システムの周波数特性

ディジタル信号処理 第 7 _回

システムの周波数特性

システムの周波数応答とは ? 離散時間では・ ・ ・

• 1

入力

出力の線形時不変で

安定な離

散時間システムに対し, そのインパルス応答

の離散時間フーリエ変換, あるいはその伝達

関数の変数

に

を代入したものを, システ

ムの周波数応答あるいは周波数特性と呼ぶ.

連続時間では・ ・ ・

• 1

入力

出力の線形時不変で

安定な連

続時間システムに対し, そのインパルス応答

のフーリエ変換, あるいはその伝達関数の変

数

に

を代入したものを, システムの周波

数応答あるいは周波数特性と呼ぶ.

•

教科書の記述と話の順序が逆になっているの で, 対応を見ておく.

•

以下では, システムのインパルス応答を

と し,

n∈Z|h(n)|< ∞)

と仮 定する.

•

システムに印加される入力

を次のように 取る.

x[n] =e^jωn.

•

システムの出力を

とすると・ ・ ・

m∈Z

h[m]e^jω(n−m)

= X

m∈Z

h[m]e^−jωm

! e^jωn

= X

m∈Z

h[m]e^−jωm

! x[n]

•

以上で見たように, 入力に次の複素数が乗じ られている.

X

m∈Z

h[m]e^−jωm

•

これは, システムのインパルス応答を離散時

間フーリエ変換したものの角周波数

におけ

る値になっている. これで教科書の記述との

対応が取れた.

•

システムの周波数応答は, システムが

安定であれば定義できるが,

安定でな い場合には定義できるとは限らない.

•

独立変数が周波数の場合も, 角周波数の場合 も, 「周波数応答」という言葉が用いられる.

•

周波数応答と周波数特性という言葉も意味は

同一で, 周波数応答の方が一般的. 以下では周

波数応答を用いる.

• H(ω)

の絶対値を

と書き, システムの振 幅周波数特性あるいは振幅特性という.

• H(ω)

の偏角を

と書き, システムの位相

周波数特性あるいは位相特性という. 偏角の

取り方には色々な流儀があるので注意.

•

この講義では離散時間フーリエ変換における 変換後の関数の独立変数を

と書いてきた が,

変換との対応関係を取る際には独立変 数を

とした方が都合が良い

変数

に

を代入するとシステムの周波数

応答

離散時間フーリエ変換したもの) が得られる

ため). 教科書ではそのようになっているの

だが・ ・ ・

•

上述の振幅特性や位相特性の議論でわかるよ

うに, 最終的には

を独立変数として扱う形

に落ち付く. これを踏まえて, 今後も講義資料

では

という記法を続けるが, 多くの教科

書で

と書かれているということを覚

えておくこと. 関数

は

全単射なので, 上記は単なる変数変換である.

•

周波数応答はシステムが因果的であるか否か

にかかわらず定義できるが, 因果的でない場

合には, 「入力を印加するより前の時刻です

でに応答波形が出ている」ことになるので注

意を要する. 非リアルタイム信号処理では,

このようなことも可能.

周波数応答の別の定義(連続/離散時間で共通)

• 野波,水野(編集代表),制御の事典,朝倉書店, 2015によると,周

波数応答の定義は・・・

安定なシステムに一定の周波数の正弦波を入力し続 けると,十分時間が経過した状態(定常状態)では,出 力も同じ周波数の正弦波となる. このような正弦波入 力に対する定常状態での応答を周波数応答という. 通 常は周波数を変化させた場合の応答をまとめてこの ようによんでいる.

これに類する形で定義が述べられることもしばしばあるので, 敢えて述べたのだが・・・

• 実は問題にするのは

⊲ 出力の最大振幅が入力の最大振幅の何倍になっているか

⊲ 入力と出力の位相のずれがどの程度か

であり,応答波形そのものを問題にするわけではない.

• 先の定義は,伝統的な周波数応答の測り方(入力を正弦波とし, 正弦波の周波数を変えながら,システムが定常状態になるのを 待ってから入力に対する最大振幅および位相の変化を記録する) に引きずられた定義であると思われる.

インパルス応答が実数の場合

• H(ω)

の絶対値を振幅周波数特性と呼んで

と書き, 偏角を位相周波数特性と呼んで

と書いたのだが・ ・ ・

•

インパルス応答が実数の場合

テムでは大抵こうなる) では, 振幅周波数特

性と位相周波数特性は特別な性質を持つ.

• H(ω) = P∞

n=−∞h[n]e^−jωn

より,

∞

X

n=−∞

h[n]e^jωn

だが, インパルス応 答が実数であると仮定したから,

よって

h[n]e^jωn =h[n]e^−jωn

•

しがたって,

•

振幅周波数特性

は

の絶対値, 位相 周波数特性

は

の偏角で,

だから・ ・ ・

• A(−ω) = A(ω), θ(−ω) = −θ(ω).

これはイ

ンパルス応答が実数の場合に成り立つ特別な

性質であることを改めて注意しておく.

システムの周波数応答の求め方

•

システムの入力

と出力

が既知でともに

に属するものと仮定する. また, システムの

インパルス応答

も

に属するものと

仮定する.

を離散時間フーリエ変換し

たものを

と書くまた, このシステム

の伝達関数を

とする.

1.

システムのインパルス応答が既知であれば,

m∈Zh[m]e^−jωm

により周波数応答を求める ことができる.

2.

システムの伝達関数が既知であれば,

の

に

を代入することにより周波数応答

を求めることができる.

3. y = x∗h

を離散時間フーリエ変換すること で

となる.

が求めるべき周波数 応答だから,

H = Y X.

伝統的な周波数応答の測定法は,入力を正弦波とし,正弦波の周波数 を変えながら,システムが定常状態になるのを待ってから入力に対す る最大振幅および位相の変化を記録する,というものであるが,この 手順が入力と出力のスペクトルを記録することに相当するため,上記 の方法に近い.

正弦波の線形結合に対する応答

•

周波数応答が既知のシステムへの入力

を

L

X

l=1

Ale^j(ωln+φl)

とする.

•

この入力に対するシステムの応答を見る.

•

我々は線形時不変で

安定な離散時間シ ステムを対象にしていたから, 過渡特性を無 視すれば, この入力に対するシステムの応答 は,

に対する応答を 足し合わせたものになる.

• Ale^j(ωln+φl) = Ale^jωlne^jφl = Ale^jφle^jωln

だか

ら,

は,

が定数倍

倍)

されたものである.

•

したがって, この入力に対するシステムの出 力を

とすると,

y[n] =

L

X

l=1

Ale^jφlH(ωl)e^jωln

となる.

インパルス応答が実数のとき

•

システムのインパルス応答が実数のときには, 入力

が

l=1Alcos(ωln +φl)

のと きの応答を簡潔に書き表すことができる.

• cos(ωln+φl) = e^j(ωln+φl)+e^{−j(ωln+φl)}

2

だか

ら,

を使うと・ ・ ・

y[n] =

L

X

l=1

A_l

2 e^jφlH(ω_l)e^jωln+e^−jφlH(−ω_l)e^−jωln

=

L

X

l=1

A_l

2 A(ω_l)e^{j(ωln+φl+θ(ω))}+e^−jφlA(ω_l)e^{−j(ωln+φl+θ(ω))}

=

L

X

l=1

A_lA(ω_l) cos(ω_ln+φ_l+θ(ω)).

•

よって, システムのインパルス応答が実数の ときの, 入力

l=1A_lcos(ω_ln+φ_l)

に 対するシステムの応答は

y[n] =

L

X

l=1

AlA(ωl) cos(ωln+φl+θ(ω)).

伝達関数の分母と分子の影響

•

システムの伝達関数の分母と分子がそれぞれ 多項式の積に分解されている状況を考える:

H(z) =b0

QM

l=1Bl(z) QN

k=1Ak(z).

ただし,

は定数

である.

•

システムの周波数応答は伝達関数の変数

に

を代入することで得られたから・ ・ ・

H |z=e^jω=b0

QM

l=1B_l(e^jω) QN

k=1Ak(e^jω).

•

このシステムの振幅周波数特性を

位相

周波数特性を

とすると, 絶対値および偏

角の定義から・ ・ ・

A(ω) = |b₀| QM

l=1|Bl(e^jω)|

QN

k=1|A_k(e^jω)|

θ(ω) = argb0+

M

X

l=1

argBl(e^jω)−

N

X

k=1

argAk(e^jω)

絶対値について, 20 log

を取ると・ ・ ・

+

M

X

l=1

20 log₁₀|Bl(e^jω)|

−

N

X

k=1

20 log₁₀|Ak(e^jω)|

離散時間フーリエ変換の性質

•

積み残しになっていた離散時間フーリエ変換 の性質について示しておく.

•

離散時間フーリエ変換は,

に属する信号

に対して定義されるもので,

X(ω) = P∈

n=−∞x[n]e^−jωn, x[n] = _2π¹ Rπ

−πX(ω)e^jωndω

という対になったものであった.

•

離散時間フーリエ変換は,

に属する信号と 周期

の連続関数とのあいだの全単射を与 えるものであり, 本質的に周期

の関数の フーリエ級数展開と同じ

• x, x1, x2 ∈ l1

と仮定する. また, 時間軸ある

いは周波数軸に関して

シフトする作用素

を

と書く.

•

離散時間フーリエ変換の性質の多くは, フー リエ級数の性質から直ちに導かれるのだが・ ・ ・

•

離散時間フーリエ変換は

変換において

とした特別な場合.

•

離散時間フーリエ変換の収束領域は複素平面

における単位円周上の点で, そこでは

変換

に関して成立する事実はすべて成立するので,

これを利用して説明を簡略化する.

•

以下では, 信号を離散時間フーリエ変換する 作用素を

変換する作用素を

と書く.

•

教科書

ページの表

を

ページの表

と比較しながら説明する.

1. Z[a1x1 +a2x2] =a1Z[x1] +a2Z[x2]

だから

=a1FDTFT[x1] +a2FDTFT[x2].

2. Z[τ_mx] =z^−mZ[x]

だから,

として,

3.

周波数シフトについては後述.

4. Z[x1∗x2] =Z[x1]Z[x2]

だから

FDTFT[x1∗x2] =FDTFT[x1]FDTFT[x2].

5.

周波数領域における畳み込みについては後述.

6.

信号

を離散時間フーリエ変換したものが周 期

の周期関数となることはフーリエ級数 の性質のひとつ.

7.

スペクトルの対称性については後述.

8.

パーセバルの等式

はフーリエ級数の

性質のひとつ.

周波数シフト

yをy[n] =e^jω0nx[n]によって定義される信号とすると, (F_DTFT) [y](ω) =X

n∈Z

x[n]e^jω0ne^−jωn==

=X

n∈Z

x[n]e^{−j(ω−ω0)n}

= (F_DTFT) [x](ω−ω₀)

周波数領域の畳み込み

(F_DTFT)⁻¹[X₁∗X₂](n)

=_2π¹ Rπ

−π

Rπ

−πX1(ω−ν)X2(ν)dν e^jnωdω

=_2π¹ Rπ

−π

Rπ

−πX1(ω−ν)e^j(ω−ν)X2(ν)dνe^jnνdωdν

=_2π¹ Rπ

−πX₂(ν)e^jnν Rπ

−πX₁(ω−ν)e^j(ω−ν)dω dν (ω−ν=θと変数変換してX₁の周期性を使う)

=_2π¹ Rπ

−πX2(ν)e^jnν Rπ−ν

−π−νX1(θ)e^jθdθ dν

=_2π¹ Rπ

−πX₂(ν)e^jnν Rπ

−πX₁(θ)e^jθdθ dν

スペクトルの対称性

X(−ω) =X

n∈Z

x[n]e^jωn=X

n∈Z

x[n]e^−jωn=X(ω).

ただし,xが実数値だからx[n] =x[n]であることを用いた.

高速フーリエ変換

•

高速フーリエ変換は, 離散フーリエ変換をコ ンピュータで効率良く計算するためのアルゴ リズム.

•

離散フーリエ変換はディジタル信号処理にお

ける基本的な道具なので, これを効率良く計

算できることには実用上の価値が高く, よっ

て高速フーリエ変換は広く利用されている.

• Cooley

と

によって

年に提案さ れたが, そこに含まれるもっとも重要なアイ

デアは

年に

によって議論されて

いたという指摘もある.

http://mathworld.wolfram.com/FastFourierTransform.html

•

最も基本的なのは信号の長さが2 のべきであ

る場合の計算法であるが, 今日は様々な方向

で拡張がなされている.

•

高速フーリエ変換をおこなうプログラムはラ

イブラリなどの形で提供されていることが多

い. この種のプログラムでは, 効率と精度の

良い計算のために様々な工夫がなされている

ことが普通であり, 初心者が教科書等を見て

打ち込んだコードとは品質がまったく異なる

ことが一般的.

•

高速フーリエ変換が必要になった場合には, 可能な限り利用可能なライブラリ関数等を探 すべきであり, 基本的なアルゴリズムに対応 するコードを自分で打ち込んで動かすことは, 特殊な事情がある場合以外は避けるべき. 工 学の鉄則は, 車輪を再発明するなということ.

•

これを踏まえた上で, 以下では, 高速フーリ

エ変換の考え方を説明する.

•

コンピュータで数値計算をする際には, 乗算 の所要時間は, 加算の所要時間よりもずっと 長いことが普通.

•

以下の議論では, 簡単のため, 加算の回数は 無視して, 信号を離散フーリエ変換に必要と なる乗算の回数を減らすことを考える.

•

乗算の回数を減らすための工夫が, 高速フー

リエ変換の本質.

•

長さ

の信号

を考える.

• WN =e^−jΩ =e^−j2π/N

とおく.

•

信号

の離散フーリエ変換は,

0≤k<2^ν

x[k]W_N^mk (0≤m < N)

によって求められるのであった

に注

意).

•

離散フーリエ変換は,

行

列の行列を

次のベクトルに乗ずる演算になっており, 必 要な乗算の回数は

回である.

•

離散フーリエ変換の式を,

が偶数の場合

と

が奇数の場合

に分ける.

• W_N² =W^N

2

であることに注意すると・ ・ ・

X[m] = X

0≤p<2^ν−1

x[2p]W_N^m(2p)

+ X

0≤p<2^ν−1

x[2p+ 1]W_N^m(2p+1)

= X

0≤p<2^ν−1

x[2p]WN^mp 2

+W_N^m X

0≤p<2^ν−1

x[2p+ 1]W^mpN 2

•

先の式を見ると, 長さ

の信号の離散フーリ

エ変換が, 2 個の長さ

の信号

び奇数時刻に対応) の散時間フーリエ変換か

ら,

回の乗算によって得られることになる

•

同様に, 長さ

の信号の離散フーリエ変換

は, 2 個の長さ

の信号の離散フーリエ変

換から

回の乗算によって得られる. よっ

て, 2 個の長さ

の信号の離散フーリエ変

換は, 4 個の長さ

の信号の離散フーリエ

変換から, 2

回の乗算によって得

られる.

1個の長さNの信号の離散時間フーリエ変換 2個の長さN/2の信号の離散時間フーリエ変換 4個の長さN/4の信号の離散時間フーリエ変換 8個の長さN/8の信号の離散時間フーリエ変換

乗算N回 乗算N回 乗算N回 乗算N回

•

上記の工程を

段階下に進むごとに信号長が 半分になるから, 長さ

の信号では, 上記の 工程を

回繰り返せば信号長は

となり, そ れ以上の計算は不要となる. このような手順 で離散フーリエ変換を求めるのが高速フーリ エ変換である.

• N = 2^ν

だから

よって乗算回数が

から

にまで減ったことになる.

•

たとえば, 音楽

のサンプリング周波数は

44.1kHz

であるから, 1 秒分のデータ

44100

を離散フーリエ変換するのに必要な乗

算の回数は約

回. これに対し,

なので, 大雑把に言うと, 高速フー リエ変換によって乗算回数が離散フーリエ変

換の約

になる

のべきでない

信号の高速フーリエ変換は上記より若干効率

が落ちるが).