Ïîñòðîåíû íîâûå ñïåöèàëüíûå ðÿäû ïîìîäèèöèðîâàííûì ïîëèíîìàì Ìåéêñíåðà M n,N α (x

2018,Òîì 20,Âûïóñê3,Ñ. 2136

ÓÄÊ517.521

DOI10.23671/VNC.2018.3.17961

ÀÏÏÎÊÑÈÌÀÒÈÂÍÛÅ ÑÂÎÉÑÒÂÀÑÏÅÖÈÀËÜÍÛÕßÄÎÂ

ÏÎ ÏÎËÈÍÎÌÀÌÌÅÉÊÑÍÅÀ

. Ì. àäæèìèðçàåâ

1

1

Äàãåñòàíñêèéíàó÷íûéöåíòðÀÍ,

îññèÿ,367032Ìàõà÷êàëà,óë.Ì.àäæèåâà,45

E-mail:ramis3004gmail.om

Àííîòàöèÿ. Ïîñòðîåíû íîâûå ñïåöèàëüíûå ðÿäû ïîìîäèèöèðîâàííûì ïîëèíîìàì Ìåéêñíåðà

M _n,N ^α (x) = M n ^α (N x)

^{.Ýòèïîëèíîìû ïðè}

α > −1

^{îáðàçóþò} îðòîãîíàëüíóþñ âåñîì

ρ(N x)

^{ñèñòåìó}

íàðàâíîìåðíîé ñåòêå

Ω δ = {0, δ, 2δ, . . .}

^{, ãäå}

δ = 1/N

^,

N > 0

^{. Óïîìÿíóòûå} ñïåöèàëüíûåðÿäû ïî ïîëèíîìàì

M n,N ^α (x)

^{ïîÿâèëèñüêàê}åñòåñòâåííûéèàëüòåðíàòèâíûéðÿäàìÔóðüåÌåéêñíåðààï- ïàðàò îäíîâðåìåííîãîïðèáëèæåíèÿ äèñêðåòíîéóíêöèè

f

^{,çàäàííîéíà}ðàâíîìåðíîé ñåòêå

Ω δ

^,è

ååêîíå÷íûõðàçíîñòåé

∆ ^ν δ f

^{.Îñíîâíîåâíèìàíèåâíàñòîÿùåéñòàòüåóäåëåíî}èññëåäîâàíèþàïïðîê- ñèìàòèâíûõ ñâîéñòâ÷àñòè÷íûõñóììóêàçàííûõðÿäîâ.Â÷àñòíîñòè, ïîëó÷åíàïîòî÷å÷íàÿîöåíêà

äëÿóíêöèèËåáåãà÷àñòè÷íûõñóììñïåöèàëüíîãîðÿäà.Ñëåäóåòîòìåòèòü,÷òîíîâûåñïåöèàëüíûå

ðÿäû,âîòëè÷èåîòðÿäîâ ÔóðüåÌåéêñíåðà, îáëàäàþòòåìñâîéñòâîì, ÷òîèõ÷àñòè÷íûåñóììû

ñîâïàäàþòñîçíà÷åíèÿìèèñõîäíîéóíêöèèâòî÷êàõ

0, δ, . . . , (r − 1)δ

^.

Êëþ÷åâûå ñëîâà: ïîëèíîìû Ìåéêñíåðà, àïïðîêñèìàòèâíûå ñâîéñòâà, ðÿä Ôóðüå, ñïåöèàëüíûå

ðÿäû,óíêöèÿËåáåãà.

MathematialSubjet Classiation(2000): 41A10.

1. Ââåäåíèå

 íàñòîÿùåé ðàáîòå ðàññìîòðåíû íîâûå ñïåöèàëüíûå ðÿäû ïî ìîäèèöèðîâàííûì

ïîëèíîìàì Ìåéêñíåðà

M _n,N ^α (x) = M _n ^α (N x)

^ñ

α > − 1

^, îðòîãîíàëüíûì íà ðàâíîìåðíîé ñåòêå

Ω _δ = { 0, δ, 2δ, . . . }

^,ãäå

δ = _N ¹

^,

N > 0,

^èèññëåäîâàíûàïïðîêñèìàòèâíûå ñâîéñòâàèõ

÷àñòè÷íûõñóìì. Â÷àñòíîñòè, ïîëó÷åíàîöåíêà ñâåðõó äëÿ óíêöèè Ëåáåãà ÷àñòè÷íûõ

ñóìì ñïåöèàëüíîãî ðÿäà ïî ïîëèíîìàì Ìåéêñíåðà

M _n,N ^α (x)

^. Ñïåöèàëüíûå ðÿäû ïî ïî- ëèíîìàìÌåéêñíåðà

M _n,N ^α (x)

^{îáëàäàþò}çíà÷èòåëüíîëó÷øèìèàïïðîêñèìàòèâíûìèñâîé- ñòâàìè,÷åìðÿäûÔóðüåïîóêàçàííûìïîëèíîìàì.Íàïðèìåð,íîâûåñïåöèàëüíûåðÿäû,

ñîîòâåòñòâóþùèåçàäàííîìó

r ∈ N

, îáëàäàþòòåìñâîéñòâîì, ÷òî÷àñòè÷íûå ñóììûýòèõ ðÿäîâ èíòåðïîëèðóþò èñõîäíóþ óíêöèþâòî÷êàõ

0, δ, . . . , (r − 1)δ

^.

Ïðè èññëåäîâàíèè àïïðîêñèìàòèâíûõ ñâîéñòâ ÷àñòè÷íûõ ñóìì ñïåöèàëüíîãî ðÿäà

íàì ïîíàäîáÿòñÿ íåêîòîðûå ñâîéñòâà ïîëèíîìîâ Ìåéêñíåðà

M _n,N ^α (x)

^{, êîòîðûå ìû ïðè-}

âåäåì âñëåäóþùåì ïóíêòå.

2. Íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ î ïîëèíîìàõ Ìåéêñíåðà

Äëÿ

q 6 = 0

^è ïðîèçâîëüíîãî

α ∈ R

êëàññè÷åñêèå ïîëèíîìû Ìåéêñíåðà [13℄ ìîæíî îïðåäåëèòüñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâà

M _n ^α (x) = M _n ^α (x, q) =

n + α n

n

X

k=0

n ^[k] x ^[k]

(α + 1) _k k!

1 − 1

q k

,

²⁰¹⁸àäæèìèðçàåâ.Ì.

ãäå

x ^[k] = x(x − 1) . . . (x − k + 1)

^,

(a) _k = a(a + 1) . . . (a + k − 1)

^{. Ïðè}

α > − 1

^è

0 < q < 1

ïîëèíîìûÌåéêñíåðà

M _n ^α (x)

^{îáðàçóþò}îðòîãîíàëüíóþñèñòåìóíàñåòêå

{ 0, 1, . . . }

^ñâåñîì

ρ(x) = ρ(x, α, q) = q ^{x Γ(x+α+1)} _Γ(x+1) (1 − q) ^α+1

^{,à,áîëååòî÷íî,èìååòìåñòîñëåäóþùååðàâåíñòâî:}

∞

X

x=0

m ^α _n (x)m ^α _k (x)ρ(x) = δ _nk , 0 < q < 1, α > − 1,

ãäå

m ^α _n (x) = m ^α _n (x, q) = { h ^α _n (q) } ^{− 1 2} M _n ^α (x)

^,

h ^α _n (q) = ^n+α _n

q ^{− n} Γ(α + 1).

Ïóñòü

N > 0

^,

δ = _N ¹

^,

q = e ^−δ

^,

Ω _δ = { 0, δ, 2δ, . . . }

^{. Ìíîãî÷ëåíû}

M _n,N ^α (x) = M _n ^α (N x, e ^−δ )

è

m ^α _n,N (x) = m ^α _n (N x, e ^{− δ} ) =

h ^α _n (e ^{− δ} ) ^{− 1 2} M _n,N ^α (x)

^{âñëó÷àå}

α > − 1

^{îáðàçóþò}îðòîãîíàëü- íóþè îðòîíîðìèðîâàííóþ íà

Ω _δ

^{ñèñòåìû ñâåñîì}

ρ(N x) = ρ(N x; α, e ^{− δ} )

^.

Âäàëüíåéøåì,ïðèîöåíêåóíêöèèËåáåãà,âàæíóþðîëüèãðàåòñëåäóþùàÿîðìóëà

Êðèñòîåëÿ Äàðáó:

K _n,N ^α (t, x) =

n

X

k=0

m ^α _k,N (t)m ^α _k,N (x)

= δ p

(n + 1)(n + α + 1) (e ^δ/2 − e ^{− δ/2} )(x − t)

m ^α _n+1,N (t)m ^α _n,N (x) − m ^α _n,N (t)m ^α _n+1,N (x)

.

⁽¹⁾

êîòîðóþ ìîæíîçàïèñàòü[4℄ òàê:

K ^α

n,N (t, x) = α _n

(α _n + α _n − 1 ) m ^α _n,N (t)m ^α _n,N (x) + α _n α _n − 1

(α _n + α _n − 1 ) δ e ^{δ 2} − e ^{− δ 2}

1 (x − t)

×

m ^α _n,N (x) m ^α _n+1,N (t) − m ^α _{n − 1,N} (t)

− m ^α _n,N (t) m ^α _n+1,N (x) − m ^α _{n − 1,N} (x) ,

(2)

ãäå

α n = p

(n + 1)(n + α + 1)

^{. Äëÿ}

0 < δ 6 1

^,

N = ¹ _δ

^,

λ > 0

^,

1 6 n 6 λN

^,

α > − 1

^,

0 6 x < ∞

^,

s > 0

^,

θ _n = 4n + 2α + 2

ñïðàâåäëèâû [2,5℄ñëåäóþùèåîöåíêè:

e ^{− x 2}

m ^α _n,N (x ± sδ)

6 c(α, λ, s)θ ⁻

α

n 2 A ^α _n (x),

A ^α _n (x) =



 

 

 

 

 

 

θ _n ^α , 0 6 x 6 _θ ¹

n , θ

α 2 − ¹ ₄

n x ^{− α 2 − 1 4} , _θ ¹

n < x 6 ^θ ₂ ⁿ , h

θ n

θ

1

n 3 + | x − θ n | i − ¹

4 , ^θ ₂ ⁿ < x 6 ^{3θ n}

2 , e ^{− x 4} , ^3θ ₂ ⁿ < x < ∞ ,

(3)

e ^{− x 2}

m ^α _n+1,N (x ± sδ) − m ^α _{n − 1,N} (x ± sδ)

6 c(α, λ, s)



 

 

 



 

 

 

 θ

α 2 − 1

n , 0 6 x 6 _θ ¹

n , θ ⁻

3

n 4 x ^{− α 2 + 1 4} , _θ ¹

n < x 6 ^θ ₂ ⁿ , x ^{− α 2} θ ⁻

3

n 4

θ

1

n 3 + | x − θ _n | ¹ ₄

, ^θ ₂ ⁿ < x 6 ^3θ ₂ ⁿ , e ^{− x 4} , ^3θ ₂ ⁿ < x < ∞ .

(4)

Çäåñüèäàëåå

c

^,

c(α)

^,

c(α, . . . , λ)

ïîëîæèòåëüíûå÷èñëà,çàâèñÿùèåòîëüêîîòóêàçàííûõ ïàðàìåòðîâ, ïðè÷åìðàçëè÷íûå â ðàçíûõìåñòàõ.

3.Íåðàâåíñòâî Ëåáåãà äëÿ ÷àñòè÷íûõ ñóìì

ñïåöèàëüíîãî ðÿäà ïî ïîëèíîìàì Ìåéêñíåðà

 ðàáîòå [6℄ áûëè ââåäåíû ñïåöèàëüíûå ðÿäû ïî êëàññè÷åñêèì ïîëèíîìàì Ëàãåð-

ðàè èññëåäîâàíû àïïðîêñèìàòèâíûå ñâîéñòâà èõ÷àñòè÷íûõñóìì. Âíàñòîÿùåé ðàáîòå

ìû ðàññìîòðèì ñïåöèàëüíûå ðÿäû ïî ïîëèíîìàì Ìåéêñíåðà, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ äèñ-

êðåòíûì àíàëîãîì âûøåóïîìÿíóòûõ ñïåöèàëüíûõ ðÿäîâ ïî ïîëèíîìàì Ëàãåððà. Íàì

ïîíàäîáÿòñÿ íåêîòîðûå îáîçíà÷åíèÿ. Ïóñòü

Ω

^{äèñêðåòíîå ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç}

áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà ðàçëè÷íûõ òî÷åê äåéñòâèòåëüíîé îñè,

µ = µ(x)

íåîòðèöàòåëüíàÿ óíêöèÿ,îïðåäåëåííàÿíàýòîììíîæåñòâå.×åðåç

l _2,µ (Ω)

^{îáîçíà÷èì}ïðîñòðàíñòâîóíê- öèé

f

^{, çàäàííûõ íà}

Ω

^{èòàêèõ, ÷òî}

P

x ∈ Ω f ² (x)µ(x) < ∞

^{. Ìûðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà}

Ω = Ω _δ = { 0, δ, 2δ, . . . }

^,

δ = _N ¹

^,

µ(x) = ρ(N x) = ρ(N x; α, e ^−δ )

^{. Ïóñòü}

d(x) ∈ l _2,ρ (Ω _δ )

^{, òîãäà}

ïðè

x ∈ Ω _r,δ = { rδ, (r + 1)δ, . . . }

^{ìû ìîæåì îïðåäåëèòü äèñêðåòíûé àíàëîã ïîëèíîìà}

Òåéëîðà ñëåäóþùåãî âèäà:

P _r − 1,N (x) =

r − 1

X

ν =0

∆ ^ν _δ d(0)

ν! (N x) ^[ν] , ∆ ⁰ _δ d(x) = d(x),

∆ ¹ _δ d(x) = d(x + δ) − d(x)

^,

∆ ^ν _δ d(x) = ∆ _δ (∆ ^ν _δ ^{− 1} d(x))

^{. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî óíêöèÿ}

d _r (x) = ^d(x)−P _{N −r (N x)} ^{r− 1,N} _[r] ^(x)

ïðèíàäëåæèòïðîñòðàíñòâó

l _{2,ρ N,r} (Ω _r,δ )

^,ãäå

ρ _N,r (x) = ρ(N (x − rδ))

^,

à ìîäèèöèðîâàííûå ïîëèíîìû Ìåéêñíåðà

m ^α _k,N,r (x) = m ^α _k,N (x − rδ)

⁽

k = 0, 1, . . .

^{) ïðè}

α > − 1

^{îáðàçóþò} îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñâ

l _{2,ρ N,r} (Ω _r,δ )

^{ñ âåñîì}

ρ _N,r (x)

^{. Ïîýòîìó ìû}

ìîæåì îïðåäåëèòüêîýèöèåíòûÔóðüå Ìåéêñíåðà

d ˆ ^α _r,k = X

t ∈ Ω r,δ

d _r (t)ρ _N,r (t)m ^α _k,N,r (t) = X

t ∈ Ω r,δ

d(t) − P _r − 1,N (t)

N ^−r (N t) ^[r] ρ _N,r (t)m ^α _k,N,r (t)

èðÿäÔóðüå Ìåéêñíåðà

d _r (x) =

∞

X

k=0

d ˆ ^α _r,k m ^α _k,N,r (x),

êîòîðûé â ñèëó áàçèñíîñòè â

l 2,ρ N,r (Ω _r,δ )

^{ñèñòåìû ïîëèíîìîâ Ìåéêñíåðà}

m ^α _k,N,r (x) (k = 0, 1, . . .)

^{ñõîäèòñÿðàâíîìåðíî} îòíîñèòåëüíî

x ∈ Ω _r,δ

^{. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî}

d(x) = P _r−1,N (x) + N ^{− r} (N x) ^[r]

∞

X

k=0

d ˆ ^α _r,k m ^α _k,N,r (x), x ∈ Ω _δ .

⁽⁵⁾

Ñëåäóÿ[7, 8℄,ìû áóäåì íàçûâàòü (5)ñïåöèàëüíûì ðÿäîì ïîïîëèíîìàì Ìåéêñíåðà äëÿ

óíêöèè

d(x)

^{. ×àñòè÷íóþ ñóììóðÿäà(5)îáîçíà÷èì÷åðåç}

S _n+r,N ^α (d, x) = P _r − 1,N (x) + N ^{− r} (N x) ^[r]

n

X

k=0

d ˆ ^α _r,k m ^α _k,N,r (x).

Åñëè

d(x) = p _n+r (x)

ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé àëãåáðàè÷åñêèé ïîëèíîì ñòåïåíè

n + r,

^òî,

î÷åâèäíî,

d ˆ ^α _r,k = 0

^ïðè

k > n + 1

^{è ïîýòîìó èç (5) ñëåäóåò}

S _n+r,N ^α (p _n+r , x) ≡ p _n+r (x),

ò. å.

S _n+r,N ^α (d, x)

^{ÿâëÿåòñÿ ïðîåêòîðîì íà} ïîäïðîñòðàíñòâî àëãåáðàè÷åñêèõ ïîëèíîìîâ

p _n+r (x)

^{ñòåïåíèíåâûøå}

n+r

^{.Îáîçíà÷èì÷åðåç}

q _n+r (x)

àëãåáðàè÷åñêèéïîëèíîìñòåïåíè

n + r,

^{äëÿ êîòîðîãî}

∆ ⁱ d(0) = ∆ ⁱ q _n+r (0) (i = 0, . . . , r − 1)

^{. Òîãäà}

d(x) − S _n+r,N ^α (d, x) =

d(x) − q _n+r (x) + q _n+r (x) − S _n+r,N ^α (d, x) 6 | d(x) − q n+r (x) | +

S _n+r,N ^α (q n+r − d, x)

.

Îòñþäàäëÿ

x ∈ Ω _r,δ e ^{− x 2} x ^{− r 2 + 1 4}

d(x) − S _n+r,N ^α (d, x)

6 e ^{− x 2} x ^{− r 2 + 1 4} | d(x) − q _n+r (x) | + e ^{− x 2} x ^{− r 2 + 1 4}

S _n+r,N ^α (q _n+r − d, x) .

⁽⁶⁾

Òàê êàê

P r−1,N (q n+r − d, x) = 0,

^òî

e ^{− x 2} x ^{− r 2 + 1 4}

S _n+r,N ^α (q _n+r − d, x)

= e ^{− x 2} x ^{− r 2 + 1 4} N ^{− r} (N x) ^[r]

n

X

k=0

( q _n+r \ − d) ^α _r,k m ^α _k,N (x − rδ) 6 e ^{− x 2} x ^{− 2 r + 1 4} (N x) ^[r] X

t∈Ω r,δ

| q _n+r (t) − d(t) | (N t) ^[r] ρ _N,r (t)

n

X

k=0

m ^α _k,N (t − rδ)m ^α _k,N (x − rδ)

= e ^{− x 2} x ^{− r 2 + 1 4} (N x) ^[r] X

t ∈ Ω r,δ

| q _n+r (t) − d(t) |

(N t) ^[r] ρ _N,r (t)

K _n,N ^α (t − rδ, x − rδ) .

(7)

Ïîëîæèì

E _k ^r (d, δ) = inf

q k

sup

x∈Ω r,δ

e ^{− x 2} x ^{− r 2 + 1 4} | d(x) − q _k (x) | ,

⁽⁸⁾

ãäå íèæíÿÿ ãðàíü áåðåòñÿ ïî âñåì àëãåáðàè÷åñêèì ïîëèíîìàì

q _k (x)

^{ñòåïåíè}

k,

^{äëÿ êî-}

òîðûõ

∆ ⁱ d(0) = ∆ ⁱ q _k (0) (i = 0, . . . , r − 1).

^{Òîãäà èç(6) è(7) , ó÷èòûâàÿ (8) , ïîëó÷àåì}

e ^{− x 2} x ^{− r 2 + 1 4}

d(x) − S _n+r,N ^α (d, x)

6 E _n+r ^r (d, δ) 1 + l _n,r ^α,N (x)

,

⁽⁹⁾

ãäå

l ^α,N _n,r (x) = e ^{− x 2} x ^{− r 2 + 1 4} (N x) ^[r] X

t ∈ Ω r,δ

e ^{− 2 t +rδ} t ^{r 2 − 1 4} Γ(N t − r + α + 1) (N t) ^[r] Γ(N t − r + 1)

× 1 − e ^{− δ} α+1

K _n,N ^α (t − rδ, x − rδ) .

 ñâÿçè ñ íåðàâåíñòâîì (9) âîçíèêàåò çàäà÷à îá îöåíêå óíêöèè Ëåáåãà

l ^α,N n,r (x)

^ïðè

n 6 λN

^,

λ > 1

^{.  íàñòîÿùåé ðàáîòå ìû} îãðàíè÷èìñÿ èññëåäîâàíèåì âåëè÷èíû

l ^α,N n,r (x)

íà ìíîæåñòâàõ

G ₁ = rδ, ^3λ _θ

n

è

G ₂ = _3λ

θ n , ^θ ₂ ⁿ

. À îöåíêà óíêöèè

l ^α,N n,r (x)

^{íà ïðîìåæóò-}

êå

θ n

2 , ∞

ÿâëÿåòñÿ îáúåêòîì èññëåäîâàíèÿ äðóãîé íàøåé ðàáîòû. Ïðèäîêàçàòåëüñòâå

ñëåäóþùåéòåîðåìûìûâîñïîëüçóåìñÿòåõíèêîéäîêàçàòåëüñòâàòåîðåìû4èçðàáîòû[6℄.

Òåîðåìà 1. Ïóñòü

r ∈ N

,

r − ¹ ₂ < α < r + ¹ ₂

^,

θ _n = 4n + 2α + 2

^,

λ > 1

^,

0 < δ 6 1

^,

δ = 1/N

^,

n 6 λN.

^{Òîãäà èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèåîöåíêè:}

1)

^åñëè

x ∈ G ₁ = rδ, ^3λ _θ

n

,

^òî

l ^α,N _n,r (x) 6 c(α, λ, r)

( ln(n + 1), α = r, 1 + n ^{α − r} , α 6 = r;

(10)

2)

^åñëè

x ∈ G ₂ = _3λ

θ n , ^θ ₂ ⁿ ,

^òî

l ^α,N _n,r (x) 6 c(α, λ, r)

ln(1 + nx) + n x

^α−r ₂

.

⁽¹¹⁾

⊳

^Ïóñòü

x ∈ G ₁ = rδ, ^3λ _θ

n

. Òîãäà

l _n,r ^α,N (x) = S ₁ + S ₂ ,

⁽¹²⁾

ãäå

S 1 6 c(r)e ^{− x 2} x ^{− r 2 + 1 4} (N x) ^r X

t ∈ Ω r,δ , rδ 6 t 6 ⁴

θn

e ^{− 2 t} t ^{r 2 − 1 4} (N t) ^{α − r} 1 − e ^{− δ} α+1 K ^α

n,N (t − rδ, x − rδ) ,

S ₂ 6 c(r)e ^{− x 2} x ^{− r 2 + 1 4} (N x) ^r

× X

t ∈ Ω r,δ ,

4 θn <t< ∞

e ^{− 2 t} t ^{r 2 − 1 4} Γ(N t − r + α + 1)

Γ(N t + 1) 1 − e ^{− δ} α+1 K ^α

n,N (t − rδ, x − rδ) .

Îöåíèì

S ₁ .

^{Èç(1)è (3)ïîëó÷àåì}

S ₁ 6 c(α, r)x ^{r 2 + 1 4} δ X

t∈Ω r,δ , rδ6t6 ⁴

θn

t ^{α − r 2 − 1 4}

n

X

k=0

e ^{− x 2} m ^α _k,N (x − rδ)

e ^{− 2 t} m ^α _k,N (t − rδ)

6 c(α, λ, r)δx ^{r 2 + 1 4} X

t ∈ Ω r,δ , rδ 6 t 6 ⁴

θn

t ^{α − r 2 − 1 4}

n

X

k=0

θ _k ^α 6 c(α, λ, r)δx ^{r 2 + 1 4} X

t ∈ Ω r,δ , rδ 6 t 6 ⁴

θn

t ^{α − r 2 − 4 1} θ _n ^α+1

6 c(α, λ, r)θ ^{α −}

r 2 + ³ ₄ n

4 θn +δ

Z

0

t ^{α − r 2 − 1 4} dt 6 c(α, λ, r)θ ^{α −}

r 2 + ³ ₄

n t ^{α− r 2 + 3 4} α − ^r ₂ + ³ ₄

4 θn +δ

0

= c(α, λ, r).

(13)

Ïåðåéäåìêîöåíêå âåëè÷èíû

S ₂ .

^{Äëÿýòîãîïðåäñòàâèìåå ââèäå}

S ₂ 6 S ₂₁ + S ₂₂ + S ₂₃ ,

ãäå

S 21 = e ^{− x 2} x ^{r 2 + 1 4} N ^r X

t ∈ Ω r,δ ,

4 θn <t< ∞

e ^{− 2 t} t ^{r 2 − 1 4} Γ(N t − r + α + 1) Γ(N t + 1)

× 1 − e ^{− δ} α+1

m ^α _n,N (x − rδ)m ^α _n,N (t − rδ) , S ₂₂ = α _n α _n − 1

α _n + α _n − 1

δ

e ^{δ 2} − e ^{− δ 2} e ^{− x 2} x ^{r 2 + 1 4} N ^r

m ^α _n+1,N (x − rδ) − m ^α _n − 1,N (x − rδ)

× X

t∈Ω r,δ ,

4 θn <t< ∞

e ^{− 2 t} t ^{r 2 − 1 4} Γ(N t − r + α + 1)

Γ(N t + 1)(t − x) 1 − e ^{− δ} α+1

m ^α _n,N (t − rδ) ,

S ₂₃ = α _n α _n − 1

α _n + α _n − 1

δ

e ^{δ 2} − e ^{− δ 2} e ^{− x 2} x ^{r 2 + 1 4} N ^r

m ^α _n,N (x − rδ)

× X

t ∈ Ω r,δ ,

4 θn <t<∞

e ^{− t 2} t ^{r 2 − 1 4} Γ(N t − r + α + 1)

Γ(N t + 1)(t − x) 1 − e ^{− δ} α+1

m ^α _n+1,N (t − rδ) − m ^α _n−1,N (t − rδ)

.

Îöåíèì âåëè÷èíó

S ₂₁ .

^{Èç(3)èìååì}

S ₂₁ 6 c(α, λ, r)x ^{r 2 + 1 4} θ

α

n 2

X

t∈Ω r,δ ,

4 θn <t<∞

t ^{r 2 − 1 4} e ^{− t 2} Γ(N t − r + α + 1) t ^r Γ(N t − r + 1)

× 1 − e ^{− δ} α+1

m ^α _n,N (t − rδ)

.

⁽¹⁴⁾

Ïóñòü

W = X

t ∈ Ω r,δ ,

4 θn <t< ∞

e ^{− t 2} t ^{− r 2 − 1 4} Γ(N t − r + α + 1)

Γ(N t − r + 1) 1 − e ^−δ α+1

m ^α _n,N (t − rδ)

= W ₁ + W ₂ ,

ãäå

W ₁ = X

t ∈ Ω r,δ ,

4 θn <t 6 ^3θn

2

e ^{− t 2} t ^{− r 2 − 1 4} Γ(N t − r + α + 1)

Γ(N t − r + 1) 1 − e ^−δ α+1

m ^α _n,N (t − rδ) ,

W ₂ = X

t ∈ Ω r,δ ,

3θn 2 <t< ∞

e ^{− t 2} t ^{− 2 r − 1 4} Γ(N t − r + α + 1)

Γ(N t − r + 1) 1 − e ^{− δ} α+1

m ^α _n,N (t − rδ) .

Ïðèìåíÿÿ íåðàâåíñòâî Êîøè Áóíÿêîâñêîãî ê âåëè÷èíå

W ₁

^{, ïîëó÷àåì}

W ₁ 6











 X

t ∈ Ω r,δ ,

4 θn <t 6 ^3θn

2

1 − e ^−δ α+1

t ^{−r− 1 2} Γ(N t − r + α + 1) Γ(N t − r + 1)













1 2

×











 X

t ∈ Ω r,δ ,

4 θn <t 6 ^3θn

2

1 − e ^{− δ} α+1 e ^−t Γ(N t − r + α + 1)

Γ(N t − r + 1) m ^α _n,N (t − rδ) 2













1 2

6 c(α)







3 θn

Z 2

0

t ^{α−r− 1 2} dt







1 2

6 c(α, r)θ

α−r 2 + ¹ ₄

n .

(15)

W ₂ 6 c(α, λ, r)θ ⁻

α

n 2 δ X

t ∈ Ω r,δ ,

3 θn 2 <t< ∞

e ^{− 4 t} t ^{α − r 2 − 1 4} 6 c(α, λ, r)θ ⁻

α

n 2 e ^{− n} .

⁽¹⁶⁾

Èçîöåíîê (15) è(16)íàõîäèì

W 6 c(α, λ, r)θ

α−r 2 + ¹ ₄

n .

Èçïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà è (14)èìååì

S ₂₁ 6 c(α, λ, r)θ ^α _n ^{− r} .

⁽¹⁷⁾

Ïåðåéäåì êîöåíêå âåëè÷èíû

S ₂₂ .

^{Âñèëó(4) è(3)}

S 22 6 c(α, λ, r)nx ^{r 2 + 1 4} θ

α 2 − 1 n θ ⁻

α

n 2 δ X

t ∈ Ω r,δ ,

4 θn <t< ∞

t ^{r 2 − 1 4} t ^{α − r} A ^α _n (t)

t − x = S ₂₂ ¹ + S ² ₂₂ + S ₂₂ ³ ,

ãäå

S ₂₂ ⁱ = c(α, λ, r)nx ^{r 2 + 1 4} θ _n ^{− 1} δ X

t∈B i

t ^{r 2 − 1 4} t ^α−r A ^α _n (t)

t − x , i = 1, 2, 3, B ₁ =

4 θ _n , θ _n

2

∩ Ω _r,δ , B ₂ = θ _n

2 , 3θ _n 2

∩ Ω _r,δ , B ₃ = 3θ _n

2 , ∞

∩ Ω _r,δ .

Èç(3)ïîëó÷àåì

S ₂₂ ¹ 6 c(α, λ, r)x ^{r 2 + 1 4} θ

α 2 − ¹ ₄

n δ X

t ∈ B 1

t ^{r 2 − 1 4} t ^{α − r} t ^{− α 2 − 1 4} t − x

6 c(α, λ, r)θ

α 2 − ^r

2 − ¹ n 2







 δ

4 θ _n

^α ₂ − ^r ₂ − ³ ₂

+

θn

Z 2

4 θn

t ^{α 2 − r 2 − 2 3} dt









6 c(α, λ, r)

α

2 − ^r ₂ − ¹ ₂ θ

α 2 − ^r

2 − ¹

n 2 t ^{α 2 − r 2 − 1 2}

θn 2

4 θn

6 c(α, λ, r)θ

α 2 − ^r

2 − ¹ n 2

4 θ _n

^α ₂ − ^r

2 − ¹

2

= c(α, λ, r),

⁽¹⁸⁾

S ₂₂ ² 6 c(α, λ, r)x ^{r 2 + 1 4} θ ⁻ _n ^{1 4} δ X

t∈B 2

t ^{2 r − 1 4} t ^{α − r} h

θ _n ^{1 3} + | t − θ _n | i − ¹ ₄

t − x

6 c(α, λ, r)θ ^α−r− _n ^{7 4}

3θn

Z 2

θn 2

h θ _n ^{1 3} + | t − θ _n | i − ¹ ₄

dt 6 c(α, λ, r)θ ^α−r− _n ^{7 4} θ _n ^{3 4} 6 c(α, λ, r)θ _n ^{α − r − 1} ,

(19)

S ₂₂ ³ 6 c(α, λ, r)x ^{r 2 + 1 4} δ X

t∈B 3

t ^{r 2 − 1 4} t ^α−r e ^{− 4 t} t − x 6 c(α, λ, r)θ ⁻

r 2 − ¹ n 4

∞

Z

3 θn 2 −δ

t ^{α− r 2 − 5 4} e ^{− 4 t} dt 6 c(α, λ, r)θ ⁻

r 2 − ¹

n 4 e ⁻ⁿ .

⁽²⁰⁾

Ñîáèðàÿîöåíêè (18)(20) , íàõîäèì

S ₂₂ 6 c(α, λ, r)(1 + θ ^α−r−1 _n ).

⁽²¹⁾

Îöåíèì

S ₂₃

^:

S ₂₃ 6 c(α, λ, r)nθ

α

n 2 x ^{r 2 + 1 4} δ X

t ∈ Ω r,δ ,

4 θn <t< ∞

t ^{r 2 − 4 1} t ^{α − r} (t − x)

× e ^{− t 2}

m ^α _n+1,N (t − rδ) − m ^α _{n − 1,N} (t − rδ)

6 S ₂₃ ¹ + S ₂₃ ² + S ₂₃ ³ ,

ãäå

S ₂₃ ⁱ = c(α, λ, r)θ

α 2 +1

n x ^{r 2 + 1 4} δ X

t ∈ B i

t ^{α − r 2 − 1 4} (t − x) e ^{− 2 t}

m ^α _n+1,N (t − rδ) − m ^α _n − 1,N (t − rδ) .

Âñèëó(4) ïîëó÷àåì

S ₂₃ ¹ 6 c(α, λ, r)θ

α 2 − ^r ₂ + ³ ₄

n δ X

t ∈ B 1

θ _n ^{− 3 4} t ^{α − r 2 − 1 4} t ^{− α 2 + 1 4} t − x

6 c(α, λ, r)θ

α 2 − ^r n 2







 δ

4 θ _n

^α ₂ − ^r

2 − 1

+

θn 2

Z

4 θn

t ^{α 2 − r 2 −1} dt









6 c(α, λ, r)







2 ln θ _n − 3 ln 2, α = r, θ

α 2 − ^r n 2

h θ n

2

^α ₂ − ^r ₂

− _θ ⁴ _n ^α ₂ − ^r ₂ i

, α 6 = r,

(22)

S ₂₃ ² 6 c(α, λ, r)θ

α 2 − ^r ₂ + ³ ₄

n δ X

t ∈ B 2

θ _n ^{− 4 3} t ^{α− r 2 − 1 4} t ^{− α 2} h

θ _n ^{1 3} + | t − θ _n | i ¹ ₄ t − x

6 c(α, λ, r)θ ^{α − r −}

5

n 4

3θn 2 +δ

Z

θn 2 − δ

[θ

1

n 3 + | t − θ n | ] ^{1 4} dt 6 c(α, λ, r)θ ^{α − r −}

5

n 4 θ

5

n 4 = c(α, λ, r)θ _n ^{α − r} ,

(23)

S ₂₃ ³ 6 c(α, λ, r)θ

α 2 − ^r

2 + ³ ₄

n δ X

t∈B 3

t ^{α − r 2 − 1 4} e ^{− 4 t} t − x 6 c(α, λ, r)θ

α 2 − ^r

2 + ³ ₄ n

∞

Z

3 θn 2 −δ

t ^{α − r 2 − 5 4} e ^{− 4 t} dt 6 c(α, λ, r)θ

α 2 − ^r

2 + ³ ₄

n e ^{− n} .

⁽²⁴⁾

Èçîöåíîê (22) (24) âûâîäèì

S ₂₃ 6 c(α, λ, r)

( 2 ln θ _n − 3 ln 2, α = r, θ _n ^{α − r} , α 6 = r.

(25)

Ñîáèðàÿ îöåíêè(17) , (21) è(25) , íàõîäèì

S 2 6 c(α, λ, r)

( ln(n + 1), α = r,

1 + n ^{α − r} , α 6 = r.

⁽²⁶⁾

Èç(12) , (13) è(26)èìååì

l _n,r ^α,N (x) 6 c(α, λ, r)

( ln(n + 1), α = r, 1 + n ^{α − r} , α 6 = r.

Òåì ñàìûìîöåíêà (10)äîêàçàíà.

Ïåðåéäåìêäîêàçàòåëüñòâóîöåíêè(11) .Ïóñòü

x ∈ G ₂ = _3λ

θ n , ^θ ₂ ⁿ

.

^Ââåäåìîáîçíà÷åíèÿ

D ₁ =

rδ, x − r x

θ _n

∩ Ω _r,δ , D 2 =

x −

r x θ _n , x +

r x θ _n

∩ Ω _r,δ , D 3 =

x +

r x θ n , ∞

∩ Ω _r,δ .

Òîãäà

l ^α,N n,r (x) = J ₁ + J ₂ + J ₃ ,

^ãäå

J _i 6 c(α, r)e ^{− x 2} x ^{r 2 + 1 4} δ X

t ∈ D i

e ^{− t 2} t ^{α− r 2 − 1 4}

K _n,N ^α (t − rδ, x − rδ)

, i = 1, 2, 3.

Îöåíèì

J ₂ .

^{Äëÿ ýòîãîçàìåòèì, ÷òî âñèëó}íåðàâåíñòâà Êîøè Áóíÿêîâñêîãî

K ^α

n,N (t − rδ, x − rδ) 6

K ^α

n,N (t − rδ, t − rδ)

1 2

K ^α

n,N (x − rδ, x − rδ)

1 2 .

Äàëåå,åñëè

3λ

θ n 6 x 6 ^θ ₂ ⁿ

^{, òî}

x − q

x θ n > _θ ^λ

n ,

^{êðîìå òîãî,äëÿ}

t ∈ D ₂ ,

^èìååì

c ₁ x 6 t 6 c ₂ x.

Òîãäà

J 2 6 c(α, r)x ^{r 2 + 1 4}

e ^{− x} K ^α

n,N (x − rδ, x − rδ)

1

2 δ X

t ∈ D 2

t ^{α − r 2 − 1 4}

e ^{− t} K ^α

n,N (t − rδ, t − rδ)

1 2 .

Îòäåëüíîîöåíèìâåëè÷èíó

| e ^{− t} K ^α

n,N (t − rδ, t − rδ) |

^{.Èñïîëüçóÿ(1),(3)è(4) ,ïî÷òèäîñëîâ-}

íî ïîâòîðÿÿ ðàññóæäåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà ëåììû 7.1 èç ðàáîòû [6℄, â êîòîðîé ïîëó÷åíà

îöåíêàÿäðàÊðèñòîåëÿÄàðáóäëÿïîëèíîìîâËàãåððà,ìîæíîäîêàçàòüñëåäóþùåå

óòâåðæäåíèå.

Ëåììà 1. Ïóñòü

α > − 1

^,

θ _n = 4n + 2α + 2

^,

λ > 1

^,

t > _θ ³

n

. Òîãäà ðàâíîìåðíî

îòíîñèòåëüíî

n

^è

N

^{òàêèõ, ÷òî}

1 6 n 6 λN

^{, èìååò ìåñòî îöåíêà}

e ^−t K _n,N ^α (t − rδ, t − rδ)

6 c(α, λ, r)t ^{−α− 1 2} n ^{1 2} .

Âåðíåìñÿê îöåíêå âåëè÷èíû

J ₂

^{. Âñèëóëåììû 1ìû ìîæåì çàïèñàòü}

J ₂ 6 c(α, λ, r)x ^{r 2 + 1 4} x ^{− α 2 − 1 4} n ^{1 4} δ X

t ∈ D 2

t ^{α − r 2 − 1 4} t ^{− α 2 − 1 4} n ^{1 4} 6 c(α, λ, r)x ^{r 2 − α 2} n ^{1 2} δ X

t ∈ D 2

t ^{α 2 − r 2 − 1 2} 6 c(α, λ, r)x ^{− 1 2} n ^{1 2} X

t ∈ D 2

δ 6 c(α, λ, r).

(27)

Ïåðåéäåìêîöåíêåâåëè÷èíû

J ₁ .

^{Ñýòîé öåëüþïðåäñòàâèì ååââèäå}

J ₁ 6 J ₁₁ + J ₁₂ + J ₁₃ ,

ãäå

J ₁₁ 6 c(α, r)e ^{− x 2} x ^{r 2 + 1 4} δ X

t ∈ D 1

e ^{− 2 t} t ^{α − r 2 − 1 4}

m ^α _n,N (x − rδ)m ^α _n,N (t − rδ) ,

J ₁₂ 6 c(α, r)ne ^{− x 2} x ^{r 2 + 1 4}

m ^α _n+1,N (x − rδ) − m ^α _n − 1,N (x − rδ) δ X

t ∈ D 1

e ^{− t 2} t ^{α − r 2 − 1 4}

| t − x |

m ^α _n,N (t − rδ)

,

J ₁₃ 6 c(α, r)ne ^{− 2} x ^{2 + 4} m ^α _n,N (x − rδ) δ

× X

t ∈ D 1

e ^{− 2 t} t ^{α− r 2 − 1 4}

| t − x |

m ^α _n+1,N (t − rδ) − m ^α _n − 1,N (t − rδ) .

Îöåíèìâåëè÷èíó

J ₁₁ .

^{Äëÿ ýòîãîçàïèøåì ååâ ñëåäóþùåì âèäå:}

J ₁₁ 6 c(α, r) J ₁₁ ¹ + J ₁₁ ²

,

⁽²⁸⁾

ãäå(áóäåìñ÷èòàòü,÷òî

J ₁₁ ¹ = 0

^{, åñëè}

rδ > _θ ^λ

n

)

J ₁₁ ¹ 6 c(α, λ, r)x ^{r 2 + 1 4} θ

α 2 − ¹ ₄

n x ^{− α 2 − 1 4} δ X

t ∈ Ω r,δ , rδ6t6 ^λ

θn

t ^{α − r 2 − 1 4} 6 c(α, λ, r)x ^{r 2 − α 2} θ

α 2 − ¹ ₄ n

λ θn +δ

Z

0

t ^{α − r 2 − 1 4} dt

6 c(α, λ, r)

α − 2 ^r + ³ ₄ x ^{r 2 − α 2} θ

α 2 − ¹ n 4 θ

r 2 − α − ³

n 4 = c(α, λ, r)(xθ _n ) ^{r 2 − α 2} θ _n ^{− 1} 6 c(α, λ, r)θ ⁻

1

n 2 ,

⁽²⁹⁾

J ₁₁ ² 6 c(α, λ, r)x ^{r 2 − α 2} θ ⁻ _n ^{1 2} δ X

t∈Ω r,δ ,

λ

θn <t6x − √ x θn

t ^{α − r 2 − 1 4} t ^{− α 2 − 1 4} 6 c(α, λ, r)x ^{1 2} θ ⁻ _n ^{1 2} .

⁽³⁰⁾

Èçíåðàâåíñòâ (28) , (29)è (30)èìååì

J ₁₁ 6 c(α, λ, r)

"

x θ _n

¹ ₂ + θ ⁻

1

n 2

#

.

⁽³¹⁾

×òîáûîöåíèòü âåëè÷èíó

J ₁₂ ,

^{ïðåäñòàâèì åå â âèäå}

J ₁₂ = J ₁₂ ¹ + J ₁₂ ² ,

⁽³²⁾

â êîòîðîì

J ₁₂ ¹ 6 c(α, λ, r)nx ^{r 2 + 1 4} θ ⁻

3

n 4 x ^{− α 2 + 1 4} θ

α

n 2 δ X

t ∈ Ω r,δ , rδ 6 t 6 ^λ

θn

t ^{r 2 − 1 4} t ^{α − r}

x − t 6 c(α, λ, r)θ

α 2 + ¹ ₄

n x ^{r−α 2 + 1 2}

× 1

x δ X

t ∈ Ω r,δ , rδ6t6 _θn ^λ

t ^{α − r 2 − 1 4} 6 c(α, λ, r) α − ^r ₂ + ³ ₄ θ

α 2 + ¹ ₄

n x ^{r−α 2 − 1 2} θ ^−α+

r 2 − ³ ₄

n = c(α, λ, r) (xθ _n ) ^{r−α 2 − 1 2} ,

⁽³³⁾

J ₁₂ ² 6 c(α, λ, r)nx ^{r−α 2 + 1 2} θ ⁻

3

n 4 θ ⁻

1

n 4 δ X

t ∈ Ω r,δ ,

λ

θn <t 6 x − √ x θn

t ^{r 2 − 1 4} t ^{α 2} − r − ¹ ₄

x − t 6 c(α, λ, r)x ^{r−α 2 + 1 2}

×







 δ

λ θ n

^α−r ₂ − ¹

2

x − _θ ^λ _n +

x − √ x θn +δ

Z

λ θn

t ^{α−r 2 − 1 2} x − t dt









6 c(α, λ, r)

1 − q 1

xθn + _x ^δ

Z

λ xθn

y ^{α−r 2 − 2 1}

1 − y dy

6 c(α, λ, r)

1

Z 3

λ xθn

y ^{α−r 2 − 1 2} dy + c(α, λ, r)

1 − q 1

xθn + ^δ _x

Z

1 3

1

1 − y dy 6 c(α, λ, r)

1 + ln p xθ n

.

⁽³⁴⁾

Èç (32) (34)ïîëó÷àåì

J 12 6 c(α, λ, r)

1 + ln p xθ n

.

⁽³⁵⁾

Ïîâòîðÿÿ ðàññóæäåíèÿ, êîòîðûå ïðèâåëè íàñ ê îöåíêàì (33) (35), ìîæíî ïîêàçàòü,

÷òî

J 13 6 c(α, λ, r)

1 + ln p xθ n

.

⁽³⁶⁾

Èç(31) , (35)è (36)èìååì

J ₁ 6 c(α, λ, r)

1 + ln p xθ _n

.

⁽³⁷⁾

Îöåíèìâåëè÷èíó

J 3

^{. Äëÿ ýòîãî}âîñïîëüçóåìñÿ îðìóëîé(2). Òîãäà

J ₃ 6 c(α, r)(J ₃₁ + J ₃₂ + J ₃₃ ),

⁽³⁸⁾

ãäå

J ₃₁ = e ^{− x 2} x ^{− r 2 + 1 4} (N x) ^r

m ^α _n,N (x − rδ)

X

t ∈ D 3

e ^{− 2 t} t ^{r 2 − 1 4} (N t) ^α−r (1 − e ^−δ ) ^α+1

m ^α _n,N (t − rδ) ,

J ₃₂ = ne ^{− x 2} x ^{− r 2 + 1 4} (N x) ^r

m ^α _n+1,N (x − rδ) − m ^α _n−1,N (x − rδ)

× X

t ∈ D 3

e ^{− t 2} t ^{r 2 − 1 4} (N t) ^{α − r}

t − x (1 − e ^{− δ} ) ^α+1

m ^α _n,N (t − rδ) ,

J ₃₃ = ne ^{− x 2} x ^{− r 2 + 1 4} (N x) ^r

m ^α _n,N (x − rδ)

X

t ∈ D 3

e ^{− 2 t} t ^{r 2 − 1 4} (N t) ^{α − r} t − x

× (1 − e ^{− δ} ) ^α+1

m ^α _n+1,N (t − rδ) − m ^α _n − 1,N (t − rδ) .

Âåëè÷èíó

J ₃₁

^{ïðåäñòàâèì â âèäå}

J ₃₁ = J ₃₁ ¹ + J ₃₁ ² + J ₃₁ ³

^{. Îáðàùàÿñü ê} íåðàâåíñòâó (3), ïîëó÷àåì

J ₃₁ ¹ 6 c(α, λ)x ^{r 2 + 1 4} θ ⁻

1

n 4 x ^{− α 2 − 1 4} δ X

t ∈ Ω r,δ , x+ √ x

θn <t 6 ^θn

2

t ^{r 2 − 1 4} θ ⁻

1

n 4 t ^{− α 2 − 1 4} t ^α−r

6 c(α, λ)x ^{r−α 2} θ ⁻

1

n 2







 δ

x +

r x θ _n

^α−r ₂ − ¹

2

+

θn 2

Z

x+ √ x θn

t ^{α−r 2 − 1 2} dt









6 c(α, λ, r)x ^{r−α 2} θ _n ^{− 1 2}

"

θ _n 2

^α−r ₂ + ¹ ₂

−

x + r x

θ n

^α−r ₂ + ¹ ₂ #

6 c(α, λ, r)x ^{r−α 2} θ ⁻

1

n 2 θ

α−r 2 + ¹ ₂

n 6 c(α, λ, r) n x

^α−r ₂ ,

(39)

J ₃₁ ² 6 c(α, λ)x ^{r 2 + 1 4} θ ⁻

1

n 4 x ^{− α 2 − 1 4} δ X

t ∈ Ω r,δ ,

θn 2 <t 6 ^3θn

2

t ^{2 − 4} t ^α−r θ n ²

θ _n

θ

1

n 3 + | t − θ _n | ¹ ₄ 6 c(α, λ) n

x ^α ₂ − ^r ₂

n ^{− 3 4} X

t∈Ω r,δ ,

θn 2 <t6 ^{3 θn} ₂

δ

θ

1

n 3 + | t − θ _n | ¹ ₄

6 c(α, λ) n x

^α ₂ − ^r ₂

n ^{− 3 4}

3θn

Z 2

θn 2

dt

θ

1

n 3 + | t − θ _n | ¹ ₄

6 c(α, λ) n x

^α ₂ − ₂ ^r

,

⁽⁴⁰⁾

J ₃₁ ³ 6 c(α, λ)x ^{r 2 − α 2} θ ⁻

1

n 4 δ X

t∈Ω r,δ , 3θn 2 <t<∞

t ^{r 2 − 1 4} t ^{α − r} θ ⁻

α

n 2 e ^{− 4 t}

6 c(α, λ)n ^{− 1 4 − α 2} x ^{r 2 − α 2} δ X

t∈ Ω r,δ , 3 θn

2 <t<∞

t ^{α − r 2 − 1 4} e ^{− t 4}

6 c(α, λ)n ^{− 1 4 − α 2} x ^{r 2 − α 2}

∞

Z

3θn 2 − δ

t ^{α − r 2 − 1 4} e ^{− 4 t} dt 6 c(α, λ, r) n x

^α ₂ − ₂ ^r

.

⁽⁴¹⁾

Èç(39) (41) âûâîäèì

J 31 6 c(α, λ, r) n x

^α ₂ − ^r

2 .

⁽⁴²⁾

Ïåðåéäåì êîöåíêå âåëè÷èíû

J ₃₂

^{, äëÿýòîãî ïðåäñòàâèì ååâ âèäå}

J ₃₂ 6 J ₃₂ ¹ + J ₃₂ ² + J ₃₂ ³ ,

â êîòîðîì

J ₃₂ ¹ 6 c(α, λ)nx ^{r 2 + 1 4} θ _n ^{− 3 4} x ^{− α 2 + 1 4} δ X

t ∈ Ω r,δ , x+ √ x

θn <t 6 ^θn ₂ + √ x θn

t ^{α − r 2 − 1 4} θ _n ^{− 1 4} t ^{− α 2 − 1 4} t − x

6 c(α, λ)x ^{r 2 − α 2 + 1 2}

θn 2 + √ x

Z θn

x+ √ x θn −δ

t ^{α−r 2 − 1 2} t − x dt

6 c(α, λ)

2x

Z

x+ √ x θn −δ

dt

t − x + c(α, λ)x ^{r 2 − α 2 + 1 2}

θn 2 + √ x

Z θn

2x

t ^{α−r 2 − 3 2} dt 6 c(α, λ, r) ln r θ _n

x ,

(43)

J ₃₂ ² 6 c(α, λ)nx ^{r−α 2 + 1 2} θ ⁻

3

n 4 δ X

t ∈ Ω r,δ ,

θn 2 + √ x

θn <t 6 ^3θn

2

t ^{α − r 2 − 1 4} θ ⁻

α

n 2

t − x

θ _n

θ

1

n 3 + | t − θ _n | − ¹ ₄

6 c(α, λ)x ^{r−α 2 + 1 2} θ

α−r 2 − ¹ n 4

3θn

Z 2

θn r2 + √ x θn − δ

θ

1

n 3 + | t − θ n | − ¹

4 dt

t − x = c(α, λ)x ^{r−α 2 + 1 2} θ

α−r 2 − ¹ n 4

×









θ n −θ n ^{1 3}

Z

θn 2 + √ x

θn − δ

θ

1

n 3 − t + θ _n − ¹

4 dt t − x +

3 θn

Z 2

θ n − θ

1 3 n

θ

1

n 3 + | t − θ _n | − ¹

4 dt t − x









6 c(α, λ) θ n

x

^α−r ₂ x θ _n

¹ ₂

ln θ n − x

θ n

2 + q

x θ n − x ,

(44)

J ₃₂ ³ 6 c(α, λ)nx ^{r−α 2 + 1 2} θ _n ^{− 3 4} δ X

t∈Ω r,δ ,

3 θn 2 <t<∞

e ^{− t 4} t ^{α − r 2 − 1 4} θ ⁻

α

n 2

t − x

6 c(α, λ)x ^{r−α 2 + 1 2} θ ⁻

α 2 + ¹ ₄

n δ X

t ∈ Ω r,δ ,

3θn 2 <t< ∞

e ^{− 4 t} t ^{α − r 2 − 5 4} 6 c(α, λ, r)e ^{− 3n 2} .

⁽⁴⁵⁾

Èç(43) (45) ïîëó÷àåìîöåíêó

J ₃₂ 6 c(α, λ, r)



ln r θ _n

x + θ _n

x

^α−r ₂ x θ _n

¹ ₂

ln θ _n − x

θ n

2 + q

x θ n − x



 .

⁽⁴⁶⁾

Àíàëîãè÷íîîöåíèìâåëè÷èíó

J ₃₃

^{.Ñýòîéöåëüþïðåäñòàâèìååââèäå}

J ₃₃ 6 J ₃₃ ¹ +J ₃₃ ² +J ₃₃ ³ ,

ãäå

J ₃₃ ¹ 6 c(α, λ, r)nx ^{r 2 + 1 4} θ ⁻

1

n 4 x ^{− α 2 − 1 4} δ X

t ∈ Ω r,δ , x+ √ x

θn <t6 ^θn ₂ + √ x θn

t ^{r 2 − 1 4} θ ⁻

3

n 4 t ^{− α 2 + 1 4} t ^α−r t − x

6 c(α, λ, r)x ^{r−α 2} δ X

t ∈ Ω r,δ , x+ √ x

θn <t 6 ^θn

2 + √ x θn

t ^{α−r 2}

t − x 6 c(α, λ, r)

2x

Z

x+ √ x θn − δ

dt t − x

+ c(α, λ, r)x ^{r−α 2}

θn 2 + √ x

Z θn

2x−δ

t ^{α−r 2 −1} dt 6 c(α, λ, r)

"

ln p xθ _n +

θ _n x

^α−r ₂ # ,

(47)