数学マジックを用いた授業実践について

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立教大学教職課程 2016 年 4 月

数学マジックを用いた授業実践について

－選択教科における実践の検討として－

砂井　博光

１．はじめに

　私の本務校は立教池袋中学校・高等学校で、

数学を担当し、2015 年度で 11 年目を迎える。

数学の授業をする上で心掛けている事は、“ 解き方のテクニックを暗記する数学 ” でなく、“論理的に考えながら解くことのできる数学 ” を伝えられるようにする事である。何故ならば、世間で “ 数学的な考え方 ” が重要視されているにも関わらず、現場で見る生徒たちには “ 数学嫌い ” が多く見られるからである。数学的な考え方とは論理的に考える事であり、その有用性は今更言うまでもない。しかし、その論理的に考える学問である数学に嫌悪感を示すというのは、難しい定理や公式を暗記して解いていくと言うことに重点が置かれ、数学本来の面白さが損なわれてしまっているのではないかと考えている。どうすれば論理的な思考を受け入れる事ができ、楽しんでもらえるかを考えたとき、2 つのポイントがあると思った。1 つ目は能動的に取り組める題材である事。2 つ目は論理的に考える事の有用性を実感できる事である。

　正課の授業ではカリキュラムに従って進めていくので、各分野が定義を教える事から入り、

どのような性質があるかを考え、どのような問題に適用できるのかを知り、問題解いていく、

というような流れで進んでいる。しかし、本来論理的に考えるというのは、先に問題があり、

どのように解決していくかを考える事が多い。

そして、論理的に考える過程で、根拠がしっかりとしている性質やどの様な約束事（定義）があるのかを検証していく。そこで、ある程度内容が自由に設定できる選修教科の授業で、先に問題があり、論理的に考える事のできる題材かつ、生徒が楽しんで取り組める題材を模索した結果、数学マジックを用いた授業をする事にたどり着いた。

　数学マジックとはマジックの種に数学的な根拠が用いられており、通常のマジックのように手先の器用さや特殊なテクニックを必要としないマジックである。表面上は不思議に見えるが、

マジックの手順を注意深く観察し考えていく事で、どのような仕掛けが隠されているかを知ることができ、誰にでも実践できる。

　数学マジックを用いようと思った根拠は、マジックを見ると最初はその不思議さに驚かされるが、「何故そうなるのだろう？」と種を知りたくなる気持ちが出てくるので、能動的に取り組めるのではないかと考えたからである。また、

表面の手順をなぞっただけではマジックが成功しないので、論理的に考え、しっかりとした根拠を知る事で、自分も同じマジックができるようになり、論理的に考える事の有用性や数学的な根拠に興味を持ってくれるのではないかと考えたからである。

　以下、数学マジックを用いた授業実践と生徒の反応から見える成果の報告である。

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２．生徒・授業の概要

　対象は中学 1 年生の数学選修教科 B。中学 1 年生の数学のカリキュラムよりも発展した内容を取り扱う授業である事を前提に、生徒が選択して参加している。よって、算数や数学が得意で考える事が好きな生徒が、全部で 18 名集まっている。また、この授業の実施は 5 月上旬なので、正課では『正負の数』を履修している時期。

３．数学マジックの手順と内容

　授業で使用したのは『数学マジック辞典』の

『ジェルゴンのマジック（P.19 ～ 21）』である。

以下、その手順と内容を記載する。

i. 27 枚のトランプから好きなカードを 1 枚、手に取らずに選ばせ、記憶させる。

（生徒が大勢いる場合は教師が後ろを向き、選んだ生徒以外の生徒が選ばれたカードを認識できるように確認をさせておく。）

ii. 生徒がカードを選んだ事（または他の生徒が選ばれたカードが分かったか）

を確認し、カードを選んだ生徒（もしくは他の生徒）に 1 から 27 までの数の中で好きな数字を言ってもらう。その言われた数に先程の選んだカードが移動する事を宣言する。

iii. 教師側は言われた数字から 1 引いたものを 3 進数に変換し、3 の位（2 桁目）

が 0 だった場合は 2 に、2 だった場合は 0 に変換する。そして、各桁の数を 0 が上、1 が中、2 が下と読み替える。

これは後に、3 つの山を 1 つにまとめる時に、選ばれたカードがある山をど

の位置に入れるかを示した情報である。

iv. 上から1枚ずつ3か所に、裏のままカードを配り、9 枚ずつの山にする。

v. 1 山ずつ生徒に見せ、選んだカードがその山の中に入っているかを聞く。生徒にはカードが見えるが、教師は一切カードの表を見ない。

vi. 選んだカードがあるといわれた山をⅲ で変換した情報（この時は 1 桁目の情報）の位置にして 1 まとめにする。

vii. ⅳからⅵを 2 回繰り返す。ⅵで使う情報は 2 回目が 2 桁目、3 回目が 3 桁目を使用する。

viii. 1 まとめになったカードを上から順番に数えながら机に置き、ⅱで宣告された数の順番になったらそのカードを表にして開く。そのカードが生徒の選んだカードになる。

　このマジックはただ、手法を真似ただけでは成功せず、手順のⅲにある “ 位置の情報 ” を知らなければ成功しない。手順やカードの動きを注意深く観察し、それを解明する事が種明かしに直結する。

４．数学マジックの補題的なマジック

　上記のマジックだけでは種（位置の情報）を解明するのに困難なので、補題的なマジックを事前に生徒に見せて、その種を考えさせ、説明させている。以下、補題的なマジックの手順と内容を記載する。

i. 15 枚のトランプから好きなカードを

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手に取らずに選ばせ、記憶させる。（生徒が大勢いる場合は教師が後ろを向き、選んだ生徒以外の生徒が選ばれたカードを認識できるように確認をさせておく。）

ii. 上から1枚ずつ3か所に、裏のままカードを配り、5 枚ずつの山にする。

iii. 1 山ずつ生徒に見せ、選んだカードがその山の中に入っているかを聞く。生徒にはカードが見えるが、教師は一切カードの表を見ない。

iv. 選んだカードがあるといわれた山を真ん中の位置にしてひとまとめにする。

v. ⅱからⅳを 2 回繰り返す。

vi. 1 まとめになったカードの真ん中（上から 8 番目）のカードが生徒の選んだカードになる。

　このマジックは『２．数学マジックの手順と内容』で挙げたマジックよりも簡単で、手法を真似ただけでも成功する。また、選んだカードが必ず真ん中に来るという位置の情報が確定しているので、どの様な動きをするか観察しやすく、生徒が種を説明する上でどの様に考えれば良いかを補ってくれるマジックである。大半の生徒はカードがどうやって動くかを把握し、説明ができるようになる。

５．補題的なマジックの解答

　補題的なマジックの解答は以下の通りである。生徒も考えさせる時間を与えれば、同様の考え方や解説をする。

① 1回目の手順ⅱ～ⅳで生徒が選んだカードはひとまとめにされたカードの上から 6 枚目から 10 枚目のいずれかになる。［図１・２］

② 2 回目の手順ⅱによって、生徒が選んだカードは各山（5 枚ずつの山）の上から 2 枚目から 4 枚目のいずれかになる。［図３］

③ 2 回目の手順ⅲ～ⅳで生徒が選んだカードはひとまとめにされたカードの上から 7 枚目から 9 枚目のいずれかになる。［図４］

④ 3 回目の手順ⅱによって、生徒が選んだカードは各山（5 枚ずつの山）の上から 3 枚目（真ん中）になる。［図５］

⑤ 3 回目の手順ⅲ～ⅳで生徒が選んだカードはひとまとめにされたカードの上から 8 枚目（真ん中）になる。［図６］

６．生徒の反応と取り組み

　最初に生徒へマジックを見せると、「カードを選んだ生徒がサクラで、先生は最初からカードが分かっていた」とか「たまたま当たっただけ」とか様々なことを言い出すが、ここでもう一度念押しして “ 数学的なマジック ” である事

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を言う。すると「もう一度見せてくれ」と返ってくるので、何度も見せる。そのうち、用意しているトランプを自分の机に持っていき、考えた仮説を検証する生徒や、紙に方法を記述して考える生徒が出てくる。過去 3 回同じ題材で授業をしているが、毎回、この状態になると教室にいる生徒は一切私語をせず、黙々と課題の解決に取り組み始める。種が分かったと言う生徒には、マジックを実際にやってもらい成功するかを確かめる。また、ただマジックができるようになったと言うだけでなく、どのような仕組みが隠れているのかを考えさせる。ここで実感できるのは、こちらが「どんな仕組みが隠れているかを当ててみよ」と問いを出すまでもなく、

生徒が早い段階で能動的に課題の解決に向かってくれる事である。実際に生徒に聞いてみると、

種が特殊なテクニックによるものでなく、論理的にカードを動かしているだけだという事から

“ 考えればできるかも ” と思わせ、“ マジックの種を知りたい ” と言う知的好奇心から課題に取り組む姿勢が生まれているようである。

７．生徒の解答例

　ここで、実際の解答例を紹介する。多少の考え方の違いはあるが、主に以下の 2 種類の解答が多かった。（実際には以下の様に理路整然と説明をされるわけではないが、内容は同様なものである。）

①すべてのパターンを検証して導く方法　手順ⅳからⅵを 3 回繰り返しひとまとめにする際、選んだカードがあると宣言した山を入れる位置は “ 上・中・下 ” の 3 箇所しかないので、実際にカードを動かして選

んだカードが最終的に上から何番目になったかを全パターン検証する。［表１］

それらを番号順に整理すると次のようなことが分かる。［表２］

・ 1 回目に “ 上 ” に入れるのは 3 で割って 1 余る番号

・ 1 回目に “ 中 ” に入れるのは 3 で割って 2 余る番号

・ 1 回目に “ 下 ” に入れるのは 3 で割り切れる番号

・３回目に “ 上 ” に入れるのは 1 ～ 9 の番号

・３回目に “ 中 ” に入れるのは 10 ～ 18 の番号

・３回目に “ 下 ” に入れるのは 19 ～ 27 の番号

・ 2 回目に “ 上 ” に入れるのは 3 回目の位置の情報で使用した番号の中で後ろから 3 つの番号（※ 3 回目が 1 ～ 9 ならば 7 ～ 9、10 ～ 18 ならば 16 ～ 18、19 ～ 27 ならば 25 ～ 27）

2 回目に “ 中 ” に入れるのは 3 回目の位置の情報で使用した番号の中で真ん中の 3 つの番号（※ 3 回目が 1 ～ 9 ならば 4 ～ 6、10 ～ 18 ならば 13 ～ 15、19 ～ 27 ならば 22 ～ 24）

2 回目に “ 下 ” に入れるのは 3 回目の位置の情報で使用した番号の中で最初から 3 つの番号（※ 3 回目が 1 ～ 9 ならば 1 ～ 3、10 ～ 18 ならば 10 ～ 12、19 ～ 27 ならば 19 ～ 21）

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　以上の事から、言われた番号の条件を考えて、

山をひとまとめにする際にその条件で動かせば選んだカードが言われた番号に来る。

②カードの動きから位置の情報を考える方法　最終的に n 番目へ選んだカードを移動させるためには、ひとまとめにする際、どの位置になければならないか、またカードがどのように山に分けられるかを逆算して考える。以下、最終的に “10 番目 ” へ選ばれたカードが移動すると仮定して説明を進める。

・ 3 回目のひとまとめにする際、選ばれたカードがある山を “ 中 ” の位置に入れる必要がある。［図７］

・ 3 回目の山に分けられているとき、選ばれたカードは上から 1 番目にある必要がある。［図８］

・ 2 回目のひとまとめにする際、選ばれたカードがある山を “ 下 ” の位置に入れる必要がある。［図９］

・ 2 回目の山に分けられているとき、選ばれたカードは上から7～9番目にある必要がある。

［図１０］

・ 1 回目のひとまとめにする際、選ばれたカードがある山を “ 上 ” の位置に入れる必要がある。［図１１］

同様に他の数字も言われた番号から逆算して、

位置の情報を得ることができる。

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10 進数からの変換方法を教えると、それを真剣に聞きノートに書き留めていた。

９．生徒の理解度と推測される成果

　全体の評価としては、生徒の中には自身で正解にたどり着いた者も、他の生徒の方法を聞いて正解を知った者もいたが、授業の最後には生徒全員が 2 人ずつの組になり、マジックをお互いやり合うことができ、最終的な内容についてはどの生徒もしっかりと理解できていた。これは最初からただ方法を聞くだけでなく、自らが知りたいという思いから “ 能動的に学習する ” というステップをへて到達したものであると考えている。また、分かった生徒が分からない生徒に教える場面があり、分かった生徒は説明の難しさや、自分の方法の不完全さに気づく場面も見られた。まさに、論理的に説明をする事の大事さを実感できたのではないかと思っている。

　方法①を思いついた生徒たちは、27 通りという有限の事象であることから全パターンを検証し、正解に辿り着いた。方法②を思いついた生徒たちは、補題的なマジックの考え方を発展させ、カードの動きに注目して検証し、正解に辿り着いた。何も言わずとも両者が “ 数学 ” に必要な論理的な思考や、似たような課題を基に考える事を実践しており、直接的に数学を教えずとも考えられる事に驚いた。また、3 進数の説明を熱心に聞く生徒を目の当たりにし、知りたいと思っている生徒に対して教える事の効率性の良さを実感した。

８．数学的な根拠への助言

　どちらの解答例も良く手順や法則を観察し、

答えを導き出している。そして、この根拠に基づいていけば同様にマジックを行うことができる。しかし、素早くマジックを行うためには方法①は 27 種類のパターンを暗記する必要があるし、方法②は図を用いずに逆算をするのは慣れれば早いかもしれないが、中々困難な作業である。そこで、生徒が考え出した解答を更に改良し、どうすればスムーズに行えるのかを考えてもらった結果、“ 情報を数値化する ” と言う方法が出てきた。［表３］

　また、この表を書いているとき、「2 回目の山に分ける作業は上からカードを配るから上下を反対にしなければならない」と言う発言もあり、表の 2 回目を入れ替える事となった。［表４］

　ここまで来ると、上から何番目かと言う数と 1 回目～ 3 回目の数値が連動していることに気づき、法則性が分かるようになった。中学 1 年生と言う事で、“3 進数 ” までは辿り着けなかったが、授業の最後に 3 進数についての説明や

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10．振り返りと今後の課題

　今回の授業実践において成功した要因の大部分は、“ 選修教科である事 ” とそこに在籍している生徒の “ 数学的な素地が良かった事 ” であると思う。しかし、正課の授業でない事や生徒の質という事を差し引いても、“ 能動的に学習できる題材 ” と “ 論理的に考える事のできる題材 ” が生徒の学習意欲を引き出す事については大いに実感している。今後、その様な題材を正課の授業で取り上げられるように、教材研究する事や、生徒のレベルにあった題材選びをする事が課題である。

11．参考文献等

・『数学マジック事典』　上野　富美夫　編東京堂出版（1995）

・『新しい数学１（中学校検定教科書）』　東京書籍（2015）

・同指導書　東京書籍

・『たのしくわかる数学 100 時間［新装版］上』

黒田俊郎・西三数学サークル　日本評論社

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