PowerPoint プレゼンテーション

DC-DCコンバータにおける回路の平均化

および平均化されたスイッチ・モデル

群馬大学

松田順一、 小林春夫

第57回 自動制御連合講演会 オーガナイズドセッション「アナログ電子回路・電源回路と制御工学」 伊香保 （2014年11月10日）

概要

1.

はじめに

2.

電流連続モード（CCM）

A) CCM動作における回路平均化手法概要 B) 一般的な２スイッチ回路DC-DCコンバータ（SEPIC） C) [昇圧型コンバータ] D) [降圧型コンバータ]

3.

電流不連続モード（DCM）

A) DCM動作における回路平均化手法概要 B) 大信号等価回路 昇降圧型，[昇圧型，降圧型]の各コンバータ C) 小信号等価回路 昇降圧型，[昇圧型，降圧型]の各コンバータ D) 低周波および[高周波領域]における伝達関数 E) 例：低周波領域における伝達関数

4. まとめ

はじめに

• DC電源の省電力化、小型・軽量化⇒DC-DCコンバータ（スイッチング電源）

• PWM （Pulse Width Modulation）型

• 電流連続モード CCM（Continuous Current Mode）：負荷大

• 電流不連続モード DCM （Discontinuous Current Mode）：負荷小

• 共振型（ソフト・スイッチング）

• 電源回路設計の効率化（短期間開発）

• 等価回路モデルで電気特性予測

• 電流・電圧変換特性、周波数応答特性（伝達関数）等

• 回路シミュレータを用いた詳細設計

• 上記DC-DCコンバータに要求される等価回路モデル

• 非線形なスイッチング信号を線形化 （通常の線形回路解析可能）

• 広い負荷変動（PWM型のCCM及びDCM）に対応

• 各種コンバータ（PWM型や共振型のコンバータ）に対応

• 等価回路が簡単で物理イメージを掴みやすい

降圧コンバータのフィードバック制御

Sensor gain Pulse width modulator Compensator Error signal Reference input Transistor gate driver Switching converter Power input Load Feedback ) (t i_L 0 s dT 0 Ts t ) (t i_L s dT 0 Ts t 0 g v ) (t i_L 0 s dT 0 T_s t 電流不連続モード 電流連続モード ) (t v_g ) (t v_in C vout(t) R 小 : R 大 : R 非線形信号の制御

DC-DCコンバータ等価回路モデルの比較

等価回路 モデル 状態変数 状態平均化方程式 適用 特長 状態平均化 ・インダクタ電流 ・容量電圧 状態変数を１スイッ チング周期で平均し て状態方程式構築 （小リップル近似） ・PWM型のCCM ・一般型等価回路への展開 拡張 状態平均化 ・インダクタ電流 ・容量電圧 （補助変数：インダク タ電圧、容量電流） 補助変数を１スイッ チング周期で平均 化して状態方程式 構築 ・PWM型のCCM ・PWM型のDCM ・共振型 ・各種コンバータを扱える 回路平均化 スイッチング（トランジ スタとダイオード）電 流・電圧 スイッチング電流・ 電圧を１スイッチン グ周期で平均して 状態方程式構築 ・PWM型のCCM ・PWM型のDCM ・共振型 ・各種コンバータを扱える ・物理イメージを掴み易い ・等価回路が簡単

CCM動作DC-DCコンバータ回路の平均化概要

1. コンバータ回路 ⇒ スイッチ回路 ＋ リアクティブ回路

2. ２スイッチ（４端子）回路 ⇒

電流・電圧波形の平均化

1. 独立入力状態変数（電流と電圧各１個）+従属出力状態変数（電流と電圧

各１個）を設定 ⇒ 各波形を平均化

2. 従属出力状態変数の電流と電圧 ⇒ 夫々

電流源と電圧源

で置換

（電流源と電圧源が入出力間の

理想変圧器

_を構成）

3. 動作点での

小信号の線形化

4. DC及びAC小信号の回路モデルを構築

1. DC及びAC小信号の電流・電圧レベルの変換比を導出

2. 低周波動作特性を導出 （回路の固有周波数≪スイッチング周波数）

5. 上記平均化 ⇒ CCM動作の２スイッチ・コンバータ（Buck, Boost,

スイッチ回路とリアクティブ回路の分離

Time-invariant

Reactive Circuit

Time-variant

Switch Circuit

Port1

Port2

SEPIC回路（正出力の昇降圧型）

) (t v_in ) ( ) (t v ₂ t v_out  _C ) ( 1 t v_C 1 C 2 C v_C2(t) R 1 L 2 L ) ( 1 t i_L ) ( 2 t i_L

Power

input

Output

) (t v_g t ) (t v_g s T s dT d d v v M in out    1

Frequency

Switching

:

Ratio

Duty

:

s

T

d

) (t v_out

スイッチ回路を分離したSEPIC回路

) (t v_in ) ( ) (t v ₂ t v_out  _C ) ( 1 t v v2(t) ) ( 2 t i ) ( 1 t i ) ( 1 t v_C 1 C 2 C v_C2(t) R 1 L 2 L ) ( 1 t i_L ) ( 2 t i_L

Switch Circuit

d(t)

Reactive Circuit

Power

input

Output

) (t v_out

CCM SEPICの各スイッチの電流・電圧波形

) ( 1 t v v₂(t) ) ( 2 t i ) ( 1 t i t 0 s dT t 0 T_s 0 s dT 0 T_s 0 s dT 0 _Ts 0 s dT 0 _Ts t t s T t v₁( ) ) ( ) ( ₂ 1 t v t v_C  _C v_C1(t) v_C2(t) s T t v₂( ) ) ( ) ( ₂ 1 t i t i_L  _L i_L1(t)i_L2(t) s T t i₁( ) s T t i₂( )



  s s T t t s T _T x d t x( ) 1 (



)



ON OFF Transistor

スイッチ電流・電圧波形の平均化（大信号）



_{s s}



s C T C T T d t v t v t t v₁( )  '( ) ₁( )  ₂( )





s s s C T C T T d t v t v t t v₂( )  ( ) ₁( )  ₂( )



_{s s}



s L T L T T d t i t i t t i₁( )  ( ) ₁( )  ₂( )





s s s L T L T T d t i t i t t i₂( )  '( ) ₁( )  ₂( ) 独立入力 独立入力 従属出力 従属出力 s s T T _{d t} v t t d t v ( ) ) ( ) ( ' ) ( ₂ 1  s s T T i t t d t d t i ( ) ) ( ) ( ' ) ( ₁ 2  従属電圧源 従属電流源 ) ( 1 ) ( ' t d t d  

２スイッチ（４端子）電圧・電流波形の平均化（CCM SEPIC）

に依存 は s s T T v t t v₁( ) ₂( ) に依存 は s s T T i t t i₂( ) ₁( )

従属出力を独立入力とデューティ比で表現

動作点での小信号線形化

) ( ) ( ~ 1 1 1 t V v t v s T   ( ) 2( ) ~ 2 2 t V v t v s T   ) ( ) ( ~ 1 1 1 t I i t i s T   ( ) 2( ) ~ 2 2 t I i t i s T   ) ( ) ( ~ t d D t d  

（波形の平均値及びデューティ比） ⇒ （動作点でのDC成分）＋（線形化された小信号）

従属電圧源（非線形小信号無視）

                                ' ) ( ' ) ( ' ) ( 1 ~ ~ 2 2 2 1 ~ ~ 2 2 ~ 1 1 DD V d t v V D D D V V d t v V D D t v V

従属電流源（非線形小信号無視）

                                ' ) ( ' ) ( ' ) ( 2 ~ ~ 1 1 2 1 ~ ~ 1 1 ~ 2 2 DD I d t i I D D D I I d t i I D D t i I 1 2 'V D D V   2 1 ' I D D I  

動作点での小信号線形化回路モデル

Averaged Switch Circuit for DC and AC Small Signal

D D :' 1 ~ 1 v V  1 ~ 1 i I  2 ~ 2 v V  2 ~ 2 i I  ~ 1 'd DD V ~ 2 'd DD I 1 ~ 1 v V         2 ~ 2 ' v V D D ~ 1 'd DD V 2 ~ 2 i I  ~ 2 'd DD I        1 ~ 1 ' i I D D

Linearized Dependent Voltage Source (Primary Winding of Ideal Transformer)

Linearized Dependent Current Source (Secondary Winding of Ideal Transformer)

Independent Voltage Source by Control Input d Independent Current Source by Control Input d Ideal Transformer for DC and AC Small Signal

CCM動作SEPICコンバータ

：DC及びAC小信号の平均化回路モデル

定常状態での電流・電圧、及び小信号のコンバータの伝達関数を求めることが可能 D D :' ~ 1 ' d DD V ~ 2 'd DD I ) ( ~ t v V_in  in ) ( 1 ~ 1 v t V_C  C 1 C 2 C 2( ) ~ 2 v t V_C  C R 2 L ) ( 1 ~ 1 i t I_L  L ) ( 2 ~ 2 i t I_L  L 1 L ) ( ~ t v V_out  out ) ( 1 ~ 1 i t I  2( ) ~ 2 i t I  1 ~ 1 v V  2 ~ 2 v V  （１）DCとAC小信号の電流・電圧 レベルの変換（D'：D） （２）制御入力ｄ（ｔ）によるAC小信号 の電圧・電流の変化

CCM動作DC-DCコンバータ： DC及びAC小信号の平均化回路モデル

D : 1 1 ~ 1 v V  1 ~ 1 i I  2 ~ 2 v V  2 ~ 2 i I  ~ 1 d V ~ 2 d I 降圧型 昇圧型 一般的な ２スイッチ回路 （昇降圧型） 1 ~ 1 v V  1 ~ 1 i I  2 ~ 2 v V  2 ~ 2 i I  1 ~ 1 v V  1 ~ 1 i I  2 ~ 2 v V  2 ~ 2 i I  1 : ' D ~ 2 d V ~ 1 d I D D :' ~ 1 ' d DD V ~ 2 ' d DD I ) ( 1 t v v₂(t) ) ( 2 t i ) ( 1 t i ) ( 1 t v v₂(t) ) ( 2 t i ) ( 1 t i ) ( 1 t v v₂(t) ) ( 2 t i ) ( 1 t i

DCM動作DC-DCコンバータ回路の平均化概要

1. コンバータ回路 ⇒ スイッチ回路 ＋ リアクティブ回路

2. ２スイッチ（４端子）回路 ⇒

電流・電圧波形の平均化

1. 入力側：

トランジスタ ⇒ 実効抵抗

、出力側：

ダイオード ⇒ 電力源

（トランジスタでの消費電力 ⇒ ダイオードに無損失で転送）

2. この電力転送から入出力の電圧変換比を導出

3. 動作点での

小信号の線形化

4. AC小信号の回路モデルを構築

1. 低周波動作特性を導出（回路の固有周波数≪スイッチング周波数）

5. 上記平均化 ⇒ DCM動作の２スイッチ・コンバータ（Buck, Boost,

Buck-Boost, Cuk, SEPICなど）に適用可能

昇降圧コンバータ

Switch Circuit ) (t v_in C v_out(t) R L ) (t i_L

Power

input

Output

) ( 1 t v v₂(t) ) ( 1 t i i₂(t) ) (t v_L ) ( ) (t v t v_C  _out ) (t v_C Current Transistor : ) ( 1 t i i₂(t):DiodeCurrent Voltage Transistor : ) ( 1 t v v₂(t):DiodeVoltage

DCM動作のインダクタとスイッチ回路の電流・電圧波形

) (t i_L ) ( 1 t v v₂(t) ) ( 1 t i i₂(t) ) (t v_L vin t 0 pk i 0 t 0 s T d₁ 0 s T t t t t 0 0 s T d₂ d₃T_s d₁T_s s T s T d₂ d₃T_s s T d₁ s T s T d₂ d₃T_s out v out in v v  in v out in v v  out v  pk i pk i L v_in L v_out Area : 1 q q₂ :Area s in pk dT L v i  ₁ 1 ) ( ) ( ) ( _{2 3} 1 t d t d t  d s T t i₁( ) s T t i₂( ) s T t v₂( ) s T t v₁( ) インダクタ スイッチ回路 トランジスタ（入力側） ダイオード（出力側）    ス・バランス　 インダクタ・フラック

平均化によるスイッチ回路の入力と出力

従属電力源 : ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 1 2 2 s s s s T e T T T _{R d} p t t v t v t i   ) ( ) ( ) ( 1 1 1 d R t v t i e T T s s  実効抵抗 : ) ( 2 ) ( ₂ 1 1 s e T t d L d R  →オームの法則に従う s T t v₁( ) s T t i₁( ) 入力（トランジスタ）側： によって消費されるパワーが出力（ダイオード）側に転送される R_e(d₁) 出力（ダイオード）側： によって消費されるパワーが出力される s T t p )( ) (d₁ R_e スイッチ回路での正味のパワー損失は無い s T t v₂( ) s T t i₂( ) s T s p t T T d s ) ( : 1 インダクタにエネルギー蓄積　　 s T s p t T T d s ) ( : 2 インダクタからエネルギー放出　　 （無損失） ) (d₁ R_e

s T t i₂( )

DCM動作昇降圧型コンバータの大信号平均化等価回路

s T t v₁( ) s T t i₁( ) Ts t p )( s T t v₂( ) s T in t v ( ) s T out t v ( ) C R L ) (d₁ R_e

DCM動作DC-DCコンバータ：大信号平均化等価回路

s e T d L d R ( )  2₂ 降圧型、昇圧型、昇降圧型コンバータ → Cuk, SEPIC コンバータ →





s e T d L L d R _{( )}  2 1₂// 2 降圧型 昇圧型 昇降圧型 Cuk SEPIC s T in t v ( ) s T out t v ( ) s T in t v ( ) s T out t v ( ) s T in t v ( ) s T out t v ( ) s T in t v ( ) s T out t v ( ) s T in t v ( ) s T out t v ( ) ) (d R_e L C R C R C R 2 C R 2 C _R L L ) (d R_e ) (d R_e R_e(d) ) (d R_e 1 C L₂ 1 L 1 C 2 L 1 L s T t p )( Ts t p )( s T t p )( s T t p )( Ts t p )(



d  d1



DCM動作 昇降圧型コンバータのDC等価回路モデル

DC（定常状態） → インダクタ：短絡、容量：開放 1 I P 2 I in V V_out R V D R V P out e in 2 2 ) (   パワー： 入力→実効抵抗→電力源→出力（負荷） ) (D R R V V M e in out    電圧変換比 （昇降圧型の符号：負） ) (D R_e s e T D L D R ( )  2₂ 比） 動作点でのデューティ （d₁(t)  D : K D L R T D V V M s in out      2 2 昇降圧型コンバータの電圧変換比 s RT L K  2 R （注）Cuk, SEPIC コンバータのDC等価回路は、上記と同じになる

基本DC-DCコンバータのCCMとDCMにおける電圧変換比

D  1 1 D D   1 D D  1 D Converter M, CCM M, DCM Buck Boost Buck-Boost、Cuk SEPIC

D



1



D



1



D



D





1



D



D

1



R

R

_e

4

1

1

2





e

R

R



2

4

1

1





R

R

_e e

R

R

CCMとDCMの境界における電流

I

_crit







1



D



D



V

_in

R

_e

(

D

)



DCM動作２スイッチ回路の動作点での小信号線形化

) ( ) ( ~ 1 1 1 t V v t v s T   ) ( ) ( 2 ~ 2 2 t V v t v s T   ) ( ) ( ~ 1 1 1 t I i t i s T   ) ( ) ( 2 ~ 2 2 t I i t i s T   ) ( ) ( ~ t d D t d  

（波形の平均値及びデューティ比） ⇒ （動作点でのDC成分）＋（線形化された小信号）

s T t v₁( ) s T t i₁( ) s T t p )( s T t v₂( ) s T t i₂( )

Large Signal Averaged Circuit

) (d₁ R_e ) (t d s s s T e T T _{R d t v t} t v t i ) ( )) ( ( ) ( ) ( 2 2 1 2  )) ( ( ) ( ) ( 1 1 t d R t v t i e T T s s  ) ( ) (t d₁ t d 

DCM動作２スイッチ回路の小信号等価回路

) ( ~ 1 t i ) ( ~ 1 d t j ) ( ~ 1 t v 2( ) ~ t v 1 r ) ( 2 ~ t i ) ( 2 ~ 1v t g ( ) ~ 2 d t j r2 ) ( 1 ~ 2 v t g ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ~ 1 2 ~ 1 1 ~ 1 ~ 1 v t g v t j d t r t i   



( ) , ( ) , ( )



)) ( ( ) ( ) ( 1 _{1 1 2} 1 f v t v t d t t d R t v t i s s s s T T e T T   D d V v V v T d f t d v f t v v f t v D V V f t i I t i s                1 ~ 2 1 2 ~ 1 1 1 ~ 2 1 1 ~ 1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) , , ( ) ( ) ( 2 2 1 1



( ) , ( ) , ( )



) ( )) ( ( ) ( ) ( _{2 1 2} 2 2 1 2 f v t v t d t t v t d R t v t i s s s s s T T T e T T   D d V v V v T d f t d v f t v v f t v D V V f t i I t i s                2 ~ 2 2 2 ~ 1 2 1 ~ 2 1 2 ~ 2 2 2 ) ( ) ( ) ( ) , , ( ) ( ) ( 2 2 1 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ~ 2 1 ~ 2 2 ~ 2 ~ 2 v t g v t j d t r t i    

DCM動作昇降圧コンバータの小信号AC回路モデル

) ( ~ 1 t i ) ( ~ 1 d t j ) ( ~ 1 t v 2( ) ~ t v 1 r ) ( 2 ~ t i ) ( 2 ~ 1 v t g ( ) ~ 2 d t j r₂ ) ( 1 ~ 2 v t g ) ( ~ t vin ( ) ~ t vout C L R 線形回路解析から伝達関数を求めることが可能 Switch Circuit Small-signal AC Model

DCM動作昇圧及び降圧コンバータの小信号AC回路モデル

) ( ~ 1 t i ) ( ~ 1 d t j ) ( ~ 1 t v 2( ) ~ t v 1 r ) ( 2 ~ t i ) ( 2 ~ 1 v t g ( ) ~ 2 d t j r₂ ) ( 1 ~ 2 v t g ) ( ~ t vin ( ) ~ t vout C L R ) ( ~ t iL ) ( ~ 1d t j ) ( ~ 1 t v 2( ) ~ t v 1 r 2( ) ~ 1v t g ( ) ~ 2 d t j r₂ ) ( 1 ~ 2 v t g ) ( ~ t vin ( ) ~ t vout C R ) ( ~ 1 t i 2( ) ~ t i ) ( ~ t iL 降圧 昇圧

Switch Circuit Small-signal AC Model

DCM動作2スイッチ回路の小信号モデル・パラメータ

Switch circuit General Two-switch Two-switch for Buck Two-switch for Boost e R 2 r g₂ 1 r 2 j 1 g _j1 e R 1 0 e R e DR V₁ 2 e DMR V₁ 2 e R M2 e MR 2





e DR V M ₁ 1 2  e R M2 e MR M  2





e DMR V M ₁ 1 2 





e R M M 2 2 1 



M



Re 2 1 1  D



M



R_e MV 1 2 ₁ 



M



Re 2 1 

_

_

e R M M 2 1 1 2  



M



R_e D V 1 2 ₁ 

DCM動作 低周波小信号AC等価回路：降圧、昇圧、昇降圧

) ( ~ 1 t i ) ( ~ 1 d t j ) ( ~ 1 t v 2( ) ~ t v 1 r ) ( 2 ~ t i ) ( 2 ~ 1 v t g ( ) ~ 2 d t j r₂ ) ( 1 ~ 2 v t g ) ( ~ t vin ( ) ~ t vout C _R 低周波領域でのモデル → インダクタ：短絡 （理由：DCM動作→インダクタ電圧の平均値はゼロ） 制御～出力伝達関数: ( ) 0 入力～出力伝達関数: ~  t vin p d v out d out _s G d v G in 



   1 0 0 ~ ~ , ~

Switch Circuit Small-signal AC Model

0 ) ( ~  t d





_

_

C r R r R j G_{d p} 2 2 2 0 // 1 , //  



p in d in out in out _s G v v G



    1 0 0 ~ ~ , ~



R r



M g G_in0  ₂ // ₂ 

DCM動作DC-DCコンバータの小信号伝達関数

Converter Buck Boost Buck-boost 0 d G G_in0



_p M M D V   2 1 2 1 2 1 2   M M D V D V M M M



M



RC M   1 2



M



RC M 1 1 2   RC 2 低周波領域

DCM動作昇降圧コンバータの高周波小信号AC等価回路

) ( ~ 1d t f ) ( ~ t v k_o out ) ( ~ t v k_i in ( ) ~ 1 i t r L L ) ( ~ t vin _{( )} ~ t vout C R ) ( 2 ~ t v ) ( 1 ~ t v ) ( ~ 2 d t j ) ( ~ 2 i t l L ) ( ~ t v g_i in ) ( ~ 1 t i 2( ) ~ t i ) ( ~ t iL 1 ~ 1 ~ ~ ~ 1 ~ 1 ~ 1 ~ 1 ~ 1 ~ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( f t d r t i k t v k t v d h t d i h t i v h t v v h t v t v L o out i in D d I i L L V v out out V v in in L L out out in in                    



( ) , ( ) , ( ) , ( )



) ( ₁ 1 t h v t v t i t d t v s s s s in T out T L T T  D R V V i h r _e in out I i L _{L L}       1 1



( ) , ( ) , ( )



) ( ₂ 2 t h v t i t d t i s s s in T L T T  2 ~ 2 ~ ~ 2 ~ 2 ~ 2 ~ 2 ~ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( j t d l t i g t v d h t d i h t i v h t v t i L i in D d I i L L V v in in L L in in               

0

AC

電圧



インダクタにかかる

DCM動作昇降圧コンバータの高周波特性

（制御～出力伝達関数）

制御～出力伝達関数： ( ) 0 ~  t vin 0 ) ( 0 ) ( ~ ~    k v t t vout 　 _o out 高周波：容量電圧AC成分 → 0： 0 ) ( ) ( ) ( ~ 1 ~ 1 ~   r i t f d t t i sL L L を含むループ電圧＝０ L t vin( ), ~ ph L s r f t d t i     1 1 ) ( ) ( 1 1 ~ ~ L r ph 1   _       :高周波ポール周波数 2 _ph ph f 2 2 1 2 , , D Lf R D D V V D R V V r _e s in out e in out      D2 f f s ph 



（DCM動作の基本コンバータで有効） 1 0  ₂   f D f_ph s 



定常状態の関係を使って f_ph の見積もり スイッチング周波数 : s f

DCM動作コンバータの制御～出力伝達関数からの高周波ポールとRHPゼロ

Converter High-frequency pole ω_ph RHP zero ω_z

Buck none Boost Buck-boost D f M _s 2



M



D Mf_s  1 2





D f M 1 _s 2  D f_s 2 D f_s 2

DCM動作昇圧型コンバータの制御～出力周波数応答例

316 . 0 50 W 5 . 0     D R P e kHz 250 μF 100 μH 10 5      s f C L R 2 mA 100 V 10 V 5     M I V V out out in MHz 58 . 1 MHz 58 . 1 Hz 955 dBV 26 0     z ph p d f f f G mA 630 mA 216   pk crit i I I_out  I_crit  DCM -120 -80 -40 0 40 80 120 -60 -40 -20 0 20 40 60

1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05

∠ Gout, d |G out, d | ( d B V) f (Hz) Hz 955  p f dBV 26 0  d G

まとめ

• PWM制御されたDC-DCコンバータの２スイッチ回路の非線形な電流・電圧

波形を平均化し、動作点で線形化された小信号を乗せてモデル化するこ

とによるDCとAC小信号の等価回路をレビューした。

• CCMでは、DCとAC小信号が理想変圧器によって変換される。

• DCMでは、トランジスタからダイオードへ実効的にエネルギーが転送され、

ダイオードが電力源として寄与する。

• 本手法により、通常の線形回路解析が可能である。また、本等価回路は

簡単で物理イメージを掴み易い。

• 本手法は降圧、昇圧、昇降圧、Cuk、SEPIC、さらに共振型の各コンバータ

に適用できる。

• 本手法を用いて設計要求項目に合う素子パラメータや動作条件の概略を

決め、その後詳細シミュレーションを行なうと設計効率が向上する。

スイッチ回路の等価回路

) ( 1 t v v₂(t) ) ( 2 t i ) ( 1 t i

Switch Circuit Equivalent to Switch Circuit

) ( 2 t i ) ( 1 t i ) ( 1 t v v₂(t)

Dependent Voltage Source Dependent Current Source

) ( 2 t i ) ( 1 t v



v₁(t):Transistor Voltage





i₂(t):DiodeCurrent



独立入力： 従属出力：

)

(

),

(

₂ 1

t

v

t

i

)

(

),

(

₁ 2

t

v

t

i

平均化されたスイッチ回路モデル（大信号）

s T t v₁( ) s T t i t d t d ) ( ) ( ) ( ' 1

Averaged Switch Circuit for Large Signal

s T t i₂( ) s T t i₁( ) s T t v₂( ) s T t v t d t d ) ( ) ( ) ( ' 2

（Dependent Voltage and Current Sources）

) ( 2 t i ) ( 1 t i ) ( 1 t v i₂(t) v₂(t) ) ( 1 t v

CCM動作２スイッチDC-DCコンバータの平均化回路モデル

（ DC及びAC小信号）

D D :' ~ 1 'd DD V ~ 2 'd DD I ) ( ~ t v V_in  in R ( ) ~ t v V_out  out ) ( 1 ~ 1 v t V  2( ) ~ 2 v t V  ) ( 1 ~ 1 i t I  2( ) ~ 2 i t I 

Reactive Circuit

・Capacitor

・Inductor

Input

Output

) (t d

平均化回路モデルの昇圧コンバータへの適用

~ 1 ' d DD V ~ 2 'd DD I ) ( ~ t v V_in  in R ) ( ~ t v V_out  out ) ( 1 ~ 1 v t V  ) ( 2 ~ 2 v t V  ) ( 1 ~ 1 i t I  _{( )} 2 ~ 2 i t I 

Input

Output

) (t v_in vout(t) L ) (t i_L v2(t) ) ( 1 t v _C ) ( 1 t i _{( )} 2 t i ) ( ~ t i I_L  L L C R Switch Circuit D’ : D

昇圧型コンバータ回路

) (t v_{in C R} v_out(t) L ) (t i_L

Input

Output

) ( 1 t v v₂(t) ) ( 1 t i i₂(t) Switch Circuit ) (t v_C ) (t d Voltage Capacitor : ) ( ) ( ) ( , Current Inductor : ) ( ) ( ₂ 1 t i t v t v t v t i  _L  _out  _C 独立入力 Voltage Transistor : ) ( , Current Diode : ) ( ₁ 2 t v t i 従属出力

CCM動作のスイッチ回路の電流・電圧波形

) ( 1 t v ) ( 1 t i t 0 s dT 0 _Ts 0 0 t s T t v₁( ) s T t i₁( ) ) ( 2 t v ) ( 2 t i t 0 s dT 0 T_s 0 0 t s T t v₂( ) s T t i₂( )



  s s T t t s T _T x d t x( ) 1 (



)



s dT _Ts dT_s s T ) ( 2 t v ) ( 1 t i （仮定：インダクタ電流と容量電圧のリップルは小さい） ) ( ) ( ) ( 2 t v t v t v  _C  _out ) ( ) ( 1 t i t i  _L

スイッチ回路の等価回路

) ( 1 t v v₂(t) ) ( 2 t i ) ( 1 t i ) ( 1 t v i₂(t) v₂(t) ) ( 1 t i

Switch Circuit _{Equivalent to Switch Circuit}

) ( 2 t i ) ( 1 t v 独立入力： 従属出力：

)

(

),

(

₂ 1

t

v

t

i

)

(

),

(

₁ 2

t

v

t

i

Dependent Voltage Source Dependent Current Source



v₁(t):Transistor Voltage





i₂(t):DiodeCurrent



スイッチ電流・電圧波形の平均化（大信号）

s s T T d t v t t v₁( )  '( ) ₂( )

従属出力の平均化

) ( 1 t v i₂(t) v₂(t) ) ( 1 t i

Equivalent to Switch Circuit

) ( 2 t i ) ( 1 t v s T t v t d'( ) ₂( ) s T t i t d'( ) ₁( )

Averaged Switch Circuit for Large Signal

s s T T d t i t t i₂( )  '( ) ₁( ) 従属電圧源 従属電流源 に依存 は s s T T v t t v₁( ) ₂( ) に依存 は s s T T i t t i₂( ) ₁( ) s T t v₁( ) s T t i₂( ) s T t i₁( ) s T t v₂( )

動作点での小信号線形化

) ( ) ( ~ 1 1 1 t V v t v s T   ( ) ( ) ( ) ~ 2 t v t V v t v _C C T C T_s  _s   ) ( ) ( ) ( ~ 1 t i t I i t i _{L L} T L T_s  _s   ( ) 2( ) ~ 2 2 t I i t i s T   ( ) ( ) ~ t d D t d  

（波形の平均値及びデューティ比） ⇒ （動作点でのDC成分）＋（線形化された小信号）

従属電圧源（非線形小信号無視）

) ( ) ( ' ) ( ) ( ' ) ( ~ ~ ~ ~ ~ 1 1 v t D d t V v t D V v t V d t V _{C C C C}  _C      _        _         

従属電流源（非線形小信号無視）

) ( ) ( ' ) ( ) ( ' ) ( ~ ~ ~ ~ ~ 2 2 i t D d t I i t D I i t I d t I _{L L L L}  _L                        ) ( ) ( ~ t v V t v _in in T in s   ) ( ) ( ' ~ t d D t d  

動作点での小信号線形化回路モデル

Averaged Switch Circuit for DC and AC Small Signal

1 : ' D 1 ~ 1 v V  1 ~ 1 i I  2 ~ 2 v V  2 ~ 2 i I  1 ~ 1 v V         2 ~ 2 ' V v D ~ 2 d V 2 ~ 2 i I  ~ 1 d I        1 ~ 1 ' I i D

Linearized Dependent Voltage Source (Primary Winding of Ideal Transformer)

Linearized Dependent Current Source (Secondary Winding of Ideal Transformer)

Independent Voltage Source by Control Input d Independent Current Source by Control Input d Ideal Transformer for DC and AC small signal

~ 2 d V _~ 1 d I out C V V V₂   L I I₁  ) ( ) ( ) ( ~ ~ 2 ~ t v t v t v  C  out ) ( ) ( ~ 1 ~ t i t i  L

CCM動作昇圧型コンバータ： DC及びAC小信号の平均化回路モデル

定常状態での電流・電圧、及び小信号のコンバータの伝達関数を求めることが可能 ) ( ~ t v V_out  out C R ) ( ~ t i I_L  L

Output

1 : ' D L ~ 2 d V ~ 1 d I

Input

Averaged Switch Circuit for DC and AC Small Signal

) ( ~ t v V_in  in ₁ ~ 1 v V  1 ~ 1 i I  2 ~ 2 v V  2 ~ 2 i I  （１）DCとAC小信号の電流・電圧レベルの変換（D':1） （２）制御入力ｄ（ｔ）によるAC小信号の電圧・電流の変化

降圧型コンバータ回路

) (t v_in C v_out(t) R L i_L(t)

Input

Output

) ( 1 t v v₂(t) ) ( 1 t i i₂(t) Switch Circuit ) (t v_C ) (t d Voltage Input : ) ( ) ( , Current Inductor : ) ( ) ( ₁ 2 t i t v t v t i  _L  _in 独立入力 Voltage Diode : ) ( , Current Transistor : ) ( ₂ 1 t v t i 従属出力

CCM動作のスイッチ回路の電流・電圧波形

) ( 1 t v ) ( 1 t i t 0 s dT 0 _Ts 0 0 t s T t v₁( ) s T t i₂( ) ) ( 2 t v ) ( 2 t i t 0 s dT 0 T_s 0 0 t s T t v₂( ) s T t i₂( )



  s s T t t s T _T x d t x( ) 1 (



)



s dT _Ts dT_s s T （仮定：インダクタ電流と容量電圧のリップルは小さい） ) ( ) ( 1 t v t v  _in ) ( 2 t i s T t i₁( ) ) ( 1 t v ) ( ) ( 2 t i t i  _L

スイッチ回路の等価回路

) ( 1 t v v₂(t) ) ( 2 t i ) ( 1 t i ) ( 2 t v v₂(t) ) ( 1 t i ) ( 1 t i

Switch Circuit _{Equivalent to Switch Circuit}

) ( 2 t i ) ( 1 t v



v₂(t):Diode Voltage





i₁(t):Transistor Current



Dependent Voltage Source Dependent Current Source

独立入力： 従属出力：

i

₁

(

t

),

v

₂

(

t

)

)

(

),

(

₁ 2

t

v

t

i

スイッチ電流・電圧波形の平均化（大信号）

s s T T d t v t t v₂( )  ( ) ₁( )

従属出力の平均化

) ( 1 t v i₂(t) v₂(t) ) ( 1 t i

Equivalent to Switch Circuit

) ( 2 t i ) ( 1 t v s T t v t d( ) ₁( ) s T t i t d( ) ₂( )

Averaged Switch Circuit for Large Signal

s s T T d t i t t i₁( )  ( ) ₂( ) 従属電圧源 従属電流源 に依存 は s s T T v t t v₂( ) ₁( ) に依存 は s s T T i t t i₁( ) ₂( ) s T t v₁( ) s T t i₂( ) s T t i₁( ) s T t v₂( )

動作点での小信号線形化

) ( ) ( ) ( ~ 1 t v t V v t v _{T in T in in} s s    ) ( ) ( 2 ~ 2 2 t V v t v s T   ) ( ) ( ~ 1 1 1 t I i t i s T   ( ) ( ) ( ) ~ 2 t i t I i t i _L L T L T_s  _s   ) ( ) ( ~ t d D t d  

（波形の平均値及びデューティ比） ⇒ （動作点でのDC成分）＋（線形化された小信号）

従属電圧源（非線形小信号無視）

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ~ ~ ~ ~ ~ 2 2 v t D d t V v t D V v t V d t V _{in in in in}  _in      _        _         

従属電流源（非線形小信号無視）

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ~ ~ ~ ~ ~ 1 1 i t D d t I i t D I i t I d t I _{L L L L}  _L                        ) ( ) ( ' ~ t d D t d  

動作点での小信号線形化回路モデル

Averaged Switch Circuit for DC and AC Small Signal

D : 1 1 ~ 1 v V  1 ~ 1 i I  2 ~ 2 v V  2 ~ 2 i I  2 ~ 2 v V         1 ~ 1 v V D in V V₁  1 ~ 1 i I  ~ 2 d I        2 ~ 2 i I D

Linearized Dependent Current Source (Primary Winding of Ideal Transformer)

Linearized Dependent Voltage Source (Secondary Winding of Ideal Transformer)

Independent Voltage Source by Control Input d Independent Current Source by Control Input d Ideal Transformer for DC and AC small signal

~ 1d V ~ 2 d I L I I₂  ) ( ) ( ~ 2 ~ t i t i  L ) ( ) ( ~ 1 ~ t v t v  in ~ 1d V

CCM動作降圧型コンバータ： DC及びAC小信号の平均化回路モデル

定常状態での電流・電圧、及び小信号のコンバータの伝達関数を求めることが可能 ) ( ~ t v V_out  out C R ) ( ~ t i I_L  L

Output

D : 1 L

Input

Averaged Switch Circuit for DC and AC Small Signal

1 ~ 1 v V  1 ~ 1 i I  2 ~ 2 v V  2 ~ 2 i I  ~ 1 d V ~ 2 d I in in v V ~  （１）DCとAC小信号の電流・電圧レベルの変換（１：D） （２）制御入力ｄ（ｔ）によるAC小信号の電圧・電流の変化

伝導損失有りスイッチ回路の電圧波形（SEPIC）

D C C v V v ₁  ₂  vC1 vC2  Ron



iL1 iL2



s T t v₂( ) D V  ) ( 2 t v t 0 s dT 0 T_s トランジスタON抵抗： ダイオード順方向電圧降下： 独立入力： 従属出力：

)

(

),

(

₂ 1

t

v

t

i

)

(

),

(

₁ 2

t

v

t

i



L _T L _T





C _T C _T D



on T d t R i t i t d t v t v t V t v s s s s s      ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ) ( _{1 2 1 2} 1







C _T C _T on L _T L _T





D



T d t v t v t R i t i t d t V t v s s s s s       ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ) ( _{1 2 1 2} 2



L1 L2



on i i R  ) ( 1 t v t 0 s dT 0 T_s s T t v₁( ) D V on R 伝導損失 ・・・① ・・・②

伝導損失を含めた大信号平均化スイッチ回路（SEPIC）

) (t d R_on D V ) ( : ) ( ' t d t d



_T D



T on T _{d t} v t V t d t i t d R t v s s s    ) ( ) ( ) ( ' ) ( ) ( ) ( _{1 2} 1 s s T T i t t d t d t i ( ) ) ( ) ( ' ) ( ₁ 2  ①と②から s s s s C T T T T C t v t v t v t v ₁( )  ₂( )  ₁( )  ₂( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ₂ 1 1 t d t i t i t i s s s T T L T L   s T t v₁( ) s T t i₂( ) s T t i₁( ) s T t v₂( ) ・・・③ から ・・・④ s T t i₁( ) ③と④を①に代入して



_{T T} D



T on T R i t d t v t v t V t v s s s s     ( ) '( ) ( ) ( ) ) ( _{1 1 2} 1 s T t i₁( ) これから の左記の式を得る

スイッチング損失（CCM降圧型）

スイッチング損失（ダイオードのリバース・リカバリー） ダイオード：ON→OFF ) ( 2 t v ) ( 1 t i t 0 s dT 0 s T r t t r Q ⇒ダイオードに蓄積した電荷 の放電 Q_r Current Transistor : ) ( 1 t i トランジスタ：OFF→ON i2(t) ) ( 1 t v Voltage Diode : ) ( 2 t v （リバース・リカバリー期間 の間） tr Current Inductor : ) ( 2 t i Voltage Input : ) ( 1 t v ⇒トランジスタ電流 が増大することによる損失 i₁(t) 独立入力： 従属出力： （注）ここの は、実効デューティ比： d （トランジスタON時間）t_r

スイッチング損失を含めた大信号平均化スイッチ回路（CCM降圧型）

s r T Q s T s r _{i t} T t ) ( 2 s T t v₁( ) s T t i₂( ) s T t i₁( ) s T t v₂( ) ) ( : 1 d t





s s s s s s T T s r s r T s T r r s T s T i t d i t T t T Q t i dT t i t Q T dt t i T t i ( ) 1 ( ) 1 ₂( ) ₂( ) ₂( ) ₂( ) 0 1 1 



      s s T T d v t t v₂( )  ₁( ) Switching Loss スイッチング損失 _        s s T s r s r T sw i t T t T Q t v P ₁( ) ₂( )

スイッチング損失を含めたDC等価回路（CCM降圧型）

s r T Q 2 I T t s r in V L I 1 I out V D : 1 I2 C R L 1 V V₂

Averaged Switch Circuit

in out DV V  出力電圧 効率 平均の入力電力 平均の出力電力           ₁ I₂ DI₂ T t T Q V I V P s r s r in in in 2 2 DV I I V P_out  _out  _in s r L s r in out DT t I DT Q P P     1 1



開放 短絡、 等価回路:L  C  DC

スイッチ回路の電流・電圧波形の平均化（１）









s s s s s s in T out T in T in T out T T d t v t v t d t v t d t v t d t v t t v₁( )  ₂( ) ( )  ( )  ₃( ) ( )  1 ₁( ) ( )  ₂( ) ( ) トランジスタ電圧の平均化









s s s s s

s in T out T out T in T out T

T d t v t v t d t v t d t v t d t v t t v₂( )  ₁( ) ( )  ( )  ₃( ) ( )  ₁( ) ( )  1 ₂( ) ( ) ダイオード電圧の平均化 トランジスタ電流の平均化 ダイオード電流の平均化



s



 

pk T t t i t dt d T i q₁ s _{1 1} 2 1 ) (  



  s s s in T s s T t t s T _L v t T t d T q dt t i T t i ( ) 2 ) ( ) ( 1 ) ( 2 1 1 1 1 



  



s



 

pk T t t i t dt d T i q₂ s _{2 2} 2 1 ) (  



  s s s in T s s T t t s T _L v t T t d t d T q dt t i T t i ( ) 2 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ₂ 2 1 2 2 



  

スイッチ回路の電流・電圧波形の平均化（２）

インダクタ電圧の平均化 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) (  ₁  ₂  s s s in T out T T L t d t v t d t v t v s s T out T in t v t v t d t d ) ( ) ( ) ( ) ( ₁ 2   トランジスタ電圧の平均化 ダイオード電圧の平均化 トランジスタ電流の平均化 ダイオード電流の平均化 s s in T T v t t v₁( )  ( ) s s out T T v t t v₂( )   ( ) s s T s T _L v t T t d t i ( ) 2 ) ( ) ( ₁ 2 1 1  s s s T T s T _{v t} t v L T t d t i ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 2 1 2 1 2  を使うと以下を得る ) ( 2 t d

DCM動作の一般的な２スイッチの大信号平均化回路

) ( 1 t v _{( )} 2 t v ) ( 1 t i i₂(t) s T t v₁( ) s T t i₁( ) s T t p )( s T t v₂( ) s T t i₂( )

General Two Switch Circuit Large Signal Averaged Circuit

) (d₁ R_e

DCM動作 昇降圧型コンバータのAC等価回路モデル

d d₁  ) ( 1 t i i₂(t) ) (t v_{in C R} v_out(t) ) (t p ) (d R_{e R} V d R V P out rms e rms in av 2 , 2 , ) (   ) ( , , d R R V V M e rms in rms out   平均パワー： 入力→実効抵抗→電力源→出力（負荷） 電圧変換比 （電圧：rms値） s e T d L d R ( )  2₂

DCM動作 降圧型コンバータのDC等価回路モデル

P in V V_out ) (D R_e R in out V V M  1 I 2 I p I





out p e out in _{I V} D R V V P    ) ( 2 上式をノードAにおける電流の関係 に代入して整理すると下式を得る 1 2 I I I  _p  A R V I D R V V I out e out in    ₂ 1 , ) (





) ( 2 D R V V V I e out out in p   0 2    e e R R M R R M e R R M 4 1 1 2   

DCM動作 昇圧型コンバータのDC等価回路モデル

P in V R_e(D) R Vout 1 I 2 I



_{in out}



e in _{I V V} D R V P   ₂  2 ) ( R V I₂  out 0 2    e R R M M





( ) 2 2 D R V V V I e out in in   上式から を消去して整理すると下式を得る I₂ in out V V M  2 4 1 1 e R R M   

DCM動作２スイッチ回路の動作点での小信号等価回路の導出（１）



( ) , ( ) , ( )



)) ( ( ) ( ) ( 1 _{1 1 2} 1 f v t v t d t t d R t v t i s s s s T T e T T   → 動作点でのテイラー展開 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , ( ) ( ) ( ~ 1 1 ~ 1 2 1 ~ 2 ~ 1 ~ 1 1 ~ 2 1 2 ~ 1 1 1 ~ 2 1 1 ~ 1 1 1 2 2 1 1 t d D DR V t v D R D R V d d R D R V t d t v D R t v D R V d f t d v f t v v f t v D V V f t i I t i e e e D d e e e e D d V v V v T_s                                 ・ ) ( 1 1 D R V I e  ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ~ 1 2 ~ 1 1 ~ 1 ~ 1 v t g v t j d t r t i    ) ( 2 , 0 , ) ( 1 1 ₁ 1 1 1 DR D V j g D R r  _e   _e DC成分 AC小信号成分