InfluenceoftheInitialProfileandtheBoundaryConditions onNonlinearVibrationsofanArchwithSmallRise

偏平 アーチの非線形振動 に及ぼす 初期形状 お よび境界条件の影響

高 橋 和 雄 *･太 田 晶 ‑ **

InfluenceoftheInitialProfileandtheBoundaryConditions onNonlinearVibrationsofanArchwithSmallRise

by

KazuoTAKAHASHI*^andShoichiOTA**

Influencesoftheinitial profileandtheboun daryconditionsonnonlinearvibrationsofanarchwith smallrisearediscussedinthepresentpaper.TheequationofmotionissolvedbyaGalerkinmethodand theharmonicbalancemethod.From numericalresults,thefollowingconclusionsareobtained.Thein‑

fluenceoftheinitialprofileonnonlinearvibrationsissmall.However,linearfreevibrations,nonlinearfree vibrationsandforcedvibrationsareinfluencedbythedifferenceoftheboundaryconditions.

1.は じめに

近年,構造物の大規模化,都市景観への関心の高 ま りお よび構造部材の使用効率の良さな どか ら,長 さに 比べて板厚が小 さい薄 肉材や薄板が採用 されている.

この種の薄肉構造部材では,製作過程 ,支持部 の出来 具合お よび 自重の影響な どによって ライズが必ず存在 す る. この ようなライズを もつは りや軸方 向圧縮 力を 受けて座屈 したは りは,偏平 アーチ とみなす こ とがで きる. この ような偏平アーチを 1自由度系 と見な した 解析 はかな り行 われている (文献 1の文献参照 ).著 者 らは,境界条件 が両端 ヒンジで正弦波 を初期形状 に もつ偏平 アーチ を 1自由度系 に近似 し,非線形振動特 性 に及ぼす ライズ比の影響 お よびカオスの存在 につい て明 らかに した1).また,偏平アーチは連続体 であ る ことか ら, 2自由度近似 し, 3次対称振動 の非線形振 動特性 お よび1次対称振動近傍の分岐振動 に及ぼす3 次対称振動 の影響 につ いて解析 した2). しか し,偏平 アーチの非線形振動3)･4),動座屈5)･6),カオスな どに ラ イズの大 きさの他 に初期形状 が影響 を及ぼ し,また, 平成9年10月28日受理

*社会開発工学科 (DepartmentofCivilEngineering)

**長大 (秩 )(C110daiCo.Ltd.)

境界条件が異 な る場合に,端部の曲げに対する拘束度 の大 きさの違 いによ り非線形振動特性が異 なるこ とが 予想 され る.

そ こで,本研究では,偏平 アーチの非線形振動 に及 ぼす初期形状 お よび境界条件の影響 を解析す る.解析 方法 として,両端 で軸方 向変位 が拘束 された偏平アー チの運動方程式 を,多 自由度の振動系 にモデル化 した 後,Galerkin法 を用いて常微分方程式 に変換す る.

次 に,境界条件が両端 ヒンジで,等分布荷重 を受 け るは りのたわみ曲線 を初期形状 に もつ偏平 アーチを2 自由度系 に近似 し,常微分方程式の周期解 を求めるた めに調和バ ランス法 を用 いて,連立非線形代数方程式 に変換 し,Newton‑Raphson法 に よ り数値解析 を行い, 初期形状が非線形振動特性 に及ぼす影響 を明 らかにす

る.また,境界条件が両端固定の偏平アーチを1自由 度系 に近似 し,調和バ ランス法 を用 いて数値解析 を行 う. カ オ ス お よび非 周 期 解 に関 して は ,Runge‑

Kutta‑Gill法 に よる時間応答解析を用い,境界条件 が 非線形振動特性 に及ぼす影響の解析 を行 う.

92

2.運動方程式の誘導

高橋 和雄 ･太 田 晶‑

Fig.1 Geometryofshallowarch.

Fig.1に示す ような偏平アーチ (ライズの大 きさが は りの回転半径程度)に周期的変動荷重 が作用す る場 合の非線形 曲げ振動の運動方程式は次の ように与 え ら れ る 1).

EI#･g pA欝

‑E#ol((^{慧)2. 2監}禁)^{dx(諺 .謝}

=Pocos【)i (1) ここに,E :ヤング率,(:断面2次モーメン ト,p:

密度,A :断面帯, A :スパン長,y:たわみ,x:ス パ ン方 向の座標,yo:初期形状,po:荷重強度,f2:

荷重の円振動数,〜:時間.

初期形状 は境界条件 を満足 しなけ ればな らないの で,次の ように関数表示 される もの とする.

yo‑ArX(x) (2)

ここにA‑A./r:ライズ比,Ao:ライズ,r:回転半径,

X (,):初期形状の形状関数 .

式(1)の解 を次の変数分離形 に仮定する.

00

y‑r∑Xn(〝‑1 x)Tn(i) ⁽³⁾ ここに,二㍍ :座標関数,71:未知の時間関数 .

式(3)の座標関数Xnとして ライズが零の直線 ぼ りの 固有振動形 を用 い る.式(2),読 (3)を式(1)に代入 し, Galerkin 法 を適用すれば次の ような時間に関す る多

自由度の連立非線形常微分方程式が得 られ る.

:･>】 fn+an2Tn+A2SnO∑ QkA‑IOTk IAkilli^l(Q^PRln･^Isnopkl)TkTL

+A;1E;lmB1β芸L‑TkTIT^‑

=γnPcoswI

ここに,αn‑(ん/ll)2･Sn0‑‑孟 /.1%fxndE･

(4)

QP‑/^.lH ^{dE, R h}

‑ ‑ 孟

pkL‑/^ol%%tdE･

取 ‑‑i/.1% %tdE/^.lSP xndE/(" xn)･

･n‑/.lxndEHl14xn),xn‑/.lxn2dE,

P‑Pol4/EIr,

)1‑l4/pAw宇/EZ,W‑E2/a･1,all:ライズのないは り の線形 l次固有円振動数,I‑Wit,E‑x/I

3.初期形状の影響

3.1等分布荷重 を受けるは りのたわみ曲線 を初期形状 にもつ偏平アーチへの適用

境界条件が両端 ヒンジで等分布荷重 を受けるは りの たわみ曲線 を初期形状 に もつ偏平アーチの対称振動 を 考 える.初期形状 の関数 と してX‑3.2 (E‑ 2E3+

E4) を用 い,系 を1次対称振動 と3次対称振動 の2 自由度系に仮定 し線形減衰力を考慮すれば,時間に関 する非線形運動方程式は次式 となる.

Tl+2hlalTl+a12Tl+0.0187A2T3+0.7529AT12 +2.2592AT32+0. ･i T13

‑露^coswT

T3+2h3a3T3+a32T3+0.0187ATl+0.0092AT12

+0.2510AT32･4･5173ATIT3･^{i T1}2T3･^{; T33}

一意 pcoswで

(5)

(6)

ここに,α1‑ 1+0.5039△2,α3‑ 81+0.0007A2. Tablelは前報 の初期形状 が正弦波の場合2)と本研 究の等分布荷重 を受けるは りのたわみ曲線の場合の時 間に関す る非線形運動方程式の係数 を示 している.両 者 に共通する単独項お よび達成項の係数の差は十分 に 小 さい.また,初期形状が正弦波の場合に存在 しない 単独項 および達成項の係数 に注 目す る と,n‑ 1の 1 次対称振動 の場合 では,係数は十分 に小 さいが,n‑

3の3次対称振動の場合 に,係数の大 きさが無視で き ない単独項0.25AT32が存在 す る.単独項0.25AT32 は ライズ比 を介する 2次の非線形項であ り,偏平アー チの3次対称振動の非線形振動特性 に影響 を及ぼす こ

とが予想 され る.

Tablel Thecoefficientsofordinarydifferential equationsforthetimefunctions

(a)sincurve

(b)deflectioncuⅣe.

T1‑1 n‑3

(a) (b) (a) (b)

a刀 √r耳【軒盲瓦で ､T摘 JgT=9 JgTT訂耐

rl ‑ ‑ ‑

T3 ‑ 0.02A2 81 81+0.0007A2

Tl2 0.75ユ 0.752A ‑ 0.009A T32 2̲25A 2.259A ‑ 0.25A Tl3 0.25 0.25 ‑ ‑ T33 ‑ ‑ 20.25 20.25 TIT3 ‑ 0.02A 4.5A 4.517A T12T3 ‑ ‑ 2.25 2.25

3.2調和バ ランス法 による解析

本研究では3.1節 で述べた ように非線形振動特性 に 及ぼす初期条件の影響 が予想 される3次対称振動 につ いて解析 を行 うために,式(5),(6)の解 を本研究では次 式 にように仮定す る.

Tl‑C10･cll/2COS竿 +sll/2SlnT .(〟丁

+CllCOSaJT+SllSinwT T3‑ C30+ C3lCOS(｡T+S31Sin(〟で

+ C32COS 2wT+S32Sin 2wT

(7)

(8) ここに,clO,Cll/2,Sll/2,Cll,Sll,C12,S12:1次対称振動 の 振幅成分, C30,C31,S31,C32,S32:3次対称振動 の振幅成 令.

式(7),(8)を式(5),(6)に代入 して,調和バ ランス法 を 適用すれば連立非線形代数方程式 が得 られ る. これに Newton‑Raphson法 を用いて解けば,定常振動 の振幅 成分 が得 られ る.

3.3数値結果

Table2は,両者 の3次対称振動の非線形 自由振動 曲線 におけ る,同 じ無次元振 幅C31に対 す る無次元振 動数 W の値 を ライズ比A‑1.0‑ 5.0の場合 について 示す.単独項0.25AT32が存在 しない正弦波 の場合 と 比較 す る と,無次元振幅が小 さい場合には, ライズ比 が増 大す るほ ど単独項0.25AT32が及 ぼす影響 は増加 し,同 じ無次元振幅 において無次元振動数 は増大す る.

無次元振幅が増加す る と,両者の無次元振動数の差は 小 さ くな ってい く.

以上 よ り,正弦波 を初期形状 に もつ偏平 アーチ と等 分布荷重 を受け るは りのたわみ曲線 を初期形状 に もつ 偏平アーチ について,時間 に関す る非線形運動方程式 の係数 に大 きな違 いは見 られず,非線形振動特性 に及 ぼす初期形状の影響 は小 さい.

Table2 Nonlinearfreevibrationsofthethirdmode (a) sincurve

(b)deflectioncurve.

(a) (b) (α) (b) (〟) (b) (aー (b) (α)

1.17 1.16 2.07 2.06 2.78 2.77 3.42 3.41 4.02 1ー31 1.26 2.17 2.15 2.86 2.84 3.48 3.47 4.07 1̲48 1.4 2.33 2.27 2.98 2.94 3.58 3.55 4.16 1.64 1.54 2.53 2.43 3.15 3.08 3.73 3.67 4.29

4.境界条件の影響

4.1境界条件が両端固定の偏平 アーチへの適用 両端 固定の偏平アーチが,初期形状の関数 として座 屈波形X ‑sin21TEを もつ場 合 に,系 を1自由度系 と 仮定 し線形減衰 力を考慮すれば,時間に関す る非線形 運動方程式 は次式 とな る.

T l+ 2hlalTl+a12Tl+0･1801ATlZ+o･05994T13

‑0.0026369coswT (9)

ここに,hl:減衰定数, α1‑ 1+0.1202A2:1次固 有円振動数 .

4.2調和バ ランス法による解析

1次対称振動 の1/2分数調波共振 を求め るために, 式(9)の解 を次式の ように仮定す る.

T1‑普 + cl/2COS竿 +sl′2SlnT .(〟丁

+cICOS(〃T+sISin(｡T (i0)

ここに, co,cl,Sl:付随型の振 幅成分,cl/2,Sl/2 :分岐 型の振幅成分.

式(10)を式(9)に代入 して,調和バ ランス法 を適用すれ ば連 立 非 線形 方 程 式 が得 られ , これ に Newton‑

Raphson法 を用いて解けば,振幅成分が得 られ る.

94 高橋 和雄 ･太 田 晶‑

4.3時間応答解析

Tl‑P.,チ.‑p2とお くと,式(9)は次に示す2個の1 階常微分方程式に変換することがで きる.

Pl‑P2

P2‑‑2hα1P2‑α〜Pl10.1801AP12

‑0.05994P13+0.002636Pcos(〟で (ll) この式に Runge‑Kutta‑Gill法 を用いて,時間応答 解析 を行 う.

4.4数値結果

(a)線形 自由振動の特性

両端固定の偏平アーチの1次対称,3次対称振動, 2次逆対称振動 を対象に線形 自由振動の特性 について 解析 を行 う.4.1節 に示 した誘導 を非線形項 を無視 し て行 えば,時間に関する線形運動方程式は,次式 とな る.

T l+ 2hlαlTl+α12Tl‑ 0 (14

T2+2h2α2T2+α22T2‑ 0 (13)

T3+ 2h3α3T2+α32T3‑0 (li)

ここに,

α1‑ 1+0.1202A2:1次対称固有円振動数 α2‑J7.59白2‑2.7565:2次逆対称固有 円振動数 α3= 29.2023+0.1291△2:3次対称固有円振動数 上式の固有振動数 と求めれば,線形 自由振動数が得 ら れる.

Fig.2は,境界条件が両端固定の場合の偏平アーチ の ライズ比 と無次元線形固有振動数nlの関係 を 1次 対称,3次対称振動 および2次逆対称振動 について示 す. ライズの大 きさは回転半径 r程度 であるか ら1), ライズの大 きさは10まで表示 している.

.0.0.0〇ノ′bつJ

huanb47gLJqOuZOuLySuaqPuON

23und叩 研eZnlcJnden3 Sccod Gdt'‑qm′〝Cかおmaden2

.0 5.0 肋 nDZIoA 10.0 Fig.2 Riseratiovs.non‑dimensionalnatural

frequency.

境界条件 がヒンジの場合は,1次対称振動の線形固 有振動数 以外は, ライズ比Aの影響 を受 けずに一定 の値であ っが2),境界条件 が固定の場合 には, 1次対 称振動のみでな く,3次対称振動の線形固有振動数 も ライズ比 Aの影響 を受け, ライズ比Aの増大 と共 に 増加す る.一万,2次逆対称振動の線形固有振動数は,

ライズ比Aの影響 を受けず一定値 を とる. したが っ て,2次逆対称振動の線形固有振動数は初期形状すな わちライズの影響 を受けない.また,境界条件が固定 では,境界条件がヒンジの場合 に比べ,各モー ドの線 形固有振動数の値 が接近 し,振動モー ド間の達成が予 想 される.

(b)非線形 自由振動の特性

Fig.3は,境界条件が固定の場合の 1次対称振動の 非線形 自由振動 曲線 をライズ比 をパ ラメー ター に示 す.減衰定数h‑0.0の非減衰振動 を対象 としている.

横軸は非線形 円振動数 をライズがないは りの線形 1次 固有円振動数で無次元化 した無次元振動数,縦軸は回 転半径で無次元化 した無次元振幅である.

A‑0.0の ときは,振幅の変動成分clは無次元振動 数 とともに単調 に増加す るのみであるが, ライズ比が 大 き くなる とライズの影響が効いて くる. この時の無 次元振動数 W の増加 とともに,振幅の変動成分clは 減少する軟化バネの挙動 を示す.さらに振幅が増大 し て ライズ比 よ りも大 き くな る と,振幅 の変動成分cl

は無次元振動数 α の増加す る硬化バネの挙動 を示す.

貨界条件が両端 ヒンジの場合 と比べる と両端固定の場 合の方がライズの影響は小さ く,軟化 ･硬化バネ特性 はあま り強 く現れない.

以上 よ り,境界条件が異なる場合で も, ライズの影 響 を受け,振幅 に大 きさによ り軟化 ･硬化バネの両特

000000′b42[3m.17bgyl

0

‑ .

T o ･ o l

0

Fig.3 Amplitude‑frequencycurvesofthefirstmode withhl‑h3‑0.0.

性 を もつ.また,境界条件が両端 ヒンジに比べ両端 固 定の方が軟化 ･硬化バ ネ特性 は強 くない.

(C)荷重 一変位曲線の特性

Fig.4は,境界条件 が固定の場合の偏平アーチの静 的荷重 ‑変位 曲線 を示 している.横軸は静的応答成分

coを,縦軸 は荷重強度pであ る.

ライズ比Aニー3.0程度 までは静的応答成分coは, 荷重 とともに単調 に増加するのみであるが,ライズが マイナ ス方 向に大 き くな り, ライズ比△ニー5.0以上 (絶対値 が増 加) にな る と釣合荷重 に極値 が存在 し, 飛び移 り座屈が可能 となる.本研究では,対称 な偏平 アーチに対称 に分布す る荷重 が作用す る場合 を対象 と す るため, これ らの変形は,偏平アーチの中央 に対 し て対称であ る.

飛び移 り座屈 が可能 な釣合荷重の極値 について境界 条件 が両端 ヒンジの場合 と比較す る と両端固定の場合 の方 が釣合荷重の極値 はかな り高 く,動座屈は生 じに

くい.

000000000000050505t｣22ー‑Jbu3nb3470JnJOyJOyO.uy3ZqPuON oO5SpaudzuoD増n11tdzLIV

0 5･0 ･肋 dcdePMdonco lO･O

Fig.4 Staticload‑deflectioncurves.

AJ AJa

A Tl'DeTe卿 Seanalysl'S

A ○ T △ nT

[コ 2T X chaos

4 FrequencyaJ 8

Fig.5 Amplitude‑frequencycuⅣes withA‑3.0,h‑0.005,p‑1017.8.

(d)応答曲線の特性

Fig.5に両端固定の偏平アーチの ライズ比A‑3.0, 減衰定数h1‑0.05の無次元加振 円振動数 W と応答振 幅Al,Al/2との関係を示す.境界条件 が異な る場合 に つ いては ,式(9)にAT12が含 まれ るた め主 調 波 応 答 Al,1/2分数調波共振の応答Al/2ともに ライズ比の影 響 を受 けて,軟化 ･硬化バネの両特性 もつが,両端 ヒ ンジの場合に比べて両端固定の場合がライズ比の影響 が小 さい. これは,式(9)の ライズ比 を含んだ 2次の非 線形項 の係数 が両端 ヒンジの場合に比べて両端固定の 場合が小 さい こ とに起因す る.また, 1次対称振動の 1/2分数調波共振近傍 に現れ るカオ スについて,境界 条件が両端固定の場合は発生 しない.

5.まとめ

本研究では,偏平アーチの非線形振動特性 に及ぼす 初期形状 お よび境 界条件 の影響 につ いて解 析 を行 っ た.

得 られた結果 をま とめ る と次の とお りである.

(1)偏平アーチの非線形振動特性 に及ぼす初期形状の 影響 は小 さい.

(2)両端 固定 の偏 平 アーチ に無 次元線 形 固有振動 数 は ,1次対称振動 のみ な らず ,3次対 称振動 の場 合 に もライズ比q)影響 を受けて変化 する.

(3)応答曲線 は ライズの影響 を受けて,軟化 ･硬化バ ネの両特性 を示すが,境界条件 が両端固定の場合 に

ライズの影響が小 さい.

(4) 両端 固定 の偏平 アーチの方 が,1次対称振動 の

1/2分数調波共振近傍 に現 れ るカオ スについて発生 しない.

今後,多 自由度系 として係数励振振動 による達成現 象,偏平アーチの動的な座屈現象 とその メカニズムの 解明な どを明 らかにする必要であ る.また,実験 にお け るカオスの確認 も今後の課題であ る.

なお,数値計算 には長崎大学総合情報処理セン ター のVP‑1200を使用 した ことを付記す る.

参 考 文 献

1)高橋和雄,太 田晶‑ :偏平アーチの非線形振動 と カオ ス解析,構造工学論文集,γol.42A,pp.55‑61, 1996.3.

2)高橋和雄,太 田晶‑ :偏平 アーチの非線形振動解 析 一多 自由度系 としての解析 ‑,構造工学論文集, Vol.43A,pp.89‑96,1997･4.

3)Plaut,R.H.andHsieh,^∫.‑C.:Oscillationsandln‑

96 _{高橋 和雄 ･太 田 晶‑}

StabilityofaShallow ArchunderTwo‑Frequency Excitation,JournalofSoundandVibration,γol.

102,No.2,pp.189‑201,1985.

4)Yamaki,N.andMori,A.:Non‑linearVibrations ofaClampedBeam withInitialDeflectionandIn‑

itialAxialDisplacement,PartI:Theory,Journalof SoundandVibration,γol.71,No.3,pp.333‑346,

1980.

5)Leung,A.Y.T.andFung,T.C∴NonlinearSteady State Vibration and Dynamic Snap Through of Sllallow ArchBeams,EarthquakeEngineeringand StmcturalDynamics,γol.19,pp.409‑430,1990.

6)村 田 賢,安江 博 :周期外乱 を受 け る偏平アー チの動座屈, 日本建築学会構造系論文集,第469号, pp.71‑80,1995.3.