意思決定科学：階層意思決定法

(1)

意思決定科学：階層意思決定法

(Analytic Hierarchy Process)

情報学部堀田敬介

2007/1/9, Tue.

{ AHPの基礎

z

意思決定問題の特徴

z

階層構造

z

一対比較 { 実施における補足

z

一対比較の見直し

z

グループ AHP

z

不完全一対比較

z

評価基準の独立性 { AHP から ANP へ

C車

意思決定問題の特徴

{

例：新車の購入

A車

B車

車格

燃費値段

乗り心地

複数の代替案から1つを選択意思決定者は独自の評価基準に基づいて決定を下す

あらゆる評価基準に対してベストの代替案があることは稀

評価基準は通常複数あり，互いに利害が相反する面を持つ

複数の項目を同時に考慮・判定

{

例：資産運用，購読新聞選択，旅行先

選定，大学選び，パソコン購入，ボーナス使途，etc…

代替案

評価基準意思決定問題の特徴意思決定問題の特徴難しい！

評価基準

意思決定問題の特徴

{

意思決定問題の要素

問題

代替案

問題

代替案代替案代替案

代替案

評価基準評価基準

代替案代替案代替案評価基準

評価基準評価基準

階層構造！

評価基準評価基準

車格

AHP の基礎

{

階層構造

z

例：新車購入

新車購入

A車 B車 C車

値段燃費乗り心地

問題

評価基準

代替案

車格

AHP の基礎

{

一対比較 paired comparison

z

例：新車購入

新車購入

A車 B車 C車

値段燃費乗り心地

問題

評価基準

代替案

一対比較！

(2)

車格

AHP の基礎

{

一対比較 paired comparison

z

例：新車購入

A車 B車

一対比較！ C車

一対比較！

について

{

重要性の尺度

補足：

パラーメタによる尺度 Aの方がBより極めて重要

Aの方がBよりかなり重要 Aの方がBより重要 Aの方がBよりやや重要 AとBは同じぐらい重要

absolute importance 9

strong importance 7

importance 5

weak importance 3

equal importance

1 1

θ θ

²

AHP の基礎

{

一対比較 paired comparison

z

例：新車購入

1 5 7 C車

1/5 1 1/3 B 車

1/7 3 1 A車

C 車 B 車 A 車車格車格

{

一対比較行列 paired comparison matrix

n m

mn m

n

a a

∈

×

⎥ ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢

⎣

⎡

= R

A

L M O M

L

1 1 11

) , (

0 i j

a

_ij

> ∀ ) , ( 1

j a i a

ij

ji

= ∀

) ( 1

1

j a

n

i

ij

= ∀

∑

=

ただし，

列和が1

（通常考慮しない）

対称要素は逆数

W

₁

W

₂

W

₃

（車格に関しての）

重み（weight）

要素は全て正

AHP の基礎

{

一対比較行列から重みの計算

z

主固有ベクトル w=(w

1

,w

2

,…,w

n

)

{

z

幾何平均 g=(g

1

,g

2

,…,g

n

)

{

z

調和平均 h=(h

1

,h

2

,…,h

n

)

{

1 5 7 C車

1/5 1 1/3 B車

1/7 3 1 A車

C車 B車車格 A車

車格

W₁ W2 W₃

（車格に関しての）

重み（weight）

) ( w 0 w Aw = λ ≠

n

in n i

n

j ij

i

a a a

p = ∏ = × ×

=

1

L

1

∑

=

:

=

_n

i i

i

p

g p

1

:

∑

=

_n

i i

i

q

h q

1

: ∑

=

_n

j ij

i

a n q

1

1 1 : 1

) , , 1 ( i = L n

AHP の基礎

{

一対比較行列から重みの計算

z

主固有ベクトル w=(w

1

,w

2

,…,w

n

)

{

最大固有値：λ

₁

= 3.233 , 主固有ベクトル： w=

z

幾何平均 g=(g

1

,g

2

,…,g

n

)

z

調和平均 h=(h

1

,h

2

,…,h

n

)

3

√7・5・1=3.271

3

√1/3・1・1/5=0.405

3

√1・3・1/7=0.754 幾何平均

幾何平均

1 1/5 1/7 C車

0.738 0.092 0.170

重み

5 7 C車

1 1/3 B車

3 1 A車

B車車格 A車

車格

W₁ W2 W₃

（車格に関しての）

重み（weight）

3×(7+1/5+1/1)=2.234 3×(3+1/1+5)=0.333 3×(1/1+1/3+7)=0.360

調和平均

1 1/5 1/7 C車

0.763 0.114 0.123

重み

5 7 C車

1 1/3 B車

3 1 A車

B車車格 A車

車格

0.738 0.092 0.170

重み

重み 1 5 7 C車

1/5 1 1/3 B車

1/7 3 1 A車

C車 B車車格 A車

車格

AHP の基礎

{

一対比較行列から重みの計算

z

例：新車購入

新車購入

A車 B車 C車

値段燃費乗り心地

問題

評価基準

代替案

0.170 0.092 0.738

注：重みは幾何平均による

AHP の基礎

{

一対比較行列から重みの計算

z

例：新車購入

1 5 1/3 C車

0.265 1/5

3 C車

0.672 1

9 B車

0.063 1/9

1 A車

重み

重み B車

値段 A車

値段

1

5 1/3 1/3 乗り心地

1/5 1 3 1/7 燃費

0.369 1/3

燃費 7

0.231 3

3 乗り心地

0.346 1

値段 9

0.054 1/9

車格 1

重み

重み値段

車格評価基準評価基準

1 3 1/5 C車

0.178 1/3

5 C車

0.751 1

9 B車

0.070 1/9

1 A車

重み

重み B車

燃費 A車

燃費

1 5 1/9 C車

0.257 1/5

9 C車

0.690 1

7 B車

0.053 1/7

1 A車

重み

B車重み

A車乗り心地乗り心地

車格新車購入

A

車

B

車

C

車

値段燃費

乗り心地

(3)

車格

AHP の基礎

{

一対比較行列から重みの計算

z

例：新車購入

新車購入

A 車 B 車 C 車

値段燃費乗り心地

問題

評価基準

代替案

0.170 0.092

0.738

注：重みは幾何平均による

0.063

0.672 0.265

0.070 0.751

0.178 0.053

0.690 0.257 0.054 0.346 0.369 0.231

AHP の基礎

{

各代替案の総合得点の計算

z

例：新車購入

0.257 0.690 0.053 乗り心地 0.231

0.178 0.751 0.070 燃費 0.369

0.257 0.265

0.738 C車

0.674 0.672

0.092 B車

0.069 0.063

0.170 A車

総合得点

値段総合得点

0.346 車格 0.054 評価基準評価基準代替案＼

代替案＼

A車 B車 C車

0.069 0.674 0.257

車格

A

車

B

車

C

車

値段燃費

乗り心地 0.170

0.092 0.738

0.063 0.672

0.265 0.070

0.751 0.178

0.053 0.690

0.257 0.054 0.346 0.369 0.231

演習１

一対比較をしてみよう！

[ 1 ] 三角形の面積比

{

三角形を5つ，定規などで適当に描き，その面積比を目で見て一対比較し，重みを計算せよ．

{

実際に面積を測り，比較せよ．

[ 2 ] 国土面積の比較

{

北海道・本州・四国・九州の面積を一対比較せよ．

{

実際の面積と比較せよ．

[ 3 ] 身近な問題を階層構造とし，AHPを適用せよ．

地図出展：

「its-mo Navi PC」から

AHP の基礎

{

一対比較の整合性の検証

「乗り心地」

より「値段」

が重要

「値段」より

「燃費」が重要

「燃費」より

「乗り心地」

が重要

「A車」～「B車」

「A車」>>>「C車」

「B車」>「C車」

推移律推移律が不成立！

全体としての整合性に欠ける整合性に欠ける不整合性の度合いを測る指標を！

AHP の基礎

{

一対比較の整合度 C. I. と整合比 C. R.

z

主固有ベクトルによる重みの場合の整合度

z

幾何平均・調和平均による重みの場合の整合度

z

整合比

: 1 .

.

¹

−

= − n I n

C λ

（λ

₁

：Aの最大固有値）

: 1 .

. −

= − n I n

C τ

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜ ⎝

⎛ = ∑∑

= =

n

i n

j i

j ij

w a w n

1 1

: 1 τ

. .

. : . .

. R I

I R C

C =

1.45 1.41 1.32 1.24 1.12 0.90 0.58 0.0 0.0

R.I

9 8 7 6 5 4 3 2 1

n

※）一対比較行列をランダムに作ったときの整合度の平均値 Consistency Index

Consistency Ratio AHP の基礎

{

一対比較の整合度 C. I. と整合比 C. R.

z

例：新車購入（評価基準の一対比較について）

{

重みが主固有ベクトルの場合：最大固有値 λ

₁

= 5.583

{

重みが幾何平均の場合

1 5 1/3 1/3 乗り心地

1/5 1 3 1/7 燃費

0.369 1/3

7 燃費

0.231 3

3 乗り心地

0.346 1

9 値段

0.054 1/9

1 車格

重み重み値段

車格評価基準評価基準

) 1 . 0 ( 528 . 1 0 4

4 583 . 5 . 1

.

¹

= >

−

= −

−

= − n I n

C λ

6.514 1.505 1 1/5 3 3 乗り心地

5.480 τ

τ

2.017 2.016 0.222

積和

5 1/3 1/3 乗り心地 0.231

1 3 1/7 燃費 0.369

5.467 1/3

燃費 7

5.827 1

値段 9

4.114 1/9

車格 1

積和

÷

÷重み重み値段

0.346 車格 0.054 評価基準評価基準

) 1 . 0 ( 493 . 1 0 4

4 480 . 5 . 1

. = >

−

= −

−

= − n I n

C τ

586 . 90 0 . 0 528 . 0 . .

. . .

. = = =

I R

I R C C

548 . 90 0 . 0

493 . 0 . .

. . .

. = = =

I R

I R C C

整合性が

ない！

(4)

AHP の基礎

{

整合性がない場合，チェックすべき箇所の目安

z

例：新車購入（評価基準の一対比較について）

1 0.20 3.00 3.00 乗り心地

5.00 0.33 0.33 乗り心地

1 3.00 0.14 燃費

0.33 7.00 燃費

1 9.00 値段

0.11 1 車格

値段車格評価基準評価基準

1 0.63 0.67 乗り心地 4.28

0.231

1.60 1.50 0.23 乗り心地 0.231

1 0.94 0.15 燃費 0.369

1.07 燃費 6.83

0.369

1 値段 6.41

0.346

0.16 車格 1

0.054

値段 0.346 車格 0.054 評価基準評価基準

一対比較行列

重みから計算された

一対比較行列

AHP の長所・短所

{

AHPの長所

z

主観的価値基準によって最も高い評価の代替案を選択できる

z

主観的価値基準による代替案の優先順位がわかる

z

評価基準が複数あり，互いに共通の尺度がない問題を解決できる

z

主観的価値基準によって比較（一対比較）を行える

z

部分的な比較・検討の繰返しにより全体の評価ができる

z

意思決定者の主観的基準を結果に容易に反映できる

z … {

AHPの短所

z

階層構造をどう作るかが重要であり，結果がそれに左右される．

z

一対比較が大変で意思決定者の負担になる→比較回数はO(n

²)

z

部分ごとにしか比較を行わないので全体的な結果が納得のいかないものになる可能性がある→階層構造をどう作るかに依存

z

一対比較の評価尺度が「順序尺度→間隔尺度（比率尺度）」に機械的に置き換えられてしまう（やや重要⇔重要，重要⇔かなり重要の差などがいずれも2？重要は同等の5倍，極めて重要は同等の9倍重要？）

z …

AHP の数学的理論

{

重み計算について

z

なぜ固有値？（cf. [2] 第7章）

{

ペロンの定理：一対比較行列（対角成分が1の正逆数行列）に対し，

（スカラー倍に関して）一意で正の主固有ベクトルの存在を保証．

{

ペロン・フロベニウスの定理：非負既約行列に対し，同様のことを保証．→ AHP, ANPでの重要度が計算可能．

「既約＝隣接行列と見なしたとき，グラフが強連結」

{

一対比較重要度における自己評価と外部評価のずれのばらつきを最小化する，即ち，過剰評価率を最小化する問題を考えると，固有値法はこの問題を解いていることに相当する．

{

整合性の検証について

z

これで測れるの？

AHP の数学的理論

{

重み計算について

⎟⎟

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜ ⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜ ⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜ ⎜

⎝

⎛

n n n

n

n n

w w w

a a

M L M M

O M

M L L

2 1 2 1

2 1

2 12

1 12

1 /

1 / 1

1 λ

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

=

n n n n

n n

w w w w w w

L M O M M

L L

2 1

2 2 2 1 2

1 2 1 1 1

A

重要度wに対する完全に整合がとれた一対比較行列

AHP を実施する際の補足事項

{

不完全一対比較行列の取り扱い

z

Harker法

z

TS法（Two-Stage Method）

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

1 ? 7 / 1

?

? 1 3 / 1 5 /

1 ? 1 3 7

? 5

? 1

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

1 ? 7 / 1

? 5 1 / 3 1 ? /

1 7 3 1

?

? 5

? 1

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

3 0 7 / 1 0

0 2 3 / 1 5 /

1 0 2 3 7

0 5 0 3

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

⋅

=

⋅

=

⋅

= ⋅

=

1 7 / 1 :

1 3 / 1 5 / 1 :

7 3 1 :

5 1 :

4 3 3

3 2 1

k k k k

⎟⎟

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜ ⎜

⎝

⎛

1 / 7 / 1 /

/ 1 3 / 1 5 / 1

7 3 1 /

/ 5 / 1

3 4 1

4

4 3 1

2

4 1 2

1

k k k

k

k k k

k

k k k

k

評価基準1

AHP から ANP へ

{

ANP とは何か？

z

例

代替案1 代替案2 評価基準2 評価基準3

こんな基準で評価して欲しい，

評価すべきだ！

ANP では評価基準と代替案を区別しない！

w

21

w

12

w

11

w

22

w

31

w

32

u

11

u

12

u

13

u

21

u

22

u

23

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡

=

23 13 22 12 21 11

u u u u u

U

u

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

= ⎡

32 22 12

31 21 11

w w w w w w

W

評価基準の代替案に対する評価行列

代替案の評価基準に対する評価行列

⎥ ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎦ =

⎢⎣ ⎤

= ⎡

0 0

0 0 0 0 0

0 0 0

23 22 21

13 12 11

32 31

22 21

12 11

u u u

w w

0

U0 W

超行列

S

super matrix

注：各列和は1にする

(5)

AHP から ANP へ

{

ANPの解法：超行列Sが既約な場合

z

例

⎥ ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎦ =

⎢⎣ ⎤

= ⎡

0 0

0 0 0 0 0

0 0 0

23 22 21

13 12 11

32 31

22 21

12 11

u u u

w w

0

U W S 0

x x = S

注：確率行列（各列和が1）の最大固有値は1なので，この法的式の解

x は

主固有ベクトルとなる

を満たす x の各成分 x

_i

が

対称 i の総合評価を与える

Sが既約行列 ⇔ Sを隣接行列と見たときの対応するグラフが強連結

irreducible matrix

irreducible matrix

Sが原始行列 ⇔ Sを隣接行列と見たときの対応するグラフの原始指標が1

primitive matrix

primitive matrix

〔原始指標：強連結グラフの全サイクルの長さの最大公約数〕

0 z z z

v z v

v z v z x x

=

−

↔ =

→ = =

↔ ⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡

⎥⎦ =

⎢⎣ ⎤

⎥⎦ ⎡

⎢⎣ ⎤

↔ ⎡

=

) (

, 0 0

I WU WU

Uz W

U W S

で

z を求め，Uz= v より

v を求める．

求め方

評価基準1

AHP から ANP へ

{

ANP：超行列Sが既約でない場合

z

例 _問題

代替案1 代替案2 評価基準2 評価基準3 w

21

w

12

w

11

w

22

w

31

w

32

u

11

u

12

u

13

u

21

u

22

u

23

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡

=

23 13 22 12 21 11

u u u u u

U

u

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

= ⎡

32 22 12

31 21 11

w w w w w w

W

評価基準の代替案に対する評価行列

代替案の評価基準に対する評価行列

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

=

0 0 0

0 0 0 0 0 0

23 22 21

13 12 11

32 31 03

22 21 02

12 11 01

u u u

w w v

超行列

S super matrix

（既約でない）

v

02

v

01

v

03

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

= ⎡

03 02 01

v v v

V

評価基準に対する評価行列

参考：解法は，

グラフを強連結成分分解し，

ブロック下三角行列の形にした上で，半順序の上位クラスタから逐次的に求める．

参考文献

[1] P.T. Harker, ``Alternative modes of questioning in the analytic hierarchy process,’’ Mathematical Modeling, Vol.9, pp.353-360, 1987.

[2] 木下栄蔵編著「AHPの理論と実際」日科技連 (2000)

[3] 竹田英二, ``不完全一対比較行列におけるAHPウェイトの計算法,’’

オペレーションズ・リサーチ, Vol.34, No.4, pp.169-172, 1989.

[4] 高橋磐郎, ``AHPからANPへの諸問題 Ⅰ～VI,’’ オペレーションズ・

リサーチ, Vol43, No.1-6, pp.36-40, 1998.

[5] 刀根薫「ゲーム感覚意思決定法～AHP入門～」日科技連 (1986)

[6] 刀根薫，真鍋龍太郎編「AHP事例集」日科技連 (1990)

[7] 八巻直一，関谷和之, ``複数の評価者を想定した大規模AHPの提案と人事評価への適用,’’ J. ORSJ, Vol.42, No.4, pp.405-420, 1999.

[8] 八巻直一, et. al, ``不満関数を用いる集団区間AHP法,’’ J.ORSJ, Vol.45, No.3, pp.268-283, 2002.

[9] …

意思決定科学：階層意思決定法