マクスウェル方程式から始める講義

マクスウェル方程式から始める講義

― 実践ガイドと講義ノート ―

小宮山進 竹川敦 2017 年６月

本書の出版時に「本書で講義を考える先生方へ」を“サポート情報”に おさめました．出版後 1 年半経ち，講義実践の方法について，小宮山が 実践してきた講義の実例をもとに，さらに具体的な講義方法の指針を記 すことにしました．本サポート情報に再録する "本書で講義を考える 先生方へ" および参考文献①「マクスウェル方程式から始める電磁気 学,大学の物理教育 22（2016)79」とともに参考にしていただければ幸い です

．

目次 1．はじめに

2．留意すべき基本事項

2-1 マクスウェル方程式を提示するための前置きと準備 2-2 電磁量の明確な定義と，電場

と磁場

^の導入 2-3 マクスウェル方程式を

^，

^，

^，

^{で記述する} 3．実際の講義

１回目講義 （講義ノート，内容まとめ，意図と留意点）

2,3 回目講義 （講義ノート，内容まとめ，意図と留意点）

4．まとめ

１．はじめに

マクスウェル方程式から始める講義方法は，現在まだ多数派の標準的やり方にはなっていません が，今後，その意味が理解されて広まっていくでしょう．しかし現在は，マクスウェル方程式から 始める講義方法の方が優れていることを論理で理解しても，観測事実から出発する従来の伝統的な 教授法への心理的愛着を強く持つ先生方が，まだまだ多いと思われます．重要なことは，少数では あっても問題意識をもつ先生方が，マクスウェル方程式から始める良い授業を行って，学生が電磁 気学をよりよく理解できるようにすることです．そうすれば，学生からの支持と賛同が広がって，

新たな講義法の環が着実に拡大してゆくにちがいありません．

マクスウェル方程式から始める授業をおこなう場合，基本線としては本書に従って講義を進めて いただければ良いのですが，教育現場の違いや教師自身の考え方に応じて，内容を適宜補強・圧縮 したり，変更したりすることが当然あるでしょう．その際，先生ご自身がおそらく学生時代にマク スウェル方程式から始める授業を受けた経験がなく，また，世の中でマクスウェル方程式から始め る講義が広く行われていないことから，参考となる実践例を近くで見ることもできないと思われま す．そこで，その際の指針や留意点を含めて，先生方の講義の実践に参考となるよう，講義ノート の公開も含めて本稿を用意します．

2．留意すべき基本事項

クーロンの法則からはじめる伝統的な教授法は，電磁気学が如何に大変な（難しい）学問である かを，歴史的な発展過程での先人たちの試行錯誤を示すことで伝えようとする面があります，背後 にあるのは，「科学発展の過程を，疑似的にでも体験的に教えるのが教育的である（本サポート情 報 "なぜマクスウェル方程式から始めるのか" §４④）」という考えです．一方で，私たちが進め ようとしているマクスウェル方程式から始める教授法の考え方は正反対です．先人たちの努力の結 果完成した電磁気学は，他に類が無いほど首尾一貫した理論体系であり，この理論体系を，そのま ま明晰に，曖昧さなく，スッキリと学生に伝達することを目指します．完成した電磁気学を学ぼう とする学生が出会う困難は，電磁気学の歴史的発展過程で先人が出会った困難とは全く別ものです．

後者を教えることで前者の役に立つ，ということは普通ありません．電磁気学の初等教育の務めは，

学生に（既に完成した）電磁気学とは何かを教えることです．たしかに，どんな科学の発展も予定 調和的に進展することは無く試行錯誤の連続で進みます．その過程を知ることは科学史の観点から は重要ですが，それを学ぶのは，学生が学問を把握した後にすべきことであり，それ以前に試みる べきことではありません．

マクスウェル方程式から始める講義を行おうとする先生方も，学生時代にはクーロンの法則から

始める伝統的な教授法で電磁気学を学び，多くの場合，教師になってからも，自ら伝統的な教授法

で授業を行ってこられたと思います．そのため，上記した伝統的な教授法の考え方が，無意識に先

生方の頭の中に入り込んでいるのではないでしょうか．マクスウェル方程式から始める講義は，そ

もそも教えようとする基本的な考え方が異なることを意識する必要があるでしょう．今までの講義

の枠内で，ただ安易にマクスウェル方程式を授業の最初に示すだけでは，木に竹を接いだような中

途半端な授業に終わる危険性が高くなります．先生方御自身が電磁気学の論理体系をいったん把握

し直し，その次に，それをどうやって学生に伝えるかを自ら考えを整理することが望ましいと思わ れます．

2-1 マクスウェル方程式を提示するための前置きと準備

比較的単純な具体的注意点として，マクスウェル方程式を学生に示す際に，事前にしかるべき準 備と前置きが必要なことがあります．電磁気学の授業のどこがわかりづらいのかを，電気工学系大 学院生が，学部時代を振り返って語りあう記事があります． （「匿名座談会「電磁気学の授業って，

分かった？」学生 A，学生 B，学生 C,:電気学会誌 126, 682 (2006)<https://www.jstage.jst.go.

jp/article/ieejjournal/126/10/126_10_682/_pdf>）その冒頭で「大学の教養の電磁気学で，いき なりマックスウェルの方程式を書かれたのにはまいったなあ。こっちは大学に入ったばかりで微分 方程式だってよく分からないのに，いきなり div と rot だよ」という発言があります．マクスウ ェル方程式から始めるやり方が如何に優れているにしても，前置き無しに，いきなりマクスウェル 方程式を書き下して示すようなことでは，学生には何も伝わりません．学生に講義で何かを伝えよ うとする時には常にそうですが，なぜ伝えたいのかをまず説明して学生の動機付けを行い，そのた めに教師側も十分な準備を行うことが大切です．マクスウェル方程式を提示する前には，

・これから始める 1 学期間の電磁気学の講義で理解しようとする現象とは一体どんなものなの か，（電荷，電流，電場，磁場の導入を含む）

・それらの現象が現在の社会の産業や基礎科学にどれほど大切なのか，

・それらを完全に説明するマクスウェル方程式と言われる 4 つの式がある，

・マクスウェル方程式を書き下すために数学が必要である，

といった事柄について，ある程度丁寧な前置きと，必要な数学の準備が必要です．前置きとして実 際どんな内容を含め，準備にどの程度時間をかけるのかは，教育現場に応じた教師の判断になるで しょう．

2-2 電磁量の明確な定義と，電場

と磁場

の導入

講義に出てくる基本的な電磁量(即ち電磁気学の物理量)をそのつどきちんと定義して性質を説 明することが重要です．あまりにも当たり前すぎてばかばかしく聞こえますが，伝統的な教授法で は，講義の最後にならないと電磁気学の全体像が示されないために，最終段階に到達するまでさま ざまな電磁量の最終的な意味を明確に説明することができません．そのため論理の曖昧さが構造上 避けられず，学生の理解の障害になる面がありました．ところが，マクスウェル方程式から始める やり方にはその欠陥はありませんから，電磁量の意味を細部にわたって常に明確にすることが可能 です．実際に明確さを保つよう，不必要な曖昧さが混じらないよう，細心の注意を払うことが重要 です．

特に，マクスウェル方程式を書き下す際には，同時または事前に，現れる物理量（

，

，

，

）の意味を学生に明快に説明しておく必要があります．この，あまりにも当たり前の原則が守ら

れないことが意外に多いように思われます．用いる物理量が何かを明確にしないままにマクスウェ

ル方程式を書き下したのでは，後戻りしないと論理がたどれないことになり，そのようなやり方が

学生にとって大変な重荷になり理解を難しくします．伝統的な教授法による多くの教科書では，電

場をクーロンの法則から導きますが，これは好ましくありません．クーロン力の原因が電場である

ことには何の疑いもありませんが，マクスウェル方程式に現れる電場は，時間変化がある場合を含 む（ベクトルポテンシャルの時間変化率を加えた）一般的な電場だからです．クーロン力から導か れる，静電気でしか正しくない電場を使ったのでは，せっかくマクスウェル方程式の意味が曖昧に なります．そんな小さな一つ一つが学生（特に優秀な学生）を混乱させるのです．それを避けるた めに，電場と磁場は本書の§１，および本稿§3 実際の講義「1 回目の講義内容」の通り，電荷に 対してローレンツ力

をもたらす原因として定義すべきです．

電場

^と磁場

の導入は極めて重要なので，以下でさらに詳しく説明します．マクスウェル方 程式は電荷密度

,電流密度

と 電場

^{, 磁場}

の間の関係を与えるものですが，そこでの電場

^と磁場

^{は，ローレンツ力}

で定義される量です．そのことを，マクスウェル 方程式を示す際に，明らかにしなければなりません． （ちなみに，

は磁束密度とも呼ばれますが，

私たちは

を基本量とし

を副次的な場として扱い，

を磁場と呼びます．）なぜそれが重要か について，より詳しく説明します．歴史的には，電場は電荷がつくる力（クーロンの法則）から最 初に導かれ，磁場は，磁石や電流に起因する（動く電荷に対する）力から導かれました．そのため，

伝統的な教授法では，電場，磁場とは何かの問いに対して，どうやってそれが生じるのか（生成原 因）で学生に説明しようとする傾向があるようです．時間変化がない場合には，たしかに電場は電 荷がつくり，磁場は電流がつくるので，それが電場，磁場のイメージをつくるのに役立つでしょう．

しかし，時間変化がある一般の場合には，複雑になってイメージをつくるのに役立たなくなります．

つまり，一般的にはジェフィメンコ方程式（本書 p.246,13.24 式）を念頭にせざるを得ず，電場を つくる源は電荷だけでなく電荷の時間変化と電流の時間変化を加えた 3 要素であり，磁場をつくる 源は電流だけでなく電流の時間変化を加えた 2 要素になります．これでは，電場，磁場とは何かを イメージする上でたいして役に立ちません．それどころか，ジェフィメンコ方程式はマクスウェル 方程式そのものと等価ですから，結局，「電場，磁場はマクスウェル方程式が定める量である」と 言う他なくなってしまいます．ということで，マクスウェル方程式に出てくる電場と磁場とは何か を，発生原因に結び付けて説明しようとしても，結局うまくゆきません．歴史的には，静止した点 電荷の周りに生じるクーロン力から，

^{を通して電場}

の概念が導かれました．そのこと が「電場は電荷がつくる」という認識をもたらすのですが，時間変化がある場合にはその認識を拡 張すると，一挙に複雑になってしまうのです．ただしここで重要なことは，「時間変化があろうが なかろうが，どんな状況下でどんな原因で生じたものであっても，とにかく，ある場所に置いた電 荷

に力

が働くとき，その場所には

^{できまる電場}

」が存在するのです．－－ と いうより，

^が電場

の定義なのです．磁場に対しても同様です．電場

^，磁場

^とは何 かについての一般的な説明は以下の通りです．

～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

電場

^も磁場

も様々な原因で生じる．

・どんな原因で生じようと，電場

^は電荷

に及ぼす力

^{から求められる．}

・どんな原因で生じようと，磁場

^は速度

の電荷

に及ぼす力

^{から求められる.}

～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

注）ここでは触れないが，磁場による力

^{は，電場による力}

^{から，マクス}

ウェル方程式と慣性系の同等性を用いて導かれるので，

^と

^{は独立ではな}

い．しかしここでは議論しない．

つまり，

^が電場

^と磁場

の定義であり，そのように定義された電場

^と磁場

が満たすのがマクスウェル方程式なのです．

2-3 マクスウェル方程式を

で記述する

最初に示すマクスウェル方程式は，本書で行っているように

^，

^，

^，

^{の 4 つの物理を用} いた表式にすべきでしょう．このマクスウェル方程式は，真空中であろうが物質中であろうが，一 般的に成り立つ最も基本的な式です．この式に表れる物理量の

^と

は直接的に説明する事ができ．

また

と

については前節に記したように電荷に働くローレンツ力の原因として曖昧さなく定義 されます．

S V

0

C S

S 2

C S S

0

1

0 1

dS dV

d d dS

dt dS

c d dS d dS

dt

 



 

   

 

    

 

 



  

E n

E r B n

B n

B r j n B n

一方で，

，

，

，

，

，

の 6 つの物理量を用いて

S V

C S

S

C S S

0

dS dV

d d dS

dt dS

d dS d dS

dt



 

   

 

    

 

 



  

自由

伝導

D n

E r B n

B n

H r j n D n

を最初に示すのは避けるべきです．把握すべき物理量が４個から６個に増えることは単純に学習者

の負担を増やしますが，それ以上に，

^，

^，

^，

の意味を説明するためには，

^と

^，

^と

の違いや，分極ベクトル

^{や磁化ベクトル}

の定義をはじめ，物質の立ち入った議論が

必要だからです．それらの説明をはしょってマクスウェル方程式を書き下し，後の方で追い追い説

明するやり方は，大きな混乱をもたらすので厳に慎むべきです．

，

^，

，

だけで基本法則

を表せる以上，より複雑な

^,

^,

^,

^,

^,

による表式を最初に示す理由はありません．

3．実際の講義

小宮山が東大の理工系1年生に行った講義（1学期:90分×14回）に基づいて記します．マクスウ ェル方程式から始めるといっても．§2-1で述べたように，電磁気学で理解しようとする現象が実 際にどんなものなのかを，学生があらかじめ知っていることは重要です．ここでの授業では学生が 高校時代に電磁気学既習のクラスだったために，特に電磁気学の諸現象を事前には解説しませんで したが，高校で電磁気を未履修の学生や，電気や磁気にもともとなじみが薄い学生に対しての場合 は，授業を始める前に電磁気の諸現象を理論解釈抜きに説明し，電磁気学で理解しようとする現象 が一体どんなものなのかをまず示すことが重要でしょう

講義では，マクスウェル方程式の微分形を示す（本書の4章）までが肝になり，そこまで学生の 興味を引き付けることができれば，授業はあらたか成功です．実際に行った最初の3回分の講義（本 書の１章-4章に対応）の手書きノート（竹川が講義に出席して筆記したもの）を示しつつ，続くペ ージで各回の内容のまとめと意図・留意点を記します．

以下のページに講義 1 回目の手書きノート（手書き１3 ページ）を示します．

[講義１回目の内容まとめ] 電荷の存在を前提として認め，そこから電荷密度

と電流密度

を 定義し，かつローレンツ力を通して電場

と磁場

を定義する．偏微分の説明とベクトル場の 流束と循環の説明の後に，マクスウェル方程式の積分形を全て書き下す．さらに，学生たちが高校 で習ったクーロンの法則・直線電流による磁場・ファラデーの電磁誘導が，マクスウェル方程式か ら導出できることを示す．

講義１回目の意図と留意点：講義の開始にあたって， 「これから新しいことが始まる」という予感，

期待と緊張感を学生にもってもらうことが大変重要です．マクスウェル方程式の積分形は，ベクト ル場の流束や循環といった幾何学的に直接イメージできる量で記述されるので，数学的なベクトル 解析の知識無しに，直感的に理解できます．そのことで，まず学生に，電磁気学の基本法則の全て が目の前にあり，その数式の意味を自分は理解できるのだ，ということを自覚してもらいます．そ して，高校時代に習ったお馴染みの法則（クーロンの法則，直線電流による磁場，電磁誘導の法則）

を直ちにそこから導いて見せることで，「確かに高校時代に習った法則よりさらに上位のレベルの 基本法則があり，それをこれから勉強するのだ」ということを実感してもらいます．

小宮山の実際の講義では（手書きノートには記載が有りませんが） ， 「マクスウェル方程式がなぜ 成立するのかという疑問は電磁気学を越えた問いであって，電磁気学ではそれを問わない．自然か ら与えられた基本法則としてこれから学ぶのだ」と強調します．また「マクスウェル方程式が重要 だからと言って，暗記しようとしてはいけない．必要ならいつでも教科書を見れば良い．物理で大 切なことは覚えることではなく，意味を理解することだ」と注意します．さらに以下のように続け ることもあります「そうは言っても，君たちがいま理解しているのは，マクスウェル方程式の数式 としての意味だけで，物理としての意味はまだほとんどわかっていない．しかし今はそれで良い．

このマクスウェル方程式が電磁気学の全てを含むのだから，君たちにいまそれがわからないのは当 然だ．力学の授業の最初に運動方程式を見ただけで放物線運動や，惑星の楕円軌道運動・彗星の双 曲線軌道や，角運動量の公式や，コマの歳差運動がすぐわからなかったのと同じだ．力学の単純な 運動方程式からだけでも，１学期間かけて勉強する内容が出てきたのだ．このマクスウェル方程式 は 4 つもあるのだから，力学よりさらに豊富な内容が出てくることが想像できるだろう．それを，

これから 1 学期間かけて勉強してゆくのだ．」 「マクスウェル方程式を覚えようとするな，と先程言 ったが，これからの 1 学期間の授業で毎回，繰り返しマクスウェル方程式が出てきて，その意味を 調べることになる．そのために，1 学期間の授業が終わるころには，全員が，気付かない間にマク スウェル方程式を自然に覚えているだろう．」

以下のページに 2 回目と 3 回目の講義ノート（手書き 413 ページ）を続けて示します．

[講義２回目の内容まとめ] マクスウェル方程式の積分形を微分形に変形するための準備として，

スカラー関数の勾配・ベクトルの内積と外積・ベクトルの微分（発散と回転）を説明．

[講義３回目の内容まとめ] 2 回目の続きでベクトルの積分（線積分，流束，循環） ・ガウスの定理・

ストークスの定理を説明し，マクスウェル方程式の微分系を導出．さらに，ベクトルの 2 回微分の 説明．

講義２，３回目の意図と留意点：数学的準備を始めるのですが，学生にそのための意欲をもっても らうことが大変重要で，そのためには，なぜそれが必要なのかを十分納得してもらうことが必要で す．そのために学生には，1 回目の講義で書き下したマクスウェル方程式の積分形が既に物理とし ては電磁気学の全てを尽くしているのだから，このまま電磁気学のあらゆる現象をマクスウェル方 程式を使って調べ始めても良いことを強調します．しかし，マクスウェル方程式の威力を最大限に 発揮するためには，数学の形式をもう少し整えて微分形と言われる形に変形しておくことが好まし いので，そのために，一段階高いレベルに進むために必要な数学の準備を始めることを述べます．

ベクトル解析を教えることが目的ではなく，あくまで物理が主眼なのだが，それでも，ある程度は 数学的な説明を我慢してもらわなければならないこと．しかしそれを済ませれば，全てを非常に見 通し良く進めることができることを強調します．

ここで留意すべき点は，学生にベクトル解析をマスターさせ，彼らを式変形が自由にできるレベ ルに引き上げることが目標ではなく，その必要もないことです．ベクトル解析の最初の第一歩が，

言葉を覚え始めた赤ん坊のカタコトのように，理解できれば十分です．ベクトル解析の習熟度は，

14 回目までの授業の全過程で，マクスウェル方程式の変形や具体的現象を導いて理解して行く中で，

物理の理解とともに徐々に上がって行けば良いのです．小宮山の実践では，学生のやる気を維持し，

かつ，彼らの理解度を確認するために，偏微分やベクトルの微分，積分など新しい事項を説明する 度に，必ずほとんど自明のごくやさしい例題を板書し，「これから授業を 3 分間中断するから，め いめい自分のノートに答を書いてください」と言って，教室を学生のノートをのぞきこみながら教 室をまわります．普段それほど熱心に授業を聞かない学生でも，教師が近寄って来て自分のノート をのぞきこむとなると，真剣に問題に取り組むものです．計算で引っかかっている学生には立ち止 まってアドバイスします．そしておよそ半分程度の学生が解き終わったころを見計らって，「まだ 途中の人もいますが，授業が終わった後に自分で確認してもらえればよいです」と言って，解答を 板書して次に進みます．このような，わずか 3 分程度の自習時間を 90 分授業の中に 2 回程度挿入 するだけで，教室の雰囲気が俄然良い方向に変わります．また，毎回の授業の終わりには，質問・

感想アンケート票を学生に書かせて理解度をチェックします．さらに，宿題として自習用の練習問 題を配布し，次回の授業開始時に解答を配布します．さらに，毎回の授業での重要な数学事項や，

若干面倒な証明（たとえば“発散がゼロのベクトル場は，ある別のベクトル場の回転で表せる”と いった定理）などは，まとめのプリントをつくって配布します．

4 回目以降の講義ノートは示しませんが，全ての電磁気学の内容をマクスウェル方程式がもたらす

現象の具体例の一つとして，必ず，マクスウェル方程式から演繹的に導出して解説します．進行の

順番はクーロンの法則から始めるオーソドックスな講義と大差ありませんが，全体の論理構造が明

確になる点が，従来の方法とは全く異なります．

4．まとめ

クーロンの法則から始める伝統的な教育法に比べて，本書の様な，マクスウェル方程式から始め る教育法は，まだまだ新しいやり方です．今後，多くの先生方が，異なる教育現場で様々な工夫を 積み重ねることで，この新しいやり方が多くの教育現場に定着して広がっていくことを望みます．

－ おわり ―