１ [2019 センター]
座標平面上に 点 ， ， ， がある。
点 ， を通る直線の方程式は ア イ である。
線分 を ： に内分する点の座標は ウ ， エ で，線分 を ： に外 分する点の座標は オ ， カ である。
点 ， からの距離の比が ： である点 の軌跡を求めよう。
の座標を ， とすると
キ
である。この式を整理すると
ク ケ コ
となる。よって，求める軌跡は，中心が点 サ ， シ ，半径が ス セ の円である。この円を とする。
で求めた円 と 軸との交点の座標は ， ソ ， ， タ である。ただし，
ソ タ とする。
点 ， ソ ， ， タ における の接線をそれぞれ ， とする。 の方程式 は チツ テ であり， の方程式は ト ナ である。したがっ て， 軸と 直線 ， で囲まれた図形の面積は ニ である。
ア イ ウ エ オ カ キ ク ケ コ サ シ ス セ
ソ タ チツ テ ト ナ ニ
解説
点 ， ， ， を通る直線の方程式は
すなわち
両辺に を掛けて整理すると
ア イ線分 を ： に内分する点の座標は
･ ･
， ･ ･
すなわち
ウ，
エ線分 を ： に外分する点の座標は
･ ･
， ･ ･
すなわち
オ，
カ： ： から
よって
すなわち
キこれを変形すると
両辺を で割ると
ク ケ コ…… ①
よって …… ②
ゆえに，点 は円 ② 上にある。
逆に，円 ② 上の任意の点 ， は，条件を満たす。
したがって，点 の軌跡は，中心が点
サ，
シ，半径が
ス セの円である。
① に を代入すると
すなわち ゆえに ，
したがって，円 と 軸との交点の座標は ，
ソ， ，
タ， 円 の中心を ， とし， ， ， ，
とする。 と は円 の接線であるから ，
直線 の傾きは
よって， は傾き ， 切片 の直線である から，その方程式は
チツ テ
…… ③ 直線 の傾きは
よって， は傾き ， 切片 の直線であるから，その方程式は
ト ナ…… ④
-2-
③，④ から を消去すると よって
ゆえに， 直線 ， の交点を とすると， の 座標は であり，点 と 軸の 距離は
したがって， 軸と 直線 ， で囲まれた図形，すなわち △ の面積は ･ ･
ニ一般に， 定点 ， からの距離の比が ： であ る点 の軌跡は， のとき，線分 を ： に内分する点と外分する点を直径の両端とする円にな る。この円を アポロニウスの円 という。
このことから， で求めた軌跡の円は， で求めた 内分点 ， と外分点 ， を直径の両端とする円 であることがわかる。
また， の直線 は， の直線 と一致することもわかる。
２ [2010 センター]
座標平面上の直線 を で表す。 点 ， ， ， と直線 上の点
， を考える。ただし， とする。 点 ， ， を通る円 の中心 は直線 ア 上にある。点 の 座標を とおき， ， を ， を用いて表すと
イ ウ ， エ オ カ キ である。
一方， のとき，直線 の傾きは ク
である。
円 が直線 と接するときの の値と円 の方程式を求めよう。円 と直線 が接す るとき，直線 と直線 は垂直であるから ク
ケ となり，
コ サ と表せる。さらに， であることより シ ， ス となる。ただし， シ ス とする。 シ のとき，円 の方程式は
セ ソ タ であり，また ス のとき，円 の方程式
は チ ツ テト である。
ア イ ウ エ オ カ キ ク ケ コ サ シ ス セ ソ タ チ ツ テト
解説
，
， 点 ， ， を通る円 の中心 は， 点 ，
から等距離にある点であるから，線分 の垂直二 等分線
ア上にある。
点 の 座標を とおくと， ， であるから
イ ウ
，
エ オ カ キ
一方， のとき，直線 の傾きは
ク
-4-
円 と直線 が接するとき， であるから ･
よって
ケゆえに すなわち
コ サこのとき ，
から ゆえに
すなわち よって
シ，
スここで，円 の中心の座標は ， すなわち ， 半径の 乗は
ゆえに，円 の方程式は， のとき
セ ソ タのとき
チ ツ テト３ [2012 センター]
を原点とする座標平面上に 点 ， ， ， をとる。三角形 の重心を ， 直線 と辺 との交点を とおく。 の座標は ， ア である。線分 上に 点 ， をとり，直線 と直線 との交点を とする。 が線分 上を動くと き，三角形 の面積 の最小値を求めよう。
の座標は イ
ウ ， エ オ
ウ であるから， の方程式は
カ キ ク となる。ただし， エ と オ の解答の順序，
および カ と キ の解答の順序は問わない。
また， の方程式は ケ コ サ であるから， の 座標は シ
ス セ である。したがって，三角形 の面積 を を用いて表すと，
ソ
タ ス セ となる。ここで，式を簡単にするために，
ス セ とおくと，
チツ
テ ト となる。 が線分
上を動くとき， のとり得る値の範囲は ナ ニ である。相加平均と相 乗平均の関係により， テ
ヌ となり，等号は ネ のときに成り立つ。
したがって， ネ のとき， は最小値 ノ
ハ をとる。また，このときの の傾 きは ヒ である。
ア イ
ウ エ ， オ ， または ，
カ ， キ ， または ， ク ケ コ サ シ ス セ ソ タ チツ テ ト ナ ニ ヌ ネ ノ
ハ ヒ
-6-
解説
，
，
， は三角形 の重心であるから，点 は線分 の
中点である。 よって， の座標は ，
ア三角形 の重心 の座標は ，
すなわち
イ ウ
，
エ オ
または
イ ウ
，
エ オ
直線 の方程式は
すなわち
カ キ ク…… ① または
カ キ ク直線 の方程式は すなわち
ケ コ サ…… ② 点 は直線 と直線 の交点であるから，①，② から を消去して
整理すると
点 は線分 上を動くから よって， であり
シ ス セ
三角形 の面積 は ･ ･
ソ タ
とおくと， であり
チツ
テ ト
のとり得る値の範囲は， より
ナ ニ相加平均 相乗平均の大小関係により ･
ヌ等号は， かつ ，すなわち
ネのときに成り立つ。
したがって， のとき， は最小値
ノ
ハ
