I [ ] ; ( ) = s.t.= such that x I; x a < δ x a < δ x I. ε. L, M. δ ε > 0 ( ). N ε ( ). ε 0 N 0. {a n } α R. ε, N, N n a n α ε., ε > 0, N N, n N, a n α

基礎解析学 I 復習

[論理記号の説明]

・「^∀ 」任意の

・「^∃ 」存在して

・「; (セミコロン) = s.t.= such that」以下をみたすような

例えば 「^∀x∈I;|x−a|< δ 」は「|x−a|< δ をみたすような任意のx∈I 」を意味する.

他に慣習として

・εは十分小さい正の数. ・L, M などは十分大きい正の数. ・δはよく^∀ε >0 に応じて決まってくる(存 在する)正の数. ・N も εに応じて決まってくる番号(自然数)を表す. ・他にε₀ やN₀ などと書いたとき はある特定の値を表す.

例えば 「数列{an}がα∈Rに収束する. 」というのは

「どんな小さい正の数εをとっても,ある番号 N が存在し,N 以上のどんな番号nに対してもan と α の差の絶対値がεで抑えられる. 」

あるいはもう少し堅く,

「任意のε >0に対し,あるN ∈N が存在し,任意の番号n≥N に対し,|an−α|< εをみたす. 」 これを記号で表すと

[ lim

n→∞an =α] or [an→α(n→ ∞)] ⇐⇒^{def ∀}ε >0,^∃N∈N;^∀n≥N,|an−α|< ε.

[注意]ここでN はεに応じて決まってくるのでN =N(ε) or N=Nε と表すこともある.

さらに否定命題を作るときには形式的には

『「^∀ 」と「^∃ 」を入れ換え,セミコロンをコンマに変えて,^∃ の後にはセミコロンをつけて,最後の式を 否定すれば良い』

が, それにより依存関係が変わることに注意すべき!!

上の例でいくと「数列{an}がα∈Rに収束しない. 」というのは [ lim

n→∞a_n̸=α] or [a_n ̸→α(n→ ∞)] ⇐⇒ ^∃ε₀>0;^∀N∈N,^∃n≥N;|a_n−α| ≥ε₀

⇐⇒ ^∃ε₀>0;^∀k∈N,^∃n≥k;|a_n−α| ≥ε₀

⇐⇒ ^∃ε0>0;^∃{nk}k≥1;nk → ∞(k→ ∞),|an_k−α| ≥ε0.

[注意]ここでN (あるいはk)は任意で,肯定のときのようにε₀ に依存することはない. しかし番号nは

ε0 に依存してとれる. さらに2 行目から3 行目の書き直しでは,番号kを順に大きくしていくとそれに応 じてとれるn=n_k もいつかは大きくならざるおえない. (いくつか可能性があるので, 初めに大きなnを 選ぶと,途中のいくつかを小さいものに変えても最後の不等式が成り立つ可能性がある. しかし真に大きく なるように数列{nk}をとることは可能である.) この数列{nk}は ε0に応じて決まる. 即ち,ε0 の値が変 わると数列{nk} も違うものになる可能性がある.

[問 1] 次の各定義の否定命題を述べ,出て来る量の依存関係を考えよ.

1. 空でない集合 S⊂Rに対して,

(a) α= supS 上限(supremum) ⇐⇒^def

(i)^∀x∈S, x≤α, (ii)^∀ε >0,^∃x_ε∈S;α−ε < x_ε (≤α)

(上限は,常に「以上」だが,ちょっと削ると,どれかに越されてしまう.)

但し,S が上に有界(^∃c∈R;^∀x∈S, x≤c)のときで,上に非有界なら, supS=∞とする.

(b) β = infS 下限(infimum) ⇐⇒^def

(i)^∀x∈S, β ≤x, (ii)^∀ε >0,^∃xε∈S; (β≤)xε< β+ε

(下限は,常に「以下」だが,ちょっと増やすと,それより小さい元がある.)

但し,S が下に有界(^∃d∈R;^∀x∈S, d≤x)のときで,下に非有界なら, infS=−∞とする.

2. 区間I= [a, b]で定義された関数f =f(x)について (a) f(x)が点 x₀∈I で連続(continuous atx₀)

⇐⇒def ^∀ε >0,^∃δ >0;^∀x∈I;|x−x0|< δ,|f(x)−f(x0)|< ε.

(b) f(x)が区間I で連続(continuous onI)

⇐⇒def f(x)が^∀x0∈I で連続

⇐⇒ ^∀x0∈I,^∀ε >0,^∃δ >0;^∀x∈I;|x−x0|< δ,|f(x)−f(x0)|< ε.

(δ=δ(x₀, ε)>0は x₀∈I, ε >0 に依存して決まる. (もちろん関数 f 自身にも依存する.) ) (c) f(x)が Iで一様連続(uniform continuousonI)

⇐⇒def ^∀ε >0,^∃δ >0;^∀x, y∈I;|x−y|< δ,|f(x)−f(y)|< ε.

(δ=δ(ε)>0は ε >0のみに依存して決まる. (x, yには無関係であることに注意.)) 3. 集合S⊂Rで定義された関数列fn(x)と関数f(x)について

(a) f_n→f onS (orf_n→f p.w. onS);f_n がf にS で各点収束(pointwise convergence)

⇐⇒def ^∀x∈S, fn(x)→f(x).

⇐⇒ ^∀x∈S,^∀ε >0,^∃N ∈N;^∀n≥N,|f_n(x)−f(x)|< ε.

(N =N(x, ε)>0は x∈S とε >0に依存して決まる.)

(b) fn →→f onS (orfn→f unif. onS);fn が f にS で一様収束(uniform convergence)

⇐⇒def lim

n→∞sup

x∈S|f_n(x)−f(x)|= 0

⇐⇒ ^∀ε >0,^∃N ∈N;^∀n≥N,^∀x∈S,|f_n(x)−f(x)|< ε.

(N =N(ε)>0は ε >0 のみに依存して決まる. xには無関係.) 例えば,「f が区間I で一様連続でない」というのは

∃ε₀>0;^∀δ >0,^∃x, y∈I;|x−y|< δ,|f(x)−f(y)| ≥ε₀.

ここでx, yは|xδ−yδ|< δ からδ に依存することに注意. よくやるのはδ >0が任意だから,初めに番号

∀n≥1 をとり,これに対し,δ= 1/nとして,このとき存在するx, yをx_n, y_n として,書き直すことがある.

(次の「有界閉区間上の連続関数は一様連続」の証明で用いる.)

[問 2] 有界閉区間上の連続関数は一様連続, i.e.,f conti. on [a, b]⇒f unif. conti. on [a, b] を背理法 で証明せよ.

基礎解析学 II 演習 無限級数 (Infinite Series)

1. 定積分を用いて(1)∑

n≥1

1

n^p (2)∑

n≥2

1

n(logn)^p は p >1 なら収束,p≤1なら発散を示せ.

2. 正項級数についての判定法を駆使して収束・発散を調べよ(ただし, 0≤a <1,b,pは定数).

(1)∑logn

n² (2)∑ ( 1−1

n )n²

(3)∑

n^paⁿ (4)∑ (

1−cos b n

)

(5)∑bⁿ n!

3. 交代級数∑

(−1)ⁿ/n^p (p >0)の絶対収束,条件収束を調べよ.

4. 関数列{f_n(x)}が区間I で関数f(x)に一様収束することの定義とその否定命題を述べよ.

5. 連続関数列の一様収束極限関数も連続となることを示せ. 即ち,

区間I 上の連続関数列{fn} に対して,fn →→f onIならf もI で連続.

6. 次の関数列は与えられた区間の上で一様収束するか. ただし, 0< δ <1,pは定数.

(1)fn(x) =nxⁿ, [0, δ] (2)fn(x) =x²ⁿ(1 +x²ⁿ), [0,1] (3)fn(x) =n^pxe^−nx2, (−∞,∞) [ヒント まずf_n の各点収束極限f を求める. (1), (3)f_n の最大値は？(2) 5を用いる.]

7. 0≤a <1に対し,f(x) = 1 +∑

n≥1aⁿsinnxとおく. 次を示せ.

(1)右辺の級数が (−∞,∞)で一様収束. (2)f^′(x) =∑

n≥1naⁿcosnx.

8. ∑

n≥1

sinnx

n² は (−∞,∞)で一様収束するが,項別微分可能ではないこと示せ.

9. 収束半径を求めよ. (1)∑

n≥1

nⁿ

n!xⁿ (2)∑

n≥1

(1 + 1/n)ⁿ²xⁿ (3)∑

n≥0

n²x²ⁿ (4)∑

n≥1

(1 + 1/n)ⁿ²x²ⁿ 10. 等式1/(1 +x) = 1−x+x²− · · ·+ (−1)ⁿ⁻¹xⁿ⁻¹+ (−1)ⁿxⁿ/(1 +x)が成り立つことを説明し,

これを用いて, log 2 =∑

n≥1

(−1)ⁿ⁻¹

n = 1−1 2 +1

3− · · · を証明せよ. (アーベルの定理からも分かる.)

・正項級数∑

an (an≥0) の収束・発散の判定法 [比較]an≤Kbn(n≫1)で∑

bn収束⇒∑

an収束. [コーシー]ρ:=^∃lim√ⁿ

an; 0≤ρ <1なら収束, 1< ρ≤ ∞ なら発散. [ダランベール]ρ:=^∃liman+1/an;コーシーと同じ.]

・ライプニッツの定理: an↓0なら交代級数∑

(−1)ⁿ⁻¹anは収束. 区間I 上の関数列{fn(x)}^に対し,

・ワイエルストラスの M-判定法: ^∃{Mn};|fn| ≤Mn onI,∑

Mn<∞なら∑

nfn は一様収束.

・項別積分可能定理: I= [a, b]有界閉区間でfn連続, (1)fn →→f ならlimn→∞∫b

afndx=∫b

af dx. (2)∑

nfn一様収束なら∫b a

∑

nfndx=∑

n

∫b afndx.

・項別微分可能定理: 区間I でfn∈C¹,

(1)f_n^′ 一様収束,^∃x0∈I;fn(x0)収束なら^∃f∈C¹(I);fn→f, f_n^′ →→f^′. (2)∑

nfn^′ 一様収束,^∃x0 ∈I;∑

nfn(x0)収束なら∑

nfn各点収束, (∑

nfn)^′=∑

nfn^′.

・整級数∑

anxⁿ の収束半径: r= 1/ρifρ= lim√ⁿ

|an|or lim|an+1/an|exists.

・アーベルの定理: 収束半径 R(̸= 0,∞) の整級数∑

anxⁿ において,x=Rでも収束なら[0, R]でも一様収束で, f(x) =∑

anxⁿは(−R, R]で連続. (x=−Rで収束しているときも同様.)

3. p > 1⇒ 絶対, 0< p ≤1 ⇒条件. 6. fn(x) ≤nδⁿ →0, fn(x) → f(x) = 1/2 (x = 1), = 0 (x∈ [0,1)), p >1/2⇒^一様,p≤1/2⇒^{一様でない}. 7. (1)∑

naⁿ<∞, (2)∑

nnaⁿ<∞^{より明らか}. 8. 項別微分したもの がx= 0で発散. 9. 1/e, 1/e, 1, 1/√

e. 10. [0,1]で積分し,

∫ 1 0

xⁿ 1 +xdx <

∫ 1 0

xⁿdx= 1 n+ 1→0.

基礎解析学 II  多変数関数の微分

定義  弧状連結な開集合D を領域という．ただし集合の任意の２点を結ぶ集合内の連続曲線が存在する とき，弧状連結であるという．

定義 関数f が領域D 上でCⁿ 級であるとはD上でn階までの全ての偏微分を持ち，それらがすべて D  上で連続であるときをいう．

定理  Taylor の定理

関数f(x₁, x₂)が領域D 上でCⁿ 級（n≥1）とし，線分{(a₁+h₁t, a₂+h₂t) : 0≤t≤1}がD に 含まれるとする．（ただし(h1, h2)̸= (0,0)）このとき0<^∃θ <1;

f(a1+h1, a2+h2) =

n∑−1 k=0

1

k!(h1∂1+h2∂2)^kf(a1, a2) + 1

n!(h1∂1+h2∂2)ⁿf(a1+h1θ, a2+h2θ), ここで∂i =∂/∂xi とする．

証明はz(t) =f(a1+th1, a2+th2)に１変数のTaylorの定理を用いてからt= 0を代入すれば良い．

ただしそこで次を用いる：

z^(k)(t) =

∑k j=0

(k j )

h^j₁h^k₂^−j ∂^k

∂x^j₁∂x^k₂^−jf(a₁+h₁t, a₂+h₂t)

= (h1∂1+h2∂2)^kf(a1+h1t, a2+h2t) と書き表す．

定理 f(x, y)は点P0(x0, y0)の近くでC²級とする．∇f(P0) = 0のとき,D = (f_xy² −fxxfyy)(P0)に対し, (a) D <0, fxx(P0)>0⇒f(P0)極小値,

(b) D <0, fxx(P0)<0⇒f(P0)極大値, (c) D >0⇒f(P₀)極値でない

(H = (f_xxf_yy−f_xy² )(P₀) =−D とする教科書もあるので注意！)

証明は|h|,|k| 十分小で同時に0 でなければTaylorの定理より0<^∃θ <1;

∆f := f(x0+h, y0+k)−f(x0, y0)

= (h∂x+k∂y)²f(x0+hθ, y0+kθ)

= (h²fxx+ 2hkfxy+k²fyy)(x0+hθ, y0+kθ)

と表せるから (a)の条件のもと，∆f >0, (b) のもとで∆f < 0 がすぐに分かる．(c) のもとでは，

正にも負にもなることが分かる．

定理  条件付き極値(ラグランジュの乗数法)

φ(x, y, z), f(x, y, z): C¹ 級とする．点 P(x, y, z) が φ(x, y, z) = 0 をみたしながら動くとき, f が点 P =P0で広義の極値なら∇φ(P0) = 0 or^∃λ定数;∇f(P0) =λ∇φ(P0)

証明は ∇φ(P₀)̸= 0で φ_z(P₀)̸= 0 として，陰関数定理より，P0(x₀, y₀, z₀)の近傍で ^∃z =z(x, y):

C¹ 級;φ(x, y, z) = 0. f(P0)が広義の極値より，u(x, y) =f(x, y, z(x, y))は (x0, y0)で広義の極値 をとる．(x0, y₀)で，∇u= 0 を書き下して，zx=−φ_x/φ_z, z_y =−φ_y/φ_z を代入して，

f_x= f_z φz

φ_x, f_y= f_z φz

φ_y, また f_z= f_z φz

φ_z

をえるから，λ =fz/φz(P0)とおけば良い．

基礎解析学 II 演習 多変数関数の微分

1. 平面R² において,次を示せ.

 (1){xy >0}は開集合 (2){a²x²+b²y²≤1} (a, b >0)は有界閉集合  S が開 ⇐⇒ ^∀(a, b)∈S,^∃δ >0;Uδ(a, b)⊂S. (このδを具体的に与える)  S が有界 ⇐⇒ ^∃C >0;^∀(x, y)∈S,|(x, y)|=√

x²+y²≤C. (この定数C を具体的に与える)  S が閉 ⇐⇒ S の任意の収束点列の極限がSの点,即ち,

 ^∀{(xn, yn)} ⊂S; (xn, yn)→^∃(x, y)∈R²なら(x, y)∈S. ((x, y)も(xn, yn)と同じ式をみたすことをいう) 2. 次の関数f(x, y)が (0,0)で極限値を持つかどうか調べよ.

 (1) (x²+ 2y²)/√

x²+y² (2)x²y/(x⁴+y²)

 まず極座標. ダメならy=x, y=x²ory=mxなどを代入し,異なる値なら,極限なし. 3. f(x, y) = (1)x/√

x²+y² (2)x³/(x²+y²) (3)x⁴/(x²+y²)についてf(0,0) = 0とすると (0,0) で連続か？またfx(0,0), fy(0,0) =？さらに(0,0)で全微分可能か？

 fx(0,0) = lim

x→0{f(x,0)−f(0,0)}/x, fy(0,0) = lim

y→0{f(0, y)−f(0,0)}/y.

 f が(0,0)で全微分可能 ⇐⇒^def lim

(x,y)→(0,0)ε(0,0;x, y)/√

x²+y²= 0,

 但し,ε(a, b;x, y) =f(a+x, b+y)−f(a, b)−fx(a, b)x−fy(a, b)y.

4. z=f(x, y)が C²級のとき,x=rcosθ, y=rsinθとおくと次が成り立つことを示せ.

 (1)f_x²+f_y²=z²_r+z_θ²/r² (2)fxx+fyy =zrr+zr/r+zθθ/r²

 (合成関数の微分) x=x(r, θ), y=y(r, θ)ならz=f(x, y) =f(x(r, θ), y(r, θ))は(r, θ)の関数で  zr=fxxr+fyyr,zθ=fxxθ+fyyθ. ((1), (2)の右辺を計算.)

5. (1)空間に n個の点P1, P2,· · ·, Pn があるとき,

∑n i=1

PiP² を最小にする点P を求めよ.

(2)定円に内接する三角形で面積最大のものは正三角形であることを示せ.

 「連続関数は有界閉集合上で最大値・最小値をもつ」「最大・最小なら極大・極小で,∇f=0」

 (1)十分大きな球の中で考えれば良い. P = (x, y, z), Pi= (xi, yi, zi).  (2)中心角x, y, z;x+y+z= 2π.

x, y, z >0だが,x, y, z≥0で考えれば,有界閉集合. 半径rとして,面積は(sinx+ siny+ sinz)r²/2.

6. x² a² +y²

b² +z²

c² = 1のもとで,x+y+zの最大, 最小を求めよ.

 まずf=x+y+z,φ=x²/a²+y²/b²+z²/c²−1として

  S={φ= 0}^{は有界閉集合}.   S 上∇φ̸=0.   φ= 0,∇f=λ∇φをとく.

 (ラグランジュの未定乗数法) f, φ: C¹ 級, (x, y, z)が φ(x, y, z) = 0をみたしながら動くとき,f がP0 = (x0, y0, z0)で広義の極値で,∇φ(P0)̸=0なら^∃λ定数;∇f(P0) =λ∇φ(P0).

7. x+y+z=a(x, y, z >0)のもとで,x^py^qz^r の最大値を求めよ. (a, p, q, r >0とする. )  有界閉集合{x, y, z≥0, x+y+z=a}上で考える. f=x^py^qz^r, φ=x+y+z−aとして上と同様.

2. 0,なし  3. (1)不連続，∞,0,× (2)連続，1，0,×(3)連続，0，0,全微分可  5. (1)P =∑

P_i/n 6.

±(a²/l, b²/l, c²/l) (l=√

a²+b²+c²)で±l 7. (pa/m, qa/m, ra/m) (m=p+q+r)でp^pq^qr^r(a/m)^m

基礎解析学 II 演習 多変数関数の積分 1

例 1  重責分

∫∫

D

(x+y)^αdxdy (α >0)の値をDが次の場合に求めよ.

 (1) 0≤x, y≤1 (2) 0≤y≤x≤1 [2(2^α+1−1)/{(α+ 1)(α+ 2)}とその半分]

基本的に重積分

∫ ∫

D

f(x, y)dxdyは積分範囲（領域）Dを細かい長方形の集まり{Dk}ⁿk=1で近似して,その細分 した各長方形Dkでの関数の１つの値f(xk, yk) (xk, yk∈Dk)とその長方形の面積|Dk|=∆xk∆yk（∆xk,∆yk

は辺の長さ)をかけて,全体で和をとったもの（リーマン和, Riemann sum）の極限として定義される(勿論, その値が近似の仕方によらず一意的に決まるとき),即ち,

∫ ∫

D

f(x, y)dxdy= lim

n→∞

∑n k=1

f(xk, yk)∆xk∆yk.

さらにこの長方形での近似を,もっと一般の微小な図形にしても良い.

実際に積分の値を求めるには累次積分にして計算する. D={φ1(x)≤y≤φ2(x), a≤x≤b}^のとき,

∫ ∫

D

f(x, y)dxdy=

∫ b a

dx

∫ φ₂(x) φ₁(x)

f(x, y)dy

更にD={ψ1(y)≤x≤ψ2(y), c≤y≤d}なら,積分順序の交換も可能で,

∫ ∫

D

f(x, y)dxdy=

∫ d c

dy

∫ ψ₂(y) ψ1(y)

f(x, y)dx

1. 次の重積分の値を求めよ（括弧内はD を表す).

(1)

∫∫

D

x²ydxdy (0≤y≤√

1−x²) (2)

∫∫

D

sin(x+y)dxdy (0≤x, y, x+y≤ π 2)

例 2  累次積分

∫ 1

−1

dx

∫ e^x 0

f(x, y)dyの積分順序を変えよ.

(積分範囲{0≤y≤e^x,−1≤x≤1} を図示して,y を止めるごとにxがどういう範囲を動くか考え る. さらにyの動く範囲も決める.)

(∫ e⁻¹ 0

dy

∫ 1

−1

dx+

∫ e e⁻¹

dy

∫ 1 logy

dx )

f(x, y) 2. 次の累次積分の積分順序を変えよ（a >0,0< α < β）.

(1)

∫ a 0

dx

∫ βx αx

f(x, y)dy (2)

∫ 2a a

dy

∫ y+a y−a

f(x, y)dx

(積分範囲を図示,いくつかの積分の和になる.)

例 3  広義積分

∫∫

D

dxdy

(x−y)^α = 1

(1−α)(2−α) (D: 0≤y < x≤1,0< α <1)を確かめよ.

広義積分は1変数のときと同様に,積分領域Dのある境界で,被積分関数が定義されないとき,Dを近似する領 域の列{Dn}で,各Dnの上では積分が定義されるものを考え,そのときの極限が一意的に決まるとき,その値 で定義される. しかし実際の計算では,形式的にやっても差し障りは無い.

3. 次の広義積分の値を求めよ.

(1)

∫∫

x,y≥0

dxdy

(1 +x+y)^α (α >2) (2)

∫∫

D

√dxdy

x²+y² (D: 0≤y≤x≤1, x >0) 1.2/15,1 3. 1/{(α−1)(α−2)},log(1 +√

2)  ヒント(log|x+√

x²+a|)^′=? (a̸= 0)

基礎解析学 II 演習 多変数関数の積分 2

例 4 (一次変換)x=au+bv, y=cu+dv→dxdy=|ad−bc|dudv,

(極座標変換)x=rcosθ, y =rsinθ→dxdy =rdrdθ を用いて次を確かめよ.

(1)

∫∫

x,y≥0

|x−y|

(1 +x+y)^αdxdy= 1

(α−1)(α−2)(α−3) (α >3) (2)

∫∫

x²+y²≤a²

√a²−x²−y²dxdy=2π

3 a³ (a >0) 重積分の変数変換

[(x, y)∈D↔(u, v)∈E] x=x(u, v), y=y(u, v): C¹ 級,Jacobian∂(x, y)/∂(u, v)̸= 0なら

∫ ∫

D

f(x, y)dxdy=

∫ ∫

E

f(x(u, v), y(u, v)) ^∂_∂^{(x, y)}_{(u, v)}

^{dudv, 形式的に dxdy= ∂(x, y)}_{∂(u, v)}

^dudv, 但し

∂(x, y)

∂(u, v) = det

( xu xv

yu yv

)

, ここでxu= ∂x

∂u (uでの偏微分)を表す. 他も同様. 三重積分のときも同様で,f(x, y, z)に対し,x=x(u, v, w), y=y(u, v, w), z=z(u, v, w)と変換,

dxdydz=

∂(u, v, w)^{∂(x, y, z)}

^dudvdw,

但しJacobianとは

∂(x, y, z)

∂(u, v, w) = det

( xu xv xw

yu yv yw

zu zv zw

) .

[説明]

簡単のため平面で考える.

Riemann和を考えるときに,積分領域を近似する長方形を,もっと一般の微小な図形(平行四辺形やもっと歪ん

だ形)にしても良い.

そこで変数変換x=x(u, v), y=y(u.v)を考えるにはxy平面の微小な図形の面積が(u, v)でどう表されるかを考 えれば良い.つまりu, vが微小に増えたとき, (例えば増分が∆u,∆vのとき)x(u, v), y(u.v)はどう変化するかと いうことである. そのためにuv平面の４点(u, v),(u+∆u,v),(u,v+∆v),(u+∆u,v+∆v)を頂点とする正方 形が,上の変換により,xy平面の４つの曲線で囲まれた図形でA(x(u, v), y(u, v)),P(x(u+∆u,v),y(u+∆u,v)), Q(x(u, v+∆v),y(u,v+∆v)),R(x(u+∆u,v+∆v),y(u+∆u,v+∆v))を頂点にもつものに写される. そ の面積を記号でδxδyと表すことにする. (ここでは,あくまでただの記号でδx, δy一つ一つには意味はない. ) この微小図形は⃗p=AP⃗ ,⃗q=AQ⃗ で作られる平行四辺形に非常に近く,さらに平均値の定理より∆u,∆v が非 常に小さいとき⃗p≈(xu(u, v)∆u,yu(u,v)∆u),⃗v≈(xv(u, v)∆v,yv(u,v)∆v)となることから

δxδy ≈ √

|⃗p|²|⃗q|²−(⃗p·⃗q)²

≈ |xuyv−xvyu|∆u∆v.

従って,重積分の定義に戻って∆u,∆v→0 としてやれば, (δxδy→dxdy,∆u∆v →dudv より)公式をえる. 4. 次の重積分の値を求めよ（但し a, b, c >0）.

(1)

∫∫

x,y≥0

(ax+by+c)^−α (α >2) (2)

∫∫

x²+y²≤1

log(x²+y²)dxdy

例 5 (極座標（球座標）変換)∫∫∫ x=rsinθcosϕ, y=rsinθsinϕ, z=rcosθ→dxdydz=r²|sinθ|drdθdϕ

V

x²dxdydz= 4π

15a⁵ (V :x²+y²+z²≤a²) を確かめよ.

5. 次の三重積分を求めよ（但しa >0, α >−3/2）.

(1)

∫ 1 0

dx

∫ x 0

dy

∫ x+y 0

e^x+y−zdz (2)

∫∫∫

V

(x²+y²+z²)^αdxdydz (V :x²+y²+z²≤a²)

4.1/{ab(α−1)(α−2)c^α−2},−π 5.e(e−2)/2,4πa^2α+3/(2α+ 3)

基礎解析学 II 演習 多変数関数の積分 3

例 5  楕円体x²/a²+y²/b²+z²/c²≤1の体積を求めよ． [4πabc/3]

[体積] V(⊂R³)の体積⇒ |V|=

∫∫∫

V

dxdydz.

またV が2平面x=a, x=b(a < b)の間にあるとき⇒ |V|=

∫ b a

|Vx|dx (但し,Vx=[V をx軸に垂直な平面で切ったときの切り口の面積])

(解)  Vx: y² b² +z²

c² ≤1−x²

a² (−a≤x≤a)の面積π (

1−x² a²

)

bcより|V|=πbc

∫ a

−a

( 1−x²

a² )

dx. し かし普通は, まず変数変換により, |V|=abc

∫∫∫

x²+y²+z²≤1

dxdydz. 半径1の球の体積は 4π/3 から 答えを得るが,これを上のように確かめることもできる.

例 6  球x²+y²+z²≤a²と円柱(x−a/2)²+y²≤(a/2)²の共通部分の体積V を求めよ．[4/3(π/2−2/3)a³] xy-平面の閉領域D 上の連続関数ϕ(x, y)≤ψ(x, y)に対し，二つの曲面z=ϕ(x, y), z=ψ(x, y)ではさまれた 立体V ={(x, y, z) : (x, y)∈D, ϕ(x, y)≤z≤ψ(x, y)}の体積

|V|=

∫ ∫

D

[ψ(x, y)−ϕ(x, y)]dxdy

(解)  D={(x, y) : (x−a/2)²+y²≤(a/2)², y≥0} →V = 4

∫∫

D

√a²−x²−y²dxdy

1. 次の立体の体積を求めよ．

(1)円柱面 x²+y²=a²,平面z= 0,曲面z=x²+y²で囲まれた部分．

(2)二つの円柱x²+y²≤a², y²+z²≤a²の共通部分．

2. xy-平面上のy≥0の部分にある領域 Dをx軸回転してできる立体の体積V = 2π

∫∫

D

ydxdy.

例 7  球面x²+y²+z²=a² の円柱面(x−a/2)²+y²= (a/2)²の内部にある部分の曲面積Aを求めよ．

  [2(π−2)a²]

[表面積] xy-平面上の領域Dで定義されたC¹級曲面S:z=f(x, y)の面積A=

∫ ∫

D

√1 +fx²+fy²dxdy.

(解)  例6 と同じDで z=√

a²−x²−y²から

√

1 +z_x²+z_y²=a/√

a²−x²−y²となり A= 4

∫∫

D

a/√

a²−x²−y²dxdy.

3. 次の曲面積を求めよ．

(1)円柱面 x²+y²=a² の円柱面x²+z²=a² の内部にある部分．

(2)曲面z= tan⁻¹(y/x) (x, y >0)の円柱面x²+y²=a² の内部にある部分．

4. xz-平面上の C¹ 級曲線 z = f(x) (0 ≤ a ≤x ≤ b) をz 軸の周りに１回転してできる曲面の面積 A= 2π

∫ b a

x√

1 +f^′(x)²dx.

5. xy-平面上の C¹ 級曲線 y = f(x) (a ≤ x ≤ b) を x 軸の周りに１回転してできる曲面の面積

A= 2π

∫ b a

|y|√

1 +y^′2dx.

1. πa⁴/2,16a³/3 2. 最初の公式で円柱座標x=x, y=rcosθ, z=rsinθ に変換, V ={(x, rcosθ, rsinθ) : (x, r)∈D,0≤θ≤2π}

3. 8a², π(a√

a²+ 1 + log(a+√

a²+ 1))/4 (→∫√

x²+Adx= (x√

x²+A+Alog|x+√

x²+A|)/2を用いて良い) 5. 曲面の方程式はz²=f(x)²−y², a≤x≤b,|y| ≤ |f(x)|

基礎解析学 II 演習 ベクトル解析 1

[線積分 1]C:r=r(t) = (x(t), y(t)) (α≤t≤β)を平面上の滑らかな(=C¹級)曲線とする.

連続関数f :C→RのC に沿う（xに関する）線積分(line integral):

∫

C

f dx=

∫ β α

f(r(t))x^′(t)dt.

∫

C

f dyも同様に定義される.

またC が区分的に滑らかな曲線(=有限個の滑らかな曲線C1, . . . , Cn をつないだ曲線)のとき,

∫

C

f dx=

∫

C₁

f dx+· · ·+

∫

C_n

f dxと定義する.

曲線で始点と終点が同じとき,閉曲線といい, 重複点をもたないとき,単純曲線 or Jordan 曲線という.

さらに閉曲線で,始点・終点以外に重複点をもたないとき単純閉曲線という.

定理1 [Green の定理] D: xy-平面上で有限個の,区分的に滑らかな単純閉曲線で囲まれた閉領域, P(x, y), Q(x, y): C¹ 関数on an open setU ⊃D なら

∫∫

D

{∂Q

∂x −∂P

∂y }

dxdy=

∫

∂D

(P dx+Qdy).

但し,∂Dの向きはD の内部を左手に見て進む向きにとる.

1. xy-平面上の単純閉曲線C で囲まれた領域Dの面積をS とすると

 (1)S =

∫

C

xdy=−

∫

C

ydx=1 2

∫

C

(xdy−ydx)  (2)C:x=x(t), y=y(t) (α≤t≤β)と表されるとき

S =

∫ β α

xy^′dt=−

∫ β α

yx^′dt= 1 2

∫ β α

det (

x y

x^′ y^′ )

dt.

但し,C の向きはD の内部を左手に見て進む向きとする.

[線積分 2]C¹級曲線 C:r=r(t) (α≤t≤β)の弧長s(t) =

∫ t α

|r^′(u)|du 連続関数f :C→RのC に沿う（弧長に関する）線積分:

∫

C

f ds=

∫ β α

f(r(t))|r^′(t)|dt.

空間あるいは平面内のある領域で定義された実数値関数f =f(x, y) or f(x, y, z)をスカラー場 (scalar field), ベクトル値関数F = (F1, F2) or (F1, F2, F3)をベクトル場 (vector field)という.

2. 平面上のベクトル場F = (F1, F2)に対して, divF =∂F1/∂x+∂F2/∂y(F の発散)とする. D: xy- 平面上の単純閉曲線 Cで囲まれた領域とすると,

∫∫

D

div Fdxdy=

∫

C

F ·nds.

但しC の向きはD の内部を左手に見て進む向き,nはC の外向きの単位法線ベクトル,sは弧長.

2. C:r=r(t) = (x(t), y(t))とするとn(t) = (y^′(t),−x^′(t))

|(y^′(t),−x^′(t))|,またds=|r^′(t)|dt.

基礎解析学 II 演習 ベクトル解析 2

[線積分 3]ベクトル場F = (F1, F2, F3) :C→R³の Cに沿う線積分:

∫

C

F ·dr=

∫ β α

F(r(t))·r^′(t)dt (

=

∫

C

F1dx+

∫

C

F2dy+

∫

C

F3dz )

(·は内積を表す)

1. ベクトル場f(x, y, z) = (y, x, z)のら線C:r(θ) = (acosθ, asinθ, hθ),0≤θ≤2π(a, h >0)に沿う 線積分を求めよ.

[外積]{i,j,k}: xyz-座標系の基本ベクトル（右手系）とする.

(注: iからj へネジを回すとkの向きにネジが進むとき{i,j,k}は右手系であるという).

ベクトルa=a1i+a2j+a3k= (a1, a2, a3),b= (b1, b2, b3)の外積（ベクトル積）a×b

a×bの大きさはa,bのつくる平行四辺形の面積に等しく,向きはその平行四辺形に垂直で,aからbに ネジを回すときの進む向きに等しい.

この定義より次が成り立つ. (確かめよ)

(1)a×b= 0⇔a//b, 特にa×a= 0 (2)b×a=−a×b (3) (a+b)×c=a×c+b×c (4) (αa)×b=a×(αb) =α(a×b) (α∈R)

(5)さらに i×i=j×j=k×k=0, i×j=k, j×k=i, k×i=j より

a×b= (a2b3−b2a3)i+ (a3b1−b3a1)j+ (a1b2−b1a2)k= det





i j k a₁ a₂ a₃ b1 b2 b3



.

[面積分] 曲面 S : r = r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)); r(u, v) は uv-平面の領域 D 上の C¹ 関数で

∂r

∂u×∂r

∂v ̸=0を満たすとする(このときS を正則曲面という).

ベクトル(∂r/∂u×∂r/∂v)(u, v)は,点r=r(u, v)におけるS の法線ベクトルで,S の面積は

|S|=

∫∫

D

∂r

∂u×∂r

∂v dudv.

更に単位法線ベクトルをn= ∂r/∂u×∂r/∂v

|∂r/∂u×∂r/∂v| として, (1)連続関数f :S→RのS 上の面積分:

∫∫

S

f dS=

∫∫

D

f(r(u, v)) ∂r

∂u×∂r

∂v dudv.

(2)ベクトル場F = (F1, F2, F3) :S→R³ のS 上の,単位法線ベクトルnで定められた側の,面積分:

∫∫

S

F ·ndS=

∫∫

D

F(r(u, v))· (∂r

∂u ×∂r

∂v )

dudv.

2. S :z=z(x, y),(x, y)∈D と表されるとき,次を示せ.

∫∫

S

F ·ndS=

∫∫

D

(

−F1

∂z

∂x−F2

∂z

∂y +F3

) dxdy

3. S: 原点中心、半径aの球面とする. S の外側の面積分に関して

∫∫

S

r

r³ ·ndS= 4π を示せ. 但しr= (x, y, z)に対し、r=√

x²+y²+z²とする.

1. 2π²h²,2. S:r= (x, y, z(x, y)),3. 球面S 上 r=a,n=r/r.

基礎解析学 II 演習 ベクトル解析 3 [ 積分定理 ]

定理2 [Gauss の発散定理] V (⊂R³): 閉曲面S で囲まれた有界な閉領域, F = (F1, F2, F3): C¹ 級ベクトル場defined on an open setU ⊃V.

∫∫∫

V

divFdV =

∫∫

S

F ·ndS (dV =dxdydz).

ここでdivF ≡ ∇ ·F =∂_xF₁+∂_yF₂+∂_zF₃(F の発散),

n= (n1, n2, n3)は S の外向きの単位法線ベクトル. 成分で表すと

∫∫∫

V

(∂F₁

∂x +∂F₂

∂y +∂F₃

∂z )

dV =

∫∫

S

(F1n1+F2n2+F3n3)dS.

[注]V を有限個の閉曲面Si で囲まれた部分からなる領域としても成り立つ(S=∪

iSi).

（物理的意味） ある流体があり,F はその速度分布を表すとすると,

（単位時間内に Vの中で生ずる流体の量）＝（単位時間内に V の外に流れ出る流体の量）

1. 閉曲面S で囲まれた領域の体積V は

V = 1 3

∫∫

S

r·ndS.

nはS の外向き単位法線ベクトル,r= (x, y, z)とする.

2. xyz-空間内の原点を通らない閉曲面 S に対して,

∫∫

S

r

r³·ndS= {

0 (原点がS の外部)

4π (原点がS の内部).

但しr= (x, y, z), r=|r|=√

x²+y²+z².

3. ラプラシアン △=∂²/∂x²+∂²/∂y²+∂²/∂z² に対するGreenの公式

V: 閉曲面S で囲まれた閉領域,ϕ, ψ: C² 級関数defined on a domainU ⊃V とする.

 (1)

∫∫∫

V

△ϕdV =

∫∫

S

∂ϕ

∂ndS  (2)

∫∫

S

ϕ∂ψ

∂ndS=

∫∫∫

V

{ϕ△ψ+ (∇ϕ)·(∇ψ)}dV  (3)

∫∫

S

( ϕ∂ψ

∂n −ψ∂ϕ

∂n )

dS=

∫∫∫

V

(ϕ△ψ−ψ△ϕ)dV.

但し,∂/∂nはS 上での外向き法線方向の偏微分を表す. 即ち,∂ϕ/∂n=∇ϕ·n（nは外向き法線ベ クトル）

定理3 [Stokesの定理] S: xyz-空間内の有限個の閉曲線を境界とする表裏のある曲面,F: C¹級ベクト ル場on a domainU ⊃S.

∫∫

S

(rotF)·ndS=

∫

C

F ·dr

ここでrotF :=∇ ×F (F の回転),C はS の境界で向きはS の内部を左手に見て進む向きにとる. nは S の裏から表に向かう向きの単位法線ベクトル. 成分で表せば,

∫∫

S

{(∂F₃

∂y −∂F₂

∂z )

n_x+ (∂F₁

∂z −∂F₃

∂x )

n_y+ (∂F₂

∂x −∂F₁

∂y )

n_z }

dS=

∫

C

(F₁dx+F₂dy+F₃dz).

（物理的意味） 上と同様に,F はある流体の速度分布を表すとすると,

（単位時間内に S の表面で発生する渦の量）＝（単位時間内に S の境界を回っている流体の量）

2. 原点O以外で divr/r³= 0,原点が内部にあるときはS の内部に含まれる原点中心の球 Kをとり、S とK で囲まれた領域で定理2を適用する. 法線nの向きに注意.

3. divを用いて表すと？→ △= div∇,· · ·.