確率伝搬法と量子系の平均場理論 確率伝搬法と量子系の平均場理論

確率伝搬法と量子系の平均場理論 確率伝搬法と量子系の平均場理論

田中和之田中和之

東北大学大学院情報科学研究科 東北大学大学院情報科学研究科

E-mail: [email protected] E-mail: [email protected]

URL: http://www.smapip.is.tohoku.ac.jp/~kazu/

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Contents Contents Contents Contents

1. はじめに

2. 量子系の概説

3.

Suzuki-Trotter

公式による古典系との対 応

4. 量子系のクラスター変分法からの確率伝搬法 の定式化

5. 確率推論への量子統計力学的アプローチ

6. まとめ

確率分布確率分布

: 2 : 2

^NN 重の多重和の計算重の多重和の計算

 

  

0,1 0,1 0,1

2 1

1 2

, ,

,

a a a

N

N

a a

a

W 



一部の特殊な場合を除いて確率分布の場 合の計算量の

2

乗のオーダーの計算量

確率分布と密度行列 確率分布と密度行列

密度行列密度行列

: 2 : 2

^NN 行 行

2 2

^NN 列の行列の対角化列の行列の対角化

確率分布と確率伝搬法 確率分布と確率伝搬法

 ^a

₁

^{, a}

₂

^{, a}

₃

 ^w

₁₂

 ^a

₁

^{, a}

₂

  ^w

₂₃

^a

₂

^{, a}

₃



P 

       

_















 



  

3 1

1 3

3 2 23 2

1 12 3

2 1 2

2 , , , ,

a a

a a

a a w

a a w

a a a P a

P

確率伝搬法の数理的基盤 確率伝搬法の数理的基盤

量子系では同じ取り扱いは難しい 量子系では同じ取り扱いは難しい

!! !!

量子系では同じ取り扱いは難しい 量子系では同じ取り扱いは難しい

!! !!

 ^{A B}  ^exp   ^{A exp}   ^B

exp  

行列 行列

A, B A, B

に対してに対して 行列 行列

A, B A, B

に対してに対して

本講演の主題 本講演の主題

1 1

次元鎖または木構造のグラ次元鎖または木構造のグラ フ上の量子系の難しさ

フ上の量子系の難しさ

量子系に対する確率伝搬法の 量子系に対する確率伝搬法の 定式化定式化

Contents Contents Contents Contents

1. はじめに

2. 量子系の概説

3.

Suzuki-Trotter

公式による古典系との対 応

4. 量子系のクラスター変分法からの確率伝搬法 の定式化

5. 確率推論への量子統計力学的アプローチ

6. まとめ

2 2

ノードのハミルトニアンと密ノードのハミルトニアンと密 度行列度行列

       

       

       

       

⁰⁰⁰¹

10 11 00

; 00 01

; 00 10

; 00 11

; 00

00

; 01 01

; 01 10

; 01 11

; 01

00

; 10 01

; 10 10

; 10 11

; 10

00

; 11 01

; 11 10

; 11 11

; 11























u u

u u

u u

u u

u u

u u

u u

u u

H

  

^

 









0 ! exp 1

n

n

n H

H ハミルトニアン

密度行列

 

 

 

 

¹

1 exp exp tr

exp









 

U K U

H ρ H

Z

1

 UKU H























3 2 1 0

0 0 0

0 0

0

0 0 0

0 0 0







 K

密度行列の各成分 密度行列の各成分 はハミルトニアン はハミルトニアン

をを

対角化することで 対角化することで 計算される．

計算される．

密度行列の各成分 密度行列の各成分 はハミルトニアン はハミルトニアン

をを

対角化することで 対角化することで

計算される．

計算される．

1 1 2 2

周辺確率と縮約密度行列 周辺確率と縮約密度行列



 _i  tr _{\ i}

周辺確率周辺確率

周辺確率周辺確率

  ^   

ai

a i

i

a P a

P

\



縮約密度行列 縮約密度行列 縮約密度行列 縮約密度行列

i i

番目を除くすべてのノードに対する確率変数の和番目を除くすべてのノードに対する確率変数の和

i i

番目を除くすべてのノードに対する確率変数の和番目を除くすべてのノードに対する確率変数の和

i i

番目を除くすべてのノードに対する自由度の対角和番目を除くすべてのノードに対する自由度の対角和

i i

番目を除くすべてのノードに対する自由度の対角和番目を除くすべてのノードに対する自由度の対角和

縮約密度行列

縮約密度行列

(Reduced Density Matrix) (Reduced Density Matrix)

       

       

       

        ^

 









 









00

; 00 01

; 00 10

; 00 11

; 00

00

; 01 01

; 01 10

; 01 11

; 01

00

; 10 01

; 10 10

; 10 11

; 10

00

; 11 01

; 11 10

; 11 11

; 11































 ρ

       

        ^ _ ^

 









 



0 , 0

; 0 , 0 1

, 0

; 1 , 0 0

, 1

; 0 , 0 1

, 1

; 1 , 0

0 , 0

; 0 , 1 1

, 0

; 1 , 1 0

, 1

; 0 , 1 1

, 1

; 1 , 1 tr

_\1

1





















ノード 1 の状態を固定 したもとでの部分対角

和

縮約密度行列

縮約密度行列

(Reduced Density Matrix) (Reduced Density Matrix)

       

       

       

        ^

 









 









00

; 00 01

; 00 10

; 00 11

; 00

00

; 01 01

; 01 10

; 01 11

; 01

00

; 10 01

; 10 10

; 10 11

; 10

00

; 11 01

; 11 10

; 11 11

; 11































 ρ

       

        ^{ }

 







 



00

; 01 10

; 11 01

; 01 11

; 11 tr

_\2

2















 ρ ρ

ノード 2 の状態を固定 したもとでの部分対角

和

Contents Contents Contents Contents

1. はじめに

2. 量子系の概説

3.

Suzuki-Trotter

公式による古典系との対 応

4. 量子系のクラスター変分法からの確率伝搬法 の定式化

5. 確率推論への量子統計力学的アプローチ

6. まとめ

量子系の難しさ 量子系の難しさ

 ˆ

12

ˆ

23



1 exp

H H

ρ   

Z

     

    













23 12

12 23

23 12

23 12

ˆ ˆ

ˆ ˆ

exp ˆ exp ˆ

ˆ exp ˆ

H H

H H

H H

H H

指数関数の加法定理が成り立たないので

I H

H ˆ

₁₂



₁₂



23

ˆ

23

I H H  

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 2 2 3 3

H

12

H

₂₃

23

12

ˆ

ˆ H

H 



 



 

1 0

0 I 1

Suzuki-Trotter

Suzuki-Trotter

公式公式

 

n

n

n n 



 



 



 

  

 

 

  









 12 23

23 12

1 ˆ ˆ exp

exp 1 lim

ˆ exp ˆ

H H

H H

密度行列 Suzuki-Trotter 公式

積に分かれたとき n 乗が残るのでやはり そのままでは確率伝 搬法を使うのは難し い．

3xn の梯子格子上のグラフ ィカルモデルの確率伝搬法

n: Trotter 数

Σ

Suzuki-Trotter

Suzuki-Trotter

公式公式

 

 

 

  ^



 



 









 

a b  c c c

n

P a c c c

n

b b

a Z

  n

 





 

 







1 2

1, , ,

1 2

1 23

12

, ,

, ,

, lim

ˆ exp ˆ

1 H H

ρ

n: Trotter 数

Σ

b 

c3

c2

確率分布確率分布 確率分布確率分布

3xn の梯子格子上のグラフィカルモ デルの確率伝搬法から統計量の厳密 な数値を求めることができる．

Contents Contents Contents Contents

1. はじめに

2. 量子系の概説

3.

Suzuki-Trotter

公式による古典系との対 応

4. 量子系のクラスター変分法からの確率伝搬法 の定式化

5. 確率推論への量子統計力学的アプローチ

6. まとめ

密度行列と縮約密度行列 密度行列と縮約密度行列







B ij

H

ij

H ˆ

 ^H 

ρ  1 exp  Z

ρ

ρ _i  tr _{\ i} ρ _ij  tr _{\ ij} ρ

ij i

i ρ

ρ  tr _\

縮約密度行列 (Reduced

Density Matrix)

Reducibility Condition

近似縮約密度行列と有効場 近似縮約密度行列と有効場

 



 

  

 

Bi

i k

i

λ

ρ

i k

Z 1 exp

 





 



     

  

 

 

i\

B l

j l j

\ B k

i k ij

ij

j i

λ I

I λ

H ρ 1 exp

Z

ij

i

i j

有効場 は行列 有効場 は行列λij

量子系に量子系におけるおける確率伝搬確率伝搬 法の有効場伝搬規則

法の有効場伝搬規則



































    













 

 

 



i

\ B l

j l j

\ B k

i k ij

j

\ B k

i k i

j

j i

i

λ I

I λ

H λ

λ

exp tr

log _\i

ij i

Z Z

有効場伝搬方程式

ij i

i ρ

ρ  tr _\

i j

Contents Contents Contents Contents

1. はじめに

2. 量子系の概説

3.

Suzuki-Trotter

公式による古典系との対 応

4. 量子系のクラスター変分法からの確率伝搬法 の定式化

5. 確率推論への量子統計力学的アプローチ

6. まとめ

閉路を持つグラフ上の 閉路を持つグラフ上の 確率モデルの結合確率 確率モデルの結合確率

 

 

) , ( )

, ( )

, (

) , ( )

( )

, , (

, , ,

, , ,

Pr

3 1 13 4

2 24 5

2 25

7 6 67 5

4 3 346 8

6 5 568

8 2

1

8 8

2 2

1 1

a a W

a a W

a a W

a a W

,a ,a a W

a a a W

a a

a P

a A

a A

a A

















有向グラ フ

A1

A3

A2

A4

A6 A₅

W13

W67

W24

W25

W346

W568

無向グラ フ

閉路を持つグラフ上の 閉路を持つグラフ上の

量子系の密度行列 量子系の密度行列

 



 







 

 



 



B

a B

a a

W a

 

 

H Η

ˆ



ln







A1

A3

A2

A4

A6 A₅

ˆ13

H

ˆ 67

H

ˆ 24

H

ˆ 25

H ˆ 346

H

ˆ 568

H

A8

A7

無向グラ

 

フ

 

 ^



a

a a

W



a











ln

H ˆ

 ^{13 , 24 , 25 , 346 , 568 , 67} 

 B

 

 

 ^{H H} 

ρ 

 

exp tr

exp

確率推論の密度行列への拡張の一例 確率推論の密度行列への拡張の一例

  _{ }



  









B i

x i B a

h a

a W

a

 

  

S H

Η log

⁸

ˆ

 1







  _

 









 





i

x i

a

B

i

a h a

W

a S

H ˆ log 1









I I

I I

I S

I I

S

I I

I I

I I

S I

S

I I

I I

I I

I S

S

















































x x

x x

x x

3 2

 1



 



 

1 0

0 I 1



 



 

0 1

1

x 0 S

閉路を持つグラフ上の 閉路を持つグラフ上の

量子系の密度行列の数値実験 量子系の密度行列の数値実験

A1

A3

A2

A4

A6 A₅

ˆ13

H

ˆ 67

H

ˆ 24

H

ˆ 25

H ˆ 346

H

ˆ 568

H

A8

A7

無向グラ フ

...

8272 .

0 tr

...

9029 .

0 tr

4 4

1 1









ρ S S

ρ S S

z z

z z

...

8379 .

0 tr

...

9032 .

0 tr

4 4

1 1









ρ S S

ρ S S

z z

z z

Exact Exact Exact Exact

Quantum CVM Quantum CVM Quantum CVM Quantum CVM



 





 

1 0

0

z 1 S

Contents Contents Contents Contents

1. はじめに

2. 量子系の概説

3.

Suzuki-Trotter

公式による古典系との対 応

4. 量子系のクラスター変分法からの確率伝搬法 の定式化

5. 確率推論への量子統計力学的アプローチ

6. まとめ

まとめまとめ

従来型のＣＶＭによる量子系の取扱い 従来型のＣＶＭによる量子系の取扱い

確率推論のグラフィカルモデルにおける 確率推論のグラフィカルモデルにおける

量子確率伝搬法としてのアルゴリズム 量子確率伝搬法としてのアルゴリズム

量子確率推定への情報統計力学的アプローチ 今後の課題