[ 例 1]
右図に示すように，辺の長さがそれぞれ 1,2 および 4 である直方体 が，直交座標系 xyz のそれぞれの軸に 3 辺をそろえて置かれている。
点を A, B, D は直方体の頂点であり，点 C は辺の中点とする。
A
B C D
4 2
1 O
x
y z
(1) ベクトル −→
AB， −→
AC と −→
AD を成分で表しなさい。
(2) ベクトル −→
AB と向きが同じで大きさが −→
AB の 2 倍のベクトル a を成分で表しなさい。また，ベクトル
−→ AC と向きが同じで大きさが 1 のベクトル b を成分で表しなさい。
(3) 線分 AC の中点を E とする。点 D と点 E の間の距離を求めなさい。
(4) 原点 O を始点とし，点 F を終点とするベクトル −→
OF が次の式
−→ OF = −→
OB − −→
OC + t (
3 −→
OC − 2 −→
OB )
, −∞ < t < ∞ (ex1.1)
で表される時，点 F の集合は x-y 平面上の直線となる。この直線を図示しなさい。
[答 1]
各点の座標は
A : (2, 0, 1), B : (2, 4, 0) , C : (1, 4, 0) , D : (0, 0, 1) (ex1.2) となる。
(1) −→
AB = (0, 4, − 1) , −→
AC = ( − 1, 4, − 1) , −→
AD = ( − 2, 0, 0) (ex1.3) (2)
a = 2 −→
AB = (0, 8, − 2) , (ex1.4)
b = 1
| −→
AC |
−→ AC = 1
√ 18 ( − 1, 4, − 1) = 1 3 √
2 ( − 1, 4, − 1) = ( − 1
3 √ 2 , 4
3 √
2 , − 1 3 √
2 )
(ex1.5)
(3) −→
AE = 1 2
−→ AC = ( − 1
2 , 2 , − 1 2 )
, −→
DE = −→
AE − −→
AD = ( 3
2 , 2 , − 1 2 )
(ex1.6) より点 D と点 E の間の距離 | −→
DE | は
| −→
DE | =
√( 3 2
) 2
+ 4 + ( − 1
2 ) 2
=
√ 13
2 (ex1.7)
となる。
物数 I. 例 1.2
(4) −→
OF = (1 − t , 4t , 0) (ex1.8) より，点 F の座標を (x, y, z) とすると
x = 1 − t , y = 4t , z = 0 (ex1.9) となる。この式より直線は右図のようになる。t を消 去した x と y の関係式は
y = 4 − 4x (ex1.10) となる。
0.5 1 1.5 2
-4 -2 2 4
x
y
[ 例 2]
下図に示すように台形の壁 OABC がある。ただしそれぞれの点の座標は
O : (0, 0, 0) , A : (0, 0, 4) , B : (0, 4, 2) , C : (0, 4, 0) (ex2.1) であり，xy 平面を地面とする。この壁の後ろの点 S : ( − 2, 0, 6) に光源を置くと，壁の影 ODEC ができた。
(1) 点 D と点 E の座標を求めなさい。
(2) 線分 EC と 線分 ED の間の角度を θ とするとき，
cos(θ) を求めなさい。
A
B
C S
E O
D
[答 2]
(1) 各点の座標より，
−→ SA = (2 , 0 , − 2) , −→
SB = (2 , 4 , − 4) (ex2.2)
となる。 −→
SA と −→
AD は同じ向きなので，α を正の実数として
−→ AD = α −→
SA = (2α , 0 , − 2α) (ex2.3)
となる。α の値は点 D が地面 (xy 平面) 上にあるという条件から決める。点 D の座標は
−→ OD = −→
OA + −→
AD = (2α , 0 , 4 − 2α) (ex2.4)
なので，点 D の z 座標が 0 という条件から α = 2 となる。従って点 D の座標は
D : (4 , 0 , 0) (ex2.5)
となる。
物数 I. 例 2.2
同様に −→
SB と −→
AD は同じ向きなので，β を正の実数として
−→ BE = β −→
SB = (2β , 4β , − 4β) (ex2.6)
となる。点 E の座標は
−→ OE = −→
OB + −→
BE = (2β , 4 + 4β , 2 − 4β) (ex2.7)
なので，点 E の z 座標が 0 という条件から β = 1
2 となる。従って点 E の座標は E :
( 1 , 6 , 0
)
(ex2.8) となる。
【注】直線の影がやはり直線になることは以下のように示せる。例えば直線 AB 上の点 Q は 0 ≤ t ≤ 1
として −→
OQ = −→
OA + t −→
AB = (0 , 4t , 4 − 2t) (ex2.9) と表わされる。点 Q の “影” を点 R とすると，上と同様に γ を正の実数として
−→ QR = γ −→
SQ = γ(2 , 4t , − 2t − 2) (ex2.10)
−→ OR = −→
OQ + −→
QR = (
2γ , 4t + 4tγ , 4 − 2t − 2γ(1 + t) )
(ex2.11) となる。点 R の z 座標が 0 という条件から γ = 2 − t
1 + t が得られる。従って
−→ OR =
( 2(2 − t) 1 + t , 12t
1 + t , 0 )
(ex2.12) より点 R は直線 2x + y = 8 上にあることがわかる。
(2) cos(θ) =
−→ EC · −→
ED
| −→
EC | | −→
ED | の関係を使う −→
EC = ( − 1 , − 2 , 0) , −→
ED = (3 , − 6 , 0) より
−→ EC · −→
ED = 9 , | −→
EC | = √
5 = , | −→
ED | = 3 √
5 (ex2.13)
なので
cos(θ) = 3
5 (ex2.14)
となる。
[ 例 3-1]
図 3-1 に示すように辺の長さがそれぞれ 2，4，2 の直方体がある．点 B は辺の中点であり，点 E は直方体の中央にある．図のように座標 系をとった場合に次の問に答えなさい．
(1) −→
AB × −→
AC と −→
EB × −→
EC を計算しなさい．
(2) 線分 EB, EC, ED を 3 辺とする平行 6 面体 (図 3-2) の体積を求めな さい．
(3) 点 A, B, C を含む平面の方程式を求めなさい．
(4) 図 3-1 の点 A, B, C を含む平面によって，空間は 2 つの領域に区切 られる．次の 3 点
F : (8, 1, 4) , G : ( − 1, 14, 5), H : ( − 6, − 6, − 7), I : ( − 6, − 7, − 7) . について，それぞれ，点 D と同じ領域に入っているか，点 D と違 う領域に入っているか，あるいは，ちょうどこの平面上にあるかを 判定しなさい．ただし ( , , ) の中の数値は点の座標を示す．
A
B C
D
4 2
2 E
O
図 3-1
A
B C
D
4 2
2 E
O
B B E
B B C
E C E
C E E E E
C C
図 3-2
[ 例 3-2]
図 3-3 で線分 BD の長さは線分 BC の長さの 1/3，線分 CE の 長さは線分 CA の長さの 1/3 である．このとき，3 角形 AFE と 3 角形 ABC の面積の比を求めなさい．この問題を以下の手 順によってベクトルを用いて考えよう．
以下で −→
AB = a , −→
AC = b とする．
E C
A
D
B F
図 3-3 (1) −→
AD と −→
BE を a, b を用いて表しなさい．
(2) −→
AF = α −→
AD , −→
BF = β −→
BE (ex3.1)
とおく．等式
−→ AF = −→
AB + −→
BF (ex3.2)
が成り立つという条件から α , β を求めなさい．
(3)
3 角形 ABC の面積 = 1
2 | a × b | , 3 角形 AFE の面積 = 1 2 | −→
AF × −→
AE | (ex3.3)
より，3 角形 AFE と 3 角形 ABC の面積の比を求めなさい．
物数 I. 例 3.2 [ 答 3-1]
この座標系について各点の座標は
A : (2, 0, 0) ， B : (0, 4, 1) ， C : (2, 4, 2) , D : (0, 0, 2) , E : (1, 2, 1) となる． (ex3.4)
(1) −→
AB = ( − 2, 4, 1) , −→
AC = (0, 4, 2) , −→
EB = ( − 1, 2, 0) , −→
EC = (1, 2, 1) , (ex3.5) より，以下を得る：
−→ AB × −→
AC = (4, 4, − 8) , −→
EB × −→
EC = (2, 1, − 4) . (ex3.6) (2) 平行 6 面体の体積は
¯¯ ¯ −→
ED · ( −→
EB × −→
EC )¯¯ ¯ = | ( − 1 , − 2 , 1) · (2, 1, − 4) | = | − 8 | = 8 (ex3.7) となる．
(3) −→
AB × −→
AC = (4, 4, − 8) は点 A, B, C を含む平面に直交するベクトルとなる. 平面上の任意の点 P の座標を (x, y, z) とすると −→
AP と −→
AB × −→
AC は直交するので 0 = −→
AP · ( −→
AB × −→
AC )
= 4 (x − 2, y, z) · (1, 1, − 2) = 4(x + y − 2z − 2) (ex3.8) が成り立つ．従って平面の方程式は
x + y − 2z = 2 (ex3.9)
となる．式 (ex3.9) を定数倍した式でも構いません．
【注】平面の方程式は一般に
ax + by + cz = d (ex3.10)
と書けるの．点 A,B,C の座標を式 (ex3.10) に代入した方程式
2a = d (ex3.11)
4b + c = d (ex3.12)
2a + 4b + 2c = d (ex3.13)
を満たすように未知数 a, b, c, d を決めてもよい．
(4)
−→ AD = ( − 2 , 0 , 2) , −→
AF = (6 , 1 , 4) , −→
AG = ( − 3 , 14 , 5) ,
−→ AH = ( − 8 , − 6 , − 7) , − →
AI = ( − 8 , − 7 , − 7) (ex3.14)
より
−→ AD · ( −→
AB × −→
AC )
= − 24 , −→
AF · ( −→
AB × −→
AC )
= − 4 , −→
AG · ( −→
AB × −→
AC )
= 4 ,
−→ AH · ( −→
AB × −→
AC )
= 0 , − → AI · ( −→
AB × −→
AC )
= − 4 (ex3.15)
となる．これより点 F と I が平面に対して点 D 同じ側，点 G が逆側に位置することがわかる．また，点 H
はちょうど平面上にある．
【注】点 D,F,G,H,I の座標を式 (ex3.8) の右辺に代入して，その値の正負から判断してもよい．
f (x, y, z) = x + y − 2z − 2 (ex3.16) とすると
f (0, 0, 2) = − 6 , f (8, 1, 4) = − 1 , f ( − 1, 14, 5) = 1
f ( − 6, − 6, − 7) = 0 , f ( − 6, − 7, − 7) = − 1 (ex3.17) より，点 F と I は点 D と同じ領域に属し，点 G は違う領域に属することがわかる．また点 H は ちょうど平面上にある．
[答 3-2]
(1)
−→ AD = −→
AB + −→
BD = a + 1 3
−→ BC = a + 1
3 (b − a) = 2 3 a + 1
3 b (ex3.18)
−→ BE = −→
AE − −→
AB = 2 3
−→ AC − a = 2
3 b − a (ex3.19)
(2)
−→ AF = α −→
AD = 2α 3 a + α
3 b (ex3.20)
−→ AB + −→
BF = a + β −→
BE = a + β ( 2 3 b − a )
= (1 − β)a + 2β
3 b (ex3.21)
なので，等式 (ex3.2) は
2α 3 a + α
3 b = (1 − β )a + 2β
3 b (ex3.22)
となる．この式を変形すると ( 2α
3 + β − 1 )
a = 2β − α
3 b (ex3.23)
が得られる。ところが，a と b は方向の異なるベクトルなので，(ex3.23) が成り立つのは両辺がともに 0 ベ クトルの場合，すなわち
2α
3 + β − 1 = 0 , (ex3.24)
2β − α = 0 (ex3.25)
となる場合のみである．上の 2 式より以下が得られる：
α = 6
7 , β = 3
7 . (ex3.26)
【注】１つの等式 (ex3.23) から２つの未知数 α , β が求まるのは奇妙に感じるかもしれないが，(??) は
ベクトルの間の等式なので，実際にはベクトルの各成分が等しいという複数 (この場合は平面上
のベクトルなので２つ) の等式をまとめて表していることになる．
物数 I. 例 3.4
(参考) “a と b は方向の異なるベクトルである” は数学の用語では “a と b は線形独立である”といいま
す．(線形代数・演習 I の資料 § 3.7 を参照．)
(参考) 式 (ex3.24) は図形的には 4 AFE の面積が α, β を用いて次のように表されることを意味します：
4 AFE の面積 = α 4 ADE の面積 = α 2
3 4 ADC の面積 = α 2 3 2
3 4 ABC の面積 , 4 AFE の面積 = (1 − β ) 4 ABE の面積 = (1 − β) 2
3 4 ABC の面積 (ex3.27)
同様に，式 (ex3.25) は図形的には 4 ABF の面積が α, β を用いて次のように表されることを意味 します：
4 ABF の面積 = α 4 ABD の面積 = α 1
3 4 ABC の面積 , 4 ABF の面積 = β 4 ABE の面積 = β 2
3 4 ABC の面積 (ex3.28)
(3)
−→ AF × −→
AE = α −→
AD × 2 3
−→ AC = α 3 (
2a + b ) × 2
3 b = 2α 9
( 2a + b
) × b
= 2α 9
(
2a × b + b × b )
= 4α
9 a × b = 8
21 a × b (ex3.29)
より
| −→
AF × −→
AE | = 8
21 | a × b | (ex3.30)
となる．従って，
(3 角形 ABC の面積) : (3 角形 AFE の面積) = 21 : 8 (ex3.31)
となる．
[ 例 4-1]
(1) 3 つの力 F 1 = (1 , 0 , 2)，F 2 = ( − 1 , 2 , 1) と F 3 が物体に働いてつりあっている。F 3 を求めよう．
一番大きさの小さい力はどれ？
(2) 図 4-1 に示すように辺の長さがそれぞれ 2，4，2 の直方 体がある．点 B，C は辺の中点であり，点 E は直方体の 中央にある．
図のように座標系をとった場合に次の問に答えなさい．
(2-1) 点 E から 点 A に向かう単位ベクトル u A ，点 E から 点 B に向かう単位ベクトル u B ，点 E から 点 C に向か う単位ベクトル u C ，および点 E から 点 D に向かう単 位ベクトル u D ，をそれぞれ求めなさい．(単位ベクトル を成分で表しなさい．)
(2-2) 点 E にある物体に，点 B に向かって大きさ √
5 N の力 F B が働いているとき，F B を成分で表しなさい．
(2-3) 点 E にある物体を点 A に向かって大きさ f A [N] の力 F A で引っ張る．さらに点 B に向けて大きさ √
5 N の 力 F B で，点 C にむけて大きさ √
5 N の力 F C で，点 D にむけて大きさ f D [N] の力 F D で引っ張る．力がつ りあって物体が静止する場合に f A と f D を求めなさい．
A
B C D
4 2
2 E
O
図 4-1
[例 4-2]
x 軸を回転軸として，そのまわりに自由に回転できる長さ L の棒が y-z 平 面内に置かれている．回転軸は棒の一端 A から L/3，他端 B から 2L/3，
の位置にある．また，点 C は点 O と点 B の中点である。図 4-2 のように 棒が y 軸から θ = π/6 だけ傾いているとき，点 B に力 F B =
(
0 , 2 , − 4 ) を，点 C に力 F C =
(
0 , − 1 , 1 )
を, 加えた．
(1) 力 F B がこの棒に及ぼす，原点の回りの力のモーメント N B を求めな さい．
(2) 力 F C がこの棒に及ぼす，原点の回りの力のモーメント N C を求めな さい．
(3) この棒に力 F B と F C を加えた場合，この棒は x 軸のまわりに，時計 回りに回り始めるか，反時計回りに回り始めるか，あるいは静止した ままかを答えなさい．
(4) さらに，点 A に力 F A = (
0 , 0 , F z )
を加えて，棒を回転軸のまわり に回転しないようにした．F z を求めなさい．
θ A
L B C
z
y
ᤨ⸘࿁ࠅ
ᤨ⸘࿁ࠅ
O
図 4-2
物数 I. 例 4.2 [ 答 4-1]
(1)
F 3 = − F 1 − F 2 = (
0 , − 2 , − 3 )
. (ex4.1)
また，
| F 1 | = √
5 , | F 2 | = √
6 , | F 3 | = √
13 , (ex4.2)
なので，大きさが最小の力は F 1 となる．
(2) この座標系について各点の座標は A:(2, 0, 0)，B:(0, 4, 1)，C:(1, 4, 2)，D:(0, 0, 2)，E:(1, 2, 1)，となる。
(2-1)
−→ EA = (
1 , − 2 , − 1 )
, −→
EB =
( − 1 , 2 , 0 )
, −→
EC = (
0 , 2 , 1 )
, −→
ED =
( − 1 , − 2 , 1 )
, (ex4.3) となる。点 E から点 A，B，C，および D に向かう単位ベクトル u A ，u B ，u C , u D はそれぞれ
u A =
−→ EA
| −→
EA | = 1
√ 6 (
1 , − 2 , − 1 )
, u B =
−→ EB
| −→
EB | = 1
√ 5
( − 1 , 2 , 0 )
, (ex4.4)
u C =
−→ EC
| −→
EC | = 1
√ 5 (
0 , 2 , 1 )
, u D =
−→ ED
| −→
ED | = 1
√ 6
( − 1 , − 2 , 1 )
(ex4.5) となる．
(2-2)
F B = √ 5u B =
( − 1 , 2 , 0 )
(ex4.6) (2-3) 点 E から点 A，B，C，および D に向かう力をそれぞれ F A ，F B ，F C ，および F D とすると
F A = f A u A = f A
√ 6 (
1 , − 2 , − 1 )
, F B = √ 5 u B =
( − 1 , 2 , 0 )
, (ex4.7)
F C = √ 5 u C =
( 0 , 2 , 1
)
, F D = f D u D = f D
√ 6
( − 1 , − 2 , 1 )
(ex4.8) となる．力のつりあいの条件
F A + F B + F C + F D =
f A √ − f D
6 − 1 4 − 2 f A √ +f D 6
1 − f A √ − 6 f D
=
0 0 0
(ex4.9)
より，f A ，f D についての連立方程式
f A − f D
√ 6 − 1 = 0 (ex4.10)
4 − 2 f A + f D
√ 6 = 0 (ex4.11)
1 − f A − f D
√ 6 = 0 (ex4.12)
が得られる．((ex4.10) と (ex4.12) は同じ方程式となる．) これより f A = 3 √
6
2 , f D =
√ 6
2 (ex4.13)
となる．
[ 答 4-2]
(1) r B = 2L 3
(
0 cos(θ) , sin(θ) )
なので N B = r B × F B = 2L
3 (
0 cos(θ) , sin(θ) ) × (
0 , 2 , − 4 )
= − 2L 3
(
4 cos(θ) + 2 sin(θ) , 0 , 0 )
=
( − L 2 + 4 √ 3 3 , 0 , 0
)
(ex4.14) となる．
(2) r C = L 3 (
0 cos(θ) , sin(θ) )
なので N C = r C × F C = L
3 (
0 cos(θ) , sin(θ) ) × (
0 , − 1 , 1 )
= L 3 (
cos(θ) + sin(θ) , 0 , 0 )
= (
L 1 + √ 3 6 , 0 , 0
)
(ex4.15) となる．
(3) 力 F B と力 F C が働く場合の原点の回りの力のモーメント N は N = r B × F B + r C × F C + =
( − L 3 + 7 √ 3 6 , 0 , 0
)
(ex4.16) となる．N は x 軸の負の向きを向いているので，棒は x 軸の回りに 時計回り に回転を始める．
(4) 力 F A による力のモーメント N A は r A = L 3 (
0 − cos(θ) , − sin(θ) )
なので N A = r A × F A = − L
3 (
0 cos(θ) , sin(θ) ) × (
0 , 0 , F z
)
= − L 3 (
F z cos(θ) , 0 , 0 )
=
( − LF z
√ 3 6 , 0 , 0
)
(ex4.17) となる．物体が回転しないのは N + N A = 0 となる場合なので
F z = − ( 7 + √
3 )
(ex4.18)
となる．
物数 I. 例 5.1
.
sin(π/6) = 1/2 , cos(π/6) = √
3/2 |δθ| ¿ 1
の場合sin(δθ) ≈ δθ , cos(δθ) ≈ 1
[ 例 5-1]
x 軸を回転軸として，そのまわりに自由に回転できる長さ L の棒が y-z 平面内に置かれている．回転軸は棒の一端 A から L/3，他端 B
から 2L/3， の位置にある．また，点 C は点 O と点 B の中点であ
る．図 5-1 のように棒が y 軸から θ = π/6 だけ傾いているとする．
θ A
L B C
z
y
ᤨ⸘࿁ࠅ
ᤨ⸘࿁ࠅ
O
図 5-1 (1) 点 A に力 F ~ A =
(
0 , 0 , F z
)
を加え，点 B に力 F ~ B = (
0 , 2 , − 4 )
を加えると，原点の回りの力のモーメン トが ~ 0 となった．F z を求めなさい．
次に，力 F ~ A と力 F ~ B を点 A と B に加えたまま，棒の角度を π/6 から少し変化させて θ = π/6 + δθ とした．
このとき，棒は x 軸のまわりに，時計回りに回り始めるか，反時計回りに回り始めるか，あるいは静止した ままかを答えなさい．棒を，少し反時計回りに回転させる場合 (δθ > 0) と，少し時計回りに回転させる場合 (δθ < 0) のそれぞれについて答えなさい．
ただし， | δθ | ¿ 1 の場合には以下の近似式が成り立つ：
sin ( π
6 + δθ
) ≈ sin ( π
6 )
+ cos ( π
6 )
δθ = 1 + δθ √ 3
2 , (ex5.1)
cos ( π
6 + δθ
) ≈ cos ( π
6 ) − sin
( π 6 )
δθ =
√ 3 − δθ
2 . (ex5.2)
(2) 点 A に力 F ~ A = (
0 , 0 , F z
)
を加え，点 C に力 F ~ C = (
0 , − 1 , 1 )
を加えると，原点の回りの力のモーメン トが ~ 0 となった．F z を求めなさい．
次に，力 F ~ A と力 F ~ C を点 A と C に加えたまま，棒の角度を π/6 から少し変化させて θ = π/6 + δθ とした．
このとき，棒は x 軸のまわりに，時計回りに回り始めるか，反時計回りに回り始めるか，あるいは静止した ままかを答えなさい．棒を，少し反時計回りに回転させる場合 (δθ > 0) と，少し時計回りに回転させる場合 (δθ < 0) のそれぞれについて答えなさい．
[ 例 5-2]
図 5-2 に示すように辺の長さがそれぞれ 2，4，2 の直方体がある．点 B は辺の中点であり，点 E は直方体の中央にある．
一定の速度 ~ v 0 で運動をしている 点 P が図の点 D を時刻 t = 1 に通 過し，時刻 t = 4 に点 E を通過した．
図のように座標系をとった場合に次の問に答えなさい．
(1) 点 P の速度 ~ v 0 を成分で表しなさい．
(2) 任意の時刻 t の点 P の位置ベクトル ~ r P (t) = (
x P (t) , y P (t) , z P (t) )
を求めなさい．
(3) 点 P が 3 点 A,B,C を含む平面を横切る時刻を求めなさい．(平面 を表す方程式は [例 3-1] の (3) で求めました．)
(4) 点 P が 点 B に最も近づく時刻を求めなさい．
A
B C
D
4 2
2 E
O
図 5-2
[ 答 5-1]
(1) 棒の y 軸からの角度が θ である場合，力 F ~ A と力 F ~ B が棒に及ばす原点の回りの力のモーメント N ~ (θ) は N(θ) ~ = ~ r A × F ~ A + ~ r B × F ~ B
= − L 3 (
0 , cos(θ) , sin(θ) ) × (
0 , 0 , F z )
+ 2L 3
(
0 , cos(θ) , sin(θ) ) × (
0 , 2 , − 4 )
= − L 3 (
(F z + 8) cos(θ) + 4 sin(θ) , 0 , 0 )
(ex5.3) となる． N ~ (π/6) = ~ 0 となるように F z を決めると
F z = − 8 − 4 tan(π/6) = − 8 − 4 √ 3
3 (ex5.4)
となる．
式 (ex5.4) を (ex5.3) に代入して，近似式 (ex5.2) を用いると，棒が θ = π/6 + δθ 傾いた場合の力のモーメ ントの x 成分は
N ~ x (θ) = 4L 9
( √
3 cos(π/6 + δθ) − 3 sin(π/6 + δθ)
) ≈ − 8 √ 3
9 Lδθ (ex5.5)
と表される．これより {
棒を少し反時計回りに回転 ; δθ > 0 ; N ~ x < 0 ; 棒は時計回りに回り始める
棒を少し時計回りに回転 ; δθ < 0 ; N ~ x > 0 ; 棒は反時計回りに回り始める (ex5.6) となることがわかる．棒はつりあいの配置からの微小な変化に対して，元の配置に戻ろうとするので，この 場合，つりあいの状態は 安定 となる．
(2) 棒の y 軸からの角度が θ である場合，力 F ~ A と力 F ~ C が棒に及ばす原点の回りの力のモーメント N ~ (θ) は N ~ (θ) = ~ r A × F ~ A + ~ r C × F ~ C
= − L 3 (
0 , cos(θ) , sin(θ) ) × (
0 , 0 , F z
) + L
3 (
0 , cos(θ) , sin(θ) ) × (
0 , − 1 , 1 )
= L
3 (
(1 − F z ) cos(θ) + sin(θ) , 0 , 0 )
(ex5.7) となる． N ~ (π/6) = ~ 0 となるように F z を決めると
F z = 1 + tan(π/6) = 1 + 1
√ 3 (ex5.8)
となる．
式 (ex5.8) を (ex5.7) に代入して，近似式 (ex5.2) を用いると，棒が θ = π/6 + δθ 傾いた場合の力のモーメ ントの x 成分は
N ~ x (θ) = L 3 (
sin(π/6 + δθ) − 1
√ 3 cos(π/6 + δθ) +
) ≈ 2 √ 3
9 Lδθ (ex5.9)
と表される．これより {
棒を少し反時計回りに回転 ; δθ > 0 ; N ~ x > 0 ; 棒は反時計回りに回り始める
棒を少し時計回りに回転 ; δθ < 0 ; N ~ x < 0 ; 棒は時計回りに回り始める (ex5.10)
となることがわかる．棒はつりあいの配置からの微小な変化に対して，元の配置からさらに離れようとする
ので，この場合，つりあいの状態は 不安定 となる．
物数 I. 例 5.3 (参考)
原点を通る回転軸のまわりに回転できる物体の，位置 { ~ r 0 i , i = 1 , · · · , N } に力 { F ~ i , i = 1 , · · · , N } が働いて いて，回転に対してつりあっていると，
~
u · N ~ 0 = 0 (ex5.1)
という関係が成り立つ．ただし
N ~ 0 =
∑ N i=1
~
r i 0 × F ~ i (ex5.2)
は力のモーメント，~ u は回転軸の向きの単位ベクトルである．つり合いの条件が N ~ 0 = 0 ではなく，~ u · N ~ 0 = 0 で あるのは，運動が回転軸 ~ u の周りの回転のみに制限されているため．
力 { F ~ i , i = 1 , · · · , N } を加えたまま，物体を ~ u の周りに δθ だけ回転すると，力 F ~ i のはたらく位置 ~ r i は ~ r 0 i から
δ~ r i = ~ r i − ~ r 0 i ≈ δθ ~ u × ~ r 0 i (ex5.3) だけ変位する．従って，δθ だけ回転したときの力のモーメント N ~ =
∑ N i=1
~ r i × F ~ i の回転軸方向の成分は
~
u · N ~ = − δθ
∑ N i=1
(
~
r 0 i · F ~ i − (~ r i 0 · ~ u) (~ u · F ~ i ) )
(ex5.4) となる．これより，
∑ N i=1
(
~ r i 0 · F ~ i − (~ r 0 i · ~ u) (~ u · F ~ i ) )
> 0 (ex5.5)
の場合，物体は回転軸 ~ u の周りの微小な回転に対して安定となる．
特に，回転軸が x 軸 (~ u = (1, 0, 0)) で， ~ r i 0 や F ~ i が y-z 平面内のベクトルの場合，微小な回転に対して安定となる 条件は
∑ N i=1
~ r 0 i · F ~ i > 0 (ex5.6)
となる．
[ 答 5-2]
(1) 時刻 t = 1 から t = 4 までに点 P は点 D から E まで等速度で動くので，点 P の速度 ~ v 0 は
~ v 0 =
−→ OE − −→
OD 4 − 1 =
( 1 3 , 2
3 , − 1 3 )
(ex5.1) となる．
(2) 時刻 t = t 0 に位置 ~ r 0 を通り，一定の速度 ~ v 0 で動く点の位置ベクトルは
~ r(t) = ~ r 0 + (t − t 0 )~ v 0 (ex5.2)
なので，時刻 t での点 P の位置ベクトルは
~
r P (t) = −→
OD + (t − 1) ~ v 0 = ( t − 1
3 , 2(t − 1) 3 , 7 − t
3 )
(ex5.3) と表される．
【注】直線をパラメータ t で表わす式 (線形代数・演習 I の資料 § 2.4 を参照．)
~
r = t ~ A + C ~ (ex5.4)
で t を時刻と考えて，条件
−→ OD = A ~ + C , ~ −→
OE = 4 A ~ + C ~ (ex5.5)
より
A ~ = 1 3
( −→
OE − −→
OD )
, C ~ = 1 3 (
4 −→
OD − −→
OE )
(ex5.6) として (ex5.3) を求めてもよい．
(3) ~ r = (x , y , z) をこの平面上の任意の点を表す位置ベクトルとする．~ r − −→
OA = (x − 2 , y , z) は平面内に含ま れるベクトルなので −→
AB × −→
AC と直交する．従って (x , y , z) の間には次の関係がある：
(
~ r − −→
OA
) · ( −→
AB × −→
AC )
= 0 . (ex5.7)
−→ AB × −→
AC = ( − 2 , 4 , 1) × (0 , 4 , 2) = (4 , 4 , − 8) (ex5.8) なので平面を表す方程式は次式となる：
x + y − 2z − 2 = 0 (ex5.9)
時刻 t = t 1 に点 P が平面を横切るとすると，(ex5.3) を (ex5.9) に代入して 0 = x P (t 1 ) + y P (t 1 ) − 2z P (t 1 ) − 2 = 5t 1 − 23
3 (ex5.10)
より点 P が平面を横切る時刻 t 1 は t 1 = 23
5 となる．
物数 I. 例 5.5
【注】平面上の任意の点を表す位置ベクトル ~ r を 2 つのパラメータ q，s を用いて
~ r = −→
OA + q −→
AB + s −→
AC = (2 − 2q , 4q + 4s , q + 2s) (ex5.11) と表すこともできる．点 P が時刻 t = t 1 に点 P が平面を横切るという条件 ~ r P (t 1 ) = (2 − 2q , 4q + 4s , q + 2s) すなわち
t 1 − 1
3 = 2 − 2q (ex5.12)
2(t 1 − 1)
3 = 4q + 4s (ex5.13)
7 − t 1
3 = q + 2s (ex5.14)
を q, s, t 1 についての連立方程式と考えて t 1 = 23/5 を求めてもよい．(このとき，q = 2/5，s = 1/5
となります．)
(4) 点 P と点 B の間の距離の 2 乗
¯¯ ¯ ~ r P (t) − −→
OB ¯¯ ¯ 2 = (x P (t)) 2 + (y P (t) − 4) 2 + (z P (t) − 1) 2 = 1 3 (
2t 2 − 22t + 71 )
(ex5.15) を t の関数と考えて，最小値を与える t を求めればよい．関数が最小となる時刻を t 2 とすると t = t 2 で微 分係数が 0 となるので，式 (ex5.15) を t で微分して
0 = 4t 2 − 22 (ex5.16)
より，時刻 t 2 = 11
2 で点 P は点 B に最も近づくことがわかる．
【注】~ r P (t) − −→
OB と ~ v 0 (あるいは −→
DE) が直交するという条件から最も近づく時刻を求めてもよい；
(
~
r P (t 2 ) − −→
OB
) · ~ v 0 = 1
3 (2t 2 − 11) = 0 → t 2 = 11 2 . 上の条件と ¯¯ ¯ ~ r P (t) − −→
OB ¯¯ ¯ 2 の t についての微分が 0 という条件が一致するのは以下のようにわかる：
0 = d
dt
¯¯ ¯ ~ r P (t) − −→
OB ¯¯ ¯ 2 = d dt
((
~
r P (t) − −→
OB ) · (
~ r P (t) − −→
OB ))
= d
(
~ r P (t) − −→
OB )
dt · (
~
r P (t) − −→
OB )
+ (
~
r P (t) − −→
OB ) · d
(
~
r P (t) − −→
OB ) dt
= 2 d
(
~
r P (t) − −→
OB )
dt · (
~ r P (t) − −→
OB )
= 2~ v 0 · (
~ r P (t) − −→
OB )
(ex5.17)
. [ 例 6-1]
図 6-1 に示すように辺の長さがそれぞれ 2，3，1 の直方体がある．点 E は辺の中点である．図のように座標系をとった場合に次の問に答 えなさい．
(1) 一定の加速度で運動をしている 点 P が図の点 O を時刻 t = 0 に通 過した。また，時刻 t = 1 に点 E を，時刻 t = 2 に点 D を通過し た。任意の時刻 t の点 P の座標 ~ r P (t) =
(
x P (t) , y P (t) , z P (t) )
を 求めなさい．
(2) 点 P が 3 点 A,C,B を含む平面を横切る時刻をすべて求めなさい．
A
B C
D
3 2
1
O E
図 6-1
[ 例 6-2]
これは微分の練習問題です．次の関数を変数 t について微分して，導関数を求めなさい. また，x 軸上を運動する 物体の時刻 t の x 座標が x = f(t) で表される場合，時刻 t = 1 で物体は，x 軸の正の向きに動くか，負の向きに 動くか，それとも (一瞬) 静止するかをそれぞれについて述べなさい．
(1) f (t) = √
t 2 + 3 (2) f (t) = cos ( π
4
√ t 2 + 3
)
(3) f (t) = exp (
2 − √ t 2 + 3
)
(4) f (t) = cos ( π
4
√ t 2 + 3 )
e 2 − √ t 2 +3 (5) f (t) = cos ( π
4 e 2 − √ t 2 +3 )
(6) f (t) = log( √
t 2 + 3 − 1)
(7) f (t) = F (√
t 2 + 3 )
，ただし F (x) = 2
√ π
∫ x 0
e − s 2 ds， つまり F (x) は，導関数が dF (x)
dx = 2
√ π e − x 2 であり，F (0) = 0 となる関数．
【注】 (7)で
df(t)
dt 6 = dF (u) du
˛ ˛
˛ ˛
u= √
t 2 +3
= 2
√ π e − u 2
˛ ˛
˛ ˛
u= √
t 2 +3
= 2
√ π e − t 2 − 3 (ex6.1)
であることに注意．F
の導関数F (u)
du
にu = p
t 2 + 3
を代入するのではなく，F (u)
にu = p
t 2 + 3
を代入した 後に，t
で微分する．(参考) F(x)
は 誤差関数 と呼ばれ，erf(x)
などと書かれる．物数 I. 例 6.2
.
[ 答 6-1]
この座標系について各点の座標は A:(2, 0, 0)，B:(0, 3, 1)，C:(2, 3, 1)，D:(0, 0, 1)，E:(1, 3, 0) となる．
(1) 一定の加速度 ~a 0 で運動する物体が時刻 t = t 0 に位置 ~ r 0 を通り，その時の速度が v ~ 0 である場合の位置ベク トルは
~ r(t) = ~ r 0 + (t − t 0 ) v ~ 0 + (t − t 0 ) 2
2 ~a 0 (ex6.2)
となる．点 P は時刻 t = 0 に点 O を通るので，t 0 = 0 , ~ r 0 = ~ 0 とすると，点 P の位置ベクトルは
~
r P (t) = t 2
2 ~a 0 + t ~ v 0 (ex6.3)
と表される．問題の条件より
~
r P (1) = 1
2 ~a 0 + ~ v 0 = −→
OE = (
1 , 3 , 0 )
(ex6.4)
~
r P (2) = 2 ~a 0 + 2 ~ v 0 = −→
OD = (
0 , 0 , 1 )
(ex6.5) が得られる。これより
~a 0 = −→
OD − 2 −→
OE =
( − 2 , − 6 , 1 )
, ~ v 0 = 2 −→
OE − 1 2
−→ OD = (
2 , 6 , − 1 2 )
(ex6.6) となる．従って時刻 t の点 P の位置ベクトルは以下で与えられる；
~ r P (t) =
(
x P (t) , y P (t) , z P (t) )
= (
− t 2 + 2 t , − 3 t 2 + 6 t , t 2 − t 2
)
(ex6.7)
(2) ~ r = (x , y , z) を平面上のある点を表す位置ベクトルとすると ~ r − −→
OA = (x − 2 , y , z) は平面内に含まれるベ クトルなので −→
AC × −→
AB と直交する．従って (x , y , z) の間には次の関係がある：
(
~ r − −→
OA
) · ( −→
AC × −→
AB )
= 0 (ex6.8)
−→ AC × −→
AB = (0 , 3 , 1) × ( − 2 , 3 , 1) = (0 , − 2 , 6) (ex6.9) なので平面を表す方程式は次式となる：
− y + 3 z = 0 . (ex6.10)
方程式 (ex6.10) を満たす座標 (ex6.7) の時刻 t を求めればよい：
0 = − y P (t) + 3 z P (t) = 3
2 t (3 t − 5) (ex6.11)
より点 P が平面を横切る時刻は t = 0 と t = 5
3 となる．
[ 答 6-2]
多少，複雑な関数の微分には合成関数の微分の式を何回か用いる:
(1)
df (t) dt = d
dt
√
t 2 + 3 = du 1/2 du
¯¯ ¯¯
u=t 2 +3
d(t 2 + 3)
dt = 1
2 u − 1/2 2t = t
√ t 2 + 3 . (ex6.12)
v x (1) = df(t) dt
¯¯ ¯¯
t=1
= 1
2 > 0 (ex6.13)
より，時刻 t = 1 で物体は x 軸の正の向きに動く．
(2) df (t)
dt = d
dt cos ( π
4
√ t 2 + 3
)
= d cos(u) du
¯¯ ¯¯
u= π 4 √ t 2 +3
d dt
π 4
√
t 2 + 3 = − sin(u) π 4
dv 1/2 dv
¯¯ ¯¯
v=t 2 +3
d
dt (t 2 + 3)
= − π
4 sin(u) 1
2 v − 1/2 2t = − πt 4 √
t 2 + 3 sin ( π
4
√ t 2 + 3
)
. (ex6.14)
v x (1) = df(t) dt
¯¯ ¯¯
t=1
= − π 8 sin
( π 2 )
= − π
8 < 0 (ex6.15)
より，時刻 t = 1 で物体は x 軸の負の向きに動く．
(3)
df (t)
dt = d
dt exp (
2 − √ t 2 + 3
)
= de u du
¯¯ ¯¯
u=2 − √ t 2 +3
d(2 − √ t 2 + 3)
dt = − e u d √ t 2 + 3
dt
(1) = − t
√ t 2 + 3 e 2 − √ t 2 +3 . (ex6.16)
v x (1) = df(t) dt
¯¯ ¯¯
t=1
= − 1
2 e 0 = − 1
2 < 0 (ex6.17)
より，時刻 t = 1 で物体は x 軸の負の向きに動く．
(4) df (t)
dt = d
dt {
cos ( π
4
√ t 2 + 3 )
e 2 − √ t 2 +3 }
= d cos
( π 4
√ t 2 + 3 )
dt e 2 − √ t 2 +3 + cos ( π
4
√ t 2 + 3
) de 2 − √ t 2 +3 dt
(2,3)
= − πt
4 √
t 2 + 3 sin ( π
4
√ t 2 + 3
) e 2 −
√ t 2 +3 − cos ( π
4
√ t 2 + 3
) t
√ t 2 + 3 e 2 −
√ t 2 +3
= − t
√ t 2 + 3 e 2 − √ t 2 +3 { π
4 sin ( π
4
√ t 2 + 3
) + cos
( π 4
√ t 2 + 3
)}
. (ex6.18)
v x (1) = df(t) dt
¯¯ ¯¯
t=1
= − 1 2 e 0
{ π 4 sin
( π 2 )
+ cos ( π
2 )}
= − π
8 < 0 (ex6.19)
より，時刻 t = 1 で物体は x 軸の負の向きに動く．
物数 I. 例 6.4 (5)
df(t)
dt = d
dt cos ( π
4 e 2 − √ t 2 +3 )
= d cos(u) du
¯¯ ¯¯
u= π 4 e 2− √
t2 +3
d dt
( π
4 e 2 − √ t 2 +3 )
= − π
4 sin(u) de 2 − √ t 2 +3 dt
(3) = πt 4 √
t 2 + 3 sin ( π
4 e 2 −
√ t 2 +3 ) e 2 −
√ t 2 +3
. (ex6.1)
v x (1) = df (t) dt
¯¯ ¯¯
t=1
= π 8 sin
( π 4 e 0
)
e 0 = π 8 √
2 > 0 (ex6.2)
より，時刻 t = 1 で物体は x 軸の正の向きに動く．
(6)
df(t)
dt = d log( √
t 2 + 3 − 1)
dt = log(u)
du
¯¯ ¯¯
u= √ t 2 +3 − 1
d √
t 2 + 3 − 1
dt = 1
u d √
t 2 + 3 dt
(1) = t
√ t 2 + 3( √
t 2 + 3 − 1) = t t 2 + 3 − √
t 2 + 3 . (ex6.3)
v x (1) = df(t) dt
¯¯ ¯¯
t=1
= 1
4 − √ 4 = 1
2 > 0 (ex6.4)
より，時刻 t = 1 で物体は x 軸の正の向きに動く．
(7)
df (t)
dt =
dF ( √
t 2 + 3 )
dt = dF (u)
du
¯¯ ¯¯
u= √ t 2 +3
d √ t 2 + 3
dt
(1) = 2
√ π e − u 2 ¯¯
¯¯ u= √ t 2 +3
√ t t 2 + 3
= 2t
√ π(t 2 + 3) e − t 2 − 3 . (ex6.5)
v x (1) = df(t) dt
¯¯ ¯¯
t=1
= 1
√ πe 4 > 0 (ex6.6)
より，時刻 t = 1 で物体は x 軸の正の向きに動く．
[ 例 7-1]
x 軸上を運動する物体の時刻 t の x 座標が
x(t) = exp (
− 1
√ t 2 − 2t + 10 )
(ex7.1) と表される．このとき
(1) 時刻 t での物体の速度の x 成分 v x (t) を求めなさい．
(2) 物体が x 軸の正の向きに移動する時間帯を求めなさい．
[ 例 7-2]
下図に示すような x-y 平面上にある長半径 2，短半径 1 の楕円上を運動する物体の位置ベクトル ~ r(t) が
~ r(t) =
(
cos(θ(t)) , 2 sin(θ(t)) )
(ex7.2) で与えられている．物体が楕円上を一定の速さ (速度の大きさ) | ~ v(t) | = 5 で反時計回りに動いているとする．物 体が楕円上の点 A:(1, 0) と点 B:(0, 2) を通るときの速度 (ベクトル) と加速度 (ベクトル) を求めたい．以下の手順 に従って考えよう．
(1) 時刻 t での物体の速度 ~ v(t) と加速度 ~a(t) を θ(t)， dθ(t)
dt や d 2 θ(t)
dt 2 を用いて表しなさい．
(2) 条件 | ~ v(t) | = 5 を用いて， dθ(t)
dt を θ(t) を用いて表しなさい．ただし，物体は反時計回りに運動しているの で，dθ(t)/dt > 0 である．
(3) (2) で求めた dθ(t)
dt の式を t で微分して d 2 θ(t)
dt 2 を θ(t) を用いて表しなさい．
(4) 物体が楕円上の点 A:(1, 0) を通る時刻を t = t 1 とすると，θ(t 1 ) = 0 となる．(1) ∼ (3) の結果から，点 A で の物体の速度 ~ v(t 1 ) と加速度 ~a(t 1 ) を求めなさい．
(5) 同様に，物体が楕円上の点 B:(0, 2) を通る時刻を t = t 2 とすると，θ(t 2 ) = π/2 となる．(1) ∼ (3) の結果か ら，点 B での物体の速度 ~ v(t 2 ) と加速度 ~a(t 2 ) を求めなさい．
