatiQntechnique forMDOF nonlinear systems hasbeen_providedby

Atalik& Utku9)and applied

by

a

lot

of researchers'O)"i3),Morerecently, Spanosi`}hasextended Atalik& Utku's

linearizatientothe case of asymmetric nonlinear systems. Sincethen, thestochastic linearizationmethod hasshown highetand higher_petentialto solve thedynamic_problems of nonlinear systems under external random excitations and even under _parametricrandom excitations2i}.

However,itmust benoted thatformost of thereported studies theexisting linearizationtechniques underestlmate

theexact statisticalmoments oftheresponse` As_pointedout inReferences22)and 23),this_{poorperformance} of the stochastic linearization rnethod was mainly duetothe existence of a_predominant long_periodcomponent i[so-called driftcomponent) intheresponse, Inorder toaccount forthedriftcomPonent, an additional state variable i[so-called

hysteresiscomponent) hasbeenintroducedinforrnulatingthe_{problemsie)･i9L"}.}Sincethen, the more accurate response statistics havebeenobtained bythestochastic linearizationrnethod. Nevertheless,theworks bytheauthors and by Schueller,et al.Z5) independentlysuggested that the displacementresponse _predictedbythe stochastic linearizationmethod isfarlesssatisfactory than the obtained velocity response fora strong _yieldingnonlinear system. As a consequence, the authors triedinReference15to raise the _grirntimitationand presenteda modified stochastic linearization,which unfortunately seems to overestimate the exact solution slightly. This･_paper is

intendedtedevelopan improved version of thelinearizationmethod forMDOF nonlinear systems with theconcept of weighted least-squareminimization. The _presenttechniquewill _produce a directand sLmple formulationof the linearization.The accuracy will beinvestigatedbysome numerical examples

(softening

or hardeningand hysteretic systems). Furthermore, inorder to show itsuniversality of application we witl apply thismethod to the so-called

piece-wise-linearhystereticsystems as well. 2. Nonlinear System

Withoutlossof _generality,consider a symmetric nonlinear yibration system which can beexpressed by the

' _{Professor of Tohoku} U]iyersity.Dr._of Engineering " _{PostgraduateStudentQf Tohoku University}

g' _{ReseaichAsseciate of Tehoku University, Dr. of EngineeTing}

(Manuscriptteceived June2,1988)

-72-Architectural Institute of Japan

NII-Electronic Library Service

ArchitecturalInstitute of Japan

equation of motion of theferm1 '

dX

dt==G(X,.t)+F(t)-･-･･---･---･-･･･---,".H"--."""h-H":Hh.H.,-,,-""""".,","(1) '

where x isthe n dimensionalstate variable ve6tor.

G

<X,

t) isthe n dimensional'vectorof single valued odd functionsof itsarguments X and 'm6anwhileis '

s'ufficientlysmooth so thatthefirst_partialderivatives with respect to x,, i=1,･･･J･･nexist.

' , F<t) isthe n dimensionalGaussianwhite _{excitation vector with zero} mean.

Generally,the.nonlinear vibration systgms can bedividedintosoftening systems and hardening systems, as

illustratedinFig. 1.Itis observed thatthedistribution of any single a[gument x,isless_peakedfor a soitening system

but

more peaked

for

a

hard'ening

system when the normal

distribution

serves as the standard, as shewn inFig.2.

3.Derivationef the StochasticLinearizationTechnique

Itwas noted earlier that'most of the existing linearizationtechniques underestimate the'randomresponses of nonlinear systems. Thislimitationcan beinterpretedeasily bythefactthatthelinearization method Telies simply on the Gaussianassumption despiteoftheexistence of thehon-normalityoftheresponses. _.Howeyerlitis

believed

_that

thislimitationmay beeased to some extent byapplying the weighted least-squareminimization techniqueto the

linearization.

3.1 Weighting Functions

The weighted least-squareminimization concept iequires that the squared error

be

multiplied bya weighting functionW

(x).

Here,the most importantthing isto choose the weighting function_properly.Generally,we can interpretthisweighting functionva

<x)

as arelative importanceof the value assigned to theobject function

f

(x)

at x. In_particula[,forthe case of thestochhstic linearizationthe weighting functionW

(x)

can becensidered to bein accordance with the differenc6betweenthe non-Gaussian distributio.n of theresponse _x inthenonlinear system and

thenormal distributionof _,theresponse in_thecorresponding linearsystem, Ofcourse, this_differencecan not

be

described_preeiselybutonly beassumed _{qualitatively.}Basedon theabove thepteticconsideration oftheweighting

functionsthemselves and the observations fromnumerical simulation studies, the weighting functionsfor a

hardeningsystem and a softening system are supposed to assume

'

uc,

(x}=exp(-

_sXiS

' -5axigasto.HPpn-kPw.Hth mvko"tua.Akopmank 32 1z-1-2-3 Flg.1

1

o

/'/1'J.--.-hardeningsy3temt-t-.'-.. -.''linearsystem ,..--.--'/ _{sefteningsystem} j!'2 -1

tiardening

system z and forahardeningsystem･････････････････-･･･-･･････-･･･-･･-･･-･･･-･･･-･･･--･･･-･････････<z) ' '

' PVIs(x)=expl32X.'sl

fora softening system･-･･･-･･1-･･-･･(3)

respectively, where _aicmeans thestandard deyiationof

atgument x; and subindexes h and s represent

"hardening" _and "softening",

respectively. Ciearly,

Vla,(x)has more _peakedness but insteadWC,has

peakedneSs, as illustratedinFig.3,This.statement

1

,

2

sbows accoidance with the _properties of the hardening

displacement

system and the softening system mentioned insection 2. softening system

e1

-3 -2 -l _{O 1 2,}

Fig.2(a) More _peakeddistribution x3

ir･xg

o = e ,H P s n .H k p q trl "o--3 -2 -1 _{O 1 2}

Fig.2(b) Lesspeakeddi$tribution

x3

'

-･=.ggpt

1

o

x

=.g=ia

2 1

a

x -3 -2 -1 O

1

2

3

-3 -2 -1 O 1 2 3

Fig3(a) Weighting functionforhardeningsystern Fig3(b) Weightingfunction fersoftenang system

The weighting functionsdescribedaboye can be_generalizedto a multi-climensional system as folLows.

Vi5,(X>=exp[-gXtS'iX] foramulti-dimensionalhardeningsystem-･-･･r･･･---･-･･･-･･･-･･･-･･-(4)

VI{,

(X)

=exp

(

312XtS'iXl foramulti-dimensionalsoftening system ･･-･･-･-････--･･-････････-･････(s

)

wltere

S

isthe covarianee matrix of the state variable vector X.

Itisworth noting that since the weighting functions_proposed heretake differentforms,depending on the system exhibiting either hardeningor softening characteristics, they can 'notbeapplied without any moCLification to a nonlinear system which exhibits the characteristics of response transition fromhardeningto softening or inversely fromsoftening to hardening.

3.2 Formulationof the LinearizationTechnique

LineaTizethe equation of motion

(

1

)

into

dX

dt=AX+F(t)-･---･----･---･-･---･-･---･---･---･-･---(6)

where theequivalent coefficient matrix A i$to bedeterminedso thatthelinearsystem

(

6

)

will _produce the most approximate solution to system

(1),

Inestimating A, thedifferenceof thetwo systems, i.e,

e(x)==G(x, t)-Ax ---･-･---･--･---･---･-･-･---･---･--･---( 7

)

should becommitted. Generally,the differencee

(X)

isa random vector. A logicalchoice toselect _A is,therefore, tomake thecliffeTenceas small as _possible.Some criteria might beeffective tothis_problem. Int]iis_paper,the

concept of theweighted least-squareminimization will beutilized. Thiseoncept requires thatthemean squared value of e

(X)

multiplied by a weighting function_W

(X)

be

a minimum, that is

E[et<X)e(X)ve(X)]-minimum･･･････-･･････････････････-･･･････････････････-････-･･･-･･･････-･････-･････････-･･･(8)

where E

[x]

denotestheexpected value of x and the_{prime t}means the transpose. The necessary condition for

(

8

)

to betrue is

(E

[e`(X)e(X)W(X)]),

.,iO

4j--1,

-･--,n----･---･---･'H"----･･-･---(9)

Performingthe above _partialdifferentiationleadsthe followingset of linearequations

E[XXtPV(X)]At=E[XGt(X)IV(X)]･･････････-･･-･･･-････-･--･･--･-･･-････････-･-･-･-････-････････････････-･･t･･･････(10) Then the directformulationof the linearizationcan beachieved on the basisof theGaussian _propertyc,ftheTesponse

intheequivalent linearsystem, thatis,the

joint

Gaussian

distribution

function

p(x}.=:Bexp(-

±

xtS"'Xl-'''''''':'''''"'''(ii) B=(2.Tfllslv2'H''-''''''''''H''-''''-'-'''-{12) Firstconsider a multi-dimensional hardeningsystem. Then we have

E[xxtwr(x)];f.co(n)Jf:xxtvz,{x)p(x)dxt==Bf.co(n).L:xxtexp[-gxts-Tx]dxt

-B

,

i>i

f:(n)

.Li:xxtexp

(-S

xts-]xl dxt-,

l>g

s

(x-2

N/l'

x) ･･--･･-<i3)

and

E[XGt(X)VVL,(X)]=Jf:(n)Jf:XGt(X}w),<X)p(X)dXt==BJf:(n)f:xGt(x)exp(-grxts'ixldxt

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ArchitecturalInstitute ofJapan

-Bgf:(n)f:xG"(k x) _exp

l-tl

x's"xl dxt

(x-2Gx)

i--sgJf:(n) -[:Gt(k x) vp

(x)dxt

(vp

(x)-Tps-'x)

= sl,

JC:(n)

fmcop

(x)dG'

(

fk

x)- s ,

lls

.[:(n}.[:p

cx)

vtG

(

y)dxt

(

y-

X

x) ' ' =sXSE[VtG{Y}1,=,,fiil ' . H"-,H",,""-,,"--h-.---"H"."""-HH.H".-,H",.---･-･-(14) ' where '

v`-[,e.,, _,a.,,-･, _{,a.,]---･---･-･---･-･･-･-･---･-･･---･-(is)}

Substituting

₍₁₃₎

apd

(14)

into

(10)

_{yields .}

aw=iE[aOxgi

..,fts,]

(foramulti-dimensionalhardeningsystem)････････････････････････････････-･･･････-･･･.-a6)

Next, derivethe formulation fora multi-dimensional softening system. Inthis case, we should select the weighting function

(

5

)

insteadof

(

4

),

Similarly,we can shdw thatthedirectformof thecoefficient matrix Ais

given by. ''

aij--E[kti

.!v"f,.]

(feramulti-dimensionalsofteningsystem)･････････････････-･･-･･..,...,...,..<n)

As a consequence, itisobvious that the closed form of the coefficients of the equivalent linearsystem can be obtained directiy

by

application of partial

differentiation

ancl expectatiop tothe nonlineai terms involvedinthe

nonlinear system:

Itisinterestingto compare the _preserittechnique with Atalik& Utku'stechnique9) which describesthat the coefficients of the linearsystem

(6)

are expressed tiy

a,,=E

[

oexgi

]

(by

Atal ik & Utku) ･･-･･････-･-･･･････-･･--･-･-･--･･-･･･-･･-･･･････--."･･･-･･-･･･-･･-･{ls) regardless ofa

hardening

system

6r

asoftening system. Itshould benoted herethatthe _presentformulatiop$hows an

apparent differencefrom Atalik & Utku"s technique since inthe _presenttechnique the differencebetweenthe

distributionsoftherespen$es of the'nonlinear system

(

1

)

and theequivalent linearsystem

(

6

)

hasbeentaken into

'

account,

'

''4.

Examples and Accuracy ･ ,

Intheprecedingsection, the

direct

formulationof the_presentstochastic linearizationhasbeenpresentedindepth. Inordei to investigateitsaccuracy some numgrical examples will be shown inthissection.

4.1 hardeningsystem A :nonlinearities inherentin restoring forces

The system is_governed by the followingequation of motion _.

X+Bfo+ax:=f{t)･･---･-･-'･---･･･t-･･･---･-･･･--･･-･･･-･---･-:--･----･-(19) where

B

expresses the

damping

constant, a represents the noniinear stiffness constant and

f

(

_t>isa Gaussianwhite

noise _p!ocess with ' ' .'

E[f(t)]=O; E[f(t)f(t+.)]=2S,fia(T)･-･---･･････---･･-･･････････････････････････-･･･････････････--････(20)

The exact stationary mean squared displacement,obtained by the Fokker-Planckequation approach]'], is

oi,=O.6770(Solcr)if''''''''''-'''-''H''H''-''-''-''''''-''･･･-･'--･''-'''-'''-'･-･････････････-･･･---･----･-･t-･･-･･(21)

where subindex e means "exact". On incorpoiating

(16>,

theequivalent

tinear

system to

(19)'

can

be

found

to

be

'

th+di+hx=f(t)

...,.,...-,,,.L."..,..,L...-,,....H･...H...････-･･･-･･････.･･-･･･-･･･-････････-(22) ' where

k=E[05axX3) ..,!6.]=3agai=2.4aa2'''''"'''"''''-''''''''''''''''''''-'''-''-'''-'''-'''-''H''''''''-''-''''''{23)

Thusbythe standard theoryi6]of linearvibration systems, themean squared value of thestationary displacementof

system

<22)

is,

So

aSi _le-･-･･-･--･--･･･-･･-･･･-･･-･･･-･･-･-･･･････-･･-･･･-･････-･･･････-･･････-･･･-･･･-････-･-･-････-･････････-･J-･･--･(z4) where subindex a means "approximate", Substituting

(23)

into

(24)

and solving fortheapproximate solution yields

ak.=(Sof2.4a)iX!=O.6455(Sola}'X''H''H''H''''''''''''''-'''''''''''-''''''''''''''''''v''H''"'''''"''H''H''H'''(25)

Ontheother hand,on thebasisof Atalik& Utku'slinearizationtechnique the approximate solution hasbeen_glvento

beg]

aS.=O.5776(Sola>ifZ'''''''''''''''H-'H''-''''H''H''-'''-'''-'''-''''''-''-''''''-'-'-'k''k''"'''''"''"''''''"'"(26)

Thus the _percent errors committed in applying the two techniquescan bemeasured by

(O.6770-O.6455)10.6770=4.6%

(bythepresenttechnique)--･･--･---･･･---･----･･････-･･･(27)

(O.6770-O.5776>10.6770==],4.6%

(byAtalik&Utku)･･-････---･･････････-･･････-･････-･･････-･-･･････-･･-(zs)

4,2 hardening system B:nonlinearities inherentindamping forces

Consider the system described by the _governingequations as follows

M+g(th.x)=f(t)････････････--･･････-･･J･･････････-･･･････････････-･･････----･--････-･･---･---･-･--･--･･････-･････{29) g(dr,x)=B(±!+act)th+ax･･･-･･････-･･････-･･････････-･･･････-･-･-･･･-･･-･･-･･･---･･-･-･･･-"････-･--･-･･-･-･･･-･(30)

where

B

isthe nonlinear darnpingcoefficient, a isthestiffness and

f

(

t)isa Gaussiannoise which hasthe same

propertiesas thosegivenby

(20),

The exact mean squarecl values of the responses are, as _given inReference17

ai.=b.564Za'LSS!:''''"''''-"'''''''''''"'''''''''''''''''''"''"''H''-'''--'HH''''-H''-''''''-'''"'''''"''''-'H･-''(31) aie=O.5642SSft''''''''-'''"'''''''''''''''''''''"'''''''''''H''H''''''"'''-''''''''''''"''-'''''''''-''"'''"'"'''"(32) Applyingthe _presentlinearizationtechnique

(16),

we can rewrite the system

<29)

into

X+cdr+hx==f(t)･･･-･･････-･-･-･･････-･･･-･･･-･･:-････-･･-･･-･･･-･･････････-･･･-･･-･････････-･･--･-･･--･･--･--･･-･･-(33)

where

c=E[egSxx'?x)

,=,x"i,]=3sg.i+flagas･･･-･･･････-･･-･･･-･･-･･-･･-･-･･-･･････-･･--･'H''h'''''''''"(34)

k=E[ag5thx,x) _{.fi,lv,.]=2Bag.i.+a･-･-･･･････････--･--･･-･･･-･･-･･-･･-･･･-･･-･･---･･-･･････-.-(3s)}

From the standard theoryof lineaivibration systems'6), we have

z Sofl ,.,,",,h...,...,,".,.,.,.,.",,...,.,...,.,...,...H...,...-,."...,.,-.",,-.,...,..,...,.",."･,,.,.--.(36) axa= ch

SeB

''''H'''''''''''H''H''H'''''H''H''H''H''-H''H''-'''"''H''H'''H''H''"''"'H''"''H''''''H''"･･-･･･-･･･-･･(37) ala= c adea=O-'''''''''''-'"'''''''-''-'''''''''"`'''"''''''"''''-'''''--''-''-'''-''-''"'"''"'"'''-'"M:"''-'"''M'"''(38)

Substituting

_(34>

and

(35)

into

(36)

and

(37),

_yields

aZ.=O.5590a-'S:1''''H':H''H''''''''''''''''''''''''''H''''''''H'"''''-'''''''''''''"''-H'-H""'"-'"''"''"'''''"H(39) ai.=O.5590SaX!H''''''"'-''''''-''･･-･-･-･･･････'''''''-''･･････--･--'"''"･･-･･-･･--････-･-･--･･･-･････-･･--･-････-<40)

On theother hand,Atalik& Utkuhas_given another approximate solution as foltows

al.!:O.5a-'SSI"''''"''''''H''H''-"'--'''"'''-'''''-''''''HH''"''H''-'''''':''''"'`-"'-''H'''''-"'''''"'''H'-""-(41)

ala==O.5SY2''H''H''-'-''''''"''-'''-''''''"''H''H''--''-'-'`''''-''-''-'''''''"''-''-'''''"''"'''''"''-'-'"'''(42)

Similarly,the _percenterror can becalculated by

(O.

5642-e. 559)10,5642=O.9%

(by

the_presenttechnique)----･･･-･･-･･-･･･-･-･･-･･･････-･--･･-･･････(43)

(O.s642-o.soo)lo,s642=n.4%

(byAtalik&Utku)･･-･･-･･･----･---･･-･-････--･-･･･---･･---･--･･-･-･-･(44)

4.3 softening system A:nonlinearitiesinherentinrestoring forces

The nonlinear softening oscilLator isdescribed

by

the following differentialequatien

hi+di+axif'=f<t)-･-･-･-･･･-･･-･･-･･･････-･･-････-･･････････--･･--･-･･-･･････-･･････--･--･･-･-･-････t--･-･･-････(45)

where

B,

a are thedampingconstant and stifiness constant, respectively, and

f

(

_t)isaGaussianwhlte noise with the _{pTopertiesgiven}by

(20),

Thissystem isutilized hereonly forthe sake of the accuracy discussion.Definethe equivalent linearsystem as

te+fiki+kx==f<t)･･････････--･･--･-･-･･-･･････････････････-･･･-･･-･･････--･--"･･････--･---'･･-･･-･-･-･-･･-･-･･･-･--(46)

where k can beexpressed byincorpotating(17)as

-76-Architectural Institute of Japan

NII-Electronic Library Service

ArchitecturalInstitute of Japan .x

6

･b4 .x x' b b

6'

4 3 2 2 1･

o T _o T O 2 4

6

8

10

O 2 4 6 8 10 T=tzarr - -' ･ '

.Flg.4(a)RMS historyforsoftening system A FIg.4(b) RMS historyforhaTdeningsysttimA

h:!E[e(tXiX')

,!,lvTi,]=ga

eeE[x=213]=o.slaaitfs･-････････････-･･･i･････L･････････････････････-･･････-(47)

Onthe other hand,imposing Atalik& Utkll'slineqrizationtechnique also gives an equivalent linearsystem with the coefficient

'exp[essed

by '

. h=E

[a(aeXx'f')]=t

aE

[x-'i3]=o.s3

aai:i3･･-･･1････････････--･･･-･･-･''-'''-'''--'"-'''-'''-''H''''''''''--'''-'-(48>

Some analytical results bytheabove two techniques are _plottedqndcompared with theMonte-Carlosimulation solutions inFig.4. From Fig.4, itisobvious that

both

_thepresenttechnique and Atalik

&

Utku's_techniquehave produ'cedrather satisfactory solutions tothe response. Inaddition, it'shouldbenoted thatthl''s'istrueeven when the system isexcited at strong nonlinear response level.

4.4 softening system B :hystereticnonlinearities by Y.K. Wen

Thesystem considered hereisa sofening hyste'reticY.K. VVenrfiodeli8}, as shown inFig.s.The nendimensional

governing equation of motion isdescribedby

'

bi+2hth+ax+(1-a>2=f(t)-･---･---･---･･---･-･---･･-･-L･--･･----･--･---:-(4g>

where h and a are the damping coefficient and the _{post-to-preyield}stiffness ratio, respectively ;

f

(

t)isa Gaussian white noise with i

' '

'

.E[f(t)]=Ol E[f{t)f(t+T)]=S,D(T)･i---･---･--･･-･-･･-･･----･----i---･---(50)

and z isthe so-ealled hysteresisand related to x thtough the followingfirstorder differentialequatien '

2=g.(z, dr);g.(z,dr>=-71thlzlzl"'Ldilzl"+tr････････････････････････････-･･･････････････････････-･･･････(sl) '

Inthe above expression _r,

fi,

e

and n are _{parameters. 7t}and

B

control the shape.of the hysteresisIoop,

_g

the

' '

restoring ferce, _and n the _{smootljness of} thehysteresis.Inthis_paper,theimposedparameters are n=1,

g=1.

0,,and

B=7=O.5.

,

Linearize

(51)

into ･ '

'

2-ct+hz----･---･---･----･-･--･-･･---･---･-･---･--(52) Following Y.K. Wen`O},the linearcoefficients c and kare _given by

c=1-7S.(EttZ]+at]H"H'-'"""'"'"-'-'"''-"'''-''''''-'m'"'-'-:"''mh''-'-'""'h''(53)

'

h=-S.(ai+E[.Xi2]l'"H'H"H"HH"H(54)

'

On the other hand, incorporating

lhe

_presenttedhnique

(]7>

yields the linearcoefficients as '

'

c=1-nt.(EttZ]+azlH"'--'"-"-'(ss)

h

=-zili.

[

ath+E

tt

Z]

]

'''-''-m'-'-(s6)

On the above two techniques, sorne case studies are Fig.5 Y.K. Wen hysteieticmodel perfermed and the analytical results are compared with

-

77

NII-Electronic Mbrary z1'

1,2'

3'

-3-2-1 x -1 '

ix

7b6bi5

4

3

2

1 o O 2 4 6

B

10

Fig.6(a

)

RMS histeryfoTsoftening system B

T

6.xbib4

2 o ' /-f::"-hniq'ue

O

2 4 6 B 10

Fig.6(b) RMS history _forhardeningsystem B

T

the Monte-Carlosimulation solutions inFig.6,Asa result, the_presenttechniquehas_produced abettersolu,tion than

Atalik& Utku's technique.

5. Applicationtopiece-wise-linearhystereticsystems

The term "piece-wise-linear hystereticsystems" or _p.w, 1.hystereticsystems forshort refers tononlinear models in which the

hysteretic

characteristics consist of piece-wise-linear behaviour.Insuch models, the expressions of the

governingequations are not smooth and, therefore,the firstderivativesof the expressions with respect to the

arguments do not exist. Ithasbeen _pointed outi5} thatthisnon-smoothness _prevents the application of the linearizationmethod. As a consequence, the authors hayedevelopeda useful approachte) to smooth th/e_general

differentialexpressions of the _p.w.1, hystereticsysterns so that itbecomes_possibleto apply the stochastic linearizationmethod. Laterthesmoothing approach hasbeen_generalizedtoMDOF _p.w. 1.hystereticsystemsmo). In thissection, basedon thesmoothing approach, we will apply the_presentimprovedstochastic linearizationtechnique to _{the p.w.1.} hystereticsystems.

The nondimensional equations of motion of the _p.w,1. hystereticsystems can. beexpressed _generallybyi9)

X+2hth+ax+(1-a}z=f(t)'･･''''-･--･････････････-･･-･･･----･･--････----････---･･---･･･--･･-･･-･･-･････････-･(57)

2=ke[1-U(th)U(z-1)-U(-dr)U(-z-1)]=f(X,z)--･･--･･･-･･･-･･-･･-･･････････-･･･-･･--･---･･-ny･-･････-･{58) Where a isthepost-to-preyieldstiffness ratio, kisthe hysteresi$coefficient which dependson thecharacteristics of

the hystereticsystems; and U isthe U-stepfunctiondefinedby

u(x)-(i

::8･--･---･-･---･---･---･---･---H"H"..""""-"H",,,)

Clearly,the differentialexpression of _the hysteresis

(58)

isnot srnooth and, therefore,the application of the

linearizatienisunavailable. Theapproach developedinReference19istosmooth the differentialexpression

(58)

in an equivalent probabilistic sense through approximating the U-stepfunctionsas

u

(t)-ia+sgn

th)-(o.s, i

i.

iE

･-･･---･---･---(6o)

U(2-1) !}lzl"(1+sgn z)

(121sl)

'forapositiven･---;----･---･･-･-･---<61) As a result, the smooth differentialexpression has been _gained as

2=k[th-o.s121nth-o.slthlzlzl"-']fo[apositiven･････-･･-･----･･･-･-･････････････-･･-･･-･･････-･･--･---･･(62)

where icisthe smooth hysteresiscoefficient which can bederivedbythesame approximations fromh.Parametern is to control the smoothness of U(z-1) and meanwhile the transitionof thehysteresis,as illustratedi.nFig.7. Theoretically,when n-co, thesmooth hystereticsystems becomethe_p.w. ].hy$teTeticsystems. Itshould benoted that n beso chosen thatitmay _produce the same _{probabilistic}informationand atthesame timegivethesmoothness

' '

of the differentialexpression.

Forexample, consider the bilinearsystem subjected toa Gaussianwhite noise excitation, In thiscase, the appropriate choice of n hasbeenshown]9) to be_3.Then the expression of the hysteresisisdescribedby

i-th-o.s1213th-O.51drlzS･･-･･-･･･････････-･･-･･t････････-･･-･･-･･-･･････-･････-･-･･-･･････-･･-･･-･･････-････････(63)

-78-Architectural Institute of Japan

NII-Electronic Library Service

ArchitecturalInstitute ofJapan

Thusthe hysteresisloopbecomesrather smooth, as shown inFig.8.Incorportitingthepresenttechnique

₍₁₇₎

yields

'

the equivalent linearsystein as '

X+2hth+ax+(1-a)2=f(t)"--'"'--"H-"-H'-H--HH"H"H"H""''H'"H"H-H"''H'"mH-"H"""H'(57) 2=bth+cz･･-･･････-･･-･･-･･･-･･･-･･･--･･･-･･･-･･･-･･-･･･--･-････-･･-･･-･･･--･--･･････････-･･･-･･-･･--･････-･･--･･-･･-(64) where'

b=1-1･llS.oZptz{3-p}z)+xEFa:]''''''''''1''''''''"''-''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''"H'''''(6sa)

,C="1･1

(7

_. agai

(1+pS2)+3ff

pttaZathl'"-H"--- ･-･--- -･(6sb) E[thz]. .

Pi2= _aiax 'H'"''"""""""""'"'"''H''H-'''"-'H'HHHH-H'HH'H''"-"''-"''r'mm'''"''''"''"(65C) '

As a result, the covariance matrix of theresponse can besolved on thebasisof thestandard theoryof linear vibration systems, Some' numerical analyses are _performed and the results _qre compared with the Monte-Carlo simulation solutions, as shown inFig.9.Fig.9shows that the_presenttechnique_producesrather dependableresults forstrong nonli'nearities as well as forweak nonlinearities, Alsoshown bythebrokenlinesare theresults basedon

Atalik & Utku's linearizationtechnique. From the results in Fig.9,itmay be concluded that the present linearizationtechnique _yieldsbetterapproximate solutions forresponse statistics than thatby Atalik& Utku.

t t

6.Conclusions

On thebasisof theweighted least-square

'minimization

concept, an improvedstochastic linearizationtechniquehas

beendeveloped.Inthistechnique,thedifferencebetweenthedistributionsof the responses of thenonlinear system and thecorresponding equivalent linearsystem hasbeentakenintoaccount inthe.fermof the weighting functiens.It hasbeenshown that theexact closed formsof thecoefficients of theequivalent linearsystem can beobtained simply by directapplication of _partialdifferentiationand expectation to the nonlinear terms,

Throtigh,applyingthepresenttechnique toa certain number of examples, theaccuracy hasbeeninvestigated.Asa resutt, ithas

been

observed thatthis technique produces better solutions than the existing linearization method.

--'sp

1.5

i.z

Z.5

z.z'

-1 Fig.7(a)

2

z1

o

-t -.3 -2 Fig.8(a)

Z

l

Srpoothnessof U

(2-1)

-1 _O123 p, w. i.bilinearmodel x

2x

1

z

oO

1 Fig.7(b) Smoothness

z2

1

o

-1 -2 x of transition -3 -2 -1 ,P Fig.8{b) Smooth 1bilineaT23medel x

2

3.xbAb2 i o

6xbJthepresenttechnique

Jt--d"Nby

tt.tttT..t..ttt.tt.. AtaLik&Utku'stechnique a=O.1h=O.OlSe=O.6 O

2

4

6

8

10

Fig.9(a) RMS histeryferbitineaf$ystem T 'x6b.64 2

o

by the

6x

･

dl

present technique ...-X

by Atalik & Utku's tee

a=o.o hro.ol /NJLvM-L

O 2 4 6 e 10

Fig,g(b)

RMS historyforbilineaTsystern

T

Furthermore,thistechnique hasbeenalso applied to the _{piece-wise-linear}hysteieticsystems. Inthiscase, we haveto smooth the differentialexpression of the hysteresisbeforewe can apply the _pre$enttechnique. Through performingsome numerical studies, ithas

been

shown thattheaccuracy of thepresenttechnique isratherdependable even forstrong nonlinearities.

Finally,the _presenttechnique can besuccessfully applied to mutti-degree-of freedomnonlinear systems under white noise excitations or subjected tomore complex stochastic excitation noises obtained bythe filteTingof a white nolse

Reterences

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【諭　 文】 UDC ：624．042．7；624．04 日本 建築学会 構 造 系 論 文 報 告 集 第 395号 ・昭 和 64 年 1 月

非

線形

シス

子

ム の

不 規

則応答解析

にお

け

る

重

み

_付

き最 小

二

_{乗 化}

に よる

　　　　　　

等

価

線

形

化法

お

よび そ

の

応用 （

梗

概

）

正 会 員 正 会 員 正 会 員 和 李 木 泉 村 　 ＊ 料 ホ 　 ホ 　 ホ 哲 明 彦 正 再 正 　1．序 　 論 　等 価線形 化 法は，非 線 形システム の _{不 規 則応答 解析}手 法の _中で も， 可 能 性，応 用 性の点に おいて極め て有力な 手 法で ある。こ の手 法は_， 多くの 研究者に よっ て発 展 さ せ ら れ て き た が11−s［，特に AtaLik＆Utkuの研究9｝_に よ り大き な発 展が見 られ たle）−14） 。 筆 者ら は，　Atalik＆ Utku の_{等価 線形 化}法 を適 用 する 上で の制 約を緩 和すべ く，等 価線形化法の修 正 を試み てき た が15，_{，一部にや や} 過 大 評価す る傾 向がみ られ た。そこ で，本 論文は等価線 形シス テムを重み付き最 小二乗 化の規 範を 用い て導 出 す るこ と に よ り， さ らに精 度の高い等 価 線 形 化法の実 現を 目的 とする。さ らにその応 用につ いて も述べ _る。 　2．非 線 形システ ム 　こ こ で，一_般性を失わずに （1 ）式で表 現される よ う な対 称 非線形振 動シス テムを考える こと がで き る。 一般 に非 線形 振 動 システム は，スケル トン カーブにより硬化 型と軟 化 型に分ける こ とがで きる （図一1）。 こ の硬化型 システムと軟 化 型システム における応 答の分 布は，正規

分 布を 基 準 と し た と き，それ ぞ れ more 　peaked と less

peaked にな る （図一2｝。 　3．重み付き最小二乗化によ る等 価 線 形 化 法 　3．1 重み関 数 　重み付き最 小二_{乗 化}の_{規 範}を 用い る時は_， 重み関 数を 適 切に選択 す るこ と が最も重 要で あるが，これ を一般 的 に決 定す る方 法はま だ確 立され て い な い。 非 線 形シス テ ム の _等価線形化法の_問題に お い ては，こ の重 み関数 を 非 線形システム の応 答 分 布が 正規 分布か ら外れ ることに関 連 させ て定め る こと が合理的であ る。こ の 考え と数 値 解 析 結 果に基づ き，非 線 形シス テムが硬 化 型か軟 化 型か に よっ て，重み関 数を そ れ ぞ れ （2 ）式， （3）式の よ う に設 定する _（図一3 ）。 さ らに，これ らは （4 ）式と （5 ） 式のように多 次元システムに拡 張する こ と が で き る。 　 3．2 　手 法の誘導 　振 動 方 程 式 （1）を （6）式の よ う な等 価 線 形シ ス テ 　’ _{東北大学　教授}・_工博 ＃ _{東 北 大 学　大 学院生}・_工修 41 寧_{東 北 大 学 　 助 手}・_工博 　 （昭 和 53 年 6 月 2 日原 稿 受 理 ） ム に書き換え る。た だ し，その誤差 を （7）式で評 価 す る。 こ こ で，重み付き最小二乗化の規 範により （8 ）式 が得ら れ る。（8）式 が満 足すぺ _{き必 要 条 件}と して，_（9_） 式 が 成 立 す る。この規 範に よれば，等 価 線 形シ ステム （6 ＞ 式の_{係 数}マ ト リク ス A は_， 非 線 形シ ステムが硬 化型 か 軟化 型に よっ て そ れ ぞれ，（16 ），（17） 式の ご と く決定 さ れ_， 等 価 線形 システム の係 数マ ト リク ス A は，非線 形システム の非線形項に_偏微分と期待値の操 作 を直 接 行 うことに より求め ること が で き る。特に，本 等 価 線 形 化 法に よる係 数 （16），（17 ）式とAtalik＆ Utkuに ょる係 数 （18）式の違いに注目さ れ た い。 　4．解析例およ び精 度の検 討 　4，1 硬 化型シ ス テ ムA につ い て 　 こ の シ ス テ ムは，〔19＞式で表 現さ れ る。ただ し，入 力ノ（t）は （20 ）式を満足 す るGaussianホ ワイ トノイ ズで ある。こ の シス テム の 定 常二乗 変 位 応 答の厳 密 解は （21） 式で 与え ら れ る16） が，本 解 析 手 法 とAtalik＆ Utkuの手 法 を適 用し た 近似解は そ れ ぞ れ （25 ）と （26） 式とな る。こ の場合の _{厳 密解}に対する誤 差はそ れ ぞ れ 4．6％ （（27） 式

1

，14．6％ （（28） 式 ）と な り， 本 解 析 手 法 を適 用し た場 合の誤 差は Atalik＆Utkuに比べ ， 大 幅に減 少しており，精 度が向上 して いること が わ か る。 　 4．2 硬化 型シ ス テム B につ い て 　 （29＞，（30）式で表 現さ れ る非 線 形シス テム につ いて 考え る。こ の 時，定常二 _乗変位お よ び定 常二 乗 速 度 応 答 の厳 密 解は，そ れ ぞ れ （31），（32）式で表され る1 η。 同 様に，本 解 析 手 法とAtalik＆ Utkuの手 法に よ る近 似 解は，そ れ ぞ れ （39），（40）式 と （41），〔42 ）式で_表現 さ れ る。し た がっ て，そ れ ぞれの 誤 差は （43），（44 ）式 で評 価さ れ， 本 解 析 手 法に よる誤 差はAtalik＆ Utku の手 法の 11．4 ％に対し0．9％ と大 幅に減少し てい るこ と が わか る。 　4．3 軟化型 システム Aにつ い て 　 こ の シス テム は （45）式で与え ら れ る。い くつ かの ケー ス につ い て調べ _{た と}ころ，本 解 析 手法はAtalik＆ Uしku の手 法と同様な高い精度を有す ること が 示 され た （図一 4）。 　 4．4 軟 化型 シス テム B につ い て 一

₈₂

一

Architectural Institute of Japan

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Arohiteotural エnstitute 　of 　Japan

　こ こ で 考え てい る シス テムは，図一5に示す ような Y ．K．　Wen モ デルであ り，（49 ）式によ り表 現さ れ る］s） 。 （49 ）式におい て，

f

（の は （50） 式を満 足 するGaus− sian ホ ワイ ト ノイ ズで あ り，　 z _は （5_ユ）_式で_表さ れ る 履歴成分で あ る。同様に，ケース スタ ディを行っ た結 果， 本 解 析 手 法はAtalik＆ Utku の手 法に比べ て より高い 精 度を有 すること が確 認さ れ た。

．5．piece−wise −linear_{履 歴}システムへ の応 用につ い て

　piece・wise ・linear_{履 歴}システムと は，区 分 的に線 形 特 性を持ち，弾 性 領 域か ら塑 性 領 域へ _{の応 答 遷 移が滑ら か} で ない履 歴特性を持つ モ デル を指す （以後 p．w ．　L，_履歴 シス テム と呼ぶ こ とにす る）。 p．w，1．履 歴システム の定 式化は， 多くの研究者によっ て検討さ れ て き た が， 著者 らは_， こ れ をや や違っ た形で表 現し， 一_{般 式にま と めて} い る］9｝_。 履 歴シ ステム に おける無 次元振 動 方 程 式は _（57 ） ， （58 ＞式に よっ て表 現さ れ る。こ こ に U （X）は， U 一 ス テ ッ プ関 数で あり，（59） 式に より定 義さ れる。明ら か に_， 履 歴の 表 現 式 （58）は_， （59 ）式で 定 義さ れ る σ・ステッ プ関 数 を含み不 連 続な特 性 を有す る。こ の不 連 続 性は，等 価 線 形 化 法の適 用 を困 難にす る原 因である ことが_指摘され て い る15 ）_{。 著 者}らは_， 応答の_確率情報が 等 価で， しか も， 等 価 線 形 化 法が適用 で き る程 度に滑ら か な，等 価 履 歴システム を提 案し19）_， さ らに多 質 点 型 非 線 形シ ス テ ム に拡 張し た2°）_{。そ の} 手 法は_， U・ス テッ プ 関 数 を （60）と （61）式で近 似する ことに よ り， すな わ ち U ・ス テッ プ関 数をス ム ージング す ることに より，等 価 履歴 システム _（62_）式を提 案す る もの であ る。 こ こ に n は_{，U ．}ス テッ プ 関 数 U （2 − 1）の滑ら か さ を支 配す る と共に，応 答の遷移もコ ン トロール す るパ ラメータで あ る （図一7 ）。理論的に n→ 。 。の と き，_等価_履歴 シス テム は元の _p．w ．1．_{履 歴シ}ス テムと一致す る。　_{n は} ， 元 の p．w．　L _{履 歴}シ ステム とほほ洞 じ履 歴エ ネル ギーを持 ち， し か も， 等 価 線 形 化 手 法が適用 し や すい よ うに でき るだけ小さくす る。という規 準で設 定す るのが合理的で ある。 　具体的な_例と して_，バ イ リニ アモ デル につ い て_考える。 この モ デル に お け る n は3と設定 さ れ てい る］9）_。 そ の 結 果 とし て，履 歴は （63）式によ り表現さ れ，図一7に 示す よ うに か な り滑らか にな り， こ の系に等 価 線 形 化 法 を 適 用する こと が可 能と な る。同 様に_， ケース ス タ ディ

を 行っ た結 果，piece−wise −linear履 歴シス テム におい て

も本 解 析 手 法に よ る精 度は高い こと が示さ れ た。 　6．結 論 、 　本 論文は，重み付き最 小二乗 化の規 範に基づい て，よ り高い精 度を有する等 価 線 形 化 法の_実現と その _{応 用}につ い て展 開し たもの である。本 等 価 線 形 化 法の_特徴は， 非 線 形システム の応 答が 正規 分 布か ら外れ るこ と が重み関 数 と して考慮 さ れて い る こと と_， 等 価 線 形シス テム の係 数マ _トリクス A が非 線 形 シス テム の非 線 形 項に偏 微 分 と期 待 値の操 作 を 直接 行うことに よ り容 易に_求め ら れ る ことにある。 　い くつ か の解 析 例 を とお して_， 本 等 価 線 形 化 法は，従 来の手 法を 上回る精 度 を有 することが 確 認さ れ た。 　さ らに，本 解 析 手 法の piece−wise4inear _履歴シ ス テ ム へ の _{適 用}につい て述べ た。 こめ際，ス ムージング法に よ る等 価履歴へ の産換が 必_要であ る。バ _イリニ ア モ デル を例に_，モ ンテ カル ロ法に よ る数 値 解 析 結 果と比 較し た と こ ろ_， 本等価線形化法 は_{非 線 形 性}の _大き なpiece− wise −linear履 歴シ ス テム に おい て も高い_{精 度}を持つ こ と が明らか に なっ た。 ダ 一

₈₃

一 N工 工一Eleotronio _Library