東 のn一 分 配 性 に つ い て
芝
原
茂
1.序
論
束 論 の分 野 の 論 文 の 中 に,a)射
影 幾 何,b)群
の部 分 束,な
どの 理 論 の 間
の確 実 な関 連 を示 す 多 くの ものが あ る(例
え ば,BAKER[1],JONSSON
[7]な
ど)。 これ ら の領 域 と分配 束 の理 論 とを結 ぶ も の として,A.P.HUHN
は1971年 に 弱 分配 束 の概 念 を束 論 に 導 入 した(HUHN[4])。
本 稿 に お い て は,
n一分 配束 の判 定 条 件 を利 用 して,n一 分 配 束 の 双 対 性 につ い て考 察 し,さ らに,
束 の イデ ア ル束 がn一 分 配 的 で あ る条 件 を示 した い。
1.1.定 義.モ ジ1ラ 束Lが,任 意 のn+2個 の 元x,y。,…,yn∈Lに 対 し て,次 の 恒 等 式Dnを 満 た す と き,五 はn一 分 配 的 で あ る と い う。れ
れ
れ
Dn:xU∩yi∩[xU∩yi] t=Oj=Oi=0 諺≠ ゴ Dnの 双 対 の 恒 等 式Dn*が 満 た さ れ る と き,双 対n一 分 配 的 と い う(し か し, n一分 配 束 のprimitiveclassDnと 双 対n一 分 配 束 のprimitiveclassDn*と は 同 一 で あ る)。 あ る 自 然 数n>1に 対 し てDnを 満 た す 束 を 弱 分 配 束 と い う 。 HUHNは,n一 分 配 束 の 応 用 例 と し て,a),b)の 領 域 か ら の 基 本 的 な 成 果 を まず 挙 げ て い る 。 そ し て,そ れ と の 関 連 に お い て,n一 分 配 束 の 性 質 を 研 究 し た(HUHN[6])。 ada)斜 体(skew丘eld)Dに 対 し て,Dの 上 の@-1)一 次 元 射 影 幾 何(即 ちn一 次 元 ベ ク トル 空 間 の 部 分 空 間 束)PGn-1(D)はn一 分 配 束 で あ る が,@一 ゆ 1)一分 配 束 で は な い 。束 のn一分配性 について
adb)ア
ーベ ル群Gに
対 し て,Gの
部 分 束 が η一分 配 束 であ るの は,Gの
有
限 階 数 が ηに等 しい か 又 は それ よ り小 さい と きそ の とき のみ で あ る。
II.双
対
性
HUHNはBIRKHOFFの
分 配 性 の 判 定 条 件 を
゜r化し て,n一 分 配 性 の判
定 条 件 を 得 た 。
2.1.n一 分 配 性 の 判 定 条 件.Lを モ ジ ュ ラ 束 と す る 。 任 意 の 自然 数nに 対 し て,次2つ の 命 題 は 同 値 で あ る. ㈹Lはn一 分 配 的 で な い 。(B)五
は(n+1)一
次 元 プ ー ル 代 数Bを
部 分 束 と し て 含 み,か
つ 次 の性 質
K(B,切
を持 つ1つ の 元 叨 を 含 ん で い る 。K(B,切:測
はBの
す べ て の原 子
く
わ
元 の,区 間[infB,supB]に お け る 相 対 補 元 で あ る(HUHN[5])。この 判 定 条 件 か ら,n一 分配 束 に対 し て双 対 原 理 の 成 り立 つ こ とが,次 の よ う
に示 され る。
2.2.定 理.類Dnは 類Dn*と 同 一 で あ る(HUHN[5])。 証 明.モ ジzラ 束 に お い て,任 意 の2n個 の 元p、,…,pn,4、,…,Qnに 対 し て,Z≠ ブ な ら ぽpZ≧9ゴ で あ る と き,次 の 等 式 が 成 り立 つ こ と は よ く知 られ て い る: れ れ あ くの (1)∩pzuUqi=∩(ρ 乞U9の. i=1i=1i=1さて,n一 分 配 性 の判 定 条 件 とそ の 双対 とに よっ て,次 の こ とを 示 せ ば十 分 で
あ る:
モ ジ ュラ束 が(n+1)一
次元 プー ル代 数'Bを
部 分束 と して 含 み,か
つ 性 質
K(B,膨)を
持 つ1つ の 元 渺 を 含 む,な
らば,そ
の 束 は,叉
,性 質K(B,渺)
-75一佛數 大 學 研究 紀 要 通 卷71號 の 双 対 の 性 質K*(B,㎜*)を 持 つ1つ の 元 初*を 含 む(こ の 逆 は,一 般 の 双 対 の 原 理 を こ こ に 適 用 す る こ と に よ っ て 得 ら れ る) 。 さ て,モ ジ ュ ラ 束Lに 含 まれ る(nil)一 次 元 プ ー ル 代 数 をBと し,Bの 最 小 元 をv,最 大 元 をu,原 子 元 をbi(Z-0,1,…,n)で 表 わ し,性 質K(jB,τ の を 持 っ た 元 を 泌 で 表 わ す とす る 。 さ ら にbi;=biub;,biとbigのBに お け る ユ 補 元 をb'i,ijと お くρ 最 後 にty」=(ω ∩ うのU防 ノ と お い て,w*e∩tinと
オニむ す る 。 こ の よ う に 定 め た 塑*が,Bの す べ て の 双 対 原 子 元b'2の 区 間 勲,u]に お け る 相 対 補 元 で あ る こ と を 示 そ う 。 1.Z≠Jの と き,次 の こ と が 成 り 立 つ: '万Ub;_[(wn6存)Urij]Ub;_[(w∩ う乞DUb;]Uzi -(bi<砺 と モ ジsラ 束 で あ る こ と と よ り)
=[(淑 りub;)∩ あ ゴコurij-(u∩ あ ゴ)uij
=bi;uzノ 歪ゴ=z6 , 'εゴ∩rJ-C(zv∩ う乞,)uij]∩b' 一(6勾 くb'3と モ ジ ュ ラ 束 で あ る こ と と よ り) =[(簸 り∩6fノ)∩b'i]ub'ij =(砺 ∩b'=biで あ る か ら) e(w∩ うのuij=7Juろ'乞 ゴ=匠ノ乞ゴ. 対 称 性 か ら,結 局 次 が 得 ら れ る: (2)ti;ubi=ti;ub;=uCi≠ ブ;i,ブ ー0,1,…,n). (3)あ ノ∩Zノ乞='乞ゴ∩b';=b'i3(i.≠ ブ;Z,ノ=0,1,…,n). 2・tgn=(ω ∩bin)Ub,in≧in≧b;(た だ し,ノ ≠i,n)が 成 り 立 つ か ら,(1)と (2)と よ り,ま ず 脚*Un=(b'k=Ubiで あ る か ら) 1冫2 あ ユ れ れ ハ e∩tinUubi=∩(tinUbi)=∩u=u i=Oi=pi=Oi=0 が 成 り立 つ 。 n-1 つ ぎ に ノ≠nの と き,tin≧ あ(こ こ で2≠ ブ,n),即 ちt;n≧Ubiが 成 り立 つ 。 1募3
束 のn一 分配 性)Yつ い て モ ジ ュ ラ則 を 適 用 し て, ⑳ ・u〃 ・熱u艶{n-1n-1ntinntjnUUbiUf」n i=Oi=OF 乞≠ゴ 盛≠ブi.#j e{[n-1n-1ntinUUbi(ltjn i=Oi=0}Ubn 蛋≠ゴ ￠≠ゴ こ の 角 か っ こ の 中 に,(1)と(2)と を 適 用 し て,
w・uう'∫ 一(u(1tan)晦 噛 。晦 一%(ブ ー0,1,…,η 一i)
が 得 ら れ る 。 従 っ て,j=0,1,…,π に 対 し て 常 に 洳*Ub';=uが 成 り 立 つ 。 3.(3)を 適 用 し て,ま ず, れの れ ユ れ ユ w*∩b'n=∩tin∩-n-∩(din∩b'n)e∩ う'伽富" 重躍Oi=08=Q を 得 る。 つ ぎ に,J≠nの と き, れ ユ れ れ
w*∩ う'ゴ=∩tin∩tjn∩ み'ゴー ∩tin∩b'‐jn‐ ∩tin∩b'π ∩b'ノ
寡,芻 芻 れ れ e∩(tin∩b'n)∩ ろ'ゴ翻 ∩in∩b';=b;∩ ∂'ゴー" 諤 嬲 が 得 ら れ る 。 従 っ てj=0,i,…,nに 対 し 常 にzes*∩b'ノ=vが 成 り 立 つ 。 2.3.定 理.n一 分 配 束 の 双 対,部 分 束,準 同 型 像 は 又n一 分 配 束 で あ る 。 証 明.モ ジ ュ ラ束 の 双 対,部 分 束,準 同 型 像 が モ ジ ュ ラ 束 で あ る こ とは 既 に 知 られ て い る 。 さ て,n一 分 配 束Lの 双 対 をLDと お く と,LOは 双 対n一 分 配 束 で あ る。 と こ ろ が2.1Y`よ っ て,LDに お い て は(B)の 双 対 が 成 り立 た な い 。 従 っ て2.2に よ り(B)が成 り立 た な い 。 故y>Lnはn一 分 配 束 で あ る 。. も しRをn一 分 配 束Lの 部 分 束 と す る と,任 意 の 〃+2個 の 元x,y。,…,yn∈R に 対 し て,
恥u禽
触(nxUnyi
i=0)
￠≠' -77一佛 教大 學 硯 究 紀要 通 卷71號 が 成 り立 つ 。 従 っ てRはn一 分 配 束 で あ る 。 最 後 に,L*を 束 五 の あ る 準 同 型 写 像 ρ に よ る 像 とす る ≧,る ∼L*で あ る 。 L*の 任 意 のn+2個 の 元x*,y。*,…,yn*に 対 し て,準 同 型 写 像 の 定 義 よ り, ρ￠)=x*,ρ(yo)=yo*,ρ(ッ1)=ッ1*,…,ρ(ッ 。)yn*と な る よ う な 元x,ッ 。,ッ1, …,ynが.Lに 存 在 す る 。 従 っ てLが か 分 配 束 で あ れ ば,
x・u禽 脚@)u禽
ρω
一ρ(x)uρ 伽
一ρ(nxU(1yz
e=o
一菰
瞭
謄
瞭)
・
n
=n
j=0[ρ(x)Ucp(nnyz=o
乞
≠丿')]n=n;_o[￠
②u身
呵
一真 レ ・nu
iUyip
乞≠ ブ 、 が 成 り立 つ 。 従 っ て,L*はn一 分 配 束 で あ る 。 III・ イ デ ア ル 束 束Lの 空 で な い 部 分 集 合1は,次 の 条 件 を 満 た す と き,Lの イ デ ア ル と呼 ば れ る: (1)らb∈1な ら ぽaUb∈1, (豆)a∈1,x∈Lな ら ばa∩x∈1。 こ の 定 義 に お い て,条 件(矼)は 次 の(皿)に よ っ て 置 き か え る こ とが で き る: (皿).aEI,y≦aな ら ば ツ∈1。 何 故 か と言 え ば,も しa∈1,y≦aで し か も1が(H)を 満 た し て い れ ば, y=y∩a∈1で あ る:逆),r,も しa∈1,x∈Lで し か も1が(皿)を 満 た し て いれ ば,a∩ ￠≦aで あ る か らa∩x∈1。
束Lの 任 意 の 元aに 対 し,x≦aを 満 た す 元 の 全 体 を(a]で 表 わ す と,こ れ
は1つ の イ デ ア ル で あ る 。 これ をLの 主 イ デ ア ル と言 う。
束 のn一 分 配 性 に つ いて は,集 合 の 包 含 関 係 に 関 し て 束 を 形 づ く る 。 又1(L)は 条 件 完 備 で あ り,か つ 結 び に 関 し て 完 備 で あ る(SZASZ[9],p.162)。 一 方,条 件 完 備 な 束 は 最 大 元, 最 小 元 を 付 加 す る こ と に よ っ て,完 備 束 を 得 る こ と も 知 られ て い る(SZASZ [二9],p.65)。 有 限 個 の イ デ ア ル の 結 び と交 わ りに 関 す る 次 の 命 題 がSTONE([8],定 理 18と 定 理31)に よ っ て 証 明 さ れ て い る。 3.1.S愛ONEの 定 理.束Lの イ デ ア ル1、,…,lnの1(L)に お け る 交 わ り Il∩ … ∩Inは 劣=al∩ … ∩an(α ∫∈1;;j=1,…,n) の 形 の 元x∈Lか ら 成 って い る 。 一 方 ,そ れ らの1(L)に お け る 結 びIlU…UInは y≦alU…Uan(α ゴ∈1;;j=1,…,n) な る 不 等 式 を 満 た す 元y∈Lか ら 成 って い る 。 3.2.系.束Lの 主 イ デ ア ル す べ て の 集 合Io(L)は1(L)の 部 分 束 で あ り, Lに 同 型 で あ る 。 こ れ か ら次 の 定 理 が 導 き 出 さ れ る 。 3.3.定 理.束Lの イ デ ア ル 束1(L)がn一 分 配 的 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,Lがn一 分 配 的 で あ る こ と で あ る 。 証 明.(必 要 性)1(L)はn一 分 配 束 で あ る とす る 。3.2.よ り,束Lの 主 イ デ ア ル す べ て の 集 合Io(L)は1(L)の 部 分 束 で あ り,し か もLと 同 型 で あ る 。 従 っ てLはn一 分 配 束 で あ る 。 (十 分 性)逆 に 束Lはn一 分 配 的 で あ る とす る 。1(L)の 任 意 のn+2個 の イ デ ァ ルx,Yb,Y1,…,Ynを と る と
Xu郎4(Xu餅)
乞≠ゴ 一79一佛教大學研究紀要通卷71號
は 常 に 成 り立 つ か ら,1(L)が
π一
分 配 的 で あ る こ とを 示 す た め に は,
(・)nn =o(nXunYii=0)n<Xu(1Yi‐'i=U 貳≠ブ を 証 明 す れ ば 十 分 で あ る(モ ジsラ 束 の イ デ ア ル 束 が モ ジxラ 束 で あ る こ と は 既 に 知 られ て い る)。 こ の 目 的 の た め に,今 こ の 左 辺 の イ デ ア ル の 任 意 の 元tを 考 え る と,j=0, 1,…,nの 各kに 対 し てt∈Xu∩Y2で あ る 。 従 って3.1に ょ っ て ノー0,1,…, 鍔 nの 各 々 に 対 し て,不 等 式 t≦ 醐(￠ ・∈x,y;∈nr-. a=oYi) 信≠ゴ を 満 た すxゴ,ッ ゴが 存 在 す る 。 こ の 鋳 ∈ ∩YZに 対 し て3.1を 適 用 す る と,各 鍔kのノ =0,1,… ,nに 対 し て,ハ
(2)ツ ゴー ∩2ガ(zゴ 乞∈Yi;2≠ ブ;i=0,1,…,n) 芻 を 満 た す 元2ガ が 存 在 す る 。 こ こ でUz;i=ziと お く と,紛 ∈Yiで あ り,(2) j=°j ai よ り 鈎 ≦ 細(ノ ≠ の が 成 り立 つ か ら,ごyゴ≦Ugκ 尸 貌Ci≠J;Z,ノ ー0,1,…,n)
簇2 が 成 り立 つ 。 従 って yt≦ ∩ 貌(j=d,1,…,n) 鍔 で あ る。 こ こ でUxf=x(∈X)と お く と, j=O t≦ 紛Uッ ゴ≦xU∩ 紛(j=0,1,…,n) 鍔 が 成 り立 つ 。 従 っ て,Lがn一 分 配 束 で あ る こ と よ り,不 等 式
(3)彡
鄭U禽
の 一記Uか
乞≠ゴ が 成 り立 つ 。2ε∈Yiで あ っ た か ら,束 のn一 分 配 性kつ いて nnnn_ ∩ 矯 ∈ ∩Yi,xU∩2乞 ∈XU∩Y≧ i=Oi=Oi=Oi=0 れ ゆ の が 成 り立 つ 。(3)と.Xu∩ 鶤 が イ デ ア ル で あ る と と か ら,t∈Xu∩Yi。 故 ￠=0乞=0 に(1)が 成 り立 つ 。
3.4系.n一
分 配束 は適 当 に選 ばれ たn一 分配 的 な完 倫 束 の あ る部 分 束 と同 型 で
あ る 。
証 明.n一 分 配 束 の イ デ アル 束1(L)は
そ れ 自身 完 備 で あ るか,あ る いは 前 述
の よ うに最 小 元 と して空 集 合0を
付 加 す る こ とに よ って 完 備 束 を 作 る こ とが
出来 る。 しか もそ の 完備 束 は π一分配 的 で あ る。 従 わて,3。2に
よ ってlLは
ど
の 完 備 束 の部 分 束 な る1。(L)と
同型 であ る。
注 (1)HUHNは,任 意 の 自然 数n(>1)に 対 して類0π 一1が類0π の真 部 分 で あ る・ こ と を 証 明 し た 。 (2)(n+1)一 次 元 プ ール代 数 とは,n+1個 の元 か らな る集 合 のべ キ集 合 に,集 合 の包 含 関 係 を 順序 として 導入 して 得 た束2n+1と 同型 な束 を 意 味 す る 。 (3)こ の判 定 条 件 のn-1の 場 合 がBIRKHOFFの 分 配 性 の判 定 条 件 で あ る(BIRKHOFF CZ7,P・118)0 (4)帰 納 法 に よ って証 明す る 。 n=1の とき ρ1U{11=ρ1U91. n-kの とき成 り立 つ とす る と, 賀 ρ・u窪 ・《 ム ρ・∩飾)u(kUQ'iUQk+1i=1) e[(∩ ρ乞∩毎 。、 i=1)U飼U姻 モ ジ ユ ラ法則 に よ り) 一[(kk∩ ρ乞uUg乞 i=2i=2)噛]U伽 一(離 ジ ユ ラ法 則)'YY¥...より)e(ム ρ・u禽 ・う ∩伽u軌 自(piUqi)∩(pk+1UQk+1)
あキ =n<pzuqz).
乞;1
佛 教 大 學 研 究 紀 要 通 卷71號 参 考 文 献 [1]K.A.BAKER,Equationalclassesofmodularlattices,PacificJ.Math.,28 (1969),9-15. [2]G.BIRKHOFF,Applicationsoflatticealgebra.Proc.Camb.Phil,,Soc,30 (1934)115-122. [3]G.BIRKHOFF,LatticeTheory,3rd.ed.,AMSColloq.Publ.no.25,1973. [4]A.P.HUHN,SchwachdistributiveVerbande,ActaF.R.N.Univ.Come-nianae(Bratislava),1971,51-56. [5]A.P..HUHN,SchwachdistributiveVerbande.1,ActaSci.Math.,.33-.(1972),. 297-305.
