　全国学力・学習状況調査にみられる課題とその手立て　 PDF：7.2MB

(1)

全国学力・学習状況調査

にみられる

課題

とその

手立て

〜教科書を活用した指導のポイント〜

A 問題

①　式の値

②　方程式の活用

③　円柱と円錐の体積

④　証明の意味

⑤　正多角形の内角の和

⑥　関数の意味

⑦　1 次関数の式の表し方

⑧　2 元 1 次方程式のグラフ

⑨　相対度数

⑩　確率

B 問題

⑪　連続する自然数の和

⑫　碁石の総数

⑬　図形の証明

⑭　T シャツのプリント料金

C

ONTENTS

中学校数学

(2)

─ 1 ─

①　式の値　〈1 年 2 章　文字と式〉

正答率

38.3％

81

節

いろいろな整数を，文字を使った式で表そう。右のにあてはまる数を求めてみましょう。 xを1から9までの整数，yを0から9までの整数とすると，十の位の数がx，一の位の数がyの2桁けたの自然数は，10x＋yと表すことができる。十の位の数がa，一の位の数が3である2桁の自然数を，文字を使った式で表しなさい。 xとyがともに1桁の自然数のとき，十の位の数がx，一の位の数がyである2桁の自然数をxyと表してはいけない理由を説明しなさい。倍数の表し方　nが整数のとき，2nはどんな数を表しているかをいいなさい。　nが整数のとき，2nは2×（整数）だから，2の倍数，すなわち偶ぐう数すうを表している。 nが整数のとき，次の式はどんな数を表していますか。理由もあわせて説明しなさい。 ⑴　3n ⑵　7n ⑶　2n＋1 nが整数のとき，次の㋐～㋒の中で，いつでも奇き数すうになる式を選びなさい。㋐　n－1 ㋑　2n－1 ㋒　2（n＋1）

式の活用

1 Q

たし ₁ かめ p.274 29 補充問題伝えよう問 1 例題1 解答たし ₂ かめ p.275 30 補充問題問 2 13＝10× 　＋1×3 20＝10× 　＋1×0 74＝10× 　＋1×4 10x＋yのx とyに 1桁の数を代入して確かめてみよう。 5 10 15 20

3 式の活用

1 式の活用 1年_2-3-1_式の活用.indd 81 2015/08/24 13:25

1 年・文字と式　p.81

68 2 章　文字と式式の中の文字を数に置きかえて，数量の値を求めよう。空気中を伝わる音の速さは，そのときの気温によって異なる。気温がx℃のとき，音が空気中を伝わる速さは，ほぼ秒速（331＋0.6x）mで表されることが知られている。気温が20℃のとき，音が伝わる速さを求めるには，文字xを20に置きかえて計算するとよい。 331＋0.6x ＝331＋0.6×20 ＝343 このことから，気温が20℃のときの音が伝わる速さは，秒速343mであることがわかる。次の気温のとき，音が伝わる速さを求めなさい。 ⑴　10℃ ⑵　0℃ ⑶　－5℃ 　　上の音が伝わる速さを表す式で，xに25を代入したときの式の値を求めなさい。また，その式の値はどんな数量を表していますか。式の値　a＝－3のとき，次の式の値を求めなさい。 ⑴　3a＋4 ⑵　－a ⑶　12_a ⑷　a2 ⑴　3a＋4＝3×（－3）＋4 ⑵　－a＝－（－3）＝－5 ＝3 ⑶　12_{a ＝}_－312 ⑷　a2_＝_（_－3_）2 ＝－4 ＝9

式の値

5

たし ₁ かめ p.273 14 補充問題式の中の文字を数に置きかえることを，文字に数を代だいにゅう入するという。また，代入して計算した結果を，その式しきの値あたい という。　331＋0.6x　代入＝331＋0.6×20 ＝343 　　　　　式の値問 1 例題1 解答負の数を代入する_{ときは，（　）を} つけるといいね。 5 10 15 20 25 1年_2-1-5_式の値.indd 68 2015/08/24 11:58

1 年・文字と式　p.68

　　正　　答　

0，78，100

　　誤答例　

78，100

0 は 2

a

で表すことができないと考えたり，

整数に 0 が含まれないと考えたりしたもの

と考えられる。

　課題と指導のポイント　

文字の値が整数のときに，式の値について

考察することに課題がある。指導にあたって

は，文字のとりうる値の範囲の理解を深め，

式の値をもとにして文字の値を求め，それが

数の範囲にあてはまるかどうかを判断するこ

とも大切である。

1 年・文字と式で，式の中の文字に数を代

入し，その計算した結果を式の値ということ

を学習している。さらに，

n

が整数のとき，

2 n

が偶数を表していることも学習している。

文字の値が整数のときに，式の値

について考察することができるかど

うかをみる。

中数Ａ−4

（３） a を整数とするとき，式２a で表すことのできる数を，次の中か

らすべて選びなさい。

０　　１　　３５　　７８　　１００

（４）「１個 a 円の品物を２個買ったときの代金は１０００円より安い。」

という数量の関係を表した式が，下のアからオまでの中にあります。

正しいものを１つ選びなさい。

ア　２a ≦１０００

イ　２a ＜１０００

ウ　２a ＝１０００

エ　２a ＞１０００

オ　２a ≧１０００

出題の趣旨

(3)

─ 2 ─

②　方程式の活用　〈1 年 3 章　方程式〉

　　正　　答　

ウ

　　誤答例　

イ

方程式の解の吟味の必要性と意味を理解し

ていないと考えられる。

　課題と指導のポイント　

方程式を活用した問題解決において解の適

否を調べる方法についての理解に課題があ

る。指導にあたっては，解の意味を検討する

場面を設定し，方程式の解の吟味の必要性を

理解できるようにすることが大切である。

1 年・方程式で，弟が姉を自転車で追いか

ける場面を設定し，弟が姉に追いつくかどう

かを調べている。

1 年・方程式　p.115

出題の趣旨

正答率

49.8％

115 2 節　方程式の活用等しい関係にある数量を見つけて，方程式をつくってみましょう。つくった方程式を解いて，

?

の答えを求めてみましょう。

?

で，姉が家を出発してから12分後に，弟は家を出発して姉を追いかけたとすると，姉が駅に着くまでに，弟は姉に追い着くことができますか。下の表のをうめ，考えてみましょう。方程式を使って問題を解決するとき，方程式の解が問題に適さないことがあります。したがって，方程式の解をそのまま問題の答えとはせずに，解が問題に適しているかどうかを確かめる必要があります。

?

で，条件をいろいろと変えて，それぞれの問題の答えを求めてみましょう。

3

4

深めよう

5

家姉弟 700m 12 分間に歩いた道のり駅速さ（m/min）時間（分）道のり（m）姉弟広げよう

6

駅は家から何m 離れたところにあるかな？追い着くということはどういうこと？弟が10分後に分速120mで走って追いかけると… 5 10 1年_3-2-1_方程式の活用.indd 115 2015/08/24 13:47 115 2 節　方程式の活用等しい関係にある数量を見つけて，方程式をつくってみましょう。つくった方程式を解いて，

?

3

4

深めよう

5

6

駅は家から何m 離れたところにあるかな？追い着くということはどういうこと？弟が10分後に分速120mで走って追いかけると… 5 10 1年_3-2-1_方程式の活用.indd 115 2015/08/24 13:47 115 2 節　方程式の活用等しい関係にある数量を見つけて，方程式をつくってみましょう。つくった方程式を解いて，

?

3

4

深めよう

5

6

駅は家から何m 離れたところにあるかな？追い着くということはどういうこと？弟が10分後に分速120mで走って追いかけると… 5 10 1年_3-2-1_方程式の活用.indd 115 2015/08/24 13:47

方程式を活用して問題を

解決する手順のうち，求め

た解がはじめの問題の答え

として適切なものであるか

どうかを調べることについ

て理解しているかどうかを

みる。

中数Ａ−7

（４）次の問題について考えます。

問題

家から１８００ｍ離れた駅に向かって，妹が家を出発しました。

兄が妹の忘れ物に気づいて，妹が出発してから１５分後に，同

じ道を自転車で追いかけました。

妹は分速７０ｍ，兄は分速２２０ｍで進むとすると，兄が妹に

追いつくのは兄が出発してから何分後ですか。

この問題は，方程式を使って次のように解くことができます。

解答

兄が出発してから x 分後に妹に追いつくとすると，

妹に追いつくまでに兄が自転車で進む道のりは２２０x ｍ，

兄に追いつかれるまでに妹が進む道のりは７０（１５+ x ）ｍ

と表すことができる。

これらの道のりは等しいので，

２２０x ＝７０（１５+ x ）

この方程式を解くと，

２２０x ＝１０５０+７０x

１５０x ＝１０５０

x

＝７

x

＝７のとき，つくった方程式の左辺と右辺の値は１５４０と

なり等しいので，x ＝７は方程式の解である。

兄が出発してから７分後までに兄と妹が進む道のり１５４０ｍ

は，家から駅までの道のり１８００ｍより短いから，兄は妹

が駅に着く前に追いつくことができる。

よって，兄が妹に追いつくのは兄が出発してから７分後である。

答７分後

中数Ａ−8

前ページの解答で，

のの部分では，問題の中の数

量を，文字を用いた式で表しています。

解答の

のの部分では，あることがらを調べていま

す。そのことがらについて正しく述べたものを，下のアからエまで

の中から１つ選びなさい。

ア　方程式が，等しい関係にある数量を用いてつくられているか

どうかを調べている。

イ　方程式から得られた値がその方程式の解であるかどうかを，

その方程式の両辺にその値を代入して調べている。

ウ　方程式の解を問題の答えとしてよいかどうかを調べている。

エ　つくった方程式を，等式の性質などを用いて正しく解いてい

るかどうかを調べている。

(4)

─ 3 ─

　　正　　答　

エ

　　誤答例　

イ

底面積と高さがそれぞれ等しい柱体と錐体

の体積の関係を，底辺と高さがそれぞれ等し

い四角形と三角形の面積の比 2：1 と同様に

とらえていると考えられる。

　課題と指導のポイント　

円錐の体積を，底面が合同で高さが等しい

円柱の体積と関連づけて理解することに課題

がある。指導にあたっては，柱体の体積と錐

体の体積との関係を予想し，その予想が正し

いかどうかを，模型を用いた実験による測定

を行って確かめる活動を通して，柱体と錐体

の体積の関係を実感を伴って理解できるよう

にすることが大切である。

1 年・空間図形で，角錐や円錐の体積は，

底面積と高さが等しい角柱や円柱の体積の

であることを学習している。

1 ₃

③　円柱と円錐の体積　〈1 年 6 章　空間図形〉

1 年・空間図形　p.224〜225

出題の趣旨

正答率

39.8％

（４）下の図は，円柱，円錐

すい

の形をした容器です。それぞれの容器の底

面は合同な円で，高さは等しいことがわかっています。この円柱の

容器いっぱいに入れた水を円錐の容器に移します。

このとき，下のアからオまでの中に，円柱の容器に入っていた水と

同じ量の水を表している図があります。正しいものを１つ選びなさい。

ア

イ

ウ

エ

オ

中数Ａ−13

円錐の体積と，底面が合同で高

さが等しい円柱の体積との関係で

理解しているかどうかをみる。

225 3 節　立体の体積と表面積角錐や円錐の体積は，底面積と高さが等しい角柱や円柱の体積の 13 であることがわかっている。角錐と角柱の体積の関係は，次のような立体模型を使って調べることもできる。 底面の円の半径が r，高さが h である円錐の体積を V とするとき，V を h と r を 使った式で表しなさい。公式を使って，角錐や円錐の体積を求めよう。角錐や円錐の体積　下の図の立体の体積を求めなさい。 ⑴ ⑵ ⑴　底面が1 辺 6cm の正方形で，高さが 4cm の正四角錐だから， 1 3 ×62×4 ＝ 13 ×36×4 ＝48 答　48cm3 ⑵　底面の円の半径が5cm，高さが 12cm の円錐だから， 1 3 ×π×52×12 ＝ 13 ×25π×12 ＝100π 答　100πcm3 角錐や円錐の体積　角錐や円錐の体積をV，底面積を S， 高さを h とすると， V_{＝ 13}Sh h h S S 問 2 例題1 6cm 6cm 4cm 5cm 5cm 13cm 12cm 解答巻末の付録を使ってつくってみよう。 5 10 15 1年_6-3-1_立体の体積.indd 225 2015/08/24 17:31 224

節

角錐や円錐の体積について考えよう。小学校で学んだように，角柱や円柱の体積は，（底面積）×（高さ）で求めることができる。 底面の円の半径が r，高さが h である円柱の体積を V とするとき，V を h と r を 使った式で表しなさい。底面の円の半径が4cm，高さが 9cm の円柱の体積を求めなさい。底面積と高さが等しい角柱と角錐の容器があります。角錐の容器いっぱいに水を入れ，角柱の容器に注ぐと，何回でいっぱいになるでしょうか。

立体の体積

1

角柱や円柱の体積　角柱や円柱の体積をV，底面積をS， 高さを h とすると， V＝Sh h h S S 問 1 たし ₁ かめ補充問題p.282 13

Q

5 10 15 1 立体の体積 2 立体の表面積

立体の体積と表面積

3

1年_6-3-1_立体の体積.indd 224 2015/08/24 17:31

（４）下の図は，円柱，円錐

すい

の形をした容器です。それぞれの容器の底

面は合同な円で，高さは等しいことがわかっています。この円柱の

容器いっぱいに入れた水を円錐の容器に移します。

このとき，下のアからオまでの中に，円柱の容器に入っていた水と

同じ量の水を表している図があります。正しいものを１つ選びなさい。

ア

イ

ウ

エ

オ

中数Ａ−13

(5)

─ 4 ─

④　証明の意味　〈2 年 4 章　平行と合同〉

　　正　　答　

ウ

　　誤答例　

ア，イ

実測や操作など帰納的な方法による説明と演繹

的な推論による説明の違いを理解していなかった

り，その説明のしかたについて理解していなかっ

たりしていると考えられる。

　課題と指導のポイント　

証明の必要性と意味の理解に課題がある。指導

にあたっては，対頂角の性質や三角形の内角の和，

平行四辺形の性質などの学習において，帰納的な

方法による説明と比較しながら，帰納的推論には

限界があることから，演繹的な推論による説明の

役割を理解する場面を設定し，証明の必要性と意

味についての理解を深められるようにする。

2 年・平行と合同で，対頂角の意味と性質を学

習し，また，根拠となることがらをもとに，図形

の性質などを証明するしかたについても学習して

いる。

出題の趣旨

正答率

26.4％

106

節

90°の角を直角というように，180°の角を平へい 角 かく ということがあります。 180° 数学メモ 2直線が交わってできる角について調べよう。　右上の図で，対頂角である∠aと∠cの大きさが等しいことは，次のように説明することができる。 1つの直線の片側にできる角が180°であることに着目すると，∠bが何度であっても， ∠aと∠cの大きさはそれぞれ　　　と表すことができる。したがって，∠aと∠cはどちらも180°－∠bに等しいから，∠a＝∠cである。対頂角について，次のことがいえる。

直線と角

1

ℓ m a b d c 180° ℓ m a b ∠a＝180°－∠b c b ℓ m 180° ∠c＝ 180°－∠b 対頂角の性質 対頂角は等しい。 右の図のように，2直線ℓ，mが交わってできる 4つの角のうち， ∠aと∠c，∠bと∠d のように向かい合っている2つの角を対たい頂ちょう角かくという。 5 10 15 1 直線と角 2 多角形の内角と外角

1 平行線と角

2年_4-1-1_直線と角.indd 106 2015/08/25 11:53 127 2 節　合同と証明たとえば「a，b が奇き数 すう ならば a＋b は偶ぐう 数 すう 」のような数の性質においても，仮定は「a，b が奇数」，結論は「a＋b は偶数」となります。 数学メモ 前ページの問1から問2までの説明は，次のように組み立てられている。前ページで証明したことがらは，次のような形の文で表すことができる。線分ABと線分CDが点Oで交わるとき，

　　OA＝OC，OD＝OB ならば AD＝CB

次のことがらの仮定と結論をいいなさい。 ⑴　△ABC≡△DEF ならば∠A＝∠Dである。 ⑵　△ABCで，∠A＝90°ならば∠B＋∠C＝90°である。 OD＝OB △OAD≡△OCB OA＝OC AD＝CB すでに正しいと 認められたことがら …… 説明しようとしていること …… 初めからわかっていること 対頂角の性質三角形の合同条件合同な図形の性質このように，あることがらが正しいことを，すでに正しいと認められたことがらを根拠として，筋道を立てて説明することを証しょう明めいという。このように，数学で考えていくことがらには，ならばの形で書かれたものが多い。このとき，の部分を仮か定てい の部分を結けつ論ろん という。たし ₁ かめ p.224 16 補充問題　　　　ならば　仮定　　　　　　結論仮定は初めからわかっていることがら，結論は証明しようとしていることがらだね。 5 10 15 2年_4-2-3_図形の性質.indd 127 2015/08/25 12:13

2 年・平行と合同　p.106

2 年・平行と合同　p.127

中数Ａ−19

ある学級で，「対頂角は等しい」ことの証明

について，次の，を比べて考えています。

下の図のように直線ℓと直線 m が交わっているとき，

a

m

ℓ

c

b

１８０°

a

m

ℓ

c

b

∠ a ＝１８０°- ∠ c

∠ b ＝１８０°- ∠ c

よって，∠ a ＝∠ b

したがって，対頂角は等しい。

下の図のように直線ℓと直線 m が交わっているとき，

２つの角の大きさをそれぞれ測ると，

120 6013050140 40 15030 160 2010170 180 0 110 70 100 80 90 80 100 70 110 60 120 40 140 30 150 50 130 20 160 10170 0180

a

m

ℓ

b

120 60 130 50 140 40 150 30 160 20 17010 1800 110 70 100 80 90 80 100 70 110 60 120 40 140 30 150 50 130 20 160 10 170 0 180

a

m

ℓ

b

∠ a ＝６０°

∠ b ＝６０°

よって，∠ a ＝∠ b

したがって，対頂角は等しい。

８

中数Ａ−20

２つの直線がどのように交わっても「対頂角は等しい」ことの証明

について，正しく述べたものが下のアからオまでの中にあります。

それを１つ選びなさい。

ア　もも証明できている。

イ　は証明できており，は２つの直線の交わる角度をいろいろ

に変えて同じように確かめれば証明したことになる。

ウ　は証明できているが，は２つの直線の交わる角度をいろい

ろに変えて同じように確かめても証明したことにはならない。

エ　もも２つの直線の交わる角度をいろいろに変えて同じよう

に確かめれば証明したことになる。

オ　は２つの直線の交わる角度をいろいろに変えて同じように確

かめれば証明したことになるが，はそれでも証明したことには

ならない。

証明の必要性と意味を理解してい

るかどうかをみる。

(6)

─ 5 ─

　　正　　答　

オ

　　誤答例　

ア，ウ

（

n

−2）の

n

が示すもののみに着目したと

考えられる。

　課題と指導のポイント　

n

角形の内角の和を求める式

180°×（

n

−2）における（

n

−2）の意味の理

解に課題がある。指導にあたっては，多角形

の内角の和を表す式の意味を理解することが

大切である。また，式の意味を場面に即して

読みとることも大切である。

2 年・平行と合同で，多角形の内角の和の

学習をしており，多角形の内角の和の式の意

味もおさえている。

⑤　正多角形の内角の和　〈2 年 4 章　平行と合同〉

出題の趣旨

2 年・平行と合同　p.116〜117

正答率

46.9％

116 4 章　平行と合同下の表の　　をうめて，表を完成させましょう。また，表から気づいたことを説明してみましょう。四角形五角形六角形七角形八角形 …… 頂点の数 4 5 6 7 8 …… 1つの頂点からひいた対角線の数 1 …… 三角形の数 2 …… 内角の和 180°×2 180°× 180°× 180°× 180°× …… n角形は1 つの頂点からひいた対角線によって，（n－2）個の三角形に分けられる ことを説明してみましょう。 また，n 角形の内角の和を，n を使った式で表してみましょう。 前ページの 1 で，こうたさんとあやさんは，それぞれ下の図のように考えて内角の和を求めました。こうたさんとあやさんの考え方を説明し，このときの n角形の内角の和をそれぞれ式で表してみましょう。＜こうたさん＞＜あやさん＞

2

伝えよう

3

n－3 … … × × × n－2 n－3 1 2 3 3 2 1 深めよう

4

八角形は，図を使って考えていないけど，ほかの多角形の結果から予想できないかな？ n 角形の頂点の数は n だから… 2 人の考え方では，三角形の個数はそれぞれいくつになるかな？ 5 10 2年_4-1-2_多角形の角.indd 116 2015/08/25 11:58 116 4 章　平行と合同下の表の　　をうめて，表を完成させましょう。また，表から気づいたことを説明してみましょう。四角形五角形六角形七角形八角形 …… 頂点の数 4 5 6 7 8 …… 1つの頂点からひいた対角線の数 1 …… 三角形の数 2 …… 内角の和 180°×2 180°× 180°× 180°× 180°× …… n角形は1 つの頂点からひいた対角線によって，（n－2）個の三角形に分けられる ことを説明してみましょう。 また，n 角形の内角の和を，n を使った式で表してみましょう。 前ページの 1 で，こうたさんとあやさんは，それぞれ下の図のように考えて内角の和を求めました。こうたさんとあやさんの考え方を説明し，このときの n角形の内角の和をそれぞれ式で表してみましょう。＜こうたさん＞＜あやさん＞

2

伝えよう

3

n－3 … … × × × n－2 n－3 1 2 3 3 2 1 深めよう

4

八角形は，図を使って考えていないけど，ほかの多角形の結果から予想できないかな？ n 角形の頂点の数は n だから… 2 人の考え方では，三角形の個数はそれぞれいくつになるかな？ 5 10 2年_4-1-2_多角形の角.indd 116 2015/08/25 11:58 117 1 節　平行線と角多角形の内角の和について，次のことがいえる。　多角形というときは，右の図のようなへこんだ部分のある図形は考えないことにする。多角形の内角の和を求める式を使って，問題を解いてみよう。多角形の内角の和 1 十二角形の内角の和を求めなさい。 180°×（n－2）の n に 12 を代入すると， 180°×（12－2）＝1800° したがって，十二角形の内角の和は1800°である。答　1800° 二十角形の内角の和を求めなさい。正九角形の内角の和を求めなさい。また，その1 つの内角の大きさを求めなさい。多角形の内角の和 2 内角の和が1980°である多角形は何角形であるかを答えなさい。内角の和が1980°である多角形を n 角形とすると， 180°×（n－2）＝1980° n－2＝11 n＝13 したがって，内角の和が1980°である多角形は十三角形である。答　十三角形内角の和が2700°である多角形は何角形ですか。多角形の内角の和 n角形の内角の和は180°×（n－2）である。 注意！例題2 解答たし ₂ かめ補充問題p.223 6 たし ₃ かめ p.223 7 補充問題例題3 解答たし ₄ かめ補充問題p.223 8 もどって確認 正多角形辺の長さがすべて等しく, 内角の大きさもすべて等しい多角形方程式の形にして求めるといいね。 5 10 15 20 2年_4-1-2_多角形の角.indd 117 2015/08/25 11:58

n

角形の内角の和を求める式

180°×（

n

−2）における（

n

−2）の意

味を理解しているかどうかをみる。

中数Ａ−18

（２）下の図のように，n 角形は１つの頂点からひいた対角線によって，

いくつかの三角形に分けられます。

このことから，n 角形の内角の和は１８０°#（ n -２）で表すこと

ができます。

この式の（ n -２）は，n 角形において何を表していますか。下

のアからオまでの中から正しいものを１つ選びなさい。

ア　頂点の数

イ　辺の数

ウ　内角の数

エ　１つの頂点からひいた対角線の数

オ　１つの頂点からひいた対角線によって分けられた三角形の数

(7)

─ 6 ─

⑥　関数の意味　〈1 年 4 章　比例と反比例〉

　　正　　答　

オ

　　誤答例　

イ，エ

y

＝（整数）×

x

や

y

＝（高さ）×

x

のような

式を考えたり，倍数の集合が決まると考えた

りして，

y

が

x

の関数であるととらえたと考

えられる。

　課題と指導のポイント　

関数の意味の理解に課題がある。

指導にあたっては，事象の中に数量の関係

を見いだし，それを関数としてとらえ直せる

ようにすることが大切である。とくに，既習

の数や図形の性質などを関数の視点から考察

し，その内容についての理解を深められるよ

うにすることが大切である。

1 年・比例と反比例で，ともなって変わる

2 つの数量の関係を調べ，関数の意味を学習

している。

出題の趣旨

1 年・比例と反比例　p.130〜131

正答率

13.8％

関数の意味を理解しているかどう

かをみる。

中数Ａ−21

下のアからオまでの中に，y が x の関数であるものがあります。

正しいものを１つ選びなさい。

ア　生徒数が x 人の学校の校庭の面積 y m

2

イ　底面積が x cm

2

_{の直方体の体積 y cm}

3

ウ　身長が x cm の人の体重 y kg

エ　自然数 x の倍数 y

オ　整数 x の絶対値 y

９

130

節

ともなって変わる2つの数量の関係について調べよう。前ページの窓の例では，たとえば，開けた部分の横の長さを10cm と決めると，開けた部分の面積は1100cm2_{と決まる。つまり，}_{「開けた部分} の横の長さ」を決めると，「開けた部分の面積」がただ1 つ決まる。また，開けた部分の横の長さが変わるのにともなって，開けた部分の周囲の長さも変わる。この場合も，「開けた部分の横の長さ」を決めると，「開けた部分の周囲の長さ」がただ1 つ決まる。 窓の例では，たとえば，開けた部分の横の長さを xcm，開けた部分の周囲の長さを y cmとすると，この場合も x と y はいろいろな値をとるから変数である。 また，「開けた部分の面積」は「開けた部分の横の長さ」の関数である。「開けた部分の周囲の長さ」も「開けた部分の横の長さ」の関数である。

関数

1

開けた部分の横の長さを xcm，開けた部分の面積を ycm2_{とすると，} xと y はいろいろな値をとる。この x，y のように，いろいろな値をとる文字を　変へん数すう という。 2 つの変数 x，y があって，x の値を決めると，それに対応する y の値が ただ1 つ決まるとき，

y

は

x

の関かん数すうであるという。 5 10 15 20 開けた部分の面積開けた部分の周囲の長さ開けた部分の横の長さ

1

1 関数 2 比例の式 3 座標 4 比例のグラフ

比例

1年_4-1-1_関数.indd 130 2015/08/24 14:03 131 1 節　比例右のグラフは，山の登り口から頂上までを13 分で走るケーブルカーの出発してからの時間と高さの関係を表したものです。 ⑴　出発してから3 分後では，ケーブルカーは登り口から何 m の高さにありますか。また，6 分後，8 分後ではどうですか。 ⑵　ケーブルカーが登り口から100m の高さにあるのは，出発してから何分後かわかりますか。 ⑶　ケーブルカーの高さは，出発してからの時間の関数であるといえますか。問1 では，「出発してからの時間」を決めると，「ケーブルカーの高さ」がただ 1 つ決まる。しかし，「ケーブルカーの高さ」を決めても，「出発してからの時間」は1 つに決まらないから，「出発してからの時間」は「ケーブルカーの高さ」の関数とはいえない。 次の⑴～⑶で，y は x の関数であるといえますか。 ⑴　5L の水を xL 使ったときの残りの量 yL ⑵　周の長さが xcm である長方形の面積 ycm2 ⑶　1m の値段が 10 円の針金 xm の代金 y 円 変数のとりうる値の範はん囲いについて考えよう。 129 ページの窓の例で，窓をいっぱいに開けると横の長さは80cm になるとする。このとき，窓を 開けた部分の横の長さを xcm とすると，変数 x の とりうる値の範囲は 0 以上 80 以下である。問 1 たし ₁ かめ p.276 1 補充問題変域 5 10 15 20 25 （m）登り口…… 頂上……… 50 100 150 200 0 5 10 （分）変数は何かな？ x の値が 0 や 80 のときには，窓はどうなっているかな？ x cm 80cm 1年_4-1-1_関数.indd 131 2015/08/24 14:04

(8)

─ 7 ─

1 年・文字と式　p.84

　　正　　答　

y

＝−

x

＋8

　　誤答例　

y

＝−

x

＋16，

y

＝

長さ 16cm のひもと長方形の縦と横の長

さとの関連が理解できていないと考えられる。

　課題と指導のポイント　

具体的な事象における 1 次関数の関係を式

で表すことに課題がある。指導にあたっては，

具体的な事象における 2 つの数量の関係を

式に表すときに，表などを用いて 2 つの数

量を具体的にとらえ，それらの変化や対応を

調べる方法を身につけることが大切である。

また，具体的な事象において，2 つの数量の

変化や対応の特徴をもとに，その関係を式で

表すことも大切である。

1 年・文字と式で，数量の等しい関係を図

を使って等式で表すことを学習している。さ

らに，2 年・1 次関数で，表を使って 2 つの

数量が 1 次関数かどうかを調べている。

16 x

⑦　1 次関数の式の表し方　〈2 年 3 章　1 次関数〉

出題の趣旨

2 年・1 次関数　p.69

69 1 節　1 次関数 1 次関数 y＝ax＋b では，y は x に比例する部分 axと定数の部分 bの和とみることができる。 また，b＝0 のとき，y＝ax となるので，比例は 1 次関数の特別な場合といえる。身のまわりにある数量の関係が，1次関数であるかどうかを調べよう。線香を燃やした時間と長さ　長さ16cm の線せん 香こうがある。火をつけてから x 分後の線香の長さを ycm と して，対応する x と y の値の関係を調べたところ，下の表のようになった。 x（分） 0 4 8 12 16 20 24 28 32 y（cm） 16 14 12 10 8 6 4 2 0 　このとき，y は x の1 次関数であるといえますか。線香が 1 分間に何 cm ずつ短くなっているかを考えて，yをx の式で表す。　線香は1 分間に 0.5 cm ずつ短くなって いるから，x 分後には，はじめの長さから 0.5xcm 短くなる。このことから，y は xの式で次のように表すことができる。 y＝16－0.5x 　すなわち， y＝－0.5x＋16 　したがって，y＝ax＋b の形で表すことができるから， yは x の1 次関数である。答　1 次関数であるといえる。例題1 で，火をつけてから 25 分後の線香の長さを求めなさい。 次の ⑴～⑶ で，y は x の1 次関数であるといえますか。 ⑴　1 辺が xcm である正方形の周の長さ ycm ⑵　30km の道のりを，時速 4km で x 時間歩いたときの残りの道のり ykm ⑶　面積が16cm2_{である三角形の底辺の長さ xcm と高さ ycm} 例題1 考え方 解答問 1 たし ₁ かめ p.220 1 補充問題 16cm 0分 15.5cm 1分後 x分後 y cm 0.5xcm … … y＝　　＋　 x に比例する部分　定数の部分 ax b y＝2xも1次関数だね。 5 10 15 20 2年_3-1-1_1次関数.indd 69 2015/08/25 11:23

正答率

26.3％

具体的な事象における 1 次関数の

関係を式で表すことができるかどう

かをみる。

中数Ａ−24

（３）長さ１６cm のひもを使って，いろいろな形の長方形を作ります。

長方形の縦の長さを変えると，横の長さがどのように変わるかを調

べます。

長方形の縦の長さを x cm，横の長さを y cm とするとき，y を x

の式で表しなさい。

７cm

６cm

１cm

２cm

…

y

cm

x

cm

84

節

数量の等しい関係を，等号を使った式で表すことを考えよう。 1本 x 円の鉛えん 筆ぴつ 4本とy円の消しゴム1個を買ったら，代金の合計は300円でした。このことを，x とyを使った式で表してみましょう。鉛筆4本と消しゴム1個の代金の和は，代金の合計と等しいので，（鉛筆4本の代金）＋（消しゴム1個の代金）＝（代金の合計）となるから，このときの数量の関係は次のように表すことができる。 4x＋y＝300 てんびんの左側の皿にxgのコンパスをのせ，右側にygの定規をのせます。右側の皿におもりをのせていくと，おもりが10gのときにてんびんはちょうどつり合います。このとき，数量の関係を等式で表しなさい。全体と部分の関係を表す　a cmのひもからb cmのひもを3本切りとったら，残りの長さが8cmになった。このとき，数量の関係を等式で表しなさい。

等しい関係を表す式

1 Q

等号＝を使って，数量の等しい関係を表した式を等 とう 式しきという。等式で，等号の左側の部分を左さ辺へん，右側の部分を右う辺へんといい，左辺と右辺をあわせて両りょう辺へんという。たし ₁ かめ p.275 31 補充問題例題1 4x＋y＝300 　左辺　右辺　　両辺てんびんがつり合うとはどんな意味かな？ 5 10 15 20

4

1 等しい関係を表す式 2 大小関係を表す式

数量の関係を表す式

1年_2-4-1_等しい関係.indd 84 2015/08/24 13:26 85 4 節　数量の関係を表す式　下のように，数量の関係を図を使って表すとよい。　長さについて（全体の長さ）－（切りとった3本の長さ）＝（残りの長さ）という関係があるから， a－3b＝8 答　a－3b＝8 例題1の場面で，あやさんは数量の関係を次の等式で表しました。あやさんはどのように考えたかを説明しなさい。 a＝3b＋8 次の数量の関係を等式で表しなさい。 ⑴　500ページの本を1日に15ページずつa日間読んだら，残りが bページになった。 ⑵　x円のボールを3割引で買ったらy円だった。　　速さ・時間・道のりの関係を表す　時速3kmでx時間歩き，その後，時速2.5kmでy時間歩くと，出発地から5km離れた目的地に着く。このとき，数量の関係を等式で表しなさい。　下のように，数量の関係を図を使って表すとよい。　道のりについて　　　　　　　＋　　　　　　　＝　　　　　　という関係があるから， 3x＋2.5y＝5 答　3x＋2.5y＝5 家からx m離れた駅へ向かって，分速60mでy分間歩くと，残りの道のりは150mです。このとき，数量の関係を等式で表しなさい。 考え方 cm cm cm cm a b b b 8cm 解答伝えよう問 1 たし ₂ かめ p.275 32 補充問題例題2 考え方 5km 時速3kmで歩く道のり時速歩く道のり2.5kmで出発地目的地解答

（

時速3kmで

）

歩く道のり

（

で歩く道のり時速2.5km

）

（

目的地までの道のり

）

たし ₃ かめ p.275 33 補充問題 5 10 15 20 1年_2-4-1_等しい関係.indd 85 2015/08/24 13:26

(9)

─ 8 ─

⑧　2 元 1 次方程式のグラフ　〈2 年 3 章　1 次関数〉

2 年・1 次関数　p.84〜85

　　正　　答　

オ

　　誤答例　

イ，ウ

2 元 1 次方程式の解が正の整数または 0

のみの値の組であるととらえたり，2 元 1 次

方程式の解には整数以外の値の組もあること

は理解できているがその点が無数にあり，そ

の集合が直線になることについて理解してい

なかったりしていると考えられる。

　課題と指導のポイント　

2 元 1 次方程式の解を座標とする点の集合

は，直線として表されることの理解に課題が

ある。指導にあたっては，方程式と関数を相

互に関連づけてとらえる活動を取り入れ，2

元 1 次方程式の解を座標とする点の座標が直

線になることを理解できるようにすることが

大切である。

2 年・1 次関数で，2 元 1 次方程式の解は

無数にあり，そのグラフは直線になることを

学習している。

出題の趣旨

正答率

38.6％

84

節

2元1次方程式の解を，座標平面上に表すことを考えよう。 2元1次方程式2x＋y＝3の解を求めて，下の表の　　をうめてみましょう。また，x，yの値の組を座標とする点を，左下の図にとってみましょう。 x …… －3 －2 －1 0 1 2 3 …… y …… …… x，yの変域をすべての数とすると，方程式 2x＋y＝3の解は無数にある。この方程式の解を座標とする点をすべてとると，右の図のような直線になる。 2元1次方程式2x＋y＝3で，xの値を決めると，それに対応するyの値はただ1つ決まるから，yはxの関数である。

2 元

1 次方程式のグラフ

1 Q

この直線を，　　2元1次方程式2x＋y＝3 のグラフという。 y x 8 6 4 2 4 2 －2 －2 －4 O y x 8 6 2 4 －2 －2 －4 O 2x＋y＝3 x の値をさらに細かくとっていくと，x，yの値を座標とする点全体はどんな形になるかな？ 5 10 1 2元1次方程式のグラフ 2 連立方程式とグラフ

2

1 次関数と方程式

2年_3-2-1_2元1次グラフ.indd 84 2015/08/25 11:34 中数Ａ−26

下のアからオまでの中に，二元一次方程式 x + y ＝３の解を座標と

する点の全体を表したものがあります。正しいものを１つ選びなさい。

ア

イ

y

x

-１ -１ -２ -３ -２ -３１１２３Ｏ２３

y

x

-１ -１ -２ -３ -２ -３１１２３Ｏ２３

ウ

エ

y

x

-１ -１ -２ -３ -２ -３１１２３Ｏ２３

y

x

-１ -１ -２ -３ -２ -３１１２３Ｏ２３

オ

y

x

-１ -１ -２ -３ -２ -３１１２３Ｏ２３

13 2 元 1 次方程式の解を座標とする

点の集合は，直線として表されるこ

とを理解しているかどうかをみる。

84

節

2元1次方程式の解を，座標平面上に表すことを考えよう。 2元1次方程式2x＋y＝3の解を求めて，下の表の　　をうめてみましょう。また，x，yの値の組を座標とする点を，左下の図にとってみましょう。 x …… －3 －2 －1 0 1 2 3 …… y …… …… x，yの変域をすべての数とすると，方程式 2x＋y＝3の解は無数にある。この方程式の解を座標とする点をすべてとると，右の図のような直線になる。 2元1次方程式2x＋y＝3で，xの値を決めると，それに対応するyの値はただ1つ決まるから，yはxの関数である。

2 元

1 次方程式のグラフ

1 Q

この直線を，　　2元1次方程式2x＋y＝3 のグラフという。 y x 8 6 4 2 4 2 －2 －2 －4 O y x 8 6 2 4 －2 －2 －4 O 2x＋y＝3 x の値をさらに細かくとっていくと，x，yの値を座標とする点全体はどんな形になるかな？ 5 10 1 2元1次方程式のグラフ 2 連立方程式とグラフ

2

1 次関数と方程式

2年_3-2-1_2元1次グラフ.indd 84 2015/08/25 11:34 85 2 節　1 次関数と方程式また，2元1次方程式2x＋y＝3をyについて解くと， y＝－2x＋3 となるから，yはxの1次関数とみることができる。そのグラフは，傾きが－2で， y軸上の切片が3の直線である。これまでに調べてきたことから，2元1次方程式のグラフは，その方程式をyについて解いた式で表される 1次関数のグラフと一いっ致ちすることがわかる。方程式ax＋by＝cのグラフ1 　方程式x＋2y＝8のグラフをかきなさい。この方程式をyについて解くと，　　y＝－　x＋4 したがって，傾きが－　， y軸上の切片が4の直線をひけばよい。次の方程式のグラフを，右の図にかきなさい。 ⑴　x＋4y＝12 ⑵　4x－3y－12＝0 2元1次方程式のグラフ　2元1次方程式ax＋by＝cのグラフは直線である。 例題1 考え方 解答 1 2 1 2 たし ₁ かめ p.222 15 補充問題 y x O －2 2 6 4 2 －4 －2 x＋2y＝8 y x O －2 －4 2 4 4 2 －4 －2 2x＋y＝3 … 2 元 1 次方程式 　　　グラフは同じ直線 y＝－2x＋3 … 1 次関数 5 10 15 20 2年_3-2-1_2元1次グラフ.indd 85 2015/08/25 11:34

(10)

─ 9 ─

　　正　　答　

0.1 　　誤答例　

3，23

ヒストグラムから読みとった度数や階級値

をそのまま解答したと考えられる。

　課題と指導のポイント　

与えられたヒストグラムについて，ある階

級の相対度数を求めることに課題がある。指

導にあたっては，資料の傾向を読みとる活動

を行う際に，ある階級の度数が総度数に占め

る割合を求めて，相対度数の必要性と意味に

ついての理解を深められるようにすることが

大切である。

1 年・資料の整理と活用では，ヒストグラ

ムや相対度数の必要性と意味を学習している。

⑨　相対度数　〈1 年 7 章　資料の整理と活用〉

1 年・資料の整理と活用　p.242

1 年・資料の整理と活用　p.244〜245

出題の趣旨

正答率

23.7％

与えられたヒストグラムについ

て，ある階級の相対度数を求めるこ

とができるかどうかをみる。

中数Ａ−29

（２）下の図は，ある市の平成２４年６月１日から３０日までについて，

日ごとの最高気温の記録をヒストグラムに表したものです。この

ヒストグラムから，例えば，最高気温が３０℃以上３２℃未満の日が

５日あったことがわかります。

最高気温の分布

（日）（℃）

２２

１０

５

０ ２４２６２８３０３２３４

２２℃以上２４℃未満の階級の相対度数を求めなさい。

242 7 章　資料の整理と活用度数分布表をさらに見やすくするための方法を考えよう。図1 は，前ページの表 1 について，階級の幅を横，度数を縦とする長方形をすき間なく横に並べてかき，度数の分布のようすを表したものである。ヒストグラムでは，それぞれの長方形の縦の長さは階級の度数を表している。資料をヒストグラムに表すと，度数の分布のようすがさらに見やすくなる。度数分布表とヒストグラムから，練馬の2013 年 2 月の最高気温について，たとえば次のような傾向を読みとることができる。・最高気温が8℃以上 10℃未満の日が多い。・ヒストグラム全体の形は，山が1 つで，12℃より低い日が多い。 2007 年 2 月の最高気温について，図2 にヒストグラムをかきなさい。 2007 年 2 月の最高気温について，度数分布表とヒストグラムから，どんな傾向を読みとることができますか。ヒストグラムこのようなグラフをヒストグラムという。たし ₃ かめ（図 2）練馬の 2007 年 2 月の最高気温（日）15 5 10 0 4 6 8 10 12 14 1618 20（℃） p.283 3 補充問題話し合おう問 4 （日）15 5 10 0 4 6 8 10 12 14 1618 20（℃）（図 1）練馬の 2013 年 2 月の最高気温「ヒストグラム」のことを「柱状グラフ」ともいったね。 5 10 15 20 1年_7-1-1_度数の分布.indd 242 2015/08/24 17:59 242 7 章　資料の整理と活用度数分布表をさらに見やすくするための方法を考えよう。図1 は，前ページの表 1 について，階級の幅を横，度数を縦とする長方形をすき間なく横に並べてかき，度数の分布のようすを表したものである。ヒストグラムでは，それぞれの長方形の縦の長さは階級の度数を表している。資料をヒストグラムに表すと，度数の分布のようすがさらに見やすくなる。度数分布表とヒストグラムから，練馬の2013 年 2 月の最高気温について，たとえば次のような傾向を読みとることができる。・最高気温が8℃以上 10℃未満の日が多い。・ヒストグラム全体の形は，山が1 つで，12℃より低い日が多い。 2007 年 2 月の最高気温について，図2 にヒストグラムをかきなさい。 2007 年 2 月の最高気温について，度数分布表とヒストグラムから，どんな傾向を読みとることができますか。ヒストグラムこのようなグラフをヒストグラムという。たし ₃ かめ（図 2）練馬の 2007 年 2 月の最高気温（日）15 5 10 0 4 6 8 10 12 14 1618 20（℃） p.283 3 補充問題話し合おう問 4 （日）15 5 10 0 4 6 8 10 12 14 1618 20（℃）（図 1）練馬の 2013 年 2 月の最高気温「ヒストグラム」のことを「柱状グラフ」ともいったね。 5 10 15 20 1年_7-1-1_度数の分布.indd 242 2015/08/24 17:59 244 7 章　資料の整理と活用表4 は，ある中学校の 1 年生の立ち幅跳とびの記録をクラスごとにまとめたものです。このとき，次の問いに答えなさい。 ⑴　A 組，B 組の記録をそれぞれヒストグラムに表しなさい。 ⑵　A 組と B 組の度数折れ線を，1 つの図にかきなさい。また，度数折れ線から2 つの資料の傾向を読みとり，その違ちが いを説明しなさい。度数の合計が異なる2つの資料を比べる方法を考えよう。表5は，練馬の2007年2月と，1997年～ 2006 年の 2 月の最高気温の 10℃未満の日数について調べ，まとめたものです。 2007 年は1997年～2006年に比べて， 10℃未満の日は多いといえるでしょうか。表6 は，今年の A 中学校 1 年生 80 人と同じ市内の中学校1 年生 500 人のハンドボール投げの記録をまとめたものである。度数の合計が異なる場合，このままでは分布のようすを比べにくい。そこで，それぞれの階級の度数について，全体に対する割合を求めれば，その値で比べることができる。問 5 相対度数

Q

（表 5）練馬の 2 月の最高気温2007年1997年～2006年 10℃未満の日数 3日 120日（表 6）ハンドボール投げ階級（m）度数（人） A中学校市内の中学校以上未満 2 ～ 5 2 12 5 ～ 8 3 38 8 ～ 11 15 85 11 ～ 14 16 92 14 ～ 17 12 98 17 ～ 20 16 70 20 ～ 23 8 65 23 ～ 26 6 24 26 ～ 29 2 8 29 ～ 32 0 8 計 80 500 （表 4）立ち幅跳び階級（cm）A組（人）B組（人）以上未満 150～175 3 1 175 ～ 200 8 12 200 ～ 225 15 9 225 ～ 250 7 15 250 ～ 275 3 1 275 ～ 300 2 0 計 38 38 どうやって比べればいいのかな？ 5 10 15 20 1年_7-1-1_度数の分布.indd 244 2015/08/24 18:00 244 7 章　資料の整理と活用表4 は，ある中学校の 1 年生の立ち幅跳とびの記録をクラスごとにまとめたものです。このとき，次の問いに答えなさい。 ⑴　A 組，B 組の記録をそれぞれヒストグラムに表しなさい。 ⑵　A 組と B 組の度数折れ線を，1 つの図にかきなさい。また，度数折れ線から2 つの資料の傾向を読みとり，その違 ちが いを説明しなさい。度数の合計が異なる2つの資料を比べる方法を考えよう。表5は，練馬の2007年2月と，1997年～ 2006 年の 2 月の最高気温の 10℃未満の日数について調べ，まとめたものです。 2007 年は1997年～2006年に比べて， 10℃未満の日は多いといえるでしょうか。表6 は，今年の A 中学校 1 年生 80 人と同じ市内の中学校1 年生 500 人のハンドボール投げの記録をまとめたものである。度数の合計が異なる場合，このままでは分布のようすを比べにくい。そこで，それぞれの階級の度数について，全体に対する割合を求めれば，その値で比べることができる。問 5 相対度数

Q

（表 5）練馬の 2 月の最高気温2007年1997年～2006年 10℃未満の日数 3日 120日（表 6）ハンドボール投げ階級（m）度数（人） A中学校市内の中学校以上未満 2 ～ 5 2 12 5 ～ 8 3 38 8 ～ 11 15 85 11 ～ 14 16 92 14 ～ 17 12 98 17 ～ 20 16 70 20 ～ 23 8 65 23 ～ 26 6 24 26 ～ 29 2 8 29 ～ 32 0 8 計 80 500 （表 4）立ち幅跳び階級（cm）A組（人） B組（人）以上未満 150～175 3 1 175 ～ 200 8 12 200 ～ 225 15 9 225 ～ 250 7 15 250 ～ 275 3 1 275 ～ 300 2 0 計 38 38 どうやって比べればいいのかな？ 5 10 15 20 1年_7-1-1_度数の分布.indd 244 2015/08/24 18:00 245 1 節　資料の整理つまり，（その階級の度数）_{（度数の合計）を求めて比べるとよい。} 表7 は，A 中学校の記録の相対度数の分布表である。右の相対度数の分布表について，次の問いに答えなさい。 ⑴　市内の中学校の記録の相対度数の分布表を完成させなさい。 ⑵　A 中学校と市内の中学校の記録について，次の割合を求めなさい。㋐　14m 未満　　㋑　23m 以上 ⑶　A 中学校と市内の中学校の記録の相対度数を比べて，気づいたことをいいなさい。図5 は，A 中学校の記録の相対度数の分布表を，グラフに表したものである。市内の中学校の記録の相対度数の分布表について，図5 にそのグラフをかき入れなさい。また，2 つのグラフを比べて，気づいたことをいいなさい。この値を，その階級の相そう対たい度ど数すう という。（表 7）ハンドボール投げ階級（m）相対度数 A中学校市内の中学校以上未満 2 ～ 5 0.025 5 ～ 8 0.0375 8 ～ 11 0.1875 11 ～ 14 0.2 14 ～ 17 0.15 17 ～ 20 0.2 20 ～ 23 0.1 23 ～ 26 0.075 26 ～ 29 0.025 29 ～ 32 0 計 1 たし ₅ かめ p.283 5 補充問題 0 _{2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32}_（_m_） 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 （相対度数）（図 5）ハンドボール投げ問 6 10 15 1年_7-1-1_度数の分布.indd 245 2015/08/24 18:00

(11)

─ 10 ─

⑩　確率　〈2 年 6 章　確率〉

　　正　　答　

イ

　　誤答例　

ア，エ

相対度数の値が一定の値に近づいていくこ

とは理解しているが，その値をとらえられな

かったり，偶然に左右される不確定な事象の起

こりやすさの程度を表す数値は一定の値に近

づかないととらえたりしていると考えられる。

　課題と指導のポイント　

「ある事象の起こる回数の割合は，ある一

定の値に近づく」という大数の法則の意味の

理解に課題がある。指導にあたっては，ある試

行を多数回繰り返したときに，ある事象が起

こる回数の全体に対する割合が近づいていく

値として，確率の意味を理解できるようにす

ることが大切である。そのために，観察や実験

などの活動を取り入れることが考えられる。

2 年・確率で，多数回の試行により，ある

事象の相対度数の値が一定の値に近づいてい

くことを学習している。

2 年・確率　p.182〜183

出題の趣旨

正答率

33.4％

「ある試行を多数回繰り返したと

き，全体の試行回数に対するある事

象の起こる回数は，ある一定の値に

近づく」ことを理解しているかどう

かをみる。

中数Ａ−30

次の（１），（２）の各問いに答えなさい。

（１）表と裏の出方が同様に確からしい硬貨があります。この硬貨を投

げる実験を多数回くり返し，表の出る相対度数を調べます。このと

き，相対度数の変化のようすについて，下のアからエまでの中から

正しいものを１つ選びなさい。

ア　硬貨を投げる回数が多くなるにつれて，表の出る相対度数の

ばらつきは小さくなり，その値は１に近づく。

イ　硬貨を投げる回数が多くなるにつれて，表の出る相対度数の

ばらつきは小さくなり，その値は０．５に近づく。

ウ　硬貨を投げる回数が多くなっても，表の出る相対度数のばら

つきはなく，その値は０．５で一定である。

エ　硬貨を投げる回数が多くなっても，表の出る相対度数の値は

大きくなったり小さくなったりして，一定の値には近づかない。

（２）大小２つのさいころがあります。この２つのさいころを同時に

投げるとき，出る目が両方とも１になる確率を求めなさい。ただし，

どちらのさいころも１から６までの目の出方は，同様に確からしい

ものとします。

15

182

節

あることがらの起こりやすさを，数で表すことを考えよう。起こりやすさを判断するのに，相対度数が使われることが多い。右の表は，前ページの実験結果の1 つの例を示したものである。前ページのの

Q

1 の表についても，1 の目が出る相対度数を小数第3 位まで求めなさい。右上の表の「投げた回数」と「1 の目が出る相対度数」の関係を折れ線グラフで表すと，下の図のようになる。前ページの

Q

1 の表についても，折れ線グラフを上の図にかき入れなさい。また，1 の目が出る相対度数について，グラフからわかることをいいなさい。グラフから，さいころを投げる回数が多くなるにつれて，1 の目が出る相対度数のばらつきは小さくなり，0.17 に近づいていくことがわかる。このように，多数回の実験の結果，あることがらの起こる相対度数がある一定の値あたい に近づくとき，その値でことがらの起こりやすさの程度を表すことができる。

ことがらの起こりやすさ

1

（1の目が出る相対度数）＝　　　　　　　（1の目が出た回数）（さいころを投げた回数）問 1 0 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 0.22 （ 1の目が出る相対度数） 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 （投げた回数）問 2 5 10 15 投げた回数出た回数1の目が 1の目が出る相対度数 50 6 0.120 100 19 0.190 200 35 0.175 400 55 0.138 600 98 0.163 800 129 0.161 1000 165 0.165 1200 203 0.169 1400 234 0.167 1600 269 0.168 1800 298 0.166 2000 334 0.167

1 確率

1 ことがらの起こりやすさ 2 確率の求め方 3 いろいろな確率 2年_6-1-1_確率.indd 182 2015/08/25 12:44 183 1 節　確率あることがらの起こりやすさの程度を表す値を，そのことがらの起こる確かく率りつ という。さいころを投げるとき，1 の目が出る確率はおよそ 0.17 と考えられる。実験から求める確率　右下の表は，ペットボトルのふたを投げて，表，横，裏が出た回数を調べた結果である。ふたが表になる確率はおよそどのくらいかを求めなさい。　ふたを投げる回数が多くなるにつれて，表が出る相対度数は一定の値0.14 に近づいていく。　したがって，表が出る確率はおよそ0.14 と考えられる。答　およそ0.14 例題1 で，ふたが横になる確率はおよそどのくらいかを求めなさい。実験を多数回行うことができないことがらでは，多数の調査や観察の結果をもとにして，そのことがらの起こる確率を考える場合がある。右の表は，わが国の年ごとの出生数を示したものです。女子が生まれる確率はおよそどのくらいですか。例題1 解答たし₁ かめ補充問題p.226 1 問 3 5 10 15 20 投げた回数表横裏表が出る相対度数 50 9 18 23 0.180 100 19 39 42 0.190 200 33 76 91 0.165 400 62 138 200 0.155 800 110 281 409 0.138 1200 169 425 606 0.141 1600 223 562 815 0.139 2000 277 698 1025 0.139 表横裏年次総出生数（人）_{出生数（人）相対度数}女子 2004 1110721 541162 0.487 2005 1062530 517498 0.487 2006 1092674 532235 0.487 2007 1089818 529971 0.486 2008 1091156 531643 0.487 2009 1070035 521042 0.487 2010 1071304 520562 0.486 2011 1050806 512535 2012 1037231 505450 2013 1029816 502159 「平成25年人口動態統計　上巻」 2011 年から 2013 年の女子が生まれる相対度数も求めてみよう。 2年_6-1-1_確率.indd 183 2015/08/25 12:44 182

節

あることがらの起こりやすさを，数で表すことを考えよう。起こりやすさを判断するのに，相対度数が使われることが多い。右の表は，前ページの実験結果の1 つの例を示したものである。前ページのの

Q

1 の表についても，1 の目が出る相対度数を小数第3 位まで求めなさい。右上の表の「投げた回数」と「1 の目が出る相対度数」の関係を折れ線グラフで表すと，下の図のようになる。前ページの

Q

1 の表についても，折れ線グラフを上の図にかき入れなさい。また，1 の目が出る相対度数について，グラフからわかることをいいなさい。グラフから，さいころを投げる回数が多くなるにつれて，1 の目が出る相対度数のばらつきは小さくなり，0.17 に近づいていくことがわかる。このように，多数回の実験の結果，あることがらの起こる相対度数がある一定の値あたい に近づくとき，その値でことがらの起こりやすさの程度を表すことができる。

ことがらの起こりやすさ

1

（1の目が出る相対度数）＝　　　　　　　（1の目が出た回数）（さいころを投げた回数）問 1 0 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 0.22 （ 1の目が出る相対度数） 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 （投げた回数）問 2 5 10 15 投げた回数出た回数1の目が 1の目が出る相対度数 50 6 0.120 100 19 0.190 200 35 0.175 400 55 0.138 600 98 0.163 800 129 0.161 1000 165 0.165 1200 203 0.169 1400 234 0.167 1600 269 0.168 1800 298 0.166 2000 334 0.167

1 確率

1 ことがらの起こりやすさ 2 確率の求め方 3 いろいろな確率 2年_6-1-1_確率.indd 182 2015/08/25 12:44

全国学力・学習状況調査にみられる課題とその手立て PDF：7.2MB