強制渦領域内の乱流せん断応力

強制渦領域内の乱流せん断応力

著者 葦埜 勲, 吉田 喜美, 前田 茂

雑誌名 福井大学工学部研究報告

巻 33

号 1

ページ 147‑152

発行年 1985‑03

URL http://hdl.handle.net/10098/4315

第33巻 第1号 昭 柿O年3月

強制渦領域内の乱流せん断応力

葦 埜 勲噂 吉 田 喜 美 * 前 田 茂紳

Turbulent  Shearing  S七ress in a Forced Vor七ex Region 

工sao ASHINO

， 

Kiyoshi YOSHIDA

， 

and Shigeru MAEDA 

Received Feb.  9

， 

1985  ) 

Turbulence was formed  in a rota七ing circular  cylinder  by force

， 

and velocity dis七ribu七ions of  three  direc七ions and Reynolds  shearing  stress were measured wi七h ho七 wire anemome七er.

On七he one  hand

， 

we  solved numerically七he equa七ion of  an angular momen七um. Comparing wi七h七he experimen七al results

， 

calcula七ed resul七s coincide with its ・Supposing Reynolds  shearing  s七ress of七angen七ial direc七ion differs  from the  expression used up to now

， 

experimen七al shearing 

S七ress agrees  much wi七h七he calculated resul七s using  τ=ρE θv/θr 

1 ま え が き

著 者 ら は 円 管 内 乱 流 旋 回 流 れ の 減 衰 1 ) の 研 究 よ り ， 強 制 渦 領 域 及 び 自 由 渦 領 域 に お け る 乱 流 せ ん 断 応 力 を 与 え る 式 の 符 号 が 正 負 異 な る 乙 と 及 び そ の 式 は 簡 単 な ブ ジ ネ ス ク の 式 で 与 え ら れ る こ と を ， 角 運 動 量 方 程 式 の 数 値 計 算 と 実 験 結 果 と が よ く 一 致 す る 乙 と か ら 明 ら か に し たo

乙 れ に 対 し ， 旋 回 流 の 場 合 ， 従 来 か ら 軸 対 称 流 の 変 形 速 度 を 用 い て ， 乱 流 せ ん 断 応 力 を 与 え て い る が ， こ れ を 用 い る と 実 験 結 果 と 合 致 し な い こ と が わ か っ たo

* 機械工学科

帥 機 械 工 学 専 攻 大 学 院 生

148 

本報告においては，これらの乙とを更に明確にするために，強制渦領域内の乱流せん断応力をX 形熱線風速計を用いて直接測定し，乙れと運動方程式を解析した結果と比較検討したものである。

乙の結果，著者の提案した乱流せん断応力を与える式は，従来から用いられている式に比べて，

極めて良好な結果を与えるものであることがわかった。

2 基磁方程式

流れは非圧縮性，軸対称，定常流と仮定する。図 1I乙示す座標系及び速度記号を用いて，円周方 向のナピエ・ストークスの運動方程式の時間的平均値をとると次式を得るO

。

(rv)

目 。

(rv) rθ2 (rv)  1 a ( rv) ， a 2 (rv

川

U

一 一 。 一

^r

一 一 一

^I 

千 山

^YVθz 

一 一 一 一 一 ̲

^{' 1..#I 1 ‑}

一

^ar 

文 一 可

^{~了。 rθz l!}

一 一 一 一 一 一 一 一 千 一 一 一 ‑ ‑ ‑ ‑ r ‑

^J I

I av' w'  au ' v ' ， 2 u ' v ' I 

r

卜一一一一+ーコ一一+一一一一￨

…".・H・......・H・..……...・H・..(1) 

￨ θ Z びr r 

乙乙I乙， u， v， wはそれぞれ半径方向，円周方向，軸方向の速度成分の時間的平均値を， u'， 

v'， w'は変動速度成分を， νは動粘度を表わす。

レイノルズせん断応力を渦動粘度E寄与用いて，前報と同じく次式で仮定する。

ー7 θ v ρu'v' =ρεπ.σr 一 ￨

ト………...・H・H・H・..…...・H・..….，.・H・..……...・H・.....・H・.....・H・..… (2)

ー

^av

一 ρv'W'=ρE弓言 ￨ 

強制渦領域を作るため円筒を角速度ωで回転させる。円筒の内半径をa，円筒の最大接線速度を v_m(=ωa)として，物理量の無次元量を次式で定義する。

U 

= 

u/v_m， V 

= 

v/v_m 

I 

W=W/v_m， R =  r/a  ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ (3)  Z 

= 

z/a  ， M 

= 

^{R V}  

式(2)，(3)を式(1)に代入して整理すると次式を得る。

。

^{M， ~T aM  1} 

^r 

^{a 2M  1 aM} θ2M 1 θ 2 M   a²M 

ロ百

+ W

; f Z = 広 三 同 一 長 石 + 日 J

^+δ1 aR2

十九百五

T 凶 乙乙}乙，

Q 

~Z

z  r 

図 l 座標系と速度記号 図 2 熱線と速度との位置関係

N_R，七=vma/ν E:t = ε / ν l  

ト … … … . . . ・H・..…...・H・.....・H・‑・ (5) O 1 = E: t/NR， t' O 2 = E:七2/NR， t 

であるo N_R， tは回転レイノルズ数を， εtは無次元渦動粘度を表わす。

軸方向の変化が極めて小さいと仮定すると ，a/âZ~O ， また管壁近くを除外すると，粘性項は省 略できるので，式(4)は次式のように簡単化される。

dM   ..d²M 

U一一一 = δ， で て す ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ (6)  dR  ‑1 dR 4 

境界条件は

R=O :M=O， R=l :M=l  ^. (7)  である。

3 乱れの測定法

図21i:示すように， r‑{}平面内に熱線(HW)を置き，熱線とr軸とのなす角を

8

とする。熱線 が感じる有効速度Ueは次式で表わされるo

Ue = { ( U  sin s ‑V cos s)2 

+ 

W 2 }ν2  . (8) 

有効速度Ueとリニアライザ出力電圧E との聞には

E=αU_e  ^{‑・… (9)}

なる関係が成立つ。乙こに， αはリニアライザ変換係数である。出力電圧の直流分を9，交流分を ゲと表わすと式(8)より，その時間的平均値をとり，更に交流分のみとれば次式を得る。

9/2/α2 

= 

(U' sin s ‑v'ωs s)2 

+ 

W/2 

ととで， ß= π/4 及び 3π/4 のときの交流出力電圧を 9~ 及び ejとすると，

9~2/α2=;( ピイ )2

+W'2 

9~2/α2=j( ピ +V')2

^{+ W/2} 

瑚 1)を辺々差ヨ￨くと

ーァ.̲I  f ̲ ，吉 ‑，言、

‑u'v' =2a2~9íw ‑9i^W) 

. .00 

‑・(L2l を得る。それゆえ， X形プロープを用いて，出力の MS値(自乗平均値)の差をとれば，式

ω

より，

レイノルズ応力が求められる。

また，無次元レイノルズ応力は次式で与えられる。

. (13)  ーァ‑:::t/ ^ ~~ 2  TT Iー っ {~ I吉 一7言、

τ  ρu' v' /ρv!=‑u'V 一一ーヲーーす (9í~-9í~)

l I"'vm  2allv~ 、~4!

4 実験装置及び実験法

図 3Iζ 実験装置の概要を，図 4I乙供試円筒の詳細図を示す。円筒は内径 78.8mmのアクリル製で，

乙れをモータ軸に直接取付けるために，直径 25mmのアクリル円筒の周辺に厚さ 1mm，長さ約 27皿の

150 

1 CTA  2 LlNEAR LlZER  3 DC METER  4 RMS METER 

5 OSC IllO SCOPE 

6 TEST CYLI NDER  7 AC MOTOR  8 TRAVERSABlE STAND 

9 STROBO SCOPE 

図3 実 験 装 置 の 概 要

図4 供試円筒の詳細図

鋼工ヨコ ^{/ L J}  

μ 叫 (0) 

アルミ板4枚を十字形民取付け，との板の周辺を円筒に接着剤にて 固定しである。円筒の回転数はストロポスコープによって測定され

る。

(  b) 

乙の十字形の支持板が羽根の役目をして，円筒内に強制うずを作 る役目を果している。また， ζの影響で円筒内には軸方向の速度が 生じている。

図5 速度分布測定に用い た熱線プローブ 速度分布及び円周方向のレイノルズ応力は円筒の中央で測定した。速度成分の測定には，図5(a)，  (b)に示すように標準プロープをアクリル製パイプで囲み，軸方向速度のみ感知するようにした熱線 プロープを用いて測定した。乙の熱線は予め，風洞内で検定を行い風速と出力電圧との関係を調べ ておいた。

3 :   メ 0 2

d噌AV 

‑ a e '  

X R

u 

n u  

qd 

a z

‑ ‑

a 

‑

MH  

. コ

0 . 1  

oa o  P  

Q:U，O:V ，<D:1t'  図6 速 度 分 布

o  o 

年 ^2OFat‑04

1 . 0 

O  O  _{R  1 . 0}  R 

^{ー一一一一ーblJeXJI4)} 

一一‑‑blJ eX.(/7) 

図7 円周方向のレイノルズ応力分布

レ イ ノ ル ズ 応 力 の 測 定 に は ， ク ロ ス 形 及 び エ ン ド フ ロ ー 形 熱 線 プ ロ ー プ 壱 用 い ， リ ニ ア ラ イ ザ よ りの出力を RMS メーターに入れ， MS値 を 交 互 に 読 み と っ た 。 測 定 は 円 筒 中 心 よ り 左 右 Ir.， そ れ ぞ れ5回行い，その平均値をとった。

5 実 験 結 果 及 び 考 察

前 章 で 述 べ た 熱 線 プ ロ ー プ を 用 い て 速 度 分 布 を 測 定 し た 例 を 図6Ir.示す。半径方向の速度は小さ く， Rの 増 加 と 共 に 直 線 的 に 僅 か に 増 加 し て い る 。 円 周 方 向 の 速 度 成 分γは， Rが0.5以 上 で 急 に 増 加 し て い る 。 軸 万 向 速 度 成 分Wは ， 中 央 部 で ほ ぼ 一 定 で ， 管 壁 近 く で 増 加 し て い る 。 熱 線 プ ロ ー プ が 図5の よ う な 構 造 を し て い る の で ， 管 壁 近 傍 は 測 定 で き な か っ た 。 回 転 数 は 1860rpmで，回転 レ イ ノ ル ズ 数 はN，Rtニ 2.06x 10⁴であるo

次K， レ イ ノ ル ズ 応 力 ‑

u /  

V/の 測 定 例 を 図7I乙示す。 RがOか ら 乱5付 近 ま で は ， 殆 ん ど 零 に 等しいが，

R> 

0.5で急に増加している。

図8Iと は ， レ イ ノ ル ズ 応 力

‑v/

育7壱測定した例を示した。測定位置は， Z 

= 

0.317， 0.635及び0.952 の3個 所 で あ る 。 壁 面 近 傍 を 除 く と ， Z方 向 の 変 化 は 余 り み ら れ な い 。

次Ir.， 円 周 方 向 の 速 度 成 分Vの 実 験 値 を 用 い て ， 角 運 動 量M(=RV)の 分 布 を 図9Ir.示したo

一 方 ， 速 度 成 分Uの 実 測 値 を 用 い て ， 式(6)を境界条件(7)のもとで数値解析を行った。乙のとき，

o 

1 

= 

^1. 17 x 10‑³であった。乙の結果を図示すると，図9の 実 線 の よ う に な り ， 実 験 結 果 と 極 め て よ く一致する。

ま た ， 式(2)に よ り 円 周 方 向 の レ イ ノ ル ズ 応 力 を 求 め る と ，

‑̲. ‑ー 0，fdM M¥ 

‑u /  

V/ =ーよ卜一一一一l …・・…~. . ・.H・...・H・..……・・・…...・H・……・…・・・・・…...・H・‑….d4)  R ¥dR  RJ 

で与えられる。

上 述 の 角 運 動 量 の 解 を 用 い て ， 式 凶 の 値 を 求 め 図 示 す る と ， 図7の実線のようになり， R= 0 ...  0.8の 聞 で は ， 実 験 結 果 と 良 く 一 致 し て い る 。

x 1 0 ‑

³ 

￨

と ^{8 口}

^{R.t=2.0o)  1(04} 

6 

N

R

n

.t

.

 

=

之Ooxl0⁴ O 

芝

0 . 2  

O 

2 

@

@   0 0

@  

O

@   O

@   O @

n u    

0 . 1   4 

1 . 0   R 

(): Z ‑0.317 <D: Z‑0.635 0 :Z 

= 

0.952 

n u  

n v  

R  ^{1 .} 0 

図8 軸 方 向 の レ イ ノ ル ズ 応 力 分 布 図9 角 運 動 量 分 布

152 

従来から旋回流れの場における円周方向の乱流せん断応力は，次式で仮定されているぞ τ=一 日V'=ρ e

(~工-斗

_kσr 

rJ 

上式を用いたとき，式(6)に対応する基礎式は次式で与えられる。

dM  . .

r 

^{d 2 M  1 dM} 

1 

U一 一 =o， Iで て す 一 一 一 一1・・H・H・‑…'"・H・…H・H・.....・H・‑….，.・H・...・H・H・H・......・H・..(11)  dR  ‑ 1  IdR~ R  dRI 

実測値Uの値を用いて，境界条件(7)のもとで上式を数値解析した結果を図9~乙点線で示した。実験結果と解 析結果とは一致しない。

次 l乙，無次元レイノルズ応力は式回より，

一一一 o，I dM  2M ¥ 

‑U'V'ニ ー ム ￨ 一 一 一 一 一l…H・H・......・H・‑…H・H・‑…H・H・..…H・H・‑…・・…H・H・‑…・・…間 R  ¥dR  R )  

で与えられる。式闘の解析結果を用いて 上式より，レイノルズ応力を求めたものを図示すると図 7の点線のようになるO 乙れも実験結果と合致しない。

以上の結果，強制渦領域内の円周方向のレイノルズ応力は，著者の提案した式(2)で近似した方が，

従来より用いられている式~5) よりすぐれていることがわかる。

著者らは，先の報告において速度分布の減衰形状から，強制渦領域内の円周方向のレイノルズ応 力を式(2)で与える方がよいことを示したが，今回のレイノルズ応力の測定実験から，乙れが正しい

ことを更に裏付けることができた。

6 結 論

回転円筒内1[作られる強制渦領域内のレイノルズ応力の測定実験から，次のことが明らかになっ た。

円周方向のレイノルズ応力は，従来から用いられている式回は不適当であり，著者らの提案した 式(2)が適当である。

参 考 文 献

1)葦 埜 ・ 前 田 機 論 ， 50 ‑ 460， B， (昭59 ，) 30泊

2)  Gambi工工，W.R.，et al.， Chem. Eng. Symp. Ser.  5.  127