解析学 - 微分方程式レジメ

解析学 - _{微分方程式レジメ}

2011

_年前期

,

_西岡

http://c-faculty.chuo-u.ac.jp/˜nishioka/

2

_号館

11

_階

21131

_号室 オフィスアワー

:

_水曜

4

_限

目次

1

_{微分方程式の一般論}

1

1.1

_{簡単な微分方程式}

. . . . 2

1.2

変数分離形

. . . . 9

1.3 1

_{階線形微分方程式}

. . . 26

2 2

階微分方程式

34 2.1

_線形従属

,

_線形独立

. . . 35

2.2 (2.2)

の特性方程式

. . . 37

2.3

特性方程式の解が異なる

2

_{実根の場合}

. . . 39

2.4

特性方程式の解が複素根の場合

. . . 42

2.5

特性方程式の解が重根の場合

. . . 46

2.6

_練習問題

. . . 50

1

_{微分方程式の一般論}

微分方程式

! "

独立変数

x

_{と 未知関数}

y(x),

_その微分

y ^! (x), y ^!! (x), · · · , y ⁽ⁿ⁾

_など の間に

,

_関係式

(1.1) F (x, y, y ^! , y ^!! , · · · , y ⁽ⁿ⁾ ) = 0

が与えられている

.

• (1.1)

_を

n

階の微分方程式 とよぶ

.

• (1.1)

を満たす

y(x)

を求めること を 微分方程式を解く と

いう

.

•

上記の

y(x)

_{を 微分方程式}

(1.1)

_{の解 とよぶ}

.

# $

– 1 –

1.1

簡単な微分方程式

一番簡単な微分方程式は

(1.2) y ^! (x) = f (x)

の形をしたものである

.

この解は

y(x) = ! x

x

0

f(t) dt + C.

ここで

,

_積分定数

C

_は

初期条件

: x = x 0

における

y(x 0 )

_の値

y 0

を指定することで決まる

.

例題

1.1 (

微分と速度

).

重力による自由落下を考える

.

重力の方程式

! "

空気抵抗を無視すると

t

_{秒後の落下速度}

v(t)

_は

(1.3) v ^! (t) = 9.8 (

_{重力の加速度}

)

の微分方程式を満たしている

^a .

aニュートンの万有引力の法則

.

# $

例題

1.2.

_初速

0

_とする

. T

_{秒後の落下速度}

v(T )

_{および落下距離}

u(T )

を求めよ

.

– 3 –

[

_解答

]

_{微分方程式}

(1.3)

_を解く

.

_初速

0

_とすると

, T

_{秒後の速度}

v(T )

_は

v(T ) = ! T

0

9.8 dt = 9.8T m/sec.

次に

,

速度の積分が落下距離になるから

, T

_{秒後の落下距離を}

u(T )

_とす れば

u(T ) = ! T 0

v(t) dt = ! T 0

9.8 t dt = 4.9 T ² m.

[

注

] 20m

落下するのに要する時間とそのときの着地速度を求める

. 20 = 4.9 · T ² ⇒ T =

"

20

4.9 = 2.020 · · · ∼ 2

_秒 約

2

_{秒で地面に着地するが}

,

_{そのときの速度は}

v #" 20 4.9

$ = 9.8 ·

"

20

4.9 = 19.799 · · · ∼ 20 m/sec = 72km/h.

衝突速度が

72km/h

だから

20m

の高さから飛び降りるのは止めた方が良 い

. #

– 5 –

例題

1.3.

_{弾丸を地上の原点}

0

_{から 角度}

θ

_{で発射した}

.

_初速度を

v 0

とす るとき

,

_{弾丸の軌跡を求める}

.

ただし空気抵抗は無視する

.

[

解答

]

前ページの図で考える

.

弾丸の運動を

y

_{軸方向の運動}

y(t)

_と

x

軸方向の運動

x(t)

_{に分解して}

,

y ^!! (t) = − 9.8, y(0) = v 0 sin θ, x ^!! (t) = 0, x(0) = v 0 cos θ

それぞれ積分して

y ^! (t) = −

! t 0

9.8 ds + v 0 sin θ = − 9.8t + v 0 sin θ

→ y(t) =

! t 0

y ^! (s) ds = − 4.9t ² + v 0 t sin θ x ^! (t) = −

! t 0

0 ds + v 0 cos θ = v 0 cos θ

→ x(t) = ! t 0

x ^! (s) ds = v 0 t cos θ

– 7 –

軌跡を求めるために

t

_{を消去して}

, y = − 4.9 x ²

(v 0 cos θ) ² + x tan θ.

5000 10 000 15 000

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

赤

: θ = 15 ^◦ ,

紫

: θ = 30 ^◦ ,

橙

: θ = 45 ^◦ ,

青

: θ = 60 ^◦ ,

緑

: θ = 75 ^◦ .

1.2

_{変数分離形}

次の形の微分方程式を変数分離形 という

.

(1.4) y ^! (x) = f(x) g(y(x))

変数分離形の解法

! "

命題

1.4.

_{変数分離形}

(1.4)

の解は次で与えられる

.

! 1

g(y) dy = !

f (x) dx

# $

[

証明

] (1.4)

の両辺を

g(x)

_{で割って積分する}

.

!

f (x) dx = ! 1

g(y(x)) y ^! (x) dx = ! 1 g(y) dy.

ここで最後の等式は

,

積分の変数変換を使った

. !

– 9 –

( ∗ )

変数分離形の微分方程式は既に扱っている

.

例題

1.5 (

_{年代測定法}

-

_炭素

14

_{崩壊の方程式}

).

_時刻

t

_での量

W (t)

_の 炭素

14

_{があるとする}

.

_{すると 時刻}

t → t + ∆t

_{と時間が経過したとき}

,

_炭 素

14

の変化量を

∆W (t) ≡ W (t + ∆t) − W(t)

とおく

(

_{この場合は減少}

).

Step 1.

_次の原理

(

_単純

!)

_から

W (t)

_を求める

.

元の量

W(t)

_{が大きいほど変化量}

∆W (t)

_も大きい

. (1.5)

経過時間

∆t

_{が多いほど}

,

_変化量

∆W(t)

_は大きい

. (1.6)

この原理を数式で表す

. λ

_{をある定数として}

,

(1.7) ∆W (t) = W (t + ∆t) − W(t) = − λ W (t) ∆t

両辺を

∆t

_で割って

, ∆t → 0

_とする

:

原理

(1.5), (1.6)

から導かれた微分方程式

W ^! (t) = lim

∆t → 0

W (t + ∆t) − W(t)

∆t = − λ W (t).

(1.8)

つまり 変数分離形の微分方程式

W ^! (t) = − λ W(t), λ > 0

_は定数

. Step 2. (1.8)

の両辺を

W (t)

_で割る

: W ^! (t)

W(t) = − λ.

この両辺を積分する

. c

_{を積分定数として}

, log %

%W(t) % % = ! W ^! (t)

W (t) dt = − λ

!

dt = − λ t + c.

→ W (t) = e ^{− λt+c} = e ^{− λt} e ^c = A e ^{− λ t} . (A ≡ e ^c ).

(1.9)

 

– 11 –

例題

1.6.

「重力による落下」で空気抵抗を考慮すると

,

_{変数分離形の微} 分方程式が現れる

.

物体の運動では「粘性抵抗」と「慣性抵抗」がある

. I.

大気中の自由落下

大気は粘性が小さいので

,

慣性抵抗のみを考慮すればよい

:

m V ^! (t) = m g − k V ² (t), g = 9.8m ² /sec, k =

_{空気抵抗係数}

.

以後

,

簡単のため「

m = 1

_」とする

.

(1.10) V ^! (t) = g − k V ² (t), k =

_{空気抵抗係数}

.

Step 1.

まず因数分解を行う

: g − k V ² (t) = & √ g + √

k V (t) '& √ g − √

k V (t) ' .

これを使うと

,

V ^! (t)

g − k V ² (t) = V ^! (t)

& √ g + √

k V (t) '& √ g − √

k V (t) '

= 1

2 √ g

( V ^! (t)

√ g + √

k V (t) + V ^! (t)

√ g − √ k V (t)

)

– 13 –

Step 2. (1.10)

_の両辺を

g − k V ² (t)

_で割って

,

_積分する

. 1

2 √ g k

( log % % √ g + √

k V (t) % % − log % % √ g − √

k V (t) % % )

= ! V ^! (t)

g − k V ² (t) dt = !

dt = t + c.

→ V (t) =

"

g k

exp { √

g k t } − 1 exp { √

g k t } + 1 .

g = 9.8m/sec ² , k

_{は空気抵抗係数}

.

II.

流体の粘性が高い場合

(

大気中では起こらない

)

海水中の自由落下がこれに当てはまる

.

このとき「粘性抵抗」のみを考慮 すればよい

.

m V ^! (t) = m g − r V (t), g = 9.8m/sec ² , r =

_粘性抵抗

– 15 –

この微分方程式の両辺を

g − r V (t)

_で割って

,

_積分する

:

− 1

r log % % g − r V (t) % % = !

V ^! (t) g − r V (t) dt

=

!

dt = t + c.

→ g − r V (t) = exp {− r t − c }

→ V (t) = 1 r g &

1 − exp {− r t } '

ただし

V (0) = 0

_とした

.

( ∗ )

粘性の高い流体中の自由落下で

,

速度

(

縦軸

, m/sec)

と 時間

(

横軸

, sec)

の関係をグラフ化

(

黄線

)

した

.

比較のため

,

前項「空気抵抗のない自 由落下」

(

_青線

)

_も描く

.

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

2 4 6 8 10 12 14

図

1.1

粘性の高い流体中の自由落下

r = 2

_{としたグラフ}

.

落下速度は

, 5m/sec

_{以上に増えない}

. #

– 17 –

例題

1.7 (

_{金利の計算}

). Step 1.

_{ネイピア数の復習}

(i)

_年利

r

_で

A

_円借りる

. → t

_{年後の借入額は}

(1 + r) ^t A.

(ii)

_月利

r/12 A

_円借りる

. → t

_{年後の借入額は}

(1 + r/12) ^12t A.

(iii)

日利

r/365

_で

A

円借りる

. → t

_{年後の借入額は}

(1 + r

365 ) ^{365 t} A.

(iv)

年を

n

_{期に分割し}

,

各期の利率

r/n

_で

A

円借りる

. → t

_年後の借 入額は

(1 + r n ) ^{n t} .

(v)

上で

n → ∞

とする

(

年利

r

_{に相当する 瞬間利率}

)

と

(1.11) lim

n →∞ (1 + r

n ) ^{n t} A = e ^{r t} A.

(vi)

時刻

t

_{での 借入額 を}

V (t)

_とおく

. (1.11)

に現れる

V (t)

_が満たす 微分方程式

(

変数分離形

!)

は次の通り

:

V ^! (t) = r e ^{r t} A = r V (t).

– 19 –

つぎの問題も微分方程式を使った方が分かり易い

例題

1.8.

_利率

r

_で

B

_{円借り入れた}

.

_借り入れ

1

_{年目から毎年}

K

_円返 済する

.

_{何年で完済できるか}

?

例題

1.8

_で

,

_時刻

t

_{での借入金残高を}

A(t)

_とする

. A(t)

_{の満たす微分方} 程式を作れ

.

ヒント

:

「年利

r

に相当する瞬間利率」を使う

.

時刻

t

_{での借入額}

V

_は

,

∆t

_{時間経つと}

, e ^{r ∆t} V

_になる

.

_つまり

,

_時刻

t

_から

t + ∆t

_{までの借入金} の増分は

e ^{r ∆t} V − V = *

e ^{r ∆t} − 1 + V

一方

∆t

_時間毎に

K ∆t

_円返済

(1

年で

K

_円

)

する

.

[

解答

]

時刻

t → t + ∆t

_{と経ったとき}

,

借入金残高の変化は

A(t + ∆t) − A(t) = *

e ^{r ∆t} − 1 +

A(t) − K ∆t.

両辺を

∆t

_で割り

, ∆t → 0

_と考える

. A(t + ∆t) − A(t)

∆t → A ^! (t), e ^{r ∆t} − 1

∆t → r,

だから変数分離形の微分方程式が得られる

: (1.12) A ^! (t) = r A(t) − K = r *

A(t) − K r

+ .

問題

1.9. (i)

_{微分方程式}

(1.12)

_を解け

.

_ただし

A(0) = B

_とする

. (ii)

完済するまでの時間

T

_を求めよ

. #

– 21 –

[

問題

1.9

解答

] (i) (1.12)

の両辺を

A(t) − K

r

^で割る

: A ^! (t)

A(t) − K/r = r.

両辺を積分して

(

ヒント

:

! f ^! (x)

f(x) dx = log % % f (x) % % + C ), log %

%A(t) − K r

% % = r t + c. → A(t) = K

r + C e ^{r t} , C = e ^c . A(0) = B

_だから

, t = 0

_{を代入して}

,

B = A(0) = K

r + C → C = B − K r .

つまり

(1.13) A(t) = K

r + &

B − K r

' e ^{r t} .

(ii)

完済の時刻を

T

_とすると

0 = A(T ) = K

r + &

B − K r

' e ^{r T} .

⇒ e ^{r T} = K/r

K/r − B = K

K − B r .

⇒ T = 1

r log K K − B r . (1.14)

注

: B − K

r < 0 ⇔ K > B r

_{で無ければ}

,

借入金は返済できない

. ( ∗ )

_「借入金

1000

_万

,

毎年の返済額

100

_{万」として}

,

利率

r

_が

0.01 ≤ r ≤ 0.09

と変化したときに完済までの時間がどう変化するか

? (1.14)

で

B = 1000, K = 100

_を代入し

,

T = 1

r log 1 1 − 10 r .

– 23 –

0.02 0.04 0.06 0.08

5 10 15 20 25

利率

r = 1%

_では約

10.6

_{年で完済できるが}

, r = 4%

_なら

12.8

_年

, r = 8%

_なら

20.1

_{年もかかる}

.

( ∗ )

_厳密には

,

年利

ρ

_のとき

, (1.14)

の

r

_として

r ≡ log(1 + ρ)

と換算しなければならない

.

_ところが

, 0.01 ≤ ρ ≤ 0.09

_{の範囲では}

, ρ (

_青 線

)

と

log(1 + ρ) (

赤線

)

の差は無視できるほど小さい

.

0.02 0.04 0.06 0.08

0.02 0.04 0.06 0.08

– 25 –

1.3 1

階線形微分方程式

線形

1

階微分方程式

! "

x

_の関数

P (x), Q(x)

_{が与えられたとき}

, (1.15) y ^! (x) + P(x) y(x) = Q(x)

の解法を考える

.

# $

問題

1.10.

_{次の微分を求めよ}

# y(x) exp {

!

P (x) dx } $ _!

.

[

問題

1.10

解答

]

まず合成関数の微分公式より

# exp {

!

P (x) dx } $ _!

= P (x) exp {

!

P (x) dx } .

つぎに積の微分公式より

# y(x) exp {

!

P (x) dx } $ _!

= y ^! (x) exp {

!

P (x) dx } + y(x) # exp {

!

P (x) dx } $ _!

= y ^! (x) exp {

!

P (x) dx } + y(x) P (x) exp {

!

P (x) dx }

= exp {

!

P(x) dx } #

y ^! (x) + P (x) y(x) $ . !

– 27 –

問題

1.11.

_{次を計算せよ}

exp {−

!

P (x) dx } #

y(x) exp {

!

P (x) dx } $ _! .

[

_問題

1.11

_解答

]

_問題

1.10

_より

exp {−

!

P (x) dx } #

y(x) exp {

!

P (x) dx } $ _!

= exp {−

!

P (x) dx } exp {

!

P(x) dx } #

y ^! (x) + P (x) y(x) $

= y ^! (x) + P(x) y(x).

1

階線形微分方程式の解

! "

問題

1.12.

_微分方式

(1.15)

y ^! (x) + P(x) y(x) = Q(x)

の一般解を求めよ

.

# $

[

問題

1.12

解答

]

問題

1.11

より

exp {−

!

P (x) dx } #

y(x) exp {

!

P (x) dx } $ _!

= y ^! (x) + P (x) y(x) = Q(x)

だから

#

y(x) exp {

!

P (x) dx } $ _!

= exp {

!

P (x) } Q(x).

– 29 –

この両辺を積分して

y(x) exp {

!

P (x) dx } = ! #

y(x) exp {

!

P(x) dx } $ _! dx

= ! dx #

exp {

!

P (x) } Q(x) $ + C

よって 一般解は以下の通り

:

y(x) = C exp {−

!

P(x) dx } + + exp {−

!

P (x) dx }

! dx #

exp {

!

P (x) dx } Q(x) $

. !

1

階線形微分方程式の解

! "

命題

1.13. x

_の関数

P (x), Q(x)

_{が与えられたとき}

, 1

_{階線形微分方} 程式

y ^! (x) + P (x) y(x) = Q(x)

の一般解は

,

_{以下である}

:

y(x) = C exp {−

!

P (x) dx } + + exp {−

!

P(x) dx } · ! # exp {

!

P(x) dx } Q(x) $ dx.

# $

問題

1.14. a

_{を定数とする}

.

次の微分方程式の一般解を求めよ

.

y ^! (t) + a y(t) = cos t.

_{減衰項のある強制振動}

. #

– 31 –

[

_問題

1.14

_解答

]

_{前命題の解法より}

y ^! (t) + a y(t) = e ^{− at} #

e ^at y(t) $ _!

= cos t.

だから

#

e ^at y(t) $ _!

= e ^at cos t.

両辺を積分すると

e ^at y(t) = C + !

e ^at cos t dt

= C + e ^at sin t + a cos t 1 + a ² .

よって 

y(t) = C e ^{− at} + sin t + a cos t 1 + a ² .

2 4 6 8 10 12 14

!0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

減衰項

− a y(t) (mass dumper)

があるので

, cos t

_{とは異なる運動をする}

.

上図の

y(0) = 12/5, a = 2

_では

y(t) = 2e ^{− 2x} + sin t + 2 cos t

5 = 2e ^{− 2x} + 1

√ 5 cos(t − α), α , 0.463 !

– 33 –

2 2

_{階微分方程式}

多くの興味深い現象は

2

階常微分方程式で記述される

. (2.1) y ^!! (t) = F (y ^! (t), y(t), t).

• u(t) ≡ y ^! (t)

_とおけば

, (2.1)

_は連立

1

階微分方程式に変換できる

: , y ^! (t) = u(t),

u ^! (t) = F (u(t), y(t), t)

•

一般的な

2

階常微分方程式

(2.1)

の解法はない

.

•

関数

F

_{の形により}

,

様々な工夫が必要になる

.

•

ここでは以下のものだけを扱う

: b, c

_{を定数とし}

(2.2) y ^!! (t) + b y ^! (t) + c y(t) = 0

2.1

_線形従属

,

_線形独立

命題

2.1. y 1 (t), y 2 (t)

_を

(2.2)

_{の解とする}

.

_定数

c 1 , c 2

にたいし

, Y (t) ≡ c 1 y 1 (t) + c 2 y 2 (t)

は

(2.2)

_{の解である}

. [

_証明

]

_{実際に計算する}

:

Y

^!!

(t) + b Y

^!

(t) + c Y (t) = `

c

1

y

^!!1

(t) + c

2

y

2^!!

(t) ´ + +b `

c

1

y

^!1

(t) + c

2

y

^!2

(t) ´ + c `

c

1

y

1

(t) + c

2

y

2

(t) ´

= c

1

` y

^!!₁

(t) + b y

^!₁

(t) + c y

1

(t) ´ + c

2

` y

₂^!!

(t) + b y

₂^!

(t) + c y

2

(t) ´

= c

1

· 0 + c

2

· 0 = 0. !

– 35 –

線形従属

,

_線形独立

! "

定義

2.2.

関数

f, g

_{にたいし ある定数}

C

_があって

, f (t) = C g(t), ∀ t

となるとき

, f

_と

g

_{は線形従属という}

.

(ii)

関数

f , g

_{が線形従属でないとき}

,

線形独立という

.

# $

•

解

Y (t)

に何らかの制限を加えた時だけ

,

微分方程式

(2.2)

の解は一意 になる

.

•

制限の例としては

,

_定数

α, β

_にたいし

Y (0) = α, Y ^! (0) = β .

_初期条件

2.2 (2.2)

_{の特性方程式}

まず

(2.3)

ある定数

k

_があり

y(t) = e ^{k t}

と思う

.

これを

(2.2)

に代入

:

k ² e ^{k t} + b k e ^{k t} + c e ^{k t} = e ^{k t} #

k ² + b k + c $

= 0.

特性方程式

! "

定義

2.3.

_{代数方程式}

(2.4) k ² + b k + c = 0

は

(2.2)

_{の特性方程式という}

.

# $

– 37 –

•

特性方程式

(2.4)

の解は簡単に求められる

: (2.5) k ₁ ≡ − b − √

b ² − 4c

2 , k ₂ ≡ − b + √ b ² − 4c

2 .

•

微分方程式

(2.2)

は以下の

3

種類に分類できる

:

1.

_{特性方程式}

(2.4)

_の解

k 1 , k 2

が異なる実根

, i. e. b ² − 4c > 0.

2. k ₁ , k ₂

_{が異なる複素根}

, i. e. b ² − 4c < 0.

3. k 1 = k 2 , i. e. b ² − 4c = 0.

2.3

特性方程式の解が異なる

2

_{実根の場合}

k 1 , k 2

を特性方程式

k ² + b k + c = 0

の相異なる

2

実根とする

.

このとき

y 1 (t) ≡ e ^k

¹

^t , y 2 (t) ≡ e ^k

²

^t

は

(2.2)

線形独立な解

.

⇒

Y (t) ≡ c 1 e ^k

¹

^t + c 2 e ^k

²

^t

が 初期条件を満たすように

,

定数

c 1 , c 2

を決めればよい

.

– 39 –

例題

2.4.

y ^!! (t) + y ^! (t) − 2y(t) = 0, y(0) = 0, y ^! (0) = 1.

この特性方程式は

0 = k ² + k − 2 = (k − 1)(k + 2) ⇒ k 1 = − 1, k 2 = 2

これより

Y (t) ≡ c 1 e ^{− t} + c 2 e ^{2 t}

が解なので

,

初期条件

0 = Y (0) = c 1 + c 2 , 1 = Y ^! (0) = − c 1 + 2c 2

を満たすように

c 1 , c 2

を決める

. c 1 = − 1

3 , c 2 = 1

3 ⇒ Y (t) = 1 3

# − e ^{− t} + e ^{2 t} $ . #

1 2 3 4 5 6

10 000 20 000 30 000 40 000 50 000

– 41 –

2.4

特性方程式の解が複素根の場合

k 1 , k 2

を特性方程式

k ² + b k + c = 0

の相異なる

2

_{複素根とする}

.

_このとき

y 1 (t) ≡ e ^k

¹

^t , y 2 (t) ≡ e ^k

²

^t

は

(2.2)

_{線形独立な解}

. ⇒ Y (t) ≡ c ₁ e ^k

¹

^t + c ₂ e ^k

²

^t

_は

(2.2)

_の解

.

ところが

, Y (t)

_{は複素関数で}

,

解としては実関数が欲しい

.

そこで

,

p ≡ − b

2 , q ≡

√ 4c − b ² 2

とおけば

, k 1 = p − q i, k 2 = p + q i.

⇒ k 1

が複素数のとき

, e ^k

¹

^t

_{は何を意味する}

? ⇒

オイラーの等式

.

オイラーの等式

(

基礎数学

II )

! "

e ^k

¹

^t = e ^{(p − q i)t} = e ^{p t} e ^{− i q t} = e ^{p t} #

cos q t − i sin q t $ , e ^k

²

^t = e ^{(p+q i)t} = e ^{p t} e ^{i q t} = e ^{p t} #

cos q t + i sin q t $ .

# $

これはどちらも

(2.2)

_{の解だから}

y 1 (t) ≡ e ^k

¹

^t + e ^k

²

^t

2 = e ^{p t} cos q t, y 2 (t) ≡ e ^k

¹

^t − e ^k

²

^t

2 i = e ^{p t} sin q t.

も

(2.2)

_{の線形独立な解}

(

_実関数

!).

_よって

(2.2)

_{の一般解は}

Y (t) ≡ e ^{p t} #

c 1 cos q t + c 2 sin q t $ .

– 43 –

例題

2.5.

y ^!! (t) + 2y ^! (t) + 5y(t) = 0, y(0) = 0, y ^! (0) = 1.

この特性方程式は

0 = k ² + 2k + 5 = &

k − ( − 1 + 2 i) '&

k + ( − 1 − 2 i) '

⇒ p = − 1, q = 2.

これより

Y (t) ≡ e ^{− t} #

c 1 cos 2t + c 2 sin 2t $

が解なので

,

初期条件を満たすように

c 1 , c 2

を決める

.

0 = Y (0) = c 1 , 1 = Y ^! (0) = − e ^{− t} #

c 1 cos 2t + c 2 sin 2t $%% %

t=0

+e ^{− t} #

− 2c 1 sin 2t + 2c 2 cos 2t $%% %

c 1 = 0, c 2 = 1

2 ⇒ Y (t) = 1

2 e ^{− t} sin 2t. #

1 2 3 4 5 6

!0.05 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

– 45 –

2.5

特性方程式の解が重根の場合

特性方程式

k ² + b k + c = 0

が重根をもつとき

,

b ² − 4c = 0 ⇒ k 1 = k 2 = − b 2 ≡ k.

つまり

y 1 (t) ≡ e ^{k t}

_{は 微分方程式}

(2.2)

の解だが

,

それと 線形独立な別の 解

y 2 (t)

_{が必要である}

.

別の線形独立な解

! "

補題

2.6. b ² − 4c = 0

_のとき

,

y 2 (t) ≡ t e ^{k t}

は 微分方程式

(2.2)

の解

.

# $

[

補題の証明

] y 2 (t)

_を

(2.2)

に代入する

: y ₂ ^!! (t) + b y ^! ₂ (t) + c y 2 (t) = &

2k + k ² t '

e ^{k t} + b &

1 + kt '

e ^{k t} + c te ^{k t}

= e ^{k t} #

(k ² + b k + c) t + 2k + b $

= e ^{k t} #

2k + b $

= e ^{k t} # 2 · − b

2 + b $

= 0. !

•

線形独立な解

y 1 (t), y 2 (t)

_{が得られた}

. ⇒ Y (t) ≡ c 1 e ^{k t} + c 2 t e ^{k t}

が 初期条件を満たすように

,

定数

c 1 , c 2

を決めればよい

.

– 47 –

例題

2.7.

y ^!! (t) + 2y ^! (t) + y(t) = 0, y(0) = 0, y ^! (0) = 1.

この特性方程式は

0 = k ² + 2k + 1 = &

k + 1 ' 2

⇒ k = − 1.

これより

Y (t) ≡ e ^{− t} #

c 1 + c 2 t $

が解なので

,

初期条件を満たすように

c 1 , c 2

を決める

.

0 = Y (0) = c 1 , 1 = Y ^! (0) = − e ^{− t} #

c 1 + c 2 t $%% %

t=0 + e ^{− t} c 2

% %

% t=0 = − c 1 + c 2 .

⇒ c 1 = 0, c 2 = 1 ⇒ Y (t) = e ^{− t} t. #

1 2 3 4 5 6

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35

– 49 –

2.6

練習問題

問題

2.8.

次の微分方程式を解け

.

(i) y ^!! (t) + y ^! (t) − 2y(t) = 0, y(0) = 0, y ^! (0) = 2.

(ii) y ^!! (t) + y(t) = 0, y(0) = 10, y ^! (0) = 5.

(iii) y ^!! (t) + 4y ^! (t) + 20y(t) = 0, y(0) = 0, y ^! (0) = 3.

(iv) y ^!! (t) + 6y ^! (t) + 9y(t) = 0, y(0) = − 6, y ^! (0) = 4.

問題

2.9.

次の微分方程式の一般解を求めよ

. (i) y ^!!! (t) + 2y ^!! (t) − y ^! (t) − 2y(t) = 0.

(ii) y ^!!! (t) + 3y ^!! (t) + 3y ^! (t) + y(t) = 0.

問題

2.10. b, c > 0

_{であるとき}

,

微分方程式

y ^!! (t) + b y ^! (t) + c y(t) = 0

の解

y(t)

_にたいし

, lim t →∞ y(t) = 0

_{となることを証明せよ}

.

– 51 –