二つの相異なる部分よりなる絃の振動の

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二つの相異なる部分よりなる絃の振動の

        解に対する注意

小 平 吉

ANote on the Solution of the Vibration of a String

男

Y．Kodaira       1・問題の提起1．

 長さaなる絃があって，線密度の異なる二つの部分より成るとする。xニ0からx＝a、

までと，X・・α1からX＝aまでの部分の線密度は異なリ，夫々の部分に対する諸量には夫 々1，2の脚符を附けて表わす。絃の振動の微分方程式として

   裂｝−Ct・］診一・＜・＜叫票一c2・麗，［のく・＜・】（・）s（・・

を採る。絃は両端に於いて止められているとし，そこの境界条件として

       （yt）r＝o＝0，   （夕2）エ＝aニ0       （3），（4）

をとる。絃がX＝aにて絃が繋っている条件として

   （・）x−・1 ＝＝（・ ・）x−・・is（鷲）＿一（筈）x．a、    （・）、（・）

を 用いる。初期条件は次の如く与えられているとする：

（Y1）t＿o＝f，（x），

（Y2）t−o＝f，（x），

（⑳1∂t）t−。−F，（x），

（＃）t−。−F，（x）・

IL問題の解き方1

（7），（8）

（9），（10）

 この問題の解き方は前論文＊に述べてあるので，詳しくは述べないが，参考のために簡

単に結果を記して置く。

 微分方程式（1），（2）の特解で，境界条件（3），（4），（5）を満足するものは

    Pt＝（Act cos cic2αt十βαsin clc2αのSin c1αα2 sin c2 ax，       （11）

   Y2＝・（Aω cos cic2αt十Bth sin clc2αt） sin c2αai sin ciα（a−x）         （12）・

である。ん，疏はちxを含まないが，一般にはαを含む常数である。

 境界条件（6）により，

   c2・sln・cl・eva2・cos・c・・aa・＋c・ sin c・αal・cos・clαa，＝O，

或は

＊ 明星大学紀要，理工篇第一号，25頁い

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    tan c・αa・＋9＿0      （13）

    tan c2αal  c2

を満足するようにαを選べばよい。

 （13）にはα＝0なる根があるが，これは使用出来ない。又正負の絶対値の等しい根が

あることも分る。根が無数にあることは

     ），＝C2 tan Clαa2，      （14）

     y＝−Cl tan c2αat      （15）

なる二曲線を画いて，その交点を求めればよい。このようにしてみれば図から根は無根に

多くあることが分るであろう。（13）の正根を大きさの順序に並べてs番目のものをα，と 書くこととする。

 このような問題を解くには任意の函数の展開が必要となる。その出し方は著者の前論文

から分るので，唯結果だけを記して置く。f （ac）， f，（X）の展開式は次のようになる：

      の

f・（・） ＝・Σ。、c，，s、芸器芸；器、，a，a、

     s−1

   ・（・・2S・・叫11五（・）…9・a・…＋c・2・ごの∫乏（・）・・n・・as（a−・）dZ）・（・6）

 f （・）一・Σ疏ξ≡言蕊蕊；欝認倒の

     s＝1

   ・（c・2…司1㎞…n・c・a・P…＋c・・s・・叫㌘（7・）・・n・c・as（a−・・）d・）・（・7）

      IIL 問題の提起2

 （13）においてCla2＝c2atである場合には，この式はどうなるか，即ち（11），（12）はどう なるであろうか考えて見よう。この場合には〔11），（12）においてsin c・αa2 ＝sin ctcralで あるから，これらの式の代りに

   y、＝（んcos c、c・αt＋B、、 sin c・c2crt）sin c・crx       （18）

    Y2＝（A． cos elc20rt十Ba sin cic2crt）sin clcr（a−x）       （19）

を用いればよい。

 （18），（19，に境界条件（6）を入れれば，

      （Cl＋c2）α cos c2cral ＝0

       cos c2αa1 ＝−0

 となり，これから

   α一（2巖π一（2；ま三π・【・−0， 1， 2，……］     （・・）

を得る。（20）により，（18），（19）は，A・， B・と代りにAs， Bsと書きsに就いての和

を採れば，次の如くなる：

23       ロ

   Y・一Σ（      Cl（お十1As COS        2ai）π！−t＋B…n！！（1；2，1）πう…（2芸1）πち （・・）

     sご

   ・2一Σ（A・…c2（2；ま1）π ＋Bs・・n！・（2；三1）πう…（2芸｝）π（a−・）・（22）

      8＝O

 （21），（22）に初期条件を（7），（9）入れれば，

       ロ      

   f・（・）一ΣA・…（2芸｝）π㌶（・）一Σん…（2芸｝）π（a−・）（23）・（U）

        8＝O      S＝0

となる。初期条件（8），（10）を入れたものも同様に書くことが串来る。

 （23），（24）の右辺の級数を用V・てf （x），f （x）を展開すれば，問題が解けるように思わ

てはならない。

      IV・問題の解き方2

 この問題を解決するために翻って（11），（12）を考えてみよう。これらの解は境界条件

（5）を満足する解であるが，その代リに境界条件（6）を満足する解を考えてみよう。それは

    Yl＝（Cα cos ctc2αt十∠）at sin cic2αt） ci sin c2αx       （25）

    Y2＝＝一（Cat cos clc2αt十1）o sin c、c2αt）c2 sin clα（a−x）       （26）

に依って与えられる。これに境界条件（5）を入れれば        （e、−c2）sin c2cra、＝0

となりClキC2であるから

       sin c2crat ＝＝0

が得られ，αの値として

   。＝」≡＝エ， 【s＝＝1，2，3，＿］      （27）

c2Cll    Claza

が得られる。この値により，C・，1）αの代りにCs，1）gと書き和を採れば（25），（26）は次 の如くなる：

       oo

     s＝10。

  Y2−一・・Σ（Cs COS C2Sπ t十1）ti sin CsSπ t       tl2       a2）…㌃依一・）・

      s＝1

（28），（29）に初期条件（7），（9）を入れれば，

  f・（・） ・ciΣCs…昏f （・）一 −c2ΣDt…晋（・一・）

      S＝1      S＝1

（28）

（29）

（30），（31）

 24

 となる。初期条件（8），（10）を入れても同様な式が得られる。

  （30），（31）の展開式をみると，奇函数の性質をしてv・て，任意の函数を表わすことは出  来ない。（30），（31）が探していた奇函数の性質を有する級数であるということになるので

  （23）と（30），（24）と（31）の和を用いてf，（x），f，（x）を表わさ．なくてはならないことが  分ったのであるから，．V・とツ、・も（21）と（28），（22）と（29）の和として表わさなくては  ならない。即ち．Vs，ユ，2として次の如き級数を用いることとなる：

       ロ

    ・1一Σ（Ae…c （弩まユ）π1＋B…n−｛）（2蒜1）π9t）…（2sえ1）π・

       三

      ＋c・Σ（Cs…㌣＋Ds…㌣）…晋・・     （32）

       ：＝1

    ・2一Σ（A・c・・c2（㌶；ili−i）π ＋Bs・in−fe（㌻ま1）π ）…（㌶元1）（a−x）

       S＝Oo。

      一・・Σ（Cs…竺・＋De…芸π・）…㌃（a−・）・   （33）

         S＝1

  これに初期条件（7），（9）を入れれば，

         ロ      ロ 

    f （・）一ΣA・s・・（2芸1）π綱ΣG…箒      （・・）

        S＝O       S＝1

         ロ      ロ

    f・（・）一ΣA・S・・（2芸｝）π（・−x）一・・ΣC・…㌃（a−・）   （35）

        yD      S＝1

 となる。初期条件（8），（10）に入れた式も同様に得られる。このような展開式が得られれ  ぱ問題は解かれるのである。

       （2〃＋1）π   （34），（35）中のAnを決定したい場合には（34）にc22 sin

      xを掛けて0か

       2ai

       （2n＋1）π  らa・まで積分し，（35）にc12 sin

      （a−X）を掛けてa・からaまで積分して加

      2aL・

 え合わせるのである：

     ・・∫1ちω…（2tlilii，！［）Z・d・＋屯ω…（2崇）π（a−・）dx

       の

・  −ZIA・（c・・！1 …（篭1）π・…（2 ；；1）π痂        e＝0

      ＋…∫：…（2s十1 2a2）π（a−・）…（2 宏）π（・一鋤）

       の

      ＋ΣG＠己∫r…晋・…（2n十1 2at）π琉

       s＝1

      25        −q・…∫1ご・・㌃（・−x）・・n（aiSX，1）π（a−・）dx）

然6に

      al．（2s＋1）π ．（2n＋1）π

       xdx＝0，  【s≠nJ，

      1，S・・（2S十1 2a2）π（a−・）…（2 宏）！・・一・i［・≠lll，

     ∫

     ∫1三…（2s十1 2ar）n−・xd・一  ｛1− llξ…篭1）π（剛・−9・

       竺

     ∫1㌔ ・芸・s ・（2＝＝（−1）t＋ ＋1（÷）2−（ig，

      竺

     ∫1ξi・㌃（−x）・i・（2 緩）π（α一x）dx＝（−1）s＋ ＋t（：）2−（2・・霧）・）2

であるから，

   …∫1も・・（2S十1 2ai）π麺（2 宏1）π琉

       ＋・1・∫1ご・・（2s十1 2a2）π（・一・）…（2×21）π（a−・）＝＝ 0， ［s≠n］，

       −C22α1；612〃2−C2a （9＋C2）・［・一・L

…22 ∫1三・・X・…（2n十1 2at）π一・2・・∫1ご・・㌃（・−x）…（2緩1）π（a−x）dx−・

となる。従ってAnは次の如く与えられる：

     A・・＝、、，a、三，、，。，（・・∫1擁（・）…（2 緩11π…

       ＋…∫乞（・）…（2X，1）π（a−・）d・〉    （36）

（・・），（35）の中のCnを決定す・に・・（34）・・c・si・㌢を掛けて・カ・ら・1まで積

分し（・・）に一・・s・曙（a−x）を掛eナて・・から・まで積分・てカロえ合わせるのであ

る。前同様の計算によりCnは次のようになる：

     Cn−，、；、。（c・∫ン（・）…二：…一・・∫ン（・）…芸（a−・）d・〉  （37）

Bn， Dnも同様な計算によって得られる。このように求められた常数によって， yt， Y2を 書くことが出来る：

      ロ

・・一

i；li、2a、Σ｛・・sg（2S十12ai）π1・t（…∫1㌦（・）・ln（itll）！…

      8＝0

26

       ＋・・2jl！・（・）…（％7｝）π（・一・）d・）

       ＋，t（2ai2s十1）；・・n 61（2；ま1）π・（…∫1 F，（・）…（2s圭1）1・・d・

       ＋…∫語（・）…（Zllai！2）π（・一・）小・（2芸｝）π・

       の

＋。1。Σ｛・・Sε云亙1（…S9・ bo）…；：…一・・∫ン（・）…；三（一・）d・）

      ε＝1

−

k・・n −Eiiii1−t（・・∫1㌦（・）…㍗一・i∫1、F・（・）…㌃（・一・）d・）｝…−ll・・ ，・・）

      の

・・一

、、，。、三、12。、Σ｛…ε2（llllll1）π・（…∫箒（・）…（2芸｝）π…

      S＝O

＋…

∫乞（・）…（顎）π（a−・…）

        一。蒜）。・・nC2（2；il，IL）π （・22∫1 F，（・）…（2sえ1）π顧

        ＋…∫箒（・）…（kll211Lz1（一・）（P．｝…（Z｛illil，1）π（・一・）

       め

＋。；Σ｛・・Sε；；π （・・∫17，（・）…静一・・∫乏（・）…簑・一・）・・）

      8＝1

＋＆・・n6篇π・（罎（・）…㍗

       一・・∫箒（・）…㌃（・一・）d・）｝…㌃（a−・・  （39）